Произведение двух групп

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Произведение двух групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Закревская С.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2

Заключение

Список литературы

Введение

Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.

Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 . Если и - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа разрешима.

Теорема 1.2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 1.3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где и - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого нечетного .

Теорема 2.2 . Если группы и содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа сверхразрешима.

Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа содержит циклическую подгруппу индекса . Если в нет нормальных секций, изоморфных , то сверхразрешима.

Теорема 3.1 . Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .

Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Теорема 3.3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

Доказывается, что конечная группа разрешима, если группы и содержат циклические подгруппы индексов . Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.

В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей и еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана

Теорема 1 . Если и - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа разрешима.

Если подгруппа нильпотентна, а в есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.

Теорема 2 . Пусть - группа Шмидта, а - группа с циклической подгруппой индекса . Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Теорема 3 . Пусть - 2-разложимая группа, а группа имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если и - конечная неразрешимая группа, то изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Частным случаем теоремы 3, когда - абелева, а имеет порядок , - простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.

Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.

Вначале докажем несколько лемм.

Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2 . Пусть , - собственная подгруппа группы , - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если , то содержит подгруппу индекса 2.

Доказательство. Если содержит инвариантную в подгруппу , то фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в есть подгруппа индекса 2.

Пусть не содержит инвариантных в подгрупп . Тогда представление группы подстановками правых смежных классов по есть точное степени , где . Группу можно отождествить с ее образом в симметрической группе степени . Так как в силовская 2-подгруппа циклическая, то , где - инвариантное 2-дополнение. Пусть , . , и . Подстановка разлагается в произведение циклов

т. е. подстановка имеет циклов, каждый длины . Декремент подстановки равен и есть нечетное число, поэтому - нечетная подстановка. Теперь , а так как индекс в равен 2, то - подгруппа индекса 2 в группе .

Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.

Замечание. Простая группа является произведением двух подгрупп и , причем , а - группа порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование отбросить нельзя.

Лемма 3 . Пусть - дважды транзитивная группа подстановок на множестве и пусть - стабилизатор некоторой точки . Тогда все инволюции из центра содержатся в .

Доказательство. Пусть . Допустим, что существует , причем . Так как транзитивна на , то . Ho , поэтому и - тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно, фиксирует только . Теперь подстановка содержит только один цикл длины 1, а так как - инволюция, то нечетен. Но , поэтому существует силовская 2-подгруппа из с и . Если , то , отсюда и , т. е. . Теперь и из теоремы Глаубермана следует, что .

Лемма 4 . Пусть центр группы имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из либо циклическая, либо инвариантна в . Если - группа с циклической подгруппой индекса , то группа непроста.

Доказательство. Пусть - циклическая подгруппа в , для которой , а - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда . Если , то и по лемме С. А. Чунихина группа непроста. Значит, .

Допустим, что порядок нечетен. Если , то . Если , то ввиду леммы 2 и поэтому опять . Рассмотрим представление подстановками смежных классов по . Так как - максимальная в подгруппа, то - примитивная группа подстановок степени . Если - простое число, то либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если - составное число, то, так как - регулярная группа подстановок при этом представлении, - опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что непроста.

Пусть порядок четен. Если , то непроста по лемме 2. Значит, и . Пусть - силовская 2-подгруппа из . Если инвариантна в , то инвариантна и в . Следовательно, - циклическая группа. Но не является силовской в , поэтому содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции из центра имеем , т. е. не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа содержит циклическую подгруппу индекса . Если - 2-разложимая группа четного порядка, то группа непроста.

