Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Задание 1

Шарик бросают вертикально вверх с верхней площадки башни со скоростью V1. Ветер, дующий со скоростью V2, относит его в сторону.

Требуется:

· создать математическую модель движения шарика от начала падения до удара о землю;

· подготовить компьютерную реализацию математической модели в среде электронных таблиц.

В ходе проведения компьютерных экспериментов определить:

· как влияет изменение скорости V1 (шаг изменений 1 м/с) на дальность падения L;

· как влияет изменение высоты Н (шаг изменений 1 м) на время падения t;

· как влияет высота Н (шаг изменений 1 м) на дальность падения L.

Исходные данные

Номер задания	Скорость V2, м/с	Высота Н, м	Скорость V1, м/с
		начальная	конечная	начальная	конечная
7	1,8	6	18	10	24

Решение

Построим модель движения шарика.

1) Сначала шарик совершает равнозамедленное движение вверх.

Максимальная высота подъема:

h = V12/(2g)

Время подъема шарика:

t1 = V1/g

2) Свободное падение с высоты H+h. Применяя уравнение свободного падения, получаем (H+h) = gt22/2, где t2 -- время падения.

Выражая t2, получаем:

t2 = .

3) Время шарика в пути

t = t1 + t2 = V1/g +

4) Учитываем боковой ветер. Расстояние L, на которое сместится шарик после падения, равно:

L = V2t.

Математическая модель построена.

Строим модель в MS Office Excel (лист Задание1).

1) Организуем расположение данных и формул:

математический модель задача excel

Результат вычислений с заданными исходными значениями:

2) Проанализируем, как влияет изменение скорости V1 (шаг изменений 1 м/с) на дальность падения L. Результаты анализа представим в графическом виде.



Как видим, зависимость дальности падения от начальной скорости линейная. Достоверность аппроксимации равна 1.

Уравнение зависимости: y = 0,1835x + 2,7024.

Для прогноза значений дальности падения L вне диапазона значений скорости V1 применим полученное уравнение и вычислим L, например при V1 = 29 м/с.

3) Проанализируем, как влияет изменение высоты Н (шаг изменений 1 м) на время падения t.

Аппроксимация графика привела к квадратичной зