Расчет вероятности событий

Определение вероятность срабатывания устройств при аварии. Расчет математического ожидания, дисперсии и функции распределения по заданному ряду распределения. Построение интервального статистического ряда распределения значений статистических данных.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 12.02.2012
Размер файла 148,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1.

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятности срабатывания устройств при аварии соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,4. Найти вероятность того, что при аварии:

А) сработает хотя бы одно устройство;

Б) сработает не менее двух устройств.

РЕШЕНИЕ:

События:

А1 - сработает устройство №1;

А2 - сработает устройство №2;

А3 - сработает устройство №3.

Тогда вероятности р(А1) = 0,9; р(А2) = 0,7; р(А3) = 0,3 (по условию задачи).

Вероятности противоположных событий (устройство не сработает):

р() = 1 - 0,9 = 0,1; р() = 1 - 0,7 = 0,3; р() = 1 - 0,3 = 0,7.

А) Событие «сработает хотя бы одно устройство» - это сумма событий А1, А2 и А3. Противоположным для него будет событие о том, что ни одно устройство не сработало. Тогда по теореме о вероятности произведения независимых событий получим:

р(р() р() р() = 1 - 0,1*0,3*0,7 = 0,979.

Б) Событие «сработает не менее двух устройств» означает, что только одно устройство (1-е, 2-е или 3-е) останется не работающим. В символьной записи вероятность данного события будет вычисляться так:

р(А) = р() р() р() + р() р() р() + р() р() р() =

= 0,1*0,7*0,3 + 0,9*0,3*0,7 + 0,9*0,7*0,7 = 0,651.

ОТВЕТ: А) 0,979; Б) 0,651.

Задание 2.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

X

-1

0

2

P

0,5

0,3

P3

Найти: 1) Р3;

2) математическое ожидание М(Х);

3) дисперсию D(X);

4) функцию распределения F(x) и построить ее график.

РЕШЕНИЕ:

1) Для закона распределения дискретной случайной величины должно выполняться условие. Тогда Р3 = 1 - (0,5 + 0,3) = 0,2.

2) Математическое ожидание М(Х) ищем по формуле:

.

3) Дисперсию D(X) ищем по формуле:

.

4) Функция распределения F(x) примет вид:

Строим ее график:

Задание 3.

Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х:

Найти: 1) коэффициент а;

2) М(Х);

3).

РЕШЕНИЕ:

Находим функцию плотности распределения:

1) Коэффициент а находим, используя свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей: .

Для нашего случая получим:

Тогда .

и

2) Математическое ожидание М(Х) ищем по формуле:

3) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал воспользуемся формулой:

.

ОТВЕТ: 1) ; 2) ; 3) .

Задание 4.

В результате контроля поступившей на склад продукции получены данные, записанные в виде статистического ряда:

185

225

208

189

207

193

232

215

220

214

227

219

210

208

207

202

220

227

210

213

235

196

191

226

227

211

220

182

202

192

234

215

221

236

220

204

217

216

197

229

216

233

208

207

216

201

217

222

205

190

вероятность интервальный дисперсия распределение

Требуется:

1) составить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;

2) построить полигон и гистограмму относительных частот;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочное среднее квадратичное отклонение ).

РЕШЕНИЕ:

1) Разобьем интервал измерения случайной величины на m частичных интервалов равной длины и подсчитаем частоту попадания значения случайной величины в каждый из интервалов.

Значение m находится по формуле: , где 50 - кол-во элементов в выборке.

- длина интервала.

Начало первого интервала принимаем равным .

Шкалу и группировку статистических данных представим в виде таблицы:

Интервалы

[182; 191]

(191; 200)

(200; 209)

(209; 218)

(218; 227)

(227; 236)

Частота

5

4

11

12

12

6

Относительная частота

0.1

0.08

0.22

0.24

0.24

0.12

Накопленная относительная частота

0.1

0.18

0.4

0.64

0.88

1

Мы построили интервальный статистически ряд распределения значений статистических данных.