Лемма 5 . Пусть группа содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если - 2-разложимая группа, то группа разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа удовлетворяет условиям леммы. По индукции, разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если - циклическая, то разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому , - циклическая подгруппа индекса 2, . Пусть , где - силовская 2-подгруппа из , - ее дополнение. Если , то разрешима. Теперь и можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как и , то . Пусть и . Тогда и . По лемме С. А. Чунихина подгруппа максимальна в и . Представление группы подстановками смежных классов по подгруппе дважды транзитивное: если - простое число, если - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что .Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть и - циклические инвариантные подгруппы в и в соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а и - те силовские 2-подгруппы из и , для которых и есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что . Если , то и разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что . Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

Допустим, что . Если , то и . Так как разрешима, то . Если , то и разрешима.

Пусть теперь . Тогда и . Так как не является силовской подгруппой в , то содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе . Обозначим через силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что инвариантна в .

Предположим, что и пусть - инволюция из . В все подгруппы характеристические и инвариантна в , поэтому и . Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда разрешима по индукции. Если , то содержится в и . Значит, . Так как - собственная в подгруппа, то , и . Теперь - дважды транзитивная группа степени на множестве смежных классов по : если - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.

Следовательно, . Если , то и .Так как не содержит подгрупп, инвариантных в , то представление группы подстановками по подгруппе - точное степени 4. Поэтому - группа диэдра порядка 8, и . В этом случае неабелева. Напомним, что и . Таким образом, для силовской 2-подгруппы из имеем: - группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если ).

Предположим, что порядки групп и делятся одновременно на нечетное простое число и пусть и - силовские -подгруппы из и соответственно. Так как инвариантна в , a инвариантна в , то и - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь и , а так как инвариантна в , a разрешима, то по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки и не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа и - силовская 2-подгруппа из , которая содержится в . Так как , то неразрешима и . Подгруппа даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале . Тогда и неабелева. По теореме П. Фонга из группа диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях . Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что . Тогда - элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если абелева, то или группа Янко порядка 175560. Так как неабелева, то и индекс в четен. Группа разрешима, поэтому и или . Ho группа порядка 3, a . Противоречие. Если - диэдральная группа порядка 8, то - нечетное простое число или . Но группы и не допускают нужной факторизации, поэтому - собственная в подгруппа. Теперь или . Если , то - диэдральная группа порядка 16, а так как , то . Противоречие. Если , то и в существует подгруппа порядка или .

Пусть, наконец, . Тогда и . Так как фактор-группа разрешима по индукции, то и . Используя самоцентрализуемость силовской -подгруппы в , нетрудно показать, что не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая -группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть - произвольная минимальная инвариантная в подгруппа. Если , то , а так как - нильпотентная группа, то разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, , в частности, разрешима. Допустим, что . Тогда и удовлетворяет условиям леммы. Поэтому изоморфна подгруппе группы , содержащей для подходящего . Так как есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то и . Отсюда . Подгруппа инвариантна в так как , то разрешима и . Теперь изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Значит, .

Таким образом, если - произвольная инвариантная в подгруппа, то .

Пусть , - инвариантная силовская -подгруппа, - силовская -подгруппа. Через обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае и если - подгруппа индекса 2 в , то - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в есть инвариантная подгруппа четного индекса, то есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно, и в нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что , тогда - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа из является силовской подгруппой в и по результату В. Д. Мазурова группа диэдральная или полудиэдральная. Если диэдральная, то по теореме 16.3 группа изоморфна или подгруппе группы . Так как не допускает требуемой факторизации, то следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит, - полудиэдральная группа. Если - центральная инволюция из , то , поэтому и разрешима. По теореме Мазурова группа изоморфна или . Нетрудно проверить, что и не допускают требуемой факторизации. Значит, .

Пусть - максимальная в подгруппа, содержащая . Тогда, если , то и содержит подгруппу , инвариантную в по лемме Чунихина. В этом случае, и . Противоречие. Следовательно, .

Допустим, что не является силовской 2-подгруппой в . Тогда немаксимальна в , а так как и , то по лемме 2 порядок нечетен. Теперь и содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.

Таким образом, - силовская 2-подгруппа группы . Теперь, и - максимальная в подгруппа. Представление подстановками смежных классов по дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра нечетен. Отсюда следует, что - абелева группа.

Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа. Группа не является -группой, поэтому некоторая силовская в подгруппа циклическая и - простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок , a , то изоморфна , где или . Фактор-группа разрешима, поэтому и изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е. из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3 . Пусть группа - контрпример минимального порядка, - циклическая подгруппа в и , где . Пусть , где - силовская 2-подгруппа , а - ее 2-дополнение в . Если - силовская 2-подгруппа , то и разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь можно считать силовской 2-подгруппой группы .

Предположим, что . Фактор-группа и - 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа нечетного порядка инвариантна в и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и . Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что , получаем: группа изоморфна подгруппе , содержащей для некоторых . Противоречие. Следовательно, в нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.

Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если , то , и так как неразрешима, то диэдральная. Пусть не содержится в .

Предположим, что и пусть , где - инволюция из . Теперь и . Пусть вначале и максимальна в . Тогда - дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе : если - простое число; если - непростое число. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие. Пусть - максимальная в подгруппа, которая содержит . Тогда и . Кроме того, . Пусть - минимальная инвариантная в подгруппа, которая содержится в , существует по лемме Чунихина, а так как , то , а следовательно, и неразрешимы. По индукции изоморфна подгруппе , содержащей , для некоторых . Все инвариантные в подгруппы неразрешимы, поэтому , а так как - минимальная инвариантная в подгруппа, то . B силу леммы 5 , поэтому разрешима. Но тогда и изоморфна группе автоморфизмов группы , т. е. из заключения теоремы. Противоречие.

Значит, , поэтому не содержит инвариантных в подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы подстановками смежных классов по подгруппе точное степени 4. Отсюда группа есть группа диэдра порядка 8.

Таким образом, силовская 2-подгруппа в группе есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой факторизации, то группа - из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп при условии, что - 2-разложимая группа, а в группе существует циклическая подгруппа индекса .

2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы , допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.

В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы при условии, что факторы и содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а -длина равна 1 для любого нечетного . Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы . Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.

Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности, - множество простых делителей порядка , a - циклическая группа порядка .

Лемма 1 . Метациклическая группа порядка для нечетного простого неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка .

Доказательство. Допустим противное и пусть - метациклическая группа порядка , разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка и подгруппы порядка , - нечетное простое число. Ясно, что неабелева. Если содержит нормальную подгруппу порядка с циклической фактор-группой , то содержится в центре и абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно, содержит циклическую подгруппу индекса и подгруппа , порожденная элементами порядка , является элементарной абелевой подгруппой порядка по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь , и подгруппы порядка не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.

При утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.

Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.

Доказательство. Пусть - конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга . Так как , то как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому сверхразрешима.

Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.

Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.

Напомним, что - наибольшая нормальная в -подгруппа, - центр группы , а - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Через обозначается -длина группы .

Лемма 4 . Пусть и - подгруппы конечной группы , обладающие, следующими свойствами:

1) для всех ;

2) , где .

Тогда .

Доказательство. См. лемму 1.

Теорема 1 . Пусть конечная группа , где и - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого нечетного .

Доказательство. По теореме из группа разрешима. Для вычисления -длины воспользуемся индукцией по порядку группы . Вначале рассмотрим случай нечетного . По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе единственная минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга - минимальная нормальная подгруппа. Так как , то - -группа. Если , то - абелева группа порядка, делящего , а так как , то . Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, поэтому - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем что - силовская в подгруппа и .

Рассмотрим теперь 2-длину группы . Ясно, что и - единственная минимальная нормальная в подгруппа, которая является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть и - -холловские подгруппы из и соответственно. По условию теоремы - циклическая нормальная в подгруппа, - циклическая нормальная в подгруппа. Теперь - -холловская в подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать, что . Для любого элемента имеем: , a по лемме 4 либо , либо . Но если , то и централизует , что невозможно. Значит, , а так как в только одна минимальная нормальная подгруппа, то и - 2-группа. Фактор-группа не содержит нормальных неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга имеет нечетный порядок. Но -холловская в подгруппа циклическая, а по лемме 2 фактор-группа сверхразрешима и силовская 2-подгруппа в абелева по лемме 3, Теперь по теореме VI.6.6 и . Теорема доказана.

