Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ
Поиск корней нелинейных САУ с помощью метода продолжения решения по параметру. Математическое описание метода. Программное обеспечение для построения графиков сходимости метода. Требования к программному обеспечению и описание логической структуры.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.04.2011 |
| Размер файла | 365,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
15
Министерство образования РФ
Новосибирский Государственный Технический Университет
Кафедра экономической информатики
Курсовая работа
по дисциплине "Численные методы"
Тема: Исследование метода продолжения решения по параметру для нелинейных САУ
Группа:
Выполнил:
Проверила: Сарычева О.М.
Новосибирск 2011 г.
Содержание
- Введение
- 1. Постановка задачи (математическое описание метода)
- 2. Описание программного обеспечения
- 2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры
- 3. Описание тестовых задач
- 4. Анализ результатов
- Заключение
- Используемая литература
Введение
В данной курсовой работе будет рассмотрен метод продолжения решения по параметру, с помощью которого можно эффективно находить корни нелинейных САУ. В работе исследуется влияние вектора начальных приближений x0 и заданной точности решения еgon на число итераций, время счета и сходимость метода. Так же дается описание программного обеспечения и тексты программ, использованные в данной работе для построения графиков сходимости метода для различных начальных значений вектора x0, графики ошибки.
1. Постановка задачи (математическое описание метода)
Метод продолжения решения по параметру является наиболее универсальным при решении нелинейных САУ. Пусть t - параметр, меняющийся от 0 до1. Введем в рассмотрение некоторую САУ
H (x, t) =0,
такую, что:
1) При t=0 система H (x, 0) =0 имеет решение x0;
2) При t=1 система H (x, 1) =0 имеет решение x*;
3) Вектор-функция H (x, t) непрерывна по t. Тогда меняя t от 0 до 1 и решая для каждого ti систему H (x, ti) =0, например, методом Ньютона, можно найти последовательно x0, x1, x2, …, x*.
Так как x0 при t=0 известно, то всегда можно найти t1, достаточно близкое к t0, при котором будут выполняться условия сходимости, например, метода Ньютона. Аналогично можно обеспечить условия сходимости метода Ньютона и для t2, t3,…, t=1.
Вектор-функция H (x, t) может быть выбрана различными способами. Рассмотрим три распространенных варианта:
1) H (x, t) =F (x) + (t-1) *F (x0) =0
При t=0 получаем: F (x0) - F (x0) =0, т.е. условие 1) выполнено.
При t=1 F (x*) - (1-1) * F (x0) =F (x*) =0. И, наконец, вектор-функция H (x, t) непрерывна по t.
2) H (x, t) =t*F (x).
Условия 1) - 3) соблюдаются и для этой вектор-функции.
Идея метода состоит в следующем. Полагаем t1=?t и решаем систему H (x, t1) =0 при выбранном x0. Получаем xt1. Далее, берем его в качестве начального приближения и решаем при новом t2=t1+?t систему H (x, t2) =0, получаем xt2 и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Нелинейные системы H (x, ti) =0 на каждом шаге по t решаются, например, методом Ньютона, который обычно сходится, так как xti-1 и xti лежат близко друг к другу. Если несмотря на это решение xti не получается за 6-7 итераций, ?t уменьшается и система H (x, ti) =0 решается снова.
Последовательность шагов реализации алгоритма состоит в следующем:
Шаг 1. Формирование системы H (x, t) =0.
Шаг 2. Выбор начального приближения x0, (например, x0=0) и точности решения еgon.
Шаг 3. Полагаем i=1.
Шаг 4. Вычисляем ti=ti-1+?t (обычно вначале берут ?t=0,1)
Шаг 5. Решаем систему H (x, ti) =0. Получаем вектор xti. При этом считаем число итераций m. Если m>10, значит метод Ньютона уже не сойдется, так как xti-1 и xti слишком далеки друг от друга. Тогда надо уменьшить ?t в два раза и вернуться к шагу 4. Будем считать, что xti найдено.
Шаг 6. Проверяем, достигли ли мы заданной точности. Например, используя первый способ,
|| xti-xti-1 || ? еgon.
Если последнее условие не соблюдается, то переходим к шагу 4. Иначе считаем, что x*=xti и расчеты закончены.
