Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка
Неполные дифференциальные уравнения и их приложения, необходимость их применения в различных областях науки. Понятия и определения, типы и методы решения. Переходная кривая железнодорожного пути. Движение пули внутри вещества. Погружение тел в воду.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2011 |
| Размер файла | 359,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГАОУ ВПО "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Педагогический институт
Кафедра математики, алгебры и математического анализа
Курсовая работа
Некоторые приложения неполных дифференциальных уравнений второго порядка
Исполнитель:
студентка 53 гр. ОЗО "Математика"
ф-та МИиФ Лобынцева Г.Н.
Научный руководитель:
к. п. н., ст. преп. Белик Е.В.
Ростов-на-Дону 2011
Содержание
- Введение
- 1. Основные понятия и определения
- 2. Неполные дифференциальные уравнения и их приложения
- 2.1 Уравнения типа
- 2.1.1 Переходная кривая железнодорожного пути
- 2.1.2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости
- 2.2 Уравнения вида
- 2.2.1 Геометрические приложения
- 2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения
- 2.3 Уравнения типа
- 2.3.1 Определение кривой по радиусу кривизны
- 2.3.2 Движение пули внутри вещества
- 2.3.3 Погружение тел в воду
- 2.4 Уравнения типа
- 2.4.1 Кривая и радиус кривизны
- 2.5 Уравнения типа
- 2.5.1 Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны
- Заключение
- Литература
Введение
В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование их - наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники. Многие реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений описываются просто и полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяется вопросу составления дифференциальных уравнений.
Однако многочисленные и разнообразные приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений требуют в первую очередь знания соответствующих теоретических положений и законов естествознания, техники и других отраслей, которые изучаются обычно после дифференциальных уравнений.
Цель курсовой работы - показать необходимость применения неполных дифференциальных уравнений второго порядка в различных областях науки.
Задачи курсовой работы:
рассмотреть основные понятия и определения, касающиеся теории неполных дифференциальных уравнений второго порядка, а также их типы и методы решений;
рассмотреть применение неполных дифференциальных уравнений второго порядка в различных областях науки.
1. Основные понятия и определения
Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем случае записывается в виде
(1)
или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно второй производной,
. (2)
Общим решением уравнения 2-го порядка (2) называется функция , где и - произвольные постоянные, удовлетворяющая следующим условиям:
1) эта функция является решением данного уравнения при любых допустимых значениях постоянных;
2) каковы бы ни были начальные условия
, ( - заданные числа), (3)
существуют единственные значения постоянных и , такие, что функция является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).
Как и в случае дифференциального уравнения первого порядка, задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка (2), удовлетворяющего системе начальных условий (3), называется задачей Коши.
В приложениях часто встречаются следующие пять специальных типов уравнений, называемые неполными дифференциальным уравнениями второго порядка
(4)
Уравнения (4) решаются методом понижения порядка, т.е. введением новой искомой функции
. (5). Тогда (6)
или (во втором и пятом случаях при наличии )
. (6а)
Подстановка значений (5) и (6) или (6а) в уравнения (4) сводит их к уравнениям первого порядка
(7)
Общее решение уравнений (7) имеет вид
или .
Используя зависимость (5), получаем уравнение
или .
2. Неполные дифференциальные уравнения и их приложения
2.1 Уравнения типа
Пусть дано уравнение
, (8)
не содержащее искомой функции и её производной первого порядка . Здесь порядок понижается непосредственно путём последовательного интегрирования. Действительно, учитывая, что , уравнение (8) можно записать в виде , откуда получаем
,
т.е. приходим к уравнению такого же вида, что и исходное, но уже первого порядка. Далее аналогично находим
общее решение данного уравнения.
Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решение. Интегрируя, получим . Отсюда
.
Определим постоянные и , полагая :
.
Итак, искомое частное решение имеет вид .
2.1.1 Переходная кривая железнодорожного пути
Найти уравнение кривой железнодорожного пути, переходящей плавно от прямого направления к круговому, если длина переходной кривой , а радиус кругового пути .
Решение. Кривизна переходной кривой равномерно изменяется от нуля до (рис.1).
Рис.1.