2) Эмпирическая функция распределения строится по ряду накопленных частот:

3) Ищем числовые характеристики выборки

Интервалы

Середина интервала (yi)

Частота (mi)

yi*mi

(yi - )*mi

(yi - )2*mi

[182; 191]

186,5

5

932,5

-118,8

2822,688

(191; 200)

195,5

4

782

-59,04

871,4304

(200; 209)

204,5

11

2249,5

-63,36

364,9536

(209; 218)

213,5

12

2562

38,88

125,9712

(218; 227)

225,5

12

2706

182,88

2787,0912

(227; 236)

231,5

6

1281

127,44

2706,8256

Cумма

1257

50

10513

9678,96

Задание 5.

Для изготовления 4-х видов продукции используются 3 вида сырья. Количество сырья каждого из видов, необходимое для изготовления единицы продукции каждого из видов, а также запасы сырья и прибыль от реализации продукции единицы продукции каждого из видов заданы матрицей:

Требуется:

1) Составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой можно найти план выпуска продукции, при котором общая прибыль Z будет наибольшей;

2) Симплексным методом найти оптимальный план выпуска продукции и максимальную величину прибыли;

3) Составить двойственную задачу к исходной и пояснить ее экономическую суть. Используя теорию двойственности установить соответствие между переменными прямой и двойственной задач, найти двойственные оценки;

4) С помощью двойственных оценок исследовать:

А) степень полезности отдельных видов ресурсов в условиях производства;

Б) величину финансовых потерь в расчете на единицу продукции в случае, если предприятие вынуждено будет производить невыгодные ему виды продукции. При необходимости такого производства обосновать цены на готовую продукцию.

РЕШЕНИЕ:

1) Составляем экономико-математическую модель задачи.

Обозначим количество единиц каждого из 4-х видов продукции переменными Х1, Х2, Х3, Х4 соответственно.

Прибыль от реализации продукции выражается формулой:

Z = 6Х1 + 4Х2 + 6Х3 + 8Х4.

По условию задачи переменные должны удовлетворять ограничениям, которые накладываются на расход предприятием каждого из трех видов сырья.

Математическая модель задачи примет вид:

Переводим задачу в канонический вид, введя дополнительные (балансовые) переменные, получим:

2) Решаем полученную задачу линейного программирования симплексным методом.

Составляем первую симплекс-таблицу:

БП

Сб

Ао

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

И

6

4

2

4

0

0

0

Х5

0

30

4

2

2

4

1

0

0

7,5

Х6

0

40

3

4

3

4

0

1

0

13, (3)

Х7

0

80

4

3

5

1

0

0

1

20

Zj - Cj

0

-6

-4

-2

-4

0

0

0

Полученный план является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательные элементы.

Наибольший по модулю отрицательный элемент в индексной строке равен «-6», значит, новая базисная переменная - Х1 (и это разрешающий столбец).

И = Ао, деленные на элементы выбранного столбца.

Min И = min {7,5; 13, (3); 20} = 7,5.

Значит, Х5 выводится из числа базисных переменных (это разрешающая строка).

На пересечении разрешающих столбца и строки - разрешающий элемент.

Преобразуем симплексную таблицу и получаем:

БП

Сб

Ао

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

И

6

4

2

4

0

0

0

Х1

6

7,5

1

0,5

0,5

1

0,25

0

0

15

Х6

0

7,5

0

2,5

1,5

1

-0,75

1

0

3

Х7

0

50

0

1

3

-3

-1

0

1

50

Zj - Cj

36

0

-1

1

2

1,5

0

0

Полученный план является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательные элементы.

Вводим переменную Х2, выводим - Х6.

Преобразуем симплексную таблицу и получаем:

БП

Сб

Ао

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

И

6

4

2

4

0

0

0

Х1

6

7,5

1

0

0

Х2

4

3

0

1

0,6

0,4

-0,3

0,4

0

Х7

0

47

0

0

1

Zj - Cj

57

0

0

1,6

2,4

1,2

0,4

0

Полученный план (7,5; 3; 0; 0; 0; 47) является опорным и оптимальным, так как в индексной строке нет отрицательных элементов, однако, он не является единственным, так как не все свободные переменные оценки отличны от нуля.

Максимальная прибыль составит 57 ден. ед., если будет выпущено 7,5 весовых единиц товара первого вида и 3 весовые единицы товара второго вида. Товары третьего и четвертого вида выпускаться не будет. 47 весовых единиц сырья останутся не расходованными.

3) Составляем модель двойственной задачи.

