Вариационные ряды
Поиск вариационного ряда по выборке. Функция распределения, полигон частот. Ранжированный и дискретный вариационный ряды. Вычисление числа групп в вариационном ряду по формуле Стерджесса. Гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.04.2010 |
| Размер файла | 57,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Задание № 1.
По данной выборке:
а) Найти вариационный ряд;
б) Построить функцию распределения;
в) Построить полигон частот;
г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.
№=42. Элементы выборки:
1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2
Решение.
а) построение ранжированного вариационного ряда:
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
б) построение дискретного вариационного ряда.
Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:
Примем число групп равным 7.
Зная число групп, рассчитаем величину интервала:
Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.
Таблица 2
|
xj |
1-2 (+) |
2-3 |
3-4 |
4-5 |
5-6 |
6-7 |
7-8 |
8-9 |
Итого |
|
|
fj |
11 |
7 |
1 |
5 |
3 |
7 |
6 |
2 |
42 |
|
|
Середина интервала xj' |
1,5 |
2,5 |
3,5 |
4,5 |
5,5 |
6,5 |
7,5 |
8,5 |
||
|
xj'fj |
16,5 |
17,5 |
3,5 |
22,5 |
16,5 |
45,5 |
45 |
17 |
184 |
|
|
Накопленная частота fj' |
11 |
18 |
19 |
24 |
27 |
34 |
40 |
42 |
в) построение функции распределения:
С помощью ряда накопленных частот построим кумулятивную кривую распределения.
Диаграмма 1
в) построение полигона частот:
Диаграмма 2
г) вычисление среднего значения СВ, дисперсии, среднеквадратичного отклонения:
Задание № 2.
По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98
Таблица 1.
|
78 |
80 |
83 |
84 |
84 |
86 |
88 |
88 |
89 |
89 |
91 |
91 |
92 |
92 |
94 |
94 |
96 |
96 |
96 |
97 |
97 |
99 |
99 |
101 |
102 |
|
|
102 |
104 |
104 |
105 |
105 |
107 |
109 |
110 |
110 |
115 |
120 |
76 |
78 |
81 |
83 |
84 |
86 |
86 |
88 |
88 |
89 |
89 |
91 |
92 |
92 |
|
|
92 |
94 |
94 |
96 |
96 |
97 |
97 |
99 |
99 |
99 |
101 |
102 |
104 |
104 |
105 |
105 |
107 |
107 |
110 |
110 |
112 |
115 |
75 |
78 |
80 |
|
|
83 |
84 |
86 |
86 |
88 |
88 |
89 |
91 |
91 |
91 |
92 |
92 |
94 |
94 |
96 |
96 |
97 |
97 |
99 |
99 |
101 |
101 |
102 |
102 |
104 |
|
|
104 |
105 |
107 |
109 |
109 |
112 |
115 |
117 |
73 |
81 |
84 |
84 |
86 |
88 |
89 |
91 |
91 |
92 |
94 |
96 |
96 |
97 |
99 |
101 |
101 |
|
|
104 |
105 |
105 |
107 |
107 |
110 |
117 |
123 |
67 |
78 |
81 |
81 |
83 |
84 |
84 |
86 |
86 |
88 |
88 |
88 |
89 |
89 |
91 |
91 |
91 |
|
|
92 |
92 |
92 |
94 |
94 |
94 |
96 |
96 |
97 |
97 |
97 |
99 |
99 |
99 |
101 |
101 |
102 |
102 |
104 |
104 |
104 |
105 |
105 |
107 |
107 |
|
|
109 |
109 |
110 |
110 |
113 |
118 |
121 |
№=182
Решение.
Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:
Определим величины интервала:
Примем число групп равным 8, а число интервалов 7.
Таблица 2.
|
Номер интервала |
xj |
fj |
x'j |
x'jfj |
f'j |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
67-74 (+) |
2 |
70,5 |
141 |
2 |
|
|
2 |
74-81 |
12 |
77,5 |
930 |
14 |
|
|
3 |
81-88 |
30 |
84,5 |
2535 |
44 |
|
|
4 |
88-95 |
40 |
91,5 |
3660 |
84 |
|
|
5 |
95-102 |
47 |
98,5 |
4629,5 |
131 |
|
|
6 |
102-109 |
32 |
105,5 |
3376 |
163 |
|
|
7 |
109-116 |
13 |
112,5 |
1462,5 |
176 |
|
|
8 |
116-123 |
6 |
119,5 |
717 |
182 |
|
|
Итого |
182 |
17451 |
Условные обозначения в таблице: xj - установленные интервалы; fj - частота событий; x'j - середина интервала; f'j - накопленная частота.
На основании полученных данных построим таблицу 2.
Значения и находим по таблице значений функции Лапласа.
Pj определяется разностью и , а f'j = Pj * n.
Таблица 3.
|
Номер интервала |
Границы интервала |
Pj |
f'j |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1 |
67-74 |
-2,26 |
-1,70 |
-0,4881 |
-0,4554 |
0,0327 |
5,9514 |
|
|
2 |
74-81 |
-1,70 |
-1,16 |
-0,4554 |
-0,3770 |
0,0784 |
14,2688 |
|
|
3 |
81-88 |
-1,16 |
-0,61 |
-0,3770 |
-0,2291 |
0,1479 |
26,9178 |
|
|
4 |
88-95 |
-0,61 |
-0,06 |
-0,2291 |
-0,0279 |
0, 2012 |
38,0268 |
|
|
5 |
95-102 |
-0,07 |
0,47 |
-0,0279 |
0,1808 |
0, 2087 |
37,9834 |
|
|
6 |
102-109 |
0,47 |
1,02 |
0,1808 |
0,3461 |
0,1653 |
30,0846 |
|
|
7 |
109-116 |
1,02 |
1,57 |
0,3461 |
0,4418 |
0,0957 |
17,4174 |
|
|
8 |
116-123 |
1,57 |
2,12 |
0,4418 |
0,4830 |
0,0412 |
7,4984 |
|
|
Итого |
Условные обозначения в таблице:
xнj - нижняя граница интервала;
xвj - верхняя граница интервала;
tнj и tвj - нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала;
и - значение интегральной функции Лапласа для tнj и tвj;
Pj - оценка вероятности попадания в интервал;
f'j - частота теоретического распределения.
