Теория вероятности

Размещено на http://allbest.ru/

Задание №1

Вероятность поражения для каждого из трех стрелков соответственно равны 0,7 ; 0,5; 0,6.Случайная величина X- число поражений цели при условии , что каждый стрелок сделал по одному выстрелу .

Построить многоугольник распределения.

Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду.

Решение.

1) Возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2, 3. Условие задачи можно рассматривать как серию из n=3 независимых испытаний, вероятность события A={попадание в мишень} равна P(A1)=0,7; P(A2)=0,5; P(A3)=0,6; . В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной величины Х можно воспользоваться формулой Бернулли:

0.06

0.29

0.44

0.21

Ряд распределения данной случайной величины Х имеет вид.

2) Вычислим функцию распределения данной случайной величины.

математический медиана дисперсия многоугольник

при x(- ?.0] F(x)=0;

при x(0.1] F(x)=P(X=0)=0.06;

при x(1.2] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)=0.35;

при x(2.3] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)=0.79;

при x(3. + ?] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)=1;

3) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:

0·0.06+1·0.29+2·0.44+3·0.21=1.8

т.е. среднее число удачных испытаний, равно = 1.8

Дисперсия:

0.7

Среднее квадратичное отклонение :

0.84

т.е. среднее квадратическое отклонение числа неисправных приборов, равно 1.46.

Задание №2

Задана плотность распределения f(x) непрерывной СВ :

f(x)= C(x+x?) при x [0;2]

0 при x [0;2];

Построить график f(x).

Найти интегральную функцию F(x) и построить её график.

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.

Найти вероятность попадания СВ в интервал (-1 ; 2).

Решение.

Неизвестный параметр А плотности распределения вероятностей найдём из соотношения:

= 1

Поскольку плотность f(x) при x 0 равна нулю, то:

,

т. к. ;

C = 3/14;

Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид:

f(x)= 3/14(x+x?) при x [0;2]

0 при x [0;2];

График функции f(x):

Вычислим функцию распределения F(x).

При х (?, 0]

При х [0, 2]

При х [2, ?) ;

0 , при х (?, 0];

F(x)= ,при х [0, 2];

1, при х [2, ?);

График функции F(x):

Числовые характеристики исследуемой СВ:

А) Математическое ожидание:

Б) Мода СВ равна 0.

В) Медиану найдём из уравнения: F(x) = 0,5;

3/14(x+x?) = 0,5;

x = 1.1;

Г) Дисперсия СВ :

;

Д) Среднее квадратическое отклонение СВ :

= 1,06;

Вероятность того, что -1 2, вычислим по формуле:

p{-1 < < 2} =

Задание №3

Предполагая, что время, необходимое для ремонта поступившего вагона, распределено по экспоненциальному закону с параметром = 0,25 [час^-1], найти вероятность того, что для ремонта одного вагона понадобится не более шести часов.

Решение.

В данном случае мы имеем дело с непрерывной СВ () - временем ремонта вагона. Наша задача состоит в том, чтобы найти вероятность её попадания в интервал (0;6).

Как известно, вероятность того, что непрерывная случайная величина , которая распределена по показательному закону, попадёт в интервал (a; b), вычисляется по формуле:

P(a < < b) = e^-a - e^-b;

Произведём необходимые вычисления ( = 0,25; a = 0; b = 6):

P(0 < <6) = e^-0,250 - e^-0,256 = 1 - 0,223 0,777;

Т. е. вероятность того, что вагон отремонтируют менее, чем за шесть часов равна 0,777.

Ответ: 0,777.

Задание № 4

При определении расстояния радиолокатором случайные ошибки распределяются по нормальному закону. Какова вероятность того, что ошибка при определении расстояния не превысит 20 м, если известно, что систематических ошибок радиолокатор не допускает, а дисперсия случайных ошибок равна 1370 м² ?

Решение.

Воспользуемся формулой:

Так как = 20(м), = -20 (м), M = 0 (м), = 37 (м), то имеем:

Ответ: 0.4108.

Размещено на Allbest.ru