Теория вероятностей и математическая статистика
Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.12.2013 |
| Размер файла | 328,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской федерации
Филиал ГОУ ВПО БГУЭП «Байкальский государственный университет экономики и права» в г.Усть-Илимске
Контрольная работа по курсу
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант 7
Выполнил студент гр._______
Семенова Е.С.
Усть-Илимск
2013
Задача 1
Крупная торговая компания занимается оптовой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 регионах, рассылает им по почте каталог товаров. Менеджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из одного региона?
Решение. Введем следующие событие А={компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона}, тогда событие, что компания получит ответ хотя бы из одного региона ему противоположное. Вероятность противоположного события равна и составляет 0,75.
Ответ: 0,75
Задача 2
В лотерее разыгрывается автомобиль стоимостью 5000 д.е., 4 телевизора стоимостью 250 д.е., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 д.е. Всего продается 1000 билетов по 7 д.е. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Найти дисперсию этой случайной величины.
Решение. Пусть дискретная случайная величина Х соответствует чистому выигрышу лотереи. Значения, которые может принимать данная величина:
|
Чистый выигрыш |
Событие лотереи |
|
|
-7 |
Билет не выиграл (проигрыш) |
|
|
5000-7=4993 |
Билет выиграл автомобиль |
|
|
250-7 = 243 |
Билет выиграл телевизор |
|
|
200-7 = 193 |
Билет выиграл видеомагнитофон |
Количество выигрышных билетов составляет 1 + 4 + 5 = 10 шт. Тогда проигрышных билетов 1000 - 10 = 990 шт.
Определим вероятности событий лотереи:
Р(Х = -7) = 990/1000 = 0,99
Р(Х = 4993) = 1/1000 = 0,001
Р(Х = 243) = 4/1000 = 0,004
Р(Х = 193) = 5/1000 = 0,005
Составим ряд распределения:
|
хi |
-7 |
193 |
243 |
4993 |
|
|
pi |
0.99 |
0.005 |
0.004 |
0.001 |
Математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле , то есть вся полученная выручка от продажи билетов идет на приобретение призов.
Для определения дисперсии воспользуемся формулой . Для дискретной случайной величины имеем
Ответ: 25401
Задача 3
Случайная величина Х распределена по закону с плотностью , зависящей от постоянного параметра С:
.
Найти: 1) значение постоянной С; 2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; 4) вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (0, 2); 5) построить графики функций , .
Решение. 1) Для определения постоянной С воспользуемся основным свойством функции плотности вероятности (пределы интегрирования соответствуют спектру случайной величины или ее возможным значениям). В нашем случае имеем
= откуда
2) Используя формулу найдем функцию распределения
Если то
Для
Если то
Таким образом,
3) Математическое ожидание и дисперсию величины Х найдем по формулам (пределы интегрирования также соответствуют спектру случайной величины Х). В нашем случае
4) Вероятность реализации значений случайной величины Х в интервале можно определить по формуле . С использованием функции распределения имеем
5) Графики функций и изображены на рис.1 и рис.2.
Задача 4
Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года на протяжении 20% рабочих дней цена была ниже 20. В 75% случаев цена была выше 25. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены.
Решение. Случайная величина Х - цена некой ценной бумаги распределена по нормальному закону. Для решения задачи используем формулу
,
где , - функция Лапласа.
По условию задачи:
Р(Х<20) = 0.2
Р(Х>25) = 0.75
Вероятность
,
Вероятность
,
Ответ: МХ=45,
Задача 5
Имеются следующие данные о стоимости основных фондов у 50 предприятий (млн. руб.): 9,4; 8; 6,3; 10; 15; 8,2; 7,3; 9,2; 5,8; 8,7; 5,2; 13,2; 8,1; 7,5; 11,8; 14,6; 8,5; 7,8; 10,5; 6; 5,1; 6,8; 8,3; 7,7; 7,9; 9; 10,1; 8; 12; 14; 8,2; 9,8; 13,5; 12,4; 5,5; 7,9; 9,2; 10,8; 12,1; 12,4; 12,9; 12,6; 6,7; 9,7; 8,3; 10,8; 15; 7; 13; 9,5.
Задание:
1. По данным выборки построить точечный вариационный ряд, распределив значения по частотам (ряд 1).
2. От ряда 1 перейти к интервальному ряду (ряд 2).
3. От ряда 2 перейти к точечному ряду, распределив значения по частотам (ряд 3) и относительным частотам в виде доли и в виде процента (ряд 4).
4. Построить: а) гистограмму относительных частот для ряда 2; б) полигон частот для ряда 3; в) кумулятивную кривую для ряда 3.
5. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х, используя ряд 3, и построить ее график.
6.Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию DВ, выборочное среднее квадратическое отклонение , коэффициент вариации V, моду и медиану по точечному ряду 1 и интервальному ряду 2.
