Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1) - 2-группа;

2) - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит .

2. , то ----свободна.

3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

4. - разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.

5. - разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

6. - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7. и - простая неабелева группа, то .

8. и , то .

9. для .

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) или , где - 5-группа;

2) , где - 3-группа.

C. - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и - дисперсивная группа порядка , где .

1. конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2. - конечная группа и - простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.

3. - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и циклической силовской -подгруппой , то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка , где и - простые числа, и не делит , нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8. - подгруппа примарного индекса конечной группы , то .

9. - группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10. - группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и - простое число или 9; или и .

1. конечная неразрешимая группа принадлежит , то , где , а и .

2. класс замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если - минимальная нормальная в подгруппа, то либо , либо - простая неабелева группа, и , где .

3. класс разрешим и - простая неабелева группа из , то:

1) , , и или - простое число;

2) , и - простое число;

3) , , ;

4) , или , или соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

A. Пусть - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1) - 2-группа;

2) - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

Здесь - центр группы , - наибольшая нормальная в подгруппа нечетного порядка. Через обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа, но не содержится в . Поэтому не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа называется -свободной, если в ней нет подгрупп и таких, что нормальна в и изоморфна .

2. , то ----свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа индекса 2 в и изоморфна . Так как несверхразрешима, то - несверхразрешимая подгруппа четного в индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы обозначается через .

3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

Если не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , см. , с. 192. Так как несверхразрешима, то индекс в группе нечетен, и - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что элементарная абелева или типа .

4. - разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5. - разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть не 2-группа. По лемме 4 подгруппа нормальна в . Через обозначим -холловскую подгруппу из . Так как имеет четный индекс, то сверхразрешима и . Теперь содержится в центре , а поскольку , то - 2-группа. Группа не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то индекс нечетен и - силовская 2-подгруппа из . Следовательно, содержится в и по лемме 2.2 получаем, что содержится в . Лемма доказана.

6. - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Пусть - разрешимая группа, и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа нормальна в и является элементарной абелевой подгруппой. Так как - не 2-группа, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что - минимальная нормальная в подгруппа порядка , и - показатель 2 по модулю , где делит . Поэтому - минимальная нормальная в подгруппа.

Централизатор содержит и нормален в , поэтому и . Значит самоцентрализуема.

Пусть - -холловская подгруппа в . Тогда - максимальная в подгруппа и совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент в такой, что не содержится в . Так как и содержится в , то и . Пусть . Тогда , а по теореме Машке в существует подгруппа такая, что и допустима относительно , т.е. . Но индекс подгруппы четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и . Теперь централизует всю силовскую подгруппу , противоречие.

Следовательно, содержится в для всех неединичных элементов из и - группа Фробениуса с ядром , см. , с.630.

Пусть - произвольный нечетный делитель порядка группы , и пусть - -холловская подгруппа из . Так как самоцентрализуема, то не 2-нильпотентна и в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и - элементарная абелева подгруппа порядка . Из свойств групп Шмидта следует, что - показатель 2 по модулю . Необходимость доказана.

Обратно, пусть - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная в подгруппа порядка где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка . Пусть - произвольная подгруппа из . Тогда либо , либо , либо , либо - группа Фробениуса с ядром . Если , то индекс нечетен. Если или , то 2-нильпотентна. Пусть - группа Фробениуса и не содержится в . Поскольку не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская подгруппа порядка , а - циклическая -подгруппа. Так как - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что - показатель 2 по модулю , значит и , т.е. . Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда каждая подгруппа из четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть - элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа порядка см. , с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7. и - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в типа то по теореме из . Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу , где и . Если , то - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам и .

Рассмотрим . Если не простое, то содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, - простое. Несверхразрешимыми в являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через обозначим разрешимый радикал группы .

8. и , то .

Пусть - минимальная нормальная в подгруппа. Тогда . Если , то индекс в четен и должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому - простая подгруппа и изоморфна или . Теперь нечетен, и - подгруппа из .

Если , то , поэтому .

Пусть , - простое. Так как - циклическая группа порядка , то либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть и - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм группы централизует , см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе группы есть подгруппа индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в и не принадлежит .

9. для .

Пусть - подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть - центральная инволюция в . Если , то - подгруппа в четного индекса. Так как , то сверхразрешима, поэтому и сверхразрешима.

Пусть не принадлежит . Тогда . Допустим, что несверхразрешима. Так как - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что изоморфна или . Но теперь силовская 2-подгруппа в элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале - разрешимая группа, и . Если - не 2-группа, то легко проверить, что и по лемме 6 группа из пункта 2 теоремы.

Пусть неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа имеет четный индекс в группе . Так как сверхразрешима и , то - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть - централизатор подгруппы в группе .

Для каждого нечетного простого подгруппа имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому для всех нечетных и индекс в группе четен или равен 1. Если , то в есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, и содержится в центре .