Лемма 5 . Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса сверхразрешима.

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы. Пусть - конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга имеет индекс . По индукции можно считать, что подгруппа Фраттини единична и в группе только одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F - минимальная нормальная в подгруппа. Пусть - инволюция из . Если , то - нормальная в подгруппа. Если , то и - неединичная нормальная в подгруппа. Итак, в группе имеется нормальная подгруппа простого порядка. По индукции сверхразрешима, значит, сверхразрешима и группа .

Лемма 6 . Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих , сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа , где подгруппы и имеют порядки, делящие , - простое число. Все фактор-группы группы удовлетворяют условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа Фраттини группы единична, а подгруппа Фиттинга - минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа нециклическая.

Если - 2-группа, то и изоморфна подгруппе группы , поэтому - группа порядка 3, а группа имеет порядок 12 и содержит подгруппу порядка 6. Следовательно, сверхразрешима.

Пусть теперь - -группа. Так как сверхразрешима по индукции, то 2-нильпотентна. Но , так как , значит, - 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок 4. Группа неприводимо действует на подгруппе , поэтому циклическая по теореме Машке. С другой стороны, и силовская 2-подгруппа из есть произведение двух подгрупп и порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.

Теорема 2. Если группы и содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима. Поскольку условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы. Поэтому подгруппа Фраттини группы единична, а подгруппа Фиттинга - единственная минимальная нормальная в подгруппа. Ясно, что имеет непростой порядок. Если - 2-группа, то порядка 4 и изоморфна подгруппе группы . Но теперь порядок делит 12, и сверхразрешима по лемме 6.

Следовательно, - -группа порядка . Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, поэтому - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе группы , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем, что - силовская в подгруппа и можно считать, что , где .

Через - обозначим разность . Так как -холловские подгруппы из и из нормальны в и соответственно, то - -холловская в подгруппа. Если , то сверхразрешима по лемме 6. Пусть . Для любого элемента имеем: и по лемме 4 либо , либо . Если , то из минимальности получаем, что и централизует , что невозможно. Значит, и . Но в единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому и делит . Но если , то нормальна в , противоречие. Значит, .

Так как сверхразрешима и - -холловская подгруппа в , то нормальна в и по лемме Фраттини содержит силовскую 2-подгруппу из . Ясно, что . Подгруппа ненормальна в , значит, , но теперь нормальна в и нормальна в , противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3 . Пусть конечная группа , где - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа содержит циклическую подгруппу индекса . Если в нет нормальных секций, изоморфных , то сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга - единственная минимальная нормальная в подгруппа. Если - 2-группа, то содержится в и поэтому порядок равен 4, a изоморфна подгруппе группы . Если силовская 3-подгруппа из неединична, то действует на неприводимо и - нормальная в подгруппа, изоморфная , противоречие. Если , то - 2-группа и сверхразрешима.

Следовательно, - -группа порядка . Так как силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, то - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем, что - силовская в подгруппа и можно считать, что , где , a .

Через обозначим . Как и в теореме 2, легко показать, что -холловская подгруппа из неединична, а . Так как - -холловская в подгруппа и сверхразрешима, то нормальна в и содержит силовскую 2-подгруппу из , которая совпадает с силовской 2-подгруппой в . Подгруппа ненормальна в , поэтому . Но теперь нормальна в , а значит, и в , противоречие. Теорема доказана.

3. Произведение разрешимой и циклической групп

В настоящей заметке доказывается следующая

Теорема 1. Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .

означает произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.

