Разрешимость конечных групп

В данной работе рассмотрены различные факты, касающиеся теории конечных групп. В 1 описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам (понятие добавления введено Л.А. Шеметковым). В 2 приведены некоторые факты о нормальных подгруппах конечных -обособленных групп. В 3 приведены обобщение и дополнение теорем В.А. Ведерникова о разрешимости конечных групп представимых в виде произведения подгрупп. В 4 установлена разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетного индекса и показано что среди простых знакопеременных и спорадических групп лишь и являются произведением разрешимых подгрупп.

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Теорема 2.1 Если - -подгруппа, субнормальная в некоторой -холловской подгруппе конечной -обособленной группы , то .

Теорема 2.2 Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы , то для любого подмножества из .

Теорема 2.3 Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы и , то .

Теорема 3.1 Если группа , где подгруппы и 2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то разрешима.

Теорема 3.2 Если группа , где - нильпотентная -подгруппа с модулярными силовскими, а - -разложимая подгруппа и , то разрешима.

Теорема 3.3 Если , где - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а - 2-разложимая подгруппа, то разрешима.

Теорема 4.1 (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени лишь группы и являются, -факторизуемыми: .

(2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл является -факторизуемой: .

Теорема 4.2 Пусть с разрешимыми подгруппами и . Если или , или , где и - простые числа, то разрешима.

Теорема 4.3 Пусть группа , где и - подгруппы нечетных индексов. Если разрешима, а коммутант подгруппы 2-замкнут, то разрешима и .

1. Неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями k несверхразрешимым подгруппам

В работе Л.А. Шеметков ввел понятие добавления (см. также , с.132). Добавлением к подгруппе конечной группы называется такая подгруппа из , что , но для любой собственной подгруппы из . Если, кроме того, , то называется дополнением к подгруппе .

Ф. Холл установил строение конечной группы, у которой все подгруппы дополняемы (, , с.291). Поскольку в каждой конечной группе любая подгруппа обладает добавлением, то аналогичная задача относительно добавлений охватывает класс всех конечных групп. Однако при дополнительных ограничениях, на добавления или на добавляемые подгруппы можно выделять разнообразные классы групп.

В настоящей заметке описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентным и добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых подгрупп. Доказывается

Теорема 1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все, подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна или , где - 5-группа, либо , где - 3-группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С.С. Левищенко . Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в , .

Нам потребуется следующая

Лемма 1. Пусть в конечной группе каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Доказательство. Пусть - произвольная подгруппа конечной группы , и пусть - несверхразрешимая подгруппа из . В группе существует нильпотентное добавление к подгруппе . Поэтому , а . Теперь - нильпотентна, и к можно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть - нормальная в подгруппа, и - несверхразрешимая в подгруппа. Тогда несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа такая, что . Теперь нильпотентна и , т.е. к подгруппе можно найти в нильпотентное добавление.

Доказательство теоремы 1. Пусть - конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская 2-подгруппа, подгруппа - циклическая (, с.434). Поскольку не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа такая, что . С учетом четности порядка из теоремы 2.8 заключаем, что фактор-группа изоморфна или , где - некоторое простое число, а - наибольшая разрешимая нормальная в подгруппа. Кроме того, , a . Здесь и - элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоремы 2.10 получаем, что - простое число.

В случае, когда и - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в циклическое дополнение . Поэтому группа в случае, когда и - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа не удовлетворяет условию теоремы. Пусть . Известно, что - нормальная в подгруппа, a - циклическая группа порядка . Для силовской 2-подгруппы из имеем . Теперь . Поскольку и - простые числа, то в существует подгруппа порядка . Для подгруппа 2-замкнута, и внешний автоморфизм не централизует силовскую 2-подгруппу, поэтому несверхразрешима. Так как в нет нильпотентной подгруппы порядка , то не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в для подгруппы Шмидта, изоморфнойт знакопеременной группе степени 4, должна найтись нильпотентная подгруппа порядка, делящегося на 10. Но такой нильпотентной подгруппы в нет.

Итак, если , то изоморфна , где и - простые числа.