Если , то - квазипростая группа и не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа изоморфна или . Теперь по теореме из , с.646 группа изоморфна или .

Пусть - собственная в подгруппа. Тогда имеет нечетный индекс и . Так как - собственная в подгруппа, то из леммы 8 получаем, что изоморфна , a изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) или , где - 5-группа;

2) , где - 3-группа.

C. - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если , то

и делит . Если , то

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь - наибольшая нормальная в -подгруппа; - подгруппа Фиттинга группы ; - циклическая группа порядка .

1. конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2. - конечная группа и - простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.

Если - собственная подгруппа в группе , то удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа -нильпотентна. Теперь группа либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. , с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3. - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как - главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в , с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как бипримарна, а индекс в группе по условию леммы примарен, то группа либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка , где и - простые числа, и не делит , нильпотентна.

Пусть - рассматриваемая группа. Так как сверхразрешима и , то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку не делит , то силовская -подгруппа из содержится в . Теперь лежит в центре . Факторгруппа нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа - циклическая. Поскольку не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из и является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 подгруппа содержит нормальную в группе подгруппу такую, что факторгруппа изоморфна

В факторгруппе по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В и имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть изоморфна . Группа допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: (см. , с.73). Поэтому - 5-группа, изоморфна и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что - неабелева группа. Через обозначим центр . По индукции факторгруппа изоморфна

Где

Поскольку - собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь . Подгруппа характеристична в , a нормальна в . Поэтому нормальна в . Из простоты следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь - абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 20 в группе , то - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и , т.е. лежит в центре .

Если , то группа квазипроста, и или по , c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант - собственная в подгруппа. По индукции

Так как

то . По свойству коммутантов . Следовательно,

Случай рассмотрен полностью.

Пусть изоморфна . Группа допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому - 5-группа, изоморфна , и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что - неабелева группа, и пусть - центр . По индукции фактор-группа изоморфна

Поскольку - собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа характеристична в , а подгруппа нормальна в , поэтому нормальна в . Кроме того,

Следовательно, , где .

Пусть теперь - абелева группа. Так как имеет индекс 40 в группе , то - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и нормальная в подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, и лежит в центре . Теперь

и для инволюции подгруппа нормальна в . Следовательно,

и факторгруппа проста.

Если , то группа квазипроста, и по , с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант - собственная в подгруппа. По индукции , где изоморфна или , а

Так как

то . По свойству коммутантов , значит,

Так как , то подгруппа изоморфна и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай . Группа допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому - 3-группа, изоморфна и - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что - неабелева группа. Через обозначим центр . По индукции факторгруппа изоморфна , где

Поскольку - собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа характеристична, в а подгруппа нормальна в . Поэтому нормальна в . Из простоты следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь - абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где - подгруппа порядка 7, а - 3-группа. Отсюда следует, что нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е. лежит в центре .

Если , то группа квазипроста, и по , с.646. В этом случае .

Значит, коммутант - собственная в подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов . Следовательно,

где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть - разрешимая группа порядка , где - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из сверхразрешима. Предположим, что -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа нормальна в . Если сверхразрешима, то дисперсивна. Если несверхразрешима, то все собственные подгруппы из имеют в группе непримарные индексы. Поэтому - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где - холловская -подгруппа. Так как дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из не нормальна в . Предположим, что . Так как не -нильпотентна, то в имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где - некоторая -группа, и или . Из минимальности по лемме 3 получаем, что несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу можно выбрать так, что - холловская -подгруппа в группе . Если нормальна в , то - нормальная в холловская подгруппа. Так как либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.

Следовательно, не нормальна в и подгруппа не -нильпотентна. Так как дисперсивна, то нормальна в . По лемме 2 в группе имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но циклическая, поэтому - простое число и по лемме 3 подгруппа сверхразрешима и есть -группа. Значит, , где - силовская -подгруппа в , a - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу . Она дисперсивна. Если нормальна в , то дисперсивна. Противоречие. Значит, нормальна в .

Итак, в группе холловские подгруппы имеют строение: сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ; с силовской -подгруппой шмидтовского типа; - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе имеется нормальная подгруппа простого индекса. Пусть . Если бипримарна или примарна, то дисперсивна. Пусть трипримарна. По индукции дисперсивна, а так как в нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если и , то нильпотентна как подгруппа группы Шмидта и нормальна в . Если и , то

также нильпотентна, и нормальна в .

Итак, при в имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть . Если , то

нильпотентна и нормальна в . Пусть . Тогда

Теперь нормальна, в . Если , то и нормальна в . Если , то - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому нильпотентна, и

т.е. нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай . Так как нормальна в , и циклическая, то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь - абелева группа порядка, делящего . и в случае в группе имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе применима индукция, по которой дисперсивна. Так как - подгруппа из центра , то и вся группа дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8. - подгруппа примарного индекса конечной группы , то .