неполное дифференциальное уравнение
Следовательно, , где - коэффициент пропорциональности, - длина дуги от начала переходной кривой до текущей точки .
Коэффициент определяется из условия: при откуда
и .
Итак, имеем:
.
Переходная кривая по всей длине незначительно отклоняется от оси абсцисс, и величину можно заменить абсциссой точки .
Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке будет очень мал, и поэтому в дифференциальной формуле кривизны
величиной можно пренебречь. Таким образом, полагаем и
.
Упрощенное дифференциальное уравнение переходной кривой
.
Общее решение этого уравнения
.
Начальные условия: при и , откуда
.
Подставляя эти значения в общее решение, находим искомое уравнение переходной кривой
.
2.1.2 Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости
Найти закон движения материальной точки массой по прямой (рис.2) под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки от неподвижного центра .
Рис.2.
Решение.
Дифференциальное уравнение движения точки, согласно второму закону динамики,
, (9)
где - коэффициент пропорциональности.
Уравнение (9) можно представить в виде
или .
Умножим обе части уравнения на :
.
Левая часть последнего равенства есть дифференциал от :
; отсюда
и или .
Разделяя переменные, получим
. (10)
Решая уравнение (10), придем к равенству
. Окончательно
или .
2.2 Уравнения вида
Рассмотрим уравнение вида
. (11)
Полагая и принимая за новую независимую переменную, получаем . Поэтому уравнение (11) примет вид:
или .
Интегрируем это уравнение:
.
Заменим на :
.
Дальнейшее интегрирование дает
.
Пример. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Положив и приняв за новую независимую переменную, получим . Тогда исходное уравнение можно записать в виде
.
Полагаем :
или .
Интегрируем это уравнение: .
Следовательно, , , откуда
.
Интегрируя, получаем
Функция будет решением. Это решение частное.
2.2.1 Геометрические приложения
Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины нормали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и в этой точке параллельной оси абсцисс.
Решение. Длина нормали . По условию задачи получаем дифференциальное уравнение искомого семейства
или
Решая это дифференциальное уравнение, находим
. (12)
Дополнительные условия: кривая проходит через точку и при . Отсюда
или . (13)
Так как, дифференцируя уравнение (12), находим
, то . (14)
Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (13) и (14). Из равенства (14) находим , т.е. или . Если , то уравнение (13) дает , следовательно, и . Тогда из уравнения (13) . Подставляем значения и в общее решение (12) и получаем уравнение искомой кривой
.
2.2.2 Движение материальной точки под действием силы притяжения
Материальная точка массой движется по прямой линии к центру (рис.3), притягивающему ее с силой , где - расстояние точки от центра. Движение начинается с состояния покоя при . Найти время, по истечении которого точка достигнет центра.
Рис.3.
Решение. По условию задачи в любой момент на точку действует сила . Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения
или .
Решая его как уравнение типа , находим общее решение
. (15)
Начальные условия: при и . Из первого условия имеем:
.
Второе условие
или .
Для определения постоянных интегрирования и имеем систему
откуда
. (16)
Подставляя значения (16) в общее решение (15), получим
.
Когда точка достигает центра , расстояние и искомое время
.
2.3 Уравнения типа
2.3.1 Определение кривой по радиусу кривизны
Кривая, проходящая через точки и , имеет радиус кривизны . Найти уравнение этой кривой.
Решение. Радиус кривизны
.
По условию задачи и получаем дифференциальное уравнение искомого семейства
. (17)
Общее решение дифференциального уравнения (17) типа будет
.
Дополнительное условие: кривая проходит через точки и , откуда
(18)
Из системы (18) определяем .
Подставляя эти значения в общее решение, получим
.
2.3.2 Движение пули внутри вещества
Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает, пробив его, со скоростью 60 м/сек.
Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения (рис.4).
Найти время движения пули через брус.
Рис.4.
Решение. Внутри бруса в любой момент на пулю действует сила сопротивления бруса .
Она направлена против движения, а по величине пропорциональна квадрату скорости движения пули в данный момент.
Таким образом,
.
На основании второго закона динамики сила равна произведению массы точки на ускорение , которое сообщается точке, т.е.