Пусть теперь . Предположим, что не является минимальной нормальной в подгруппой, и пусть - минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в . По индукции, , где - нильпотентна, a изоморфна или . Так как , то - собственная в подгруппа, и для ее прообраза в группе по индукции получаем, что , где или . Подгруппа характеристична в , a нормальна в , поэтому нормальна в . Так как и , то и . Поскольку для несверхразрешимой подгруппы из существует нильпотентная подгруппа такая, что , то будет нильпотентной подгруппой.

Теперь рассмотрим случай, когда - минимальная нормальная в подгруппа. Предположим, что коммутант - собственная в подгруппа. Так как , то . Из минимальности получаем, что и . Так как , где и - простые числа, то в этом случае теорема доказана.

Итак, пусть . Если - собственная подгруппа в своем централизаторе, то из простоты следует, что содержится в центре . Теперь группу изоморфна или по теореме VI.25.7 .

Пусть самоцентрализуема. Поскольку разрешима, то - -группа для некоторого простого . Допустим, что существует простое , делящее порядок , и пусть - силовская -подгруппа из . Если подгруппа сверхразрешима, то нильпотентна и не самоцентрализуема. Если не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа такая, что . Но теперь будет разрешимой как произведение двух нильпотентных - подгрупп, противоречие. Итак, - наибольшее простое число, делящее порядок .

Допустим, что не содержится в . Тогда - собственная в подгруппа и . Так как и - -группа, то - группа, нечетного порядка. Подгруппа имеет порядок и - простое число. Поэтому и теперь , а фактор-группа будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.

Следовательно, содержится в и из самоцентрализуемости и нильпотентности получаем, что - -группа для наибольшего простого , делящего порядок . Из теоремы 2.1 получаем, что , a . Но теперь - подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как ее порядок равен , то нильпотентна, и опять не самоцентрализуема. Противоречие. Теорема доказана полностью.

Доказательство следствия. Пусть - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если - несверхразрешимая в подгруппа, то , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из , т.е. группа удовлетворяет условию теоремы. Поэтому или , где - нильпотентная группа. Если , то в имеется несверхразрешимая подгруппа индекса . Так как этот индекс должен быть примарен, то или , поэтому или , а - либо -группа, либо -группа. Если . то в имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка 24, а ее индекс равен и должен быть примарным, т.е. должна быть -группой. Следствие доказано.

2. О нормальных подгруппах конечных -обособленных групп

Пусть - некоторое множество простых чисел, а - дополнение к во множестве всех простых чисел. Конечная группа называется -обособленной или -разрешимой , если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо -группой. В силу теоремы Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка каждая конечная -обособленная группа либо -разрешима, либо -разрешнма. Поэтому для -обособленной группы справедливы - и -силовские теоремы . Отметим только, что -обособленная группа не обязана быть -обособленной, где . Через обозначается наибольшая нормальная -подгруппа конечной группы , а через - совокупность всех простых делителей порядка .

Теорема 1. Если - -подгруппа, субнормальная в некоторой -холловской подгруппе конечной -обособленной группы , то .

Следствие. Если - конечная -обособленная группа с нильпотентной -холловской подгруппой, то для любой -подгруппы .

Пример группы , где - автоморфизм порядка 5, указывает на то, что субнормальность подгруппы в теореме 1 отбросить нельзя.

Отметим, что следствие теоремы 1 в случае известно (см., например, , с.22).

Теорема 2. Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы , то для любого подмножества из .

Результат теоремы 2 является новым и в случае, когда множество одноэлементно.

Лемма 1. Если - минимальная нормальная подгруппа конечной группы , а - нормальная в неединичная подгруппа, то .

Доказательство. Достаточно вспомнить, что - прямое произведение изоморфных простых групп.

Лемма 2. Если - нормальная -подгруппа конечной группы , то для каждой -подгруппы из .

Доказательство. Ясно, что выполняется включение . Проверим обратное включение.

Если , то . Так как и - -холловские подгруппы -обособленной группы , то для некоторого . Поэтому и , т.е. равенство доказано.

Лемма 3. Если - конечная -обособленная группа и , то .

Доказательство. Пусть - формация -замкнутых групп. Тогда -радикал группы совпадает с . По теореме Л.А. Шеметкова фактор-группа имеет единичный -радикал. Из -обособленности теперь следует, что , т.е. .

Лемма 4. Пусть - -автоморфизм конечной -группы . Если - субнормальная в подгруппа и , то .

Доказательство. См. , с. 19, лемма 2.2

Доказательство теоремы 1. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Проверим, что .

Пусть . Тогда для фактор-группы и ее -подгруппы , субнормальной в -холловской подгруппе , где - -холловская подгруппа в , теорема верна. Поэтому . Поскольку , то

Отметим, что последнее равенство справедливо по лемме 2. Следовательно, .

Итак, . Пусть , a . Ясно, что есть -подгруппа, в которой субнормальна. На действует -группа , причем и . По лемме 4 получаем, что , т.е. . Теперь по лемме 3. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть . Ясно, что , поэтому и . Если , то для фактор-группы теорема верна, а поэтому . Поскольку , то .

Пусть теперь , а . Обозначим через минимальную нормальную в подгруппу. Поскольку - либо -группа, либо -группа, а , то - -группа и . Поэтому - нормальная в -группа. Если , то - -группа по лемме 1, что противоречит тому, что . Следовательно, и .

Предположим, что - собственная в подгруппа. Тогда - -обособленная группа с -холловской подгруппой и . По индукции , а так как нормальна в , то . Таким образом, , что противоречит .

Следовательно, , т.е. содержится в центре . Но тогда и . Для фактор-группы теорема верна, поэтому . Поскольку - центральная подгруппа и не принадлежит , то и . Значит, , что и требовалось доказать.

Напомним, что -нильпотентной называют конечную группу, обладающую нормальной -холловской подгруппой, фактор-группа по которой нильпотентна. Через обозначается наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа конечной группы , а через - подгруппа Фиттинга группы .

Теорема 3. Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы и , то .

Доказательство. Ясно, что , а, значит, . Обратное включение проверим индукцией по порядку группы.

Предположим, что , т.е. , а . Минимальная нормальная в подгруппа содержится в . Далее, - нормальная в -группа. Так как не может быть -группой, то по лемме 1 и . Подгруппа нормальна в , поэтому - -холловская подгруппа -обособленной группы и . Подгруппа характеристична в , поэтому она нормальна в и .

Если - собственная в подгруппа, то по индукции , т.е. , а значит, и . Противоречие.

Следовательно, и содержится в центре . Теперь , где . Если , то , где - -подгруппа. Поэтому нормальна в , что невозможно. Итак, и для фактор-группы теорема верна. Значит, и , где - силовская -подгруппа из . Так как нормальна в , то нормальна в и . Теорема доказана.

Следствие.1. Если - нильпотентная -холловская подгруппа -обособленной группы и , то .

Следствие.2. Если - -холловская подгруппа -обособленной группы , то .

3. К двум теоремам ведерникова

В двух теоремах работы В.А. Ведерникова (см. также ) рассматриваются произведения 2-разложимых групп специальных видов. Первая теорема утверждает, что группа разрешима, если подгруппы и 2-разложимы с дедекиндовыми силовскими 2-подгруппами. Позже этот результат В.А. Ведерникова повторили Скотт и Гросс . Вторая теорема устанавливает разрешимость группы , если дедекиндова, а 2-разложима.

Результаты настоящей заметки обобщают первую теорему и дополняют вторую. Оказалось, что в первой теореме требование дедекиндовости силовских 2-подгрупп можно ослабить до модулярности. Во второй теореме требование дедекиндовости подгруппы можно заменить следующим: - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими.

В дальнейшем используются следующие обозначения и определения: всегда конечная группа порядка ; если - подгруппа группы , то - некоторая силовская -подгруппа из , , - подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами из ; - некоторое множество простых чисел.

Группа называется -разложимой, если она разлагается в прямое произведение своих силовской -подгруппы и силовского -дополнения .

Группа называется -разложимой, если она -разложима для каждого .

-специальной группой называется группа, силовская -подгруппа которой инвариантна .

Понятие модулярной группы можно найти в . Там же доказано, что -группа модулярна тогда и только тогда, когда любые ее две подгруппы перестановочны. Поэтому свойство модулярности -группы наследуется не только ее подгруппами, но и фактор-группами. Очевидно, что дедекиндова группа, т.е. группа, у которой все подгруппы инвариантны, является модулярной.

Лемма 1. Если группа , где и - -специальные подгруппы и , то есть -группа.

Доказательство. Так как (, стр.676), то для каждого , где , , имеем:

Выберем наибольшую -подгруппу из группы , содержащую и перестановочную с для любого . Но , поэтому и . Покажем, что инвариантна в . Допустим противное, т.е. что существует такой элемент , что . Очевидно, мы можем считать принадлежащим для некоторого из . Если - произвольный элемент из группы , то и поэтому , т.е. перестановочна со всеми подгруппами, которые сопряжены с в группе . Значит, и группа , порожденная подгруппами и , перестановочна с для каждого . Теперь есть -группа. Подгруппа есть собственная подгруппа группы и . Получили противоречие с выбором . Следовательно, инвариантна в . Так как , то есть -группа. , поэтому . Но и , значит, есть -группа. Лемма доказана.

Из доказанной леммы вытекает лемма 1 А.В. Романовского .

Теорема 1. Если группа , где подгруппы и 2-разложимы с модулярными силовскими 2-подгруппами, то разрешима.

Доказательство. Допустим, что группа - - - контрпример минимального порядка. Для доказательства теоремы достаточно отыскать в нетривиальную разрешимую инвариантную подгруппу. Действительно, если такая подгруппа, то фактор-группа разрешима по индукции, а значит, разрешима и .

Пусть - собственная подгруппа группы , содержащая один из факторов, например . Применяя модулярное тождество , получаем, что . Так как , то подгруппа разрешима. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы , содержащая один из факторов, разрешима.

Рассмотрим вначале случай, когда и являются -группами, т.е. когда . Пусть - подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами из . Если , то разрешима, поэтому разрешима в , противоречие. Значит, . Фактор-группа нечетного порядка, поэтому . Применяя лемму, получаем, что есть 2-группа, противоречие.

Следовательно, один из факторов, пусть , имеет нечетный порядок. Теперь совпадает с некоторой силовской 2-подгруппой группы , т.е. . Если недедекиндова, то имеет подгруппу индекса 2 (, стр.58). Так как (в противном случае содержит подгруппу индекса 2, что невозможно), то разрешима, противоречие.

Таким образом, дедекиндова. В этом случае, не ссылаясь на работы (,), но используя некоторые их идеи, мы дадим, как нам кажется, более прозрачное доказательство разрешимости группы.

Если гамильтонова, то по следствию 7 из в существует разрешимая инвариантная подгруппа, противоречие. Значит, абелева. Пусть - произвольная инволюция из группы . Так как , где , , , то . Подгруппа абелева, поэтому централизатор и разрешим. Следовательно, в силовская 2-подгруппа абелева и централизатор каждой инволюции разрешим.

Пусть - минимальная инвариантная подгруппа группы . Тогда неразрешима и есть прямое произведение простых изоморфных групп. Очевидно, , поэтому . Так как нечетен, то , и совпадает с одной из силовских 2-подгрупп группы , т.е. . Если , то нормализатор неразрешим, где - силовская 2-подгруппа прямого сомножителя и . Но , поэтому содержит , а значит, разрешим, противоречие. Следовательно, и - простая группа. Так как силовская 2-подгруппа из абелева и централизатор каждой инволюции разрешим, то по теореме из группа , где или и или .

Так как и - группа нечетного порядка, то нечетен, значит . Следовательно, изоморфна некоторой группе автоморфизмов подгруппы . Но имеет подгруппу индекса 1 или 2, причем , где - циклическая группа автоморфизмов поля . Порядок нечетен, поэтому . Теперь, и , где - циклическая группа нечетного порядка и делит число .

Для указанных имеет место равенство . Поэтому и . Значит, абелева. ввиду леммы 1 из .

Предположим, что . Тогда и . Группа не изоморфна , так как в нет дополнения к силовской 2-подгруппе. Если , где или , то и . Ядро представления группы подстановками множества смежных классов по подгруппе содержится в , поэтому равно 1. Значит, изоморфна подгруппе симметрической группы четырех символов, поэтому разрешима. Противоречие.

Следовательно, . Группа имеет порядок и каждый элемент из является автоморфизмом мультипликативной группы порядка , поэтому

где - функция Эйлера. , поэтому

Пусть . Тогда

(, стр.178). Так как и - группа нечетного порядка, то (, стр.213). Теперь из получаем , что противоречит . Значит, не изоморфна .

Пусть , где или и . Тогда и

(, стр.178). Так как - подгруппа нечетного порядка группы , то

(, стр.213). Но и нечетен. Поэтому, если делится на 4, то , а если не делится на 4, то , где - простое число и . Следовательно, . Теперь из , учитывая , получаем

что противоречит . Теорема доказана.

Теорема 2. Если группа , где - нильпотентная -подгруппа с модулярными силовскими, а - -разложимая подгруппа и , то разрешима.

Доказательство. Пусть группа - контрпример минимального порядка. Так как недедекиндова , то некоторая силовская подгруппа из группы недедекиндова.

Допустим, что - силовская подгруппа группы . Тогда обладает нетривиальной -фактор-группой, где (если , то см. , стр.58; если , то , стр.377). Пусть - инвариантная подгруппа индекса в . Так как разрешима, то , где - силовское -дополнение в . Но (, стр.676), поэтому . Теперь и разрешима по индукции. Так как , то разрешима и группа , противоречие.

Следовательно, . Так как есть силовская -подгруппа группы , то . Если , то есть разрешимая подгруппа, значит, разрешима и . Фактор-группа разрешима по индукции, отсюда разрешима и , противоречие. Значит, . Теперь, есть группа порядка взаимно простого с , поэтому . Применяя лемму, заключаем, что есть -группа. разрешима по индукции, значит разрешима и . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3. Если , где - холловская нильпотентная подгруппа с модулярными силовскими, а - 2-разложимая подгруппа, то разрешима.

Доказательство. Пусть - множество простых делителей порядка группы . Так как разрешима, то в существует холловская -подгруппа и холловское -дополнение . Поэтому . Теперь . Но . С другой стороны, для любого в и существуют такие силовские -подгруппы и , что . Так как - холловская подгруппа группы , то и . Поэтому . Следовательно, и . Теперь и из теоремы 2 следует разрешимость группы .

Замечание. На примере простой группы , допускающей факторизацию , где , а , видно, что в теореме 3 нельзя отбросить требование модулярности силовских подгрупп из .

4. Факторизуемые группы с разрешимыми факторами нечетных индексов

Конечная группа называется факторизуемой, если существуют собственные подгруппы и такие, что . Если, кроме того, подгруппы и разрешимы, то назовем -факторизуемой.

Неизвестно, будет ли разрешимой -факторизуемая группа с факторами нечетных индексов. Утвердительный ответ на этот вопрос получен в теореме 3 настоящей заметки в случае, когда коммутант одного из факторов 2-замкнут. Отсюда, в частности, вытекает разрешимость конечной группы, являющейся произведением разрешимой и сверхразрешимой подгрупп нечетных индексов. Лемма 3 и теорема 2 устанавливают разрешимость -факторизуемой группы с "малыми" индексами факторов.

Напомним необходимые обозначения. Пусть - подгруппа конечной группы . Через обозначается наибольшая нормальная в подгруппа, содержащаяся в , а через - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . - подгруппа Фиттинга группы , а и - множество простых делителей порядка и индекса в соответственно. и - симметрическая и знакопеременная группы степени . и - циклическая, элементарная абелева, кватернионная, диэдральная и полудиэдральная группы порядка . Запись всегда означает, что конечная группа является произведением своих подгрупп и .

При изучении строения факторизуемой группы довольно часто возникает ситуация, когда , где - нормальная в простая подгруппа. Имеющаяся информация о знакопеременных и спорадических группах позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 1. (1) Среди знакопеременных и симметрических групп степени лишь группы и являются, -факторизуемыми: .

(2) Среди (двадцати шести) простых спорадических групп и их групп автоморфизмов лишь группа Матьл является -факторизуемой: .

Напомним, что для , а спорадическая группа имеет индекс 1 или 2 в своей группе автоморфизмов.

Доказательству теоремы предпошлем следующее очевидное утверждение.

Лемма 1. Пусть группа удовлетворяет двум условиям:

1) , где и - попарно различные простые числа, не делящие ;

2) в нет бипримарных -холловских подгрупп для каждого .

Тогда не -факторизуема.

Доказательство теоремы 1. (1) Для и канонические разложения порядков и содержат три простых числа в первой степени . Так как и не обладают бипримарными холловскими подгруппами нечетного порядка (, с.177), то для указанных значений выполняются условия леммы 1.