Пусть - силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем

и - -группа.

9. - группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть не является силовской в подгруппой и - силовская в -подгруппа. Тогда - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в подгруппы . По условию сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е. и абелева. Итак, в силовской -подгруппе из все собственные подгруппы абелевы.

Так как не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа в циклическая, а так как , то нормальна в . Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа максимальна в .

Если - абелева, то - элементарная абелева группа порядка и - показатель числа по модулю .

Пусть - неабелева группа. Так как сопряжена , то все собственные в подгруппы абелевы, т.е. - группа Миллера-Морено. Если - неабелева группа, порядка и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа - q-замкнута по лемме 3.2 , поэтому в каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из следует, что имеет простой порядок, а так как не входит в , то

есть группа Шмидта.

10. - группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .

Так как , то группа не -нильпотентна, поэтому в ней существует -замкнутая подгруппа Шмидта . По лемме 3 подгруппа несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если , то - силовская -подгруппа группы , и нормальна в по лемме 3.2 . Поэтому и - -группа.

Пусть . Тогда - циклическая силовская -подгруппа группы . Будем считать, что не -замкнута, т.е. не является силовской в подгруппой. Для максимальной в подгруппы индекс подгруппы , бипримарен, поэтому сверхразрешима. Так как , то нормальна в и

Таким образом, и группа порядка, .

Теперь факторгруппа обладает нормальной силовской -подгруппой порядка . Итак, , где - силовская -подгруппа в . Так как нормальна в , а в нет неединичных нормальных -подгрупп, то и изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы порядка . Поэтому - циклическая группа порядка и делит .

теоремы C. Пусть - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа бипримарна. Пусть , где и - простые числа и . Если - примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что - дисперсивная группа порядка .

Пусть - бипримарная группа. Так как группа не -нильпотентна, то в существует -замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку , то подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в примарный индекс. Если , то - циклическая силовская -подгруппа группы , и группа имеет единичную -длину. Поэтому -замкнута, а значит -замкнута и . Для максимальной подгруппы из подгруппа имеет в непримарный индекс, поэтому сверхразрешима, а поскольку , то нормальна в

Из -замкнутости следует, что нормальна в , поскольку - циклическая подгруппа, то нормальна в . Так как не нормальна в , то , и имеет порядок .

Пусть теперь . Тогда - силовская -подгруппа группы , и группа имеет единичную -длину по лемме 3.2 . Поэтому -замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа из содержится в . Так как , то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что недисперсивна. Теперь - -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть . Так как в имеется группа Шмидта , то ненильпотентна, и не является силовской в . Значит, подгруппа имеет в непримарный индекс, и по условию теоремы сверхразрешима. Так как нормальна в , то нормальна в , поэтому содержится в . Следовательно, и в . Теперь из следует, что силовская -подгруппа в имеет простой порядок.

Итак, в любом случае - дисперсивная группа порядка . Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть - некоторый класс конечных групп. Через обозначается совокупность минимальных не -групп, а через - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит . Ясно, что наследственный класс и . В настоящей заметке доказывается следующая

D. класс замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и - простое число или 9; или и .

Формации и нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс разрешим , а для класса теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа принадлежит , то , где , а и .

Если , то в качестве подгруппы можно выбрать всю группу , а подгруппа будет единичной. Пусть и пусть - собственная в подгруппа, которая является минимальной не -группой. По условию , - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из получаем, что . Из неразрешимости следует, что непримарна и .

2. класс замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если - минимальная нормальная в подгруппа, то либо , либо - простая неабелева группа, и , где .

Пусть минимальная нормальная в подгруппа не принадлежит . Так как , то индекс , - простое число. Теперь неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: Поскольку замкнут относительно прямых произведений, то не принадлежит и индекс в группе должен быть примарным. Поэтому - простая неабелева группа.

Централизатор нормален в и . Поэтому , а так как индекс непримарен, то .

3. класс разрешим и - простая неабелева группа из , то:

1) , , и или - простое число;

2) , и - простое число;

3) , , ;

4) , или , или соответственно.

Здесь и - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. , , - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка , - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа , где , а . Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть - минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа простая, и

Так как не принадлежит , то существует подгруппа , . Теперь , где , и . Так как разрешима, то по лемме 3 подгруппа изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть и простое число или 9. Предположим, что - собственная в подгруппа. Так как - циклическая группа порядка , то делит . Кроме того, индекс в должен быть примарным, а поскольку

,

то при простое число должно делить , что невозможно. Для числа и взаимно просты. При группа удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если , то либо , либо , a .

Пусть и - простое число, где . Так как , то индекс в равен и или .

Пусть , где . Поскольку , то подгруппа имеет в непримарный индекс. Поэтому в этом случае .

Поскольку случай рассмотрен при , где , то теорема доказана полностью.

Заключение