Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Калининский район

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Среднее общеобразовательное учреждение

«Лицей №126»

Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Работу выполнила:

Ученица 10 класса «А»

Орлова Ирина

Научный руководитель -

Федуро Валентина Ивановна,

Учитель математике

Высшей категории.

Новосибирск 2011г.



Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

1. Определения.

2. Алгоритм решения.

3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

1. Определения.

2. Алгоритм решения.

3. Примеры.

Литература:



I. Введение

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств, умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию.

Теоретическое изучение физических процессов, решение экономических задач, и геометрических закономерностей часто приводит к различным уравнениям или неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью их решения является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров. Таким образом, задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи.

Цель моей работы состоит в том, чтобы познакомится с некоторыми типами задач с параметрами (уравнения, неравенства, задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена, коэффициенты которого зависят от параметра, и т. д.). И познакомиться с новыми, незнакомыми для себя методами решений уравнений, неравенств и т.д. Я считаю, что полезно владеть различными методами решения подобных задач - аналитическими и графическими, уметь переводить словесное условие задачи в аналитическую форму - сводить ее к решению уравнений, неравенств.



I?. Уравнения с параметрами

1. Основные определения

Пусть дано уравнение с двумя переменными: F(x, a).

Задача о решении уравнения может быть сформулирована одним из двух следующих способов.

1. Найти все пары чисел (x , a), удовлетворяющие этому уравнению. В этом случае выражение (1) называется уравнением с двумя переменными x и a, в котором обе переменные a и x играют одинаковую роль.

2. Для каждого значения переменной a из некоторого числового множества A решить уравнение относительно x. Тогда выражение (1) называют уравнением с переменной x и параметром, а множество A - областью изменения параметра a. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные - буквами x, y,z.

При отсутствии ограничений под областью изменения параметра подразумевается множество всех действительных чисел. Если параметру, содержащемуся в уравнении , придать некоторое конкретное числовое значение, то возможен один из случаев:

а) получится уравнение с одной неизвестной x;

б) получится выражение, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором - недопустимым.

Решить уравнение с параметром - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех удовлетворяющих уравнению значений неизвестного.

Выражение (1) - это, по существу, краткая запись семейства уравнений, получающихся из него при заданных значениях параметра . Поэтому решить уравнение (1) (с переменной x и параметром a) - это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получаемых из (1) при всех допустимых значениях параметра a.

При некоторых множествах из допустимых значений параметра a могут получаться одни семейства уравнений, при иных - другие. Поэтому для облегчения решения удобно нанести на числовую прямую значения параметра, называемые контрольными, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Например, уравнение из квадратного становится линейным.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. Алгоритм решения

· Алгоритм решения уравнения с параметром аналитически.

1. Определяют ограничения, налагаемые на значения неизвестного x и параметра a, вытекающие из того, что функции и арифметические операции в F (x, a) имеют смысл.

2. Определяют формальные решения (1), записываемые без учета ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось Oa. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение.

3. Исключают те значения параметра, при которых формальные решения не удовлетворяют полученным ограничениям.

4. На числовую ось Oa добавляют значения параметра, найденные в п.3. Для каждого из промежутков на оси Oa записывают все полученные решения в зависимости от значений параметра a. (В случае достаточно простых уравнений п.4 можно опустить).

5. Выписывают ответ, т.е. записывают решения в зависимости от значений параметра a.

Замечание. 1) Наличие параметра в задаче предполагает специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ для любого допустимого значения параметра. Недопустимые значения также указываются в ответе, и считается, что при этих значениях параметра задача не имеет решения. При записи ответа обычно значения параметра перечисляются в порядке возрастания от ?? до +?, но иногда для компактности ответа объединяют промежутки для параметра, на которых формулы решения совпадают.

2) В случае ветвления решения удобно использовать числовую прямую , на которую наносятся контрольные значения параметра, а на промежутках, на которые эти значения разбили прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем не потерять найденные ответы и четко указать значения параметра, которым они соответствуют.

Продемонстрирую сказанное выше на примере.

Пример1.

Для каждого значения параметра решить уравнение (a-1)(a+2) x=a3 +2a2 .

Решение.

Контрольными являются значения параметра a, при которых (a-1)(a+2)=0 , т.е. a=1 и a=?2.

Если (a-1)(a+2)?0, то, поделив обе части уравнения на выражение (a-1)(a+2), получим x= ==.

При a=1 уравнение не имеет решений, т.к. левая часть равна нулю, а правая отлична от нуля.

При a=-2 уравнению удовлетворяет любое x?R, так как уравнение имеет вид 0? x=0.

Ответ. Если a=1, то решений нет; если a=?2, то x? R ; если a?1, a??2, то x=

· Алгоритм решения уравнения с параметром графически.

1. Находим область определения уравнения.

2. Выражаем a как функцию от х.

3. В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

4. Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).

Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

5. Записываем ответ.

Пример №2.

При каких х уравнение имеет единственное решение?

Проведем графический анализ, построив график функции ( полупарабола с вершиной х=-3) и линейной функции ( множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2).

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с увеличением a прямая у=2х - a перемещается вправо.

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая переходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х0

Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2 , - абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , a =

При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= -6.

А при а > -6 имеем одну точку пересечения.

Ответ:{ } U{-6; } .

3. Примеры

I. Решить уравнение (графически).

(1)

Решение.

Так как х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции - две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения a= относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение

.

Если а , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и .

Если а ( , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно, решений нет.

Ответ:

Если а (-;-1](1;+), то х= ;

Если а , то , ;

Если а ( , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции - это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .



III. Неравенства с параметрами

1. Основные определения

Пусть дано неравенство с двумя переменными: F(x, a)?G(x,a) или F(x, a)>G(x,a). (2)

Задача о решении неравенства может быть сформулирована одним из двух следующих способов.

1. Найти все пары чисел (x , a), удовлетворяющие этому уравнению. В этом случае выражение (1) называется неравенством с двумя переменными x и a, в котором обе переменные a и x играют одинаковую роль.

2. Для каждого значения переменной a из некоторого числового множества A решить неравенство относительно x. Тогда выражение (1) называют неравенство с переменной x и параметром, а множество A - областью изменения параметра a.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные - буквами x, y,z.

При отсутствии ограничений под областью изменения параметра подразумевается множество всех действительных чисел. Если параметру, содержащемуся в уравнении , придать некоторое конкретное числовое значение, то возможен один из случаев:

а) получится неравенство с одной неизвестной x;

б) получится выражение, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором - недопустимым.

Решить неравенство с параметром - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех удовлетворяющих неравенству значений неизвестного, т.е. указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Выражение (2) - это, по существу, краткая запись семейства неравенств, получающихся из него при заданных значениях параметра . Поэтому решить неравенство (2) (с переменной x и параметром a) - это значит на множестве действительных чисел решить семейство неравенств, получаемых из (2) при всех допустимых значениях параметра a.

При некоторых множествах из допустимых значений параметра a могут получаться одни семейства неравенств, при иных - другие. Поэтому для облегчения решения удобно нанести на числовую прямую значения параметра, называемые контрольными, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения неравенства. Например, неравенство из квадратного становится линейным.

Два неравенства, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. Алгоритм решения

· Алгоритм решения неравенства с параметром аналитически ( аналогичен алгоритму решения уравнений с параметром)

1. Определяют ограничения, налагаемые на значения неизвестного x и параметра a, вытекающие из того, что функции и арифметические операции в (2) имеют смысл.

2. Определяют формальные решения (2), записываемые без учета ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось Oa. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение.

3. Исключают те значения параметра, при которых формальные решения не удовлетворяют полученным ограничениям.

4. На числовую ось Oa добавляют значения параметра, найденные в п.3. Для каждого из промежутков на оси Oa записывают все полученные решения в зависимости от значений параметра a. (В случае достаточно простых неравенств п.4 можно опустить).

5. Выписывают ответ, т.е. записывают решения в зависимости от значений параметра a.

Замечание. 1) Наличие параметра в задаче предполагает специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ для любого допустимого значения параметра. Недопустимые значения также указываются в ответе, и считается, что при этих значениях параметра задача не имеет решения. При записи ответа обычно значения параметра перечисляются в порядке возрастания от ?? до +?, но иногда для компактности ответа объединяют промежутки для параметра, на которых формулы решения совпадают.

2) В случае ветвления решения удобно использовать числовую прямую , на которую наносятся контрольные значения параметра, а на промежутках, на которые эти значения разбили прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем не потерять найденные ответы и четко указать значения параметра, которым они соответствуют.

Продемонстрирую сказанное выше на примере.

Пример№4. Решить неравенство a(a-2) x> 2-a

Решение. Контрольные значения параметра получаются из условия a(a-2)=0, так как при a(a-2)=0 неравенство не содержит переменной x.

Нанесем на числовую ось Oa контрольные значения. Они разбивают ось Oa на промежутки (см. рис. 1):

1) a<0; 2) 0<a<2; 3) a>2

На каждом из этих промежутков решим данное неравенство. Значения a=0и a=2 требуют отдельного рассмотрения.

Если a< 0, то a (a ?2) > 0.Разделив обе части неравенства на множитель a (a? 2) ? 0 , получим x>.

Если 0<a<2, то и a (a ?2) 0, следовательно, x < ?.

Если a>2, то a (a ?2) > 0 и x>.

При a=0 получаем неравенство 0x > 2 , не имеющее решений.

При a=2 получаем 0x=2, т.е. решений также нет.

Нанесем получаемые в ходе решения ответы на соответствующие промежутки числовой оси Oa и запишем ответ.

Замечание. Промежуток, к которому относится соответствующее решение, помечается на рисунке дугой. На ее конце ставится стрелочка в том случае, если это решение не относится к крайней точке промежутка.

Ответ. Если a<0, то x> ; если 0<a<2, то x < ?; если a>2, то x>; если a=0 и a=2, то решений нет.

· Алгоритм решения неравенств с параметром графически.

1. Находим область определения данного неравенства.

2. Сводим неравенство к уравнению.

3. Выражаем а как функцию от х.

4. В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

6. Исследуем влияние параметра на результат.

7. найдём абсциссы точек пересечения графиков.

8. Зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+

9. Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .

V. Решить неравенство

Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

а

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

	точка	неравенство:	вывод
1			-
2			+
3			-
4			+
5			-
6			+
7			-
8			+
9			-

уравнение параметр неравенство график

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.

Ответ.

при -< x ? 1-a

при

при 1<a<

при a= решений нет

при a> 1-a ? x <

Из приведенных примеров видно, что решение уравнений и неравенств с параметром отличается от решения уравнений и неравенств без параметра тем, что на всех этапах решения нужно более внимательно следить за каждой операцией с точки зрения ее выполнимости при различных значениях параметра, а также за тем, чтобы полученные решения не выходили за рамки допустимых значений переменной.



Литература:

1. Прокофьев А.А. «Задачи с параметрами». -М.:МИЭТ, 2004.

2. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

3. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

4. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Размещено на Allbest.ru