Определение вероятностей различных событий

Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 31.10.2013
Размер файла 344,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей

по теме: вариант № 1

Екатеринбург 2013г

Контрольная работа № 1

1. Какова вероятность выиграть главный приз в спортлото, угадав 6 номеров из 49?

Решение

Так как угадано 6 номеров, то число элементарных событий, благоприятных событию А, равно 6, т. е. m = 6 и общее число номеров n = 49, то вероятность выиграть главный приз в спортлото равна

Р(А) = = = 0,122

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го - 0.85. Найти вероятность того, что в течении часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего

Решение

Имеем Р(А) = 0,9; Р(В) = 0,8; Р(С) = 0,85

1) Р(АВС) = Р(А)• Р(В)• Р(С) = 0,9• 0,8•0,85 = 0,612.

2) Р = 1 - 0,9 = 0,1 (вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего в течение часа);

Р = 1 - 0,8 = 0,2 (вероятность того, что второй станок потребует внимания рабочего в течение часа);

Р = 1 - 0,85 = 0,15 (вероятность того, что третий станок потребует внимания рабочего в течение часа).

Тогда Р - вероятность того, что одновременно внимания рабочего в течение часа потребуют все 3 станка - определится следующим образом:

Р = Р• Р• Р = 0,1• 0,2•0,15 = 0,003.

Но событием, противоположным событию , является событие, что по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего в течение часа. Следовательно, искомая вероятность найдется по формуле:

Р = 1 - Р = 1 - 0,003 = 0,997.

Ответ: 1) 0,612; 2) 0,997.

3. Достигшему 60-летнего возраста человеку вероятность умереть на 61 году жизни равна при определенных условиях 0.09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3-х человек в возрасте 60 лет 1) все трое будут живы через год, 2) по крайней мере, один из них будет жив

Решение

Имеем схему Бернулли с параметрами р = 0,009 (вероятность того, что человек умрет), n = 3 (количество человек), k (число «успехов», живых людей). Будем использовать формулу Бернулли:

Получаем:

1) = 0,000729 - вероятность того, что из 3-х человек все трое будут живы через год.

2) = 1 - = 1 - = 1 - = 0,246429 - вероятность того, что по крайней мере один человек будет жить (нашли через вероятность противоположного события).

Ответ: 1) 0,000729; 2) 0,246429.

4. Посев производится семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12% от общего количества, зерна второго сорта - 9%, третьего сорта - 14%, четвертого сорта - 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта - 0,08, для пшеницы третьего сорта - 0,04, для четвертого сорта - 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен

Решение

Пусть событие А состоит в том, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. Возможны четыре гипотезы:

Н1 - колос вырастет из зерна первого сорта;

Н2 - колос вырастет из зерна второго сорта;

Н3 - колос вырастет из зерна третьего сорта;

Н4 - колос вырастет из зерна четвертого сорта;

Вероятности:

Р(Н1) = 12% = 0,12; Р(Н2) = 9% = 0,09; Р(Н3) = 14% = 0,14;

Р(Н4) = 65% = 0,65.

Условные вероятности:

Р(А\Н1) = 0,25; Р(А\Н2) = 0,08; Р(А\Н3) = 0,04; Р(А\Н1) = 0.

Тогда вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

Р(А) = (А\Н1) • Р(Н1) + (А\Н2) • Р(Н2) + (А\Н3) • Р(Н3) + (А\Н4) • Р(Н4) =

= 0,25•0,12+ 0,08•0,09 + 0,04•0,14 + 0•0,65 = 0,0428

Ответ: 0,0428.

5. Успешно написали контрольную работу 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0.8, для остальных - 0.4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что студент не решил задачу на экзамены.

Возможны две гипотезы:

Н1 - студент успешно написал контрольную работу;

Н2 - студент не написал контрольную работу.

Вероятности:

Р(Н1) = 30% = 0,3; Р(Н2) = 1 - Р(Н1) = 1-0,3 = 0,7.

Условные вероятности:

Р(А\Н1) = 0,8; Р(А\Н2) = 0,4.

Найдем сначала вероятность события А по формуле полной вероятности:

Р(А) = (А\Н1) • Р(Н1) + (А\Н2) • Р(Н2) = 0,8•0,3 + 0,4•0,7 = 0,52.

Теперь найдем апостериорные вероятности того, что если студент не решил задачу на экзамене, то он не написал контрольную, по формуле Байеса:

Р(Н1\А) = = = 0,4615;

Р(Н2\А) = = = 0,5385.

Таким образом, вероятность того, что студент не написал контрольную работу, равна 0,5385.

Ответ: 0,5385

вероятность дискретный дисперсия случайный

Контрольная работа № 2

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение

Пусть Х - число стандартных изделий среди 20 проверенных. Она распределена по биномиальному закону с параметрами n = 20, p = 0,7. Веорятности найдем по формуле Бернулли:

P(X=k) = Pn(k) = = =

= ,

где k = 0, 1, 2, ……., 20.

Получим ряд распределения

xi

pi

0

0,00000

1

0,00000

2

0,00000

3

0,00000

4

0,00001

5

0,00004

6

0,00022

7

0,00102

8

0,00386

9

0,01201

10

0,03082

11

0,06537

12

0,11440

13

0,16426

14

0,19164

15

0,17886

16

0,13042

17

0,07160

18

0,02785

19

0,00684

20

0,00080

Расчеты произведены правильно, так как сумма = 1

Математическое ожидание:

mx = n•p = 20•0,7 = 14.

Дисперсия:

Dx = n•p•(1-p) = 20•0,7•0,3 = 4,2

Среднеквадратическое отклонение:

= .

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (. Построить графики функций F(X) и f(X).

F(x) =

Решение

1. Найдем плотность вероятности, как производную от функции распределения:

f(x) = F?(x) =

2. Найдем математическое ожидание:

М =

М = = = =

3. Находим дисперсию:

D = •

D=•= = = 2•- + = =

4. Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (:

( = (-1; 0,5)

р() = F(

р() = F( = - 0 = 0,25

5. Построим графики функций F(X) и f(X):

Список литературы

1. Вентцель Е.С.. Теория вероятностей, М., Наука, 1969

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1975

3. Гмурман В.Е.. Теория вероятностей и математическая статистика, М., Высшая школа, 1972

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

    контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015

  • Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.

    контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012

  • Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.

    контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010

  • Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

    контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

  • Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.

    контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013

  • Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.

    контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010

  • Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.

    контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010

  • Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.

    контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010

  • Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.

    контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012

  • Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.

    контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.