Итак, воспользуемся данными таблицы 1 и 2 для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в графе 8 табл.2, а также объединив частоты двух последних интервалов, выполняя требование f'j 5.
Таблица 4.
|
Номер интервала |
Эмпирические частоты |
Теоретические частоты |
|||
|
1 |
2 |
6 |
16 |
2,67 |
|
|
2 |
12 |
14 |
4 |
0,29 |
|
|
3 |
30 |
27 |
9 |
0,33 |
|
|
4 |
40 |
38 |
4 |
0,1 |
|
|
5 |
47 |
38 |
81 |
2,13 |
|
|
6 |
32 |
30 |
4 |
0,13 |
|
|
7 |
16 |
25 |
81 |
3,24 |
|
|
Итого |
182 |
178 |
8,89 |
X2расч = 8,89
Таким образом, проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.
Произведем интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.
На основе имеющейся выборки получим точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней:
Среднеквадратичное отклонение составляет: . Уровень надежности . Определяем значение функции Лапласса:
По таблице значений функции находим соответствующее значение z. В данном случае . Тогда .
Доверительный интервал] 95,6868 - 0,164, 95,6868 + 0,164 [=
=] 95,5228, 95,8508 [.
Следовательно, 95,5228 < Mx < 95,8508 с вероятностью 0,98.
Задание № 4.
По заданной выборке (x,y) найти коэффициент корреляции и уравнения линейной регрессии y=a+b*x, №=45
Таблица 5
|
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
x…... y |
||||||||||||
|
23 |
-115 |
18 |
-90 |
10 |
-48 |
19 |
-91 |
18 |
-84 |
9 |
-44 |
12 |
-55 |
24 |
-115 |
6 |
-26 |
22 |
-107 |
18 |
-84 |
|
|
18 |
-83 |
11 |
-54 |
15 |
-71 |
13 |
-64 |
8 |
-51 |
14 |
-64 |
22 |
-109 |
8 |
-38 |
14 |
-64 |
22 |
-106 |
9 |
-43 |
|
|
16 |
-74 |
17 |
-85 |
15 |
-71 |
13 |
-60 |
11 |
-37 |
24 |
-118 |
18 |
-87 |
6 |
-28 |
7 |
-31 |
22 |
-109 |
13 |
-64 |
|
|
8 |
-35 |
8 |
-35 |
12 |
-56 |
12 |
-54 |
14 |
-67 |
14 |
-68 |
21 |
-102 |
10 |
-46 |
16 |
-79 |
17 |
-80 |
18 |
-87 |
|
|
22 |
-105 |
Решение:
На основании исходных данных найдем суммы и средние значения x и y:
Вычислим параметр парной линейной корреляции:
Свободный член уравнение регрессии вычислим по формуле:
, откуда
Уравнение регрессии в целом имеет вид:
Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе полученных данных:
Подобные документы
Построение и графическое изображение вариационных рядов. Дискретный вариационный ряд распределения урожайности зерновых, сельскохозяйственных предприятий по качеству почв. Показатели центра распределения. Показатели формы и колеблемости признака.
лабораторная работа [208,0 K], добавлен 15.05.2014Вариация признаков в совокупности. Типы рядов распределения: атрибутивные и вариационные. Классификация по характеру вариации. Основные характеристики и графическое изображение вариационного ряда. Показатели центра распределения и колеблемости признака.
курсовая работа [110,0 K], добавлен 23.07.2009Порядок и принципы построения вариационного ряда. Расчет числовых характеристик статистического ряда. Построение полигона и гистограммы относительных частот, функции распределения. Вычисление асимметрии и эксцесса. Построение доверительных интервалов.
контрольная работа [108,5 K], добавлен 03.10.2010Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Понятие и виды статистических рядов распределения, основные формы их представления. Расчет и анализ показателей, характеризующих центральную тенденцию, вариацию, структуру и форму ряда распределения. Проведение сглаживания эмпирического распределения.
курсовая работа [698,3 K], добавлен 07.06.2011Интервальный вариационный ряд. Построение гистограммы плотности относительных частот. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х. Функция плотности рассматриваемого закона распределения "Построение ее на гистограмме".
курсовая работа [104,4 K], добавлен 20.03.2011Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.
контрольная работа [36,5 K], добавлен 14.11.2010Построение полигона относительных частот, эмпирической функции распределения, кумулянты и гистограммы. Расчет точечных оценок неизвестных числовых характеристик. Проверка гипотезы о виде распределения для простого и сгруппированного ряда распределения.
курсовая работа [216,2 K], добавлен 28.09.2011Составление характеристики непрерывного признака. Методы составления приближенного распределения признака, имеющего непрерывное распределения. Относительные частоты и их плотности. Статистическое распределение частот интервального вариационного ряда.
творческая работа [17,8 K], добавлен 10.11.2008Вероятность совместного появления двух белых шаров. Расчет числа исходов, благоприятствующих интересующему событию. Функция распределения случайной величины. Построение полигона частот, расчет относительных частот и эмпирической функции распределения.
задача [38,9 K], добавлен 14.11.2010
