Решение уравнений, неравенств, систем с параметром
Основные определения. Алгоритм решения. Неравенства с параметрами. Основные определения. Алгоритм решения. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.12.2002 |
| Размер файла | 124,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
26
КУРСОВАЯ РАБОТА
На тему:
Решение уравнений, неравенств, систем с параметром.
(алгебра и начала анализа)
Исполнитель: Бугров С К.
Руководитель: Рокова Н.Б.
Москва, 2003
Оглавление
- Введение 3
- 1. Основные определения 4
- 2. Алгоритм решения. 6
- II. Неравенства с параметрами. 18
- 1. Основные определения 18
- 2. Алгоритм решения. 19
- Литература 26
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
(a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x), (1)
где a, b, c, …, , x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А - множество всех допустимых значений а, B - множество всех допустимых значений b, и т.д., Х - множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные - буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.
Записываем ответ.
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
или
График функции - две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если а , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем
и .
Если а , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
Ответ:
Если а (-;-1](1;+), то ;
Если а , то , ;
Если а , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .
В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции - это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную
Ответ: .
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
и
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .
Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы
В этом случае уравнение
имеет один корень, откуда находим :
Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а (-;-3] (;+).
IV. Решить уравнение
Решение.
Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде
Это уравнение равносильно системе
Уравнение перепишем в виде
. (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).
При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям
Пусть , тогда . Система примет вид
Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид
Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .
Ответ:
если а (-;3), то решений нет;
если а=3, то х [3;5);
если a (3;7), то ;
если a [7;), то решений нет.
V. Решить уравнение
, где а - параметр. (5)
Решение.
При любом а :
Если , то ;
если , то .
Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .
По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких - не имеет решения.
Ответ:
если , то
если , то ;
если , то решений нет;
если , то , .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы
(1)
и
(2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему
(3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
(4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом
Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).
Для решения этого рассмотрим уравнение
,
которое удобнее переписать в виде
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
если , то система (3) имеет три решения;
если , то система (3) имеет четыре решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) - это четыре. И это имеет место, когда .
Ответ:
II. Неравенства с параметрами.
1. Основные определения
Неравенство
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)
где a, b, c, …, - параметры, а x - действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
(a, b, c, …, , x) и
(a, b, c, …, , x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если
(a, b, c, …, , x) и
(a, b, c, …, , x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
(a, b, c, …, , x0)>(a, b, c, …, , x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) - значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)
(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
2. Алгоритм решения.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства -
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы
а значения и находятся из системы
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим область допустимых значений -
Построим график функции в системе координат хОу.
при неравенство решений не имеет.
при для решение х удовлетворяет соотношению , где
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где , причем при решения ; при решения .
IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к. то
Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
|
|
точка |
неравенство: |
вывод |
|
|
1 |
|
|
- |
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
3 |
|
|
- |
|
|
4 |
|
|
+ |
|
|
5 |
|
|
- |
|
|
6 |
|
|
+ |
|
|
7 |
|
|
- |
|
|
8 |
|
|
+ |
|
|
9 |
|
|
- |
5. Найдем точки пересечения графиков
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.
Ответ.
при
при
при
при решений нет
при
Литература
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико-математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.
Подобные документы
Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.
контрольная работа [209,4 K], добавлен 15.12.2011Теоретические сведения о числовых неравенствах и их свойствах. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные и рациональные неравенства. Особенности решения различных неравенств, содержащих знак модуля. Нестандартные методы решения неравенств.
реферат [2,0 M], добавлен 18.01.2011Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 01.02.2015Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.
реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009Метод интервалов как один из важнейших методов математической деятельности, связанный с вопросами нахождения нулей функции или промежутков ее знак постоянства для неравенства. Алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.
курсовая работа [630,7 K], добавлен 12.04.2015Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Цели проведения урока по математике на тему "Решение неравенств с одним неизвестным", особенности разработки плана и определение формы его проведения. Алгоритм решения неравенства по вариантам, проведение проверки в парах. Подведение итогов урока.
презентация [63,5 K], добавлен 25.06.2011Линейные уравнения с параметрами. Методы и способы решения систем с неизвестным параметром (подстановка, метод сложения уравнений и графический). Выявление алгоритма действий. Поиск значения параметров, при которых выражение определяет корень уравнения.
контрольная работа [526,5 K], добавлен 17.02.2014Применение метода интервалов для решения неравенств. Формула перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному. Формула решения тригонометрического уравнения. Нахождение множества всех первообразных функции f(x) на области определения.
контрольная работа [11,3 K], добавлен 03.06.2010