Следствие. Если простая группа является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то .

Несмотря на то, что среди при нечетном нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы допускают указанную факторизацию для каждого .

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В 3.2 доказываются теоремы 1 и 2.

Все обозначения и определения стандартны. Запись означает, что конечная группа является произведением своих подгрупп и .

3.1 Вспомогательные результаты

Пусть - подгруппа группы . Тогда означает наибольшую нормальную в подгруппу, которая содержится в , a - наименьшую нормальную в подгруппу, которая содержит .

Лемма 1. Если и содержит подгруппу , нормальную в , то .

Лемма 2. Пусть и - нормальная в подгруппа. Если , то .

Доказательство. Поскольку , то . Так как , то

Лемма 3 . Если и абелева, то .

Доказательство. Пусть . Ясно, что и . Если , то и . Таким образом, и .

Лемма 4 . Пусть и не делит . Тогда не сопряжен ни с одним элементом из .

Доказательство. Если , то и делит . Но по лемме VI.4.5 из, поэтому . Противоречие.

Лемма 5 . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы и . Если разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Доказательство. . Так как разрешима, то и . По лемме 1.4.5 из группа есть группа автоморфизмов .

Лемма 6 . Пусть , где - собственная подгруппа , а циклическая. Если , то справедливо одно из следующих утверждений:

1) и - нормализатор силовской 2-подгруппы, а ;

2) , а ;

3) , а .

Доказательство. См. теорему 0.8 из.

Лемма 7 . Группа при любом является произведением разрешимой подгруппы и циклической.

Доказательство. Если , то утверждение следует из леммы 6. Пусть , и - силовская -подгруппа в . Известно, что циклическая и в есть циклическая подгруппа порядка . Так как и , то .

Лемма 8 . Если , то является произведением разрешимой и циклической подгрупп.

Доказательство. Известно, что , где - циклическая группа порядка, делящего , и нормализует подгруппу , где - силовская 2-подгруппа в . Так как , где - циклическая группа порядка , то и разрешима.

Лемма 9 . Группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа не допускает указанной факторизации.

Доказательство. Группа имеет порядок и в ней содержится подгруппа индекса 2. Так как дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок и является разрешимой группой. Поэтому является произведением разрешимой подгруппы порядка и циклической подгруппы порядка 13.

Покажем, что не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть - подгруппа порядка . Так как дважды транзитивна на смежных классах по , то центр имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда , где .

Пусть - подгруппа Фиттинга группы , где . Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в имеет порядок , поэтому . Так как разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда делит порядок , а значит и . Но это невозможно, так как . Противоречие.

Следовательно, . Далее , так как - подгруппа нечетного порядка, поэтому . Ясно, что , a и . Силовская 2-подгруппа из является силовской в , значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен порядка . Поэтому . как подгруппа из полудиэдральна при , либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок не делится на 9. Таким образом, . Противоречие. Итак, не содержит подгруппы индекса 13.

Пусть , где - разрешимая подгруппа, а - циклическая. В силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок . Так как в нет - холловской подгруппы, то 3 делит порядок . Но в силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в есть подгруппа порядка . Теперь силовская 13-подгруппа из не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если - простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты и леммы Чунихина вытекает, что и максишльна в . Представление группы перестановками на смежных классах подгруппы будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку . Так как - регулярная и транзитивная группа и , то также транзитивна. Но по теореме 1.6.5, поэтому самоцентрализуема в .

Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из , называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно , а по теореме 3 подгруппа нормальна в и - элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини , поэтому обозначив будем иметь . Так как , то изоморфна секции из . В частности, если циклическая, то абелева и есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

3.2 Доказательства теорем 1 и 2

Доказательство теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть - контрпример минимального порядка. Так как , то и по лемме 3.

Допустим, что не максимальна в и пусть - прямое произведение минимальных нормальных в подгрупп и - наибольшее. Очевидно, содержит все минимальные нормальные в подгруппы. Так как , то и . Поэтому изоморфна подгруппе из .