Пусть , и предположим, что с разрешимыми подгруппами и , где - симметрическая или знакопеременная группа множества . Для порядок имеет вид . Так как в нет бипримарных холловских подгрупп, то можно считать, что делит , а делит . Но - холловская подгруппа в - циклическая, что при невозможно. С помощью - холловской подгруппы одного из факторов исключаются случаи и .

Пусть теперь . Зафиксируем для и для . Пусть делит и - орбита подгруппы , содержащая точки цикла длины , а и . Если , то транзитивна и содержит цикл длины , где . Поэтому примитивна, а по теореме 13.9 группа содержит . Противоречие. Значит, и . Поскольку -кратно транзитивна, то и транзитивна на множествах из элементов. По теореме подгруппа -кратно транзитивна.

Если трижды транзитивна, то или по теореме II.3.13 , и поэтому в должна существовать -холловская подгруппа. Противоречие. Значит, .

Для подгруппа не примитивна, поэтому или 1. Случай исключается теоремой 1 , а при порядок делится на и -холловская подгруппа из содержит элемент порядка 21, что в невозможно.

Для порядок равен и . В нет элементов порядка 21, поэтому не делит порядок , и -холловская подгруппа в имеет порядок и нильпотентна. Значит, содержит перестановку с циклами длины 5, 3, 1 и , a . Но тогда примитивна, а 7 не делит . Противоречие.

Для порядок равен и . Ясно, что делит , а в есть элемент порядка 15 с циклами длины 5 и 3. Так как , то и содержит две орбиты: длины 5 и длины 3. Это означает, что изоморфна разрешимой подгруппе из , т.е. изоморфна подгруппе из . По теореме 1 порядок делит . Поэтому , но содержит транспозицию. Противоречие. Случай рассмотрен полностью.

Для порядок равен . Пусть 5 делит порядок . Так как в нет подгрупп порядка и , то и 7 не делят . Если 3 делит порядок , то в есть элемент порядка 15, что для невозможно. Итак, делит и в есть -холловская подгруппа. Противоречие.

не является -факторизуемой (, с 73). Порядок равен , и в нет элементов порядка 10 и 15. Поэтому можно считать, что , где или 4, а или 3. Если , то состоит из четных перестановок и будет -факторизуемой. Противоречие. Значит, , а так как в все элементы порядка 4 сопряжены, то в нет элементов порядка 4 по лемме , и силовская 2-подгруппа в элементарная абелева. Орбита подгруппы имеет длину 5, поэтому транзитивна, но не примитивна. Теперь 3-замкнута и можно считать, что . В этом случае и опять . Противоречие.

Следовательно, при группы и не являются -факторизуемыми. Элементарные вычисления дают требуемые факторизации и .

Для спорадических групп будем пользоваться обозначениями и информацией об их строении из обзора . Условиям леммы 1 удовлетворяют следующие спорадические группы и их группы автоморфизмов: , поэтому они не -факторизуемы.

Пусть и с разрешимыми подгруппами и . Группа имеет порядок , и в точно пять классов максимальных подгрупп: и . Пусть 11 делит . Тогда изоморфна разрешимой подгруппе из , поэтому или . Если , то делит и . Противоречие. Если , то делит , и так как в нет подгрупп индекса 5, то . Другими -факторизациями группа не обладает.

Подобная элементарная проверка показывает, что не -факторизуемы следующие группы и их группы автоморфизмов: , , , , , , , , , .

Итак, из 26 спорадических групп только группа -факторизуема. Теорема 1 доказана.

Лемма 2. Пусть и . Тогда .

Доказательство. Допустим противное, т.е. для простого числа , не делящего индекс в . Так как для некоторых силовских -подгрупп из и , - силовская в , то . По лемме Чунихина . Противоречие.

Лемма 3. Пусть и . Тогда число, а индекс в нечетен. Если разрешима, то силовская 2-подгруппа в - циклическая. В частности, если и разрешимы, то и разрешима.

Доказательство. Предположим, что . Тогда представление перестановками смежных классов по подгруппе будет точным степени , где . По теореме V.21.1 силовская -подгруппа из имеет порядок , a - группа Фробениуса с ядром и циклическим дополнением . Так как разрешима, то и по лемме 2 - -группа. Поэтому и силовская 2-подгруппа из - циклическая. Но нечетен, значит, - силовская в и разрешима.

Если , то к группе применима индукция. Так как , то в силовская 2-подгруппа - циклическая.