.
Сопоставляя уравнения, получим
. (19)
Как известно, скорость точки
, (20)
а ускорение
. (21)
Здесь - путь, - время.
Подставляя значения и в дифференциальной форме из равенств (20) и (21) в уравнение (19), получим дифференциальное уравнение движения
. (22)
Уравнение (22) представляет собой неполное линейное уравнение второго порядка типа
и решается методом понижения порядка путем введения новой искомой функции:
(23)
Применение этого метода для рассматриваемого уравнения (22) приводит к следующему:
.
Уравнение (22) примет вид
.
Разделяя переменные и ,
.
и почленно интегрируя, получаем
.
Подставляем значение и интегрируем еще раз:
;
;
. (24)
Для перехода от общего решения (24) к частному решению определим значения произвольных постоянных и по условию задачи.
Начальные условия: при и м/сек.
Кроме того, продифференцировав уравнение (24), получим
. (25)
Из уравнения (25) определим :
,
а из уравнения (24) - :
или .
Подставляя найденные значения и в общее решение (24), получим частное решение, изображающее уравнение движения в условиях задачи:
;
. (26)
Разрешая уравнение (26) относительно , получим
или . (27)
Как видно из уравнений (26) и (27), для определения искомого времени необходимо найти величины и .
Коэффициент пропорциональности определим из дополнительного условия: при
см = 0,12м м/сек.
Для применения этого дополнительного условия необходимо продифференцировать уравнение (26):
. (28)
Найденную величину из уравнения (27) подставляем в уравнение (28), которое примет вид
. (29)
Подстановка дополнительных условий приводит к равенству
, (30) откуда .
Анализируя полученную формулу, замечаем, что является линейной функцией и нет надобности в определении , а достаточно найти величину . Это упрощает выкладки.
Из уравнения (30)
Подставляя числовые значения величин и в уравнение (27), получим
сек.
Итак, время прохождения пули через брус равно 0,00114 сек (немногим более одной тысячной доли секунды).
2.3.3 Погружение тел в воду
Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть , погружается на глубину, двигаясь поступательно (рис.5). Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным , где - коэффициент пропорциональности, - площадь горизонтальной проекции лодки, - скорость погружения. Масса лодки равна .
Найти:
1) скорость погружения , если при начальная скорость ;
2) путь, пройденный погружающейся лодкой за время .
Рис.5.
Решение. Проектируя действующие при погружении лодки силы на вертикальную ось, получаем дифференциальное уравнение движения
. (31)
Здесь - произведение массы на ускорение (сила тяжести погружающейся лодки), - сопротивление воды.
Вводя подстановку и деля уравнение (31) на , получим
. (32)
В уравнении (32) отделяем переменные и приходим к равенству
. (33)
Интегрируя уравнение (33), получаем зависимость
. (34)
Постоянную определяем из начального условия: при :
.
Таким образом, уравнение (34) принимает вид
.
После простых алгебраических преобразований найдем искомую скорость погружения:
, , . (35)
Для определения пути, пройденного погружающейся лодкой за время , уравнение (35) переписываем в виде
или .
Интегрируя это уравнение первого порядка с разделенными переменными, находим путь в зависимости от времени:
. (36)
Определим постоянную , используя для этого начальное условие задачи: при .
Из уравнения (36) получим
или . (37)
Тогда искомое частное решение
. (38)
При пройденный путь выразится соотношением
. (40)
2.4 Уравнения типа
Пусть дано уравнение
, (41)
не содержащее явно искомой функции .
Здесь порядок уравнения понижается при помощи замены
,
где - новая неизвестная функция.
Действительно, , поэтому уравнение (41) принимает вид - уравнение уже первого порядка. Пусть - общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на , получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . Решая это уравнение, можно получить - общее решение уравнения (41).
При решении задачи Коши для уравнений второго порядка бывает целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование порой значительно упрощается, когда постоянные принимают конкретные числовые значения, в то время как при их произвольных значениях интегрирование затруднительно, а то и вообще невозможно в элементарных функциях.
Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Так как уравнение не содержит явно искомую функцию , то сделаем замену , откуда . Получили уравнение первого порядка для новой функции : . Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Таким образом, . Используя начальные условия, получаем . Следовательно, , а после интегрирования . Начальные условия дают . Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид .
2.4.1 Кривая и радиус кривизны
В точке кривая параллельна оси абсцисс. В любой точке радиус кривизны равен квадрату абсциссы этой точки. Найти уравнение кривой.
Решение. По условию задачи и, приравнивая это значение дифференциальной формуле радиуса кривизны, получаем дифференциальное уравнение искомого семейства кривых
.
Решение этого дифференциального уравнения типа приводит к первому интегралу
, где .
Постоянную интегрирования определяем из дополнительного условия: в точке кривая параллельна оси абсцисс, т.е. при , откуда
или .
Первый интеграл принимает вид
или .
Интегрируя далее, получим второй интеграл
. (42)
Так как кривая проходит через точку , то
или .
Подставляя найденные значения в интеграл (42), получим уравнение искомой кривой
.
2.5 Уравнения типа
Пусть дано уравнение
, (43)
не содержащее явно независимой переменной .
Здесь порядок уравнения можно понизить за счёт введения новой независимой переменной (вместо ) по формуле
,
где - новая неизвестная функция.
Действительно, используя правило дифференцирования сложной функции, имеем , Епоэтому уравнение (43) принимает вид - уравнение первого порядка.
Пусть - общее решение полученного уравнения. Заменяя функцию на , получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .
Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (43):
.
Пример. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Решение.
Так как в уравнении явно отсутствует переменная , то сделаем замену
.
Исходное уравнение преобразуется к виду:
.
Рассмотрим два случая:
а) ;
б) .
Заменив на , получим
.
Общее решение в случае а) входит в общее решение в случае б) при .
Найдём постоянные и :
Таким образом, частное решение: .
2.5.1 Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны
Длина нормали в любой точке кривой равна радиусу кривизны кривой в этой точке. Найти уравнение кривой, параллельной оси абсцисс в точке .
Решение. Длина нормали·. По условию задачи она равна радиусу кривизны. Поэтому дифференциальное уравнение искомого семейства кривых
или . (44)
Общий интеграл дифференциального уравнения (44) типа будет
.
Дополнительное условие: кривая проходит через точку и в этой точке . Тогда
(45) и так как
, то при , получим
. (46)
Постоянные интегрирования найдем из системы уравнений (45) и (46)
Решая ее, находим .
Подставляем найденные значения постоянных интегрирования в общий интеграл и получаем уравнение искомой кривой
или .
Заключение
В курсовой работе были рассмотрены неполные дифференциальные уравнения второго порядка, их типы и методы решения, а так же рассматривались неполные дифференциальные уравнения второго порядка в приложениях.
На примерах была показана возможность использовать неполные дифференциальные уравнения второго порядка в процессе познания окружающей нас действительности. Конечно, рассмотренные примеры далеко не охватывают тот круг вопросов, которые могут быть решены с помощью неполных дифференциальных уравнений второго порядка. Но, во-первых, мы ограничены рамками курсовой работы, а во-вторых, уже и приведённые примеры дают представление о той роли, которую играют неполные дифференциальные уравнения второго порядка при решении практических задач.
В результате выполнения работы сделан вывод о том, что неполные дифференциальные уравнения второго порядка широко используются практически во всех областях науки, особенно в физике, и играют большую роль в познании окружающего нас мира.
Литература
1. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М: Наука, 1987.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Ижевск 2000.
3. Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. - М.: Эдиториал, 2001.
4. Зайцев В.П. Математика: Учебное пособие для студентов - заочников 2-го курса /Алт. гос. техн. ун-т им.И. И. Ползунова. - Баpнаул: АлтГТУ, 2009.
5. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического оборудования. - Нижний Новгород. - изд-во Нижегородского госуниверсистета имени Н.И. Лобаческого, 2007.
6. Калинин В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Нефть и газ, 2005.
7. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1967.
8. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М. 1967.
9. Пономарев В.В. Составление дифференциальных уравнений. - Минск: Вышэйшая школа, 1973.
10. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 1989.
11. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. 1950.
12. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. - М. 1962.
13. Федорук М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012