Допустим, что для некоторого . Тогда и разрешима. Значит, . Пусть - подгруппа в , собственно содержащая . Так как и - нормальная в неединичкая подгруппа, то . Теперь минимальная нормальная в подгруппа из совпадает с и , противоречие. Таким образом, для любого . По индукции изоморфна подгруппе , где - есть прямое произведение, построенное из групп . Очевидно, что , поэтому также есть прямое произведение, построенное из групп . Следовательно, обладает этим же свойством и - подгруппа из . Противоречие.

Итак, максимальна в . Поэтому представление перестановками на множестве смежных классов подгруппы будет точным и примитивным. Так как , то в этом представлении регулярна и дважды транзитивна. Пусть минимальная нормальная в подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что проста и примитивна, т.е. максимальна в . Так как , то разрешима и по лемме 5. Таким образом, изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда неразрешима, и . Так как , то по индукции изоморфна подгруппе из , а или и из заключения теоремы. Следовательно, и по лемме 2.

Пусть порядок четен. Тогда содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа 2-транзитивна и изоморфна - степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если , то из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.

Пусть теперь изоморфна - простое нечетное число. Тогда , где и , где - силовская -подгруппа из и . Из леммы 2 получаем . Так как в все инволюции сопряжены и имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа имеет нечетный порядок, в частности не делит .

Предположим, что существует простое число , делящее и . Если , то по лемме 2.5 порядок делит , а так как , то делит . Если , то делит и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что делит . Так как , то в любом случае . Известно, что , поэтому и . Противоречие с леммой 2.5.

Следовательно, не может быть изоморфна . Случай, когда порядок четен, рассмотрен полностью.

Пусть порядок подгруппы нечетен. Тогда содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из . По теореме О'Нэна подгруппа изоморфна или и нечетное число.

Пусть изоморфна .Тогда и делит . Поэтому содержит силовскую 2-подгруппу из и, используя информацию о подгруппах в , получаем, что делит , a делит или . Теперь делится на , которое делится на или на . Противоречие.

Пусть изоморфна . Так как имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа из содержится в . Если , то и по лемме 3.3 имеем . Если , то нормальна в , так как разрешимая группа с силовской 2-подгруппой имеет 2-длину 1. Итак, в любом случае . Но дважды транзитивна на смежных классах по , поэтому и нормальна в .

Поскольку и . Кроме того, , поэтому - нечетное число, делящее . Так как - циклическая группа нечетного порядка в , то либо делит , либо делит . Поэтому делится на , либо на . Очевидно, при . Случай исключается непосредственно. Следовательно, неизоморфна .

Предположим, что - нечетное и . Так как - стабилизатор точки и разрешима индекса , то , либо . Группа не допускает требуемой факторизации по лемме 9. Поэтому либо , либо . Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 . Пусть - 2-нильпотентная группа и - ее силовская 2-подгруппа, - циклическая. Очевидно, мы можем считать, что . Пусть - максимальная в подгруппа, содержащая . Так как , то . Предположим, что . Тогда и группа непроста. Если порядок нечетен, то по индукции разрешима и , противоречие. Таким образом, , кроме того, максимальна в . Теперь - дважды транзитивна на множестве смежных классов по . Если порядок четен, то группа непроста по лемме 4.1. Пусть порядок нечетен. Тогда - силовская в подгруппа. По теореме Виландта-Кегеля , а по лемме 3.3 и 2-разложимая подгруппа. По теореме 1V.2.6 подгруппа неабелева. Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок нечетен следует, что силовская 2-подгруппа в абелева, то имеем противоречие. Теорема доказана.

Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.

Заключение

В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученные Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие свет на такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость и сверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп с различными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса , содержащих циклические подгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.

Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.

Список использванных источников

1. Монахов В.С. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса .// Математические заметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295

2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195

3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24