2. Описание программного обеспечения
2.1 Общие сведения и требования к ПО и описание логической структуры
ПО состоит из следующих файлов: mpr. m, prog. m, funf. m, funj. m. Программы, реализующие метод, разработаны в среде МаtLab, предназначенной для выполнения математических операций. Программа состоит из программы-функции mpr. m, которая описывает метод, программы с данными - основная программа prog. m и двух подпрограмм-функций funf. m - для нахождения корней системы уравнений; funj. m - для нахождения матрицы Якоби. Рассмотрим их подробнее.
Функциональное назначение
Программа предназначена для решения систем нелинейных алгебраических уравнений в среде МаtLab методом продолжения решения по параметру.
Используемые переменные:
t - время выполнения итерационного процесса;
x - вектор начального приближения к решению;
n - размерность вектора;
m - номер итерационного процесса;
it - счетчик итераций.
Входные параметры:
funf - формальное имя программы, которое дает возможность вычислить корни нелинейных САУ.
funj - формальное имя программы, которое дает возможность вычислить матрицу Якоби.
x0 - начальное приближение собственного вектора;
dt - приращение времени;
edop - заданная допустимая ошибка;
trace - установка режима вывода на экран;
Выходные параметры:
tout - выходное значение времени;
xout - конечное значение x;
dxout - конечное значение вектора ошибки.
Тексты программ:
Mpr. m
function [xout,dxout,tout] =mpr (funf,funj,x0,dt,edop,trace)
t=dt; x=x0; tout=t; xout=x0'; n=size (x0);
dxout=zeros (1,n); m=0; it=0;
f0=feval (funf,x0);
while (t<=1)
ndx=1;
nh=1;
nv= [ndx; nh];
while (max (nv) >edop)
J=feval (funj,x0);
F=feval (funf,x0);
h= (-F) *t;
dx=J\h;
x=x+dx;
m=m+1;
ndx=norm (dx);
nh=norm (h);
nv= [ndx; nh];
if (m > 10)
t=t-dt;
dt=dt/2;
t=t+dt;
x=x0;
m=0;
end;
end;
x0=x;
tout= [tout; t];
xout= [xout; x'];
dxout= [dxout; dx'];
if (m < 4)
dt=dt*2;
end;
t=dt+t;
it=it+1;
end;
disp ('it ='); %количество итераций
disp (it);
disp ('t ='); %время выполнения итерационного процесса
disp (t);
pause;
xout - конечное значение x;
dxout - конечное значение вектора ошибки.
m - номер итерации.
Prog. m
trace=1;
dt=0.1;
x0=0;
edop=0.1;
[xout,dxout,m] = mpr ('funf','funj',x0,dt,edop,trace);
plot (m,xout); %График значений x
pause;
plot (m,dxout); %График ошибки
pause;
Funf. m
function [f] =funf (x)
f= [0.0001*exp (30*x) +x-6];
end
Funj. m
function [j] =funj (x)
j= [30*0.0001*exp (30*x) +1];
end
3. Описание тестовых задач
Исследуем влияние вектора начальных приближений на время счета, число итераций и сходимость метода.
Начальное приближение x0=0, заданная точность edop=0.1, dt=0.1.
График значений x на каждом шаге итерации
График ошибки
Результат выполнения программы: количество итераций=60, время счета=4с.
Начальное приближение x0=0.3, заданная точность edop=0.1, dt=0.1.
График значений x на каждом шаге итерации
График ошибки
Результат выполнения программы: количество итераций=50, время счета=3,5с.
Начальное приближение x0=0.35, заданная точность edop=0.1, dt=0.1
нелинейный корень продолжение решение
График значений x на каждом шаге итерации
График ошибки
Результат выполнения программы: количество итераций=22, время счета=2с.
Исследуем влияние заданной точности решения на время счета, число итераций и сходимость метода.
Начальное приближение x0=0, заданная точность edop=0.05, dt=0.1.
График значений x на каждом шаге итерации
График ошибки
Результат выполнения программы: количество итераций=119, время счета=1,5с.
Начальное приближение x0=0, заданная точность edop=0.03, dt=0.1.
График значений x на каждом шаге итерации
График ошибки
Результат выполнения программы: количество итераций=200, время счета=3с.
Начальное приближение x0=0, заданная точность edop=0.01, dt=0.1.
График значений x на каждом шаге итерации
График ошибки
Результат выполнения программы: количество итераций=600, время счета=5с.
4. Анализ результатов
Проанализировав приведенный выше графический и тестовый материал, описывающий решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом продолжения решения по параметру можно сделать соответствующие выводы:
1. Метод используется для расширения области сходимости метода Ньютона, отличается простотой, не требуют слишком сложных вычислений, что является существенным преимуществом.
2. При задании начального приближения, находящегося далеко от точного решения, метод расходится. Если значение начального приближения выбрано близко к точному решению, то метод сходится, и чем ближе вектор начального приближения к точному решению, тем за меньшее число итераций сходится рассматриваемый метод и тем меньше время счета.
3. Выбор ошибки итерации также влияет на число итераций и время счета. При уменьшении значения допустимой ошибки итерации число итераций увеличивается, что необходимо для получения более точного значения решения системы нелинейных уравнений, время счета также увеличивается.
Заключение
В работе были рассмотрены теоретические и практические характеристики метода продолжения решения по параметру. В ходе проведения тестирования и реализации метода была проведена справедливость теоретических выкладок. Наглядность результатов не оставляет сомнений в верности проведенного анализа.
Получены сведения о зависимости числа итераций, времени счета и сходимости метода от вектора начальных приближений и заданной точности решения.
Метод продолжения решения по параметру является эффективным и надежным для решения различных систем нелинейных алгебраических уравнений. Недостаток метода состоит в необходимости вычислять матрицу Якоби и решать систему нелинейных алгебраических уравнений на каждой итерации, что приводит к ограничению предельной сложности решаемых систем нелинейных алгебраических уравнений.
Используемая литература
1. Кузьмик П.К., Маничев В.Б. Автоматизация функционального проектирования: - М.: Высшая школа, 1986. - Кн.5. Системы автоматизированного проектирования / Под ред. Норенкова И.П.
2. Сарычева О.М. Численные методы: Конспект лекций / Новосиб. гос. техн. ун.-т. - Новосибирск, 1995.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Разработка программного обеспечения для решения нелинейных систем алгебраических уравнений методом дифференцирования по параметру и исследование влияние метода интегрирования на точность получаемого решения. Построение графиков переходных процессов.
курсовая работа [619,3 K], добавлен 26.04.2011Сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Описание программного обеспечения и тестовых задач.
курсовая работа [3,1 M], добавлен 26.02.2011Методы решения нелинейных уравнений: касательных и хорд, результаты их вычислений. Алгоритм и блок схема метода секущих. Исследование характерных примеров для практического сравнения эффективности рассмотренных методов разрешения нелинейных уравнений.
дипломная работа [793,2 K], добавлен 09.04.2015Исследование сущности и сфер применения метода итераций. Нелинейные уравнения. Разработка вычислительный алгоритм метода итераций. Геометрический смысл. Составление программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal.
реферат [183,7 K], добавлен 11.04.2014Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Векторная запись нелинейных систем. Метод Ньютона, его сущность, реализации и модификации. Метод Ньютона с последовательной аппроксимацией матриц. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Пример реализации метода Ньютона в среде MATLAB.
реферат [140,2 K], добавлен 27.03.2012Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Расчеты с помощью метода наименьшего квадрата для определения мольной теплоёмкости. Составление с помощью метода программирования системы нелинейных уравнений. Получение в среде Mathcad уравнения, максимально приближенного к экспериментальным данным.
лабораторная работа [469,6 K], добавлен 17.06.2014Форма для ввода целевой функции и ограничений. Характеристика симплекс-метода. Процесс решения задачи линейного программирования. Математическое описание алгоритма симплекс-метода. Решение задачи ручным способом. Описание схемы алгоритма программы.
контрольная работа [66,3 K], добавлен 06.04.2012Характеристика важнейших типов сходимости итерационных последовательностей. Специфические особенности применения метода Ньютона для определения кратных корней. Алгоритм нахождения корней трансцендентного уравнения с использованием метода секущих.
дипломная работа [964,9 K], добавлен 09.06.2019