По теореме о двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то решена и вторая.

Запишем двойственную задачу в каноническом виде.

,

где - новые балансовые переменные.

Соответствие между переменными прямых и двойственных задач имеет вид:

Компоненты оптимального плана двойственной задачи берутся из индексной строки последней симплексной таблицы.

Y* = (1,2; 0,4; 0; 0; 0; 1,6; 2,4).

4) Оценки 1-го и 2-го видов сырья положительные, это значит, что они расходуются полностью. 3-й вид сырья не будет расходован, так как его оценка равна нулю.

Увеличение объема сырья 1-го вида на 1 весовую единицу позволяет увеличить максимальный доход на 1,2 ден. ед., 2-го вида - на 0,4 ден. ед.

Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану нецелесообразно выпускать.

Например, Y6 = 1,6. Это значит, что стоимость ресурсов, расходуемых на производство одной единицы продукции третьего вида, превышает стоимость единицы этой продукции (6 ден. ед.) на 1,6 ден. ед. Аналогично для товара четвертого вида (8 ден. ед.) - на 2,4 ден. ед. То есть, в случае необходимости производства цена товара 3-го вида должна быть не менее 7,6 ден. ед., 4-го вида - не менее 10,4 ден. ед.

Задание 6.

Имеется три поставщика и пять потребителей некоторой продукции. Количество груза, которое может отгрузить поставщик, и стоимость перевозки из одного пункта в другой единицы груза заданы матрицей:

Составить экономико-математическую модель задачи и найти методом потенциалов оптимальный план перевозки продукции (при котором общие транспортные затраты будут наименьшими).

РЕШЕНИЕ:

Строим математическую модель задачи. Переменными Хij обозначим объем продукции, который поставляется от поставщика Аi потребителю Bj, где i=1,2,3, j=1,2,3,4,5.

Сумма количества продукции, которую могут отгрузить все поставщики:

А = 300 + 280 + 320 = 900.

Сумма потребностей потребителей:

В = 140 + 190 + 180 + 170 + 220 = 900.

Полученные величины равны, значит, данная задача закрытого типа и имеет решение без дополнительных преобразований.

Математическая модель задачи имеет вид:

Строим начальную распределительную таблицу по методу северо-западного угла.

Bj

Ai

B1

B2

B3

B4

B5

ai

Ui

A1

2

140

4

160

3

0

2

0

2

0

300

0

A2

6

0

5

30

8

180

4

70

5

0

280

1

A3

5

0

6

0

8

0

6

100

3

220

320

3

bj

140

190

180

170

220

900

Vj

2

4

7

3

0

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U1 = 0) и находя оценки свободных клеток:

U1 + V1 = 2 > V1 = 2

U1 + V2 = 4 > V2 = 4

U2 + V2 = 5 > U2 = 1

U2 + V3 = 8 > V3 = 7

U2 + V4 = 4 > V4 = 3

U3 + V4 = 6 > U3 = 3

U3 + V5 = 3 > V5 = 0

?13 = 3 - (7+0) = -4

?14 = 2 - (3+0) = -1

?15 = 2 - (0+0) = 2

?21 = 6 - (2+1) = 3

?25 = 5 - (0+1) = 4

?31 = 5 - (2+3) = 0

?32 = 6 - (4+3) = -1

?33 = 8 - (7+3) = -2

Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ?13 = -4. Тогда в базис вводим переменную Х13 и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.

Начиная с Х13 проставляем поочередно по часовой стрелке знаки «+» и «-», из двух клеток с «-» выбираем минимальную загрузку и направляем ее в клетки с «+», вычитая из клеток с «-». Проверяем, не ошиблись ли мы в распределении суммарных грузов. Получаем новую таблицу:

Bj

Ai

B1

B2

B3

B4

B5

ai

Ui

A1

2

140

- 4

0

+ 3

160

2

0

2

0

300

0

A2

6

0

+ 5

190

- 8

20

4

70

5

0

280

5

A3

5

0

6

0

8

0

6

100

3

220

320

7

bj

140

190

180

170

220

900

Vj

2

0

3

-1

-4

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U1 = 0) и находя оценки свободных клеток:

U1 + V1 = 2 > V1 = 2

U1 + V3 = 3 > V3 = 3

U2 + V2 = 5 > V2 = 0

U2 + V3 = 8 > U2 = 5

U2 + V4 = 4 > V4 = -1

U3 + V4 = 6 > U3 = 7

U3 + V5 = 3 > V5 = -4

?12 = 4 - (0+0) = 4

?14 = 2 - (-1+0) = 3

?15 = 2 - (-4+0) = 6

?21 = 6 - (2+5) = -1

?25 = 5 - (-4+5) = 4

?31 = 5 - (2+7) = -4

?32 = 6 - (0+7) = -1

?33 = 8 - (3+7) = -2

Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ?31 = -4. Тогда в базис вводим переменную Х31 и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.

Получаем новую таблицу:

Bj

Ai

B1

B2

B3

B4

B5

ai

Ui

A1

- 2

40

4

0

3

160

+ 2

100

2

0

300

0

A2

6

0

5

190

8

20

4

70

5

0

280

5

A3

+ 5

100

6

0

8

0

- 6

0

3

220

320

3

bj

140

190

180

170

220

900

Vj

2

0

3

2

-1

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U1 = 0) и находя оценки свободных клеток:

U1 + V1 = 2 > V1 = 2

U1 + V3 = 3 > V3 = 3

U1 + V4 = 2 > V4 = 2

U2 + V2 = 5 > V2 = 0

U2 + V3 = 8 > U2 = 5

U2 + V4 = 4 > V4 = -1

U3 + V1 = 5 > U3 = 3

U3 + V5 = 3 > V5 = -1

?12 = 4 - (0+0) = 4

?15 = 2 - (-1+0) = 3

?21 = 6 - (2+5) = -1

?25 = 5 - (-1+5) = 1

?32 = 6 - (0+3) = 3

?33 = 8 - (3+3) = 2

?34 = 6 - (2+3) = 1

Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ?21 = -1. Тогда в базис вводим переменную Х31 и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.

Получаем новую таблицу:

Bj

Ai

B1

B2

B3

B4

B5

ai

Ui

A1

2

40

4

0

3

160

2

100

2

0

300

0

A2

+ 6

100

- 5

90

8

20

4

70

5

0

280

4

A3

- 5

0

+ 6

100

8

0

6

0

3

220

320

3

bj

140

190

180

170

220

900

Vj

2

1

3

2

0

Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U1 = 0) и находя оценки свободных клеток:

вероятность интервальный дисперсия распределение

U1 + V1 = 2 > V1 = 2

U1 + V3 = 3 > V3 = 3

U1 + V4 = 2 > V4 = 2

U2 + V1 = 6 > U2 = 4

U2 + V2 = 5 > V2 = 1

U2 + V4 = 4 > V4 = 0

U3 + V2 = 6 > U3 = 3

U3 + V5 = 3 > V5 = 0

?12 = 4 - (0+1) = 3

?15 = 2 - (0+0) = 2

?25 = 5 - (0+4) = 1

?31 = 5 - (2+3) = 0

?33 = 8 - (3+3) = 2

?34 = 6 - (2+4) = 0

Все оценки неотрицательны, значит, найденный план оптимальный.

По нему видно, что

1) Первый поставщик привозит 1-му потребителю 40 ед. товара, 3-му - 60 ед., 4-му - 100 ед.

2) Второй поставщик привозит 1-му потребителю 100 ед. товара, 2-му - 90 ед., 3-му - 20 ед., 4-му - 70 ед.

3) Третий поставщик привозит 2-му потребителю 100 ед. товара, 5-му - 220 ед.

Найдем общую сумму затрат на перевозку:

Z = 40*2 + 160*3 + 100*2 + 100*6 + 90*5 + 20*8 + 70*4 + 100*6 + 220*3 = 3510 ден. ед.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.

    контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014

  • Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.

    контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010

  • Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.

    контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010

  • Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.

    контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010

  • Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.

    контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010

  • Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.

    контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010

  • Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

    контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

  • Определение математического ожидания и среднеквадратического отклонения с целью подбора закона распределения к выборке статистических данных об отказах элементов автомобиля. Нахождения числа событий в заданном интервале; расчет значения критерия Пирсона.

    контрольная работа [336,3 K], добавлен 01.04.2014

  • Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.

    контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010

  • Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.

    контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.