Размещено на http://allbest.ru/

Размещено на http://allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Хабаровск 2012

Содержание

• Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события
• Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события
• Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли
• Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,
• Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности
• Задание № 52. Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии
• Список литературы
• Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события
• Из колоды карт в 36 листов вытягивают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт 4 дамы и 2 короля.
• Решение. Вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля, найдем по формуле:
• ,
• где - число благоприятных исходов события А; - число всевозможных событий, образующих полную группу.

Число всевозможных исходов выбора 6-ти карт из 36 листов равно числу сочетаний из 36 карт по 6 (все выборки отличаются только составом):

Так как число карт 36, то она содержит по 4 карты каждого достоинства.

• Число благоприятных исходов выбора 4-х дам из 4-х возможных равно единице (), а число благоприятных исходов выбора 2-х королей из 4-х возможных равно числу сочетаний из 4-х карт по 2:
• Следовательно, вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля равна:
• .
• Ответ: .
• Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события
• В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, вероятность допустить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира равна 0,05,для ученика кассира - 0,25. Найти вероятность того, что в платежной ведомости будет обнаружена ошибка.

Решение

• Формула полной вероятности:
• ,
• где , ,…, - вероятности событий , , …,, которые образуют полную группу несовместных событий и вероятность события может наступить лишь при условии появления одного из них.
• Пусть событие А = {в платежной ведомости будет обнаружена ошибка}.

Введем систему гипотез:

• H₁ = {ошибка будет допущена кассиром};
• H₂ = {ошибка будет допущена учеником кассира}.
• Так как в банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, то
• ; .

Согласно условию задачи условные вероятности равны

• ;
• Применим формулу полной вероятности:

• Ответ: .

Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли

математический дисперсия регрессия уравнение

На полке магазина располагаются 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизится, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса: а) на 8 продуктов, б) хотя бы на один продукт.

Решение

Формула Бернулли :

,

Где - вероятность появления события в каждом из испытаний;

- вероятность не появления события в каждом из испытаний.

а) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса на 8 продуктов.

б) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт. Событие состоит в том, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса или на 1 продукт, или на 2 продукта,…, или на 10 продуктов, т.е. величина количества продуктов на которые произойдет снижение спроса, может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 или .



Ответ: а) 0,233474441; б) 0,9999940951.

Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,

В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики , , .

Решение

Очевидно, что число стандартных деталей среди отобранных 3-х деталей будет 1, 2, 3.

Рассмотрим все возможные случаи выбора стандартных деталей среди отобранных 3-х из партии в 14 деталей, где имеются 2 нестандартные.

Число всевозможных способов выбора 3-х деталей из 14 равно числу сочетаний из 14 деталей по 3 (все выборки отличаются только составом):

- одна стандартная деталь среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора одной детали из 12-ти стандартных и 2-х деталей из 2-х нестандартных деталей:

Вероятность выбора одной стандартной детали среди трех отобранных найдем по формуле классической вероятности:

- две стандартные детали среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора двух деталей из 12-ти стандартных и одной детали из 2-х нестандартных деталей:

- три стандартные детали среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора трех деталей из 12-ти стандартных:

Запишем ряд распределения числа стандартных деталей в выборке:

	1	2	3

Проверка:

Составим функцию распределения случайной величины и построим ее график.

, если ;

если ,

;

если ,

;

если ,

Функция распределения случайной величины определяется следующим образом:

Построим график функции распределения случайной величины.



Формула для нахождения математического ожидания:

.

Формула для нахождения дисперсии:

, где

Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется равенством: .

Ответ: ; ; .

Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности

В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала (мм) даны в табл. 8. На уровне значимости проверить гипотезу, что отклонения диаметров от номинала можно описать нормальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.

Таблица 8

Номер интервала	Границы отклонений	Число валиков
1	-30...-25	3
2	-25...-20	8
3	-20...-15	15
4	-15...-10	35
5	-10...-5	40
6	-5... 0	60
7	0-5	55
8	5-10	30
9	10-15	25
10	15-20	14
11	20-25	8
12	25-30	7

Решение

1. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты среднее арифметическое концов интервала.

; ; ; и т.д.

Получили распределение:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	-27,5	-22,5	-17,5	-12,5	-7,5	-2,5	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
	3	8	15	35	40	60	55	30	25	14	8	7

2. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее.

Результаты вычислений представим в таблице.

№ п/п
1	-27,5	3	-82,5	2268,75
2	-22,5	8	-180	4050
3	-17,5	15	-262,5	4593,75
4	-12,5	35	-437,5	5468,75
5	-7,5	40	-300	2250
6	-2,5	60	-150	375
7	2,5	55	137,5	343,75
8	7,5	30	225	1687,5
9	12,5	25	312,5	3906,25
10	17,5	14	245	4287,5
11	22,5	8	180	4050
12	27,5	7	192,5	5293,75
Итого		300	-120	38575

Выборочную среднюю вычислим по формуле:

.



Квадратичное отклонение вычислим по формуле:

.

3. Вычислим концы интервалов по формуле:

,

где , .

Наименьшее значение полагаем равным , наибольшее значение полагаем равным .

4. Вычислим теоретические частоты по формуле:

,

где - вероятности попадания в интервалы .

- интегральная функция Лапласа: ; .

Заполним таблицу:

Номер интервала	Границы интервала	Границы интервала
1	2	3	4	5	6	7	8
1	-30	-25		-2,17	-0,5000	-0,4850	4,5
2	-25	-20	-2,17	-1,73	-0,4850	-0,4582	8,04
3	-20	-15	-1,73	-1,29	-0,4582	-0,4015	17,01
4	-15	-10	-1,29	-0,85	-0,4015	-0,3023	29,76
5	-10	-5	-0,85	-0,41	-0,3023	-0,1591	42,96
6	-5	0	-0,41	0,04	-0,1591	0,0160	52,53
7	0	5	0,04	0,48	0,0160	0,1844	50,52
8	5	10	0,48	0,92	0,1844	0,3212	41,04
9	10	15	0,92	1,36	0,3212	0,4131	27,57
10	15	20	1,36	1,80	0,4131	0,4641	15,3
11	20	25	1,80	2,24	0,4641	0,4875	7,02
12	25	30	2,24		0,4875	0,5000	3,75
Итого							300

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу.

Номер интервала
1	2	3	4	5	6
1	3	4,5	0,5	9	2
2	8	8,04	0,0002	64	7,9602
3	15	17,01	0,2375	225	13,2275
4	35	29,76	0,9226	1225	41,1626
5	40	42,96	0,2039	1600	37,2439
6	60	52,53	1,0623	3600	68,5323
7	55	50,52	0,3973	3025	59,8773
8	30	41,04	2,9698	900	21,9298
9	25	27,57	0,2396	625	22,6696
10	14	15,3	0,1105	196	12,8105
11	8	7,02	0,1368	64	9,1168
12	7	3,75	2,8167	49	13,0667
	300	300	9,5972		309,5972

Графы 5 и 6 служат для контроля вычислений:

Получили значение , следовательно, вычисления произведены правильно.

б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости и числу степеней свободы ( - число интервалов) находим критическую точку .

Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности партии валиков принимаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Это означает, что данные наблюдений отклонения диаметров валиков от номинала согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задание № 52. Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии

Дана выборка двумерной случайной величины .

Требуется: a) Построить корреляционное поле.

b) Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

c) Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии.

Таблица

2,1	20,1
2,5	18,2
2,9	17,6
3,3	17
3,7	15,1
4,1	14,5
4,5	11,2
4,9	10,6
5,3	10,6
5,7	10
6,1	9,4
6,5	9,5
6,9	8,9
7,3	8,3
7,7	6,2
8,1	5,6
8,5	5
8,9	5,3
9,3	4,7
9,7	4,1

Решение

a) Построим корреляционное поле, для этого на плоскости отмечаем точки с координатами .

Рис. 1 Корреляционное поле

b) Для нахождения выборочного коэффициента корреляции применим формулу:

,

где и - выборочные средние; и выборочные средние квадратические отклонения.

и ;

и ;

и .

Найдем выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения.

	2,1	20,1	4,41	404,01	42,21
	2,5	18,2	6,25	331,24	45,5
	2,9	17,6	8,41	309,76	51,04
	3,3	17	10,89	289	56,1
	3,7	15,1	13,69	228,01	55,87
	4,1	14,5	16,81	210,25	59,45
	4,5	11,2	20,25	125,44	50,4
	4,9	10,6	24,01	112,36	51,94
	5,3	10,6	28,09	112,36	56,18
	5,7	10	32,49	100	57
	6,1	9,4	37,21	88,36	57,34
	6,5	9,5	42,25	90,25	61,75
	6,9	8,9	47,61	79,21	61,41
	7,3	8,3	53,29	68,89	60,59
	7,7	6,2	59,29	38,44	47,74
	8,1	5,6	65,61	31,36	45,36
	8,5	5	72,25	25	42,5
	8,9	5,3	79,21	28,09	47,17
	9,3	4,7	86,49	22,09	43,71
	9,7	4,1	94,09	16,81	39,77
	118	211,9	802,6	2710,93	1033,03

;

;

; ;

; ;

.

Выборочный коэффициент корреляции:

.

Выборочный коэффициент корреляции очень близок к единице, связь между и по таблице Чеддока очень высокая. Знак минус указывает на обратную связь между и .

c) Составим уравнение регрессии на и построим линию регрессии:

,

Где , .

;

Уравнение регрессии на имеет вид:

На корреляционном поле построим линию регрессии.

Ответ: ; .

Список литературы

1. Математика (теория вероятностей и математическая статистика): методические указания и задания к выполнению контрольной работы № 2 для студентов экономических специальностей заочного ускоренного факультета / сост. Т.М. Попова, М.В. Червякова, Т.Н. Ряйсянен, Т.Г. Уленгова, Е.А. Битехтина, И.К. Искандеров.- Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010.-44 с.

Размещено на Allbest.ru