Теорема 2. Пусть с разрешимыми подгруппами и . Если или , или , где и - простые числа, то разрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Ясно, что и по лемме 2 есть -группа, a - -группа. Ввиду леммы 2 можно считать, что , и выбрать . Из леммы 3 следует, что , .

Предположим, что - силовская в . Тогда и , т.е. делит . Это возможно лишь при и . Противоречие. Итак - не силовская в . Если не делит порядок , то , поэтому и - циклическая порядка, делящего . В частности, силовская 2-подгруппа в - циклическая. Противоречие. Следовательно, делит порядок .

Допустим, что максимальна в . Так как , то представление перестановками смежных классов по будет точным степени и будет примитивной группой с разрешимой нормальной -подгруппой . По теореме II.3.2 и . Поэтому изоморфна подгруппе из и делит . Так как делит , то делит и . Противоречие.

Следовательно, немаксимальна в . Представление группы перестановками правых смежных классов по подгруппе - точное степени . Поэтому можно считать транзитивной импримитивной группой перестановок. Все области импримитивности имеют одну длину и их штук. Поэтому обладает нормальной подгруппой , оставляющей все области импримитивности неподвижными, и фактор-группа изоморфна подгруппе из . Так как , то делит порядок и в есть перестановка порядка . Но каждая перестановка из разбивается на непересекающиеся циклы длины , поэтому нет в перестановки порядка . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть группа , где и - подгруппы нечетных индексов. Если разрешима, а коммутант подгруппы 2-замкнут, то разрешима и .

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы . В и в существуют силовские 2-подгруппы и такие, что и является силовской в . Так как индексы и нечетны, то является силовской 2-подгругшой в . Заметим, что если разрешима, то по лемме 2.4 (, с.101). Поэтому надо доказать лишь разрешимость группы.

Если - нормальная в неединичная подгруппа, то для все условия теоремы выполняются и разрешима. Поэтому в нет разрешимых нормальных подгрупп и минимальная нормальная в подгруппа есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп.

Если , то , и ясно, что обладает 2-замкнутым коммутантом. Кроме того, и имеет в нечетный индекс. По индукции разрешима, но тогда и разрешима. Противоречие. Поэтому . Аналогично . Следовательно, , а так как и нормальна в , то и изоморфна подгруппе из . Ясно также, что - единственная минимальная нормальная в подгруппа.

Если , то и по лемме Чунихина . Противоречие. Итак . Аналогично . Теперь силовская 2-подгруппа будет изоморфна подгруппе из , поэтому абелева. По теореме Бендера (, с.52) индекс в нечетен и изоморфна одной из следующих групп: , и , группе Янко порядка 175560, группе Ри.

Так как , то . Кроме того, и , поэтому . Следовательно, для некоторых нечетных и имеем: , и .

Пусть , и - проекции подгрупп , и соответственно в . Каждые элементы и единственным образом можно представить в виде , , где , , . Очевидно, что , а так как , то и . Таким образом, . Аналогично для всех . Подгруппа - силовская в , поэтому , где проекция - силовская 2-подгруппа в группе .

Известно, что в и в группе силовская 2-подгруппа не нормализует ни одну примарную подгруппу нечетного порядка >1 (см. работы ). Поэтому изоморфизм с или исключается.

Пусть изоморфна , или группе Ри. В этих группах подгруппы нечетных порядков, нормализуемые силовской 2-подгруппой, сопряжены подгруппами из абелевой холловской подгруппы (, с.213, , с.53). Значит, существуют элементы и такие, что для каждого . Теперь для элементов и и для любых , , , имеем: . Таким образом, . Так как , то , причем нормальна в . По индукции разрешима и по лемме Чунихина . Противоречие. Теорема доказана.

Следствие 1. Конечная группа, являющаяся произведением двух сверхразрешимых подгрупп нечетных индексов, 2-нильпотентна.

Следствие 2. Пусть , где и - подгруппы нечетных индексов. Если разрешима, а в все собственные подгруппы сверхразрешимы, то разрешима.

Доказательство. Первое следствие непосредственно вытекает из теоремы 3. Второе докажем индукцией по . Ясно, что и . Из леммы 4.3 и теоремы 3 следует, что силовская 2-подгруппа из либо группа кватернионов, либо изоморфна группе . В обоих случаях (см. , с.424, 624).

Заключение