7. Указать несмещенные оценки неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии случайной величины Х - производительности труда.
8. В предположении, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, построить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии (принять ).
Решение.
1. Для того чтобы построить точечный вариационный ряд, расположим наблюдаемые значения в порядке их возрастания и относительно каждого укажем частоту , т.е. количество повторений в выборке; при этом сумма всех частот равна объему выборки n.
Ряд 1:
|
xi |
5,1 |
5,2 |
5,5 |
5,8 |
6 |
6,3 |
6,7 |
6,8 |
7 |
7,3 |
7,5 |
7,7 |
7,8 |
7,9 |
|
|
ni |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
xi |
8 |
8,1 |
8,2 |
8,3 |
8,5 |
8,7 |
9 |
9,2 |
9,4 |
9,5 |
9,7 |
9,8 |
10 |
10,1 |
|
|
ni |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
xi |
10,5 |
10,8 |
11,8 |
12 |
12,1 |
12,4 |
12,6 |
12,9 |
13 |
13,2 |
13,5 |
14 |
14,6 |
15 |
|
|
ni |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
Объем выборки , а число различных значений r =42.
2. Так как объем выборки велик и число различных значений исследуемого случайного признака также велико, то перейдем от точечного ряда 1 к интервальному. Наименьшее значение в выборке и наибольшее Обследуемый диапазон [5,1;15,0] разбиваем на число интервалов k, где ?7.Определяем величину шага группирования h:
Ряд 2:
|
5,1.. 6,5 |
6,5.. 7,9 |
7,9.. 9,3 |
9,3..10,7 |
||
|
6 |
9 |
12 |
7 |
||
|
10,7 - 12,1 |
12,1 - 13,5 |
13,5 - 15,0 |
|||
|
5 |
7 |
4 |
3. Перейдем от интервального ряда 2 к точечному. Для этого вычислим середины интервалов и сопоставим им частоты или относительные частоты . Распределение по частотам запишем в виде ряда 3, а распределение по относительным частотам в виде ряда 4:
Ряд 3:
|
5,8 |
7,2 |
8,6 |
10,0 |
11,4 |
12,8 |
14,2 |
||||
|
6 |
9 |
12 |
7 |
5 |
7 |
4 |
Ряд 4:
|
5,8 |
7,2 |
8,6 |
10,0 |
11,4 |
12,8 |
14,2 |
||||
|
0,12 |
0,18 |
0,24 |
0,14 |
0,1 |
0,14 |
0,08 |
, |
|||
|
12 |
18 |
24 |
14 |
10 |
14 |
8 |
4. Гистограмма относительных частот изображена на рисунке 3.
Рисунок 3 - Гистограмма относительных частот
Полигон частот показан на рисунке 4.
Рисунок 4 - Полигон частот
Для построения кумуляты представим ряд 3 по накопленным частотам
|
5,8 |
7,2 |
8,6 |
10,0 |
11,4 |
12,8 |
14,2 |
|||
|
6 |
15 |
27 |
34 |
39 |
46 |
50 |
Тогда кумулятой будет плавная кривая, изображенная на рисунке 5.
Рисунок 5 - Кумулятивная кривая
5. Эмпирическая функция распределения для ряда 3 запишется в виде:
График изображен на рисунке 6.
Рисунок 6 - Функция распределения
6. Для упрощения вычислений расчет характеристик выборки произведем по ряду 3.
Найдем выборочное среднее
Выборочную дисперсию определим по формуле:
.
Выборочное среднее квадратическое отклонение =3,05;
Коэффициент вариации .
Определим моду и медиану. Мода исследуемой случайной величины Х есть такое ее возможное значение, которое наиболее часто встречается в ряду наблюдений. В случае интервального ряда 2 вначале определим интервал, содержащий моду, как наибольшей по частоте или относительной частоте. Вычислим моду по формуле:
Для данной выборки интервал, содержащий моду - [7,9-9,3] (ему соответствует наибольшая частота , равная 12).
Здесь = 7,9; h = 1,4; = 12, = 9, = 7,
тогда
Медиана определяется как средний (серединный) член в упорядоченной последовательности значений случайной величины.
п = 50, поэтому в качестве медианы возьмем любое значение между 25-м и 26-м членами ряда 1: = 9,0.
В случае интервального ряда вначале определим интервал, содержащий медиану, по накопленным частотам: медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину объема выборки. Затем медиану определим по формуле
.
Медианному интервалу заданного эмпирического распределения в виде ряда 2 соответствует накопленная частота 71, отсюда =7,9; h=1,4; = 15; =12. Используя формулу, получим
=
Таким образом, средняя стоимость основных фондов изученных предприятий составила (тыс. руб.), абсолютный разброс значений показателя Х равен =3,05 (тыс. руб.), относительный разброс . Наибольшее число предприятий имеют стоимость основных фондов, равную 8,425 (тыс. руб.), а половина - более 9,07 (тыс. руб.)
Построенные вариационные ряды 1-3, их графические изображения (рис. 3-6) представляют данные в компактном виде. Кроме этого имеется возможность получить сведения о законе распределения вероятностей исследуемой случайной величины. Здесь внешний контур гистограммы (рис. 3), графики кумулятивной кривой (рис. 5) и эмпирической функции распределения (рис. 6) свидетельствуют о близости эмпирического распределения к нормальному закону. К этому же выводу можно прийти, сравнивая значения выборочного среднего, моды, медианы. Так как , и незначительно отличаются друг от друга (9,00), есть основание предполагать, что теоретическое распределение симметрично относительно своего среднего значения, что является еще одним доводом в пользу выбора модели нормального закона.
7. Если считать, что случайная величина Х - стоимость основных фондов - нормально распределена с математическим ожиданием и дисперсией , то несмещенными оценками этих параметров, найденными по выборке объема , будут и . В нашем случае (тыс. руб.), , (тыс. руб.).
8. Интервальные оценки для неизвестных параметров или доверительные интервалы, покрывающие истинные (неизвестные) значения параметров с заданной доверительной вероятностью (надежностью) , найдем по формулам
где находится из таблицы квантилей распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном , и уровне ; - квантили распределения .
Для и имеем и Следовательно,
,
То есть мы на 95% уверены в том, что средняя стоимость основных фондов для предприятий данной отрасли будет от 8,9 до 9,8 (т.руб.).
Для неизвестной дисперсии можно записать
,
Задача 6
Страховая компания изучает вероятность ДТП для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случайная выборка 2000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в ДТП и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, попали в ДТП в прошлом году ()?
Решение. Предположим, что случайная величина Х - количество подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, которые попали в ДТП в прошлом году - биноминально распределена с параметрами
N=2000,
p=15/2000 = 0.0075
X~B(N,p).
Следуя общей схеме проверки гипотез, имеем:
1 этап - формулировка гипотезы:
H0 : p < 0.01, H1 : p ? 0.01
Необходимо проверить основную гипотезу Н0 - вероятность, того что подростки-мотоциклисты, имеющие страховые полисы, попавшие в ДТП в прошлом году, не превосходит 0,01 (1%). Конкурирующая гипотеза определяется как обратное условие.
2 этап - выбор уровня значимости , который равен вероятности отвергнуть Н0, при условии, что она верна (ошибка первого рода).
б=0,05.
Р(U > uкр) = 0,05
3 этап - выбор критерия. Статистика критерия
является случайной величиной, распределенной по стандартному биноминальному закону.
4 этап - выбор критической точки. Так как критическая область или область отклонения гипотезы Н0 определяется неравенством U > uкр, то есть является правосторонней. Тогда uкр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия:
Ф(uкр) = 0,45 uкр = 1,65
5 этап - расчет наблюдаемого или экспериментального значения критерия. В статистику критерия подставляем данные выборки
Так как , то гипотеза принимается, т.е. следует считать, что количество подростков-мотоциклистов, попавших в ДТП меньше 1% из всех имеющих страховые полисы.
Задача 7
При уровне установить значимость влияния фактора по следующим данным
|
Номер испытания |
Уровни фактора а1 а2 а3 а4 |
|
|
1 2 3 4 |
51 52 56 55 59 58 56 50 53 66 58 56 59 69 58 57 |
Дать экономическую интерпретацию фактору , его уровнем , а также результату .
Решение.
|
Номер испытания |
Уровни фактора а1 а2 а3 а4 |
|
|
1 2 3 4 |
51 52 56 55 59 58 56 50 53 66 58 56 59 69 58 57 |
|
|
среднее |
55,5 61,25 57 54,5 |
SSобщ ,
SSА =
SSR )2 = SSобщ SSА.
;
;
;
.
статистическая математическая задача дисперсия
Проверка значимости влияния фактора А соответствует проверке основной гипотезы : , где бi - средний эффект -го уровня фактора А, ,4 т. е. гипотеза состоит в том, что все уровни фактора, исследуемые в эксперименте, не оказывают существенного влияния. Проверку этой гипотезы осуществляем на 5% уровне значимости. Расчеты сведем в таблицу дисперсионного анализа:
Однофакторный дисперсионный анализ
|
Источник изменчивости |
Число степеней свободы |
Сумма квадратов |
Средний квадрат |
Критерий Фишера |
Критическая точка |
Гипотеза |
|
|
Фактор А |
3 |
106.19 |
35.4 |
3 |
: |
||
|
Ошибка |
12 |
262.75 |
21.9 |
- |
|||
|
Итог |
15 |
368.94 |
- |
- |
Так как (3<3,49), гипотезу на уровне значимости 0,05 следует принять, т. е. отклонить значимость фактор А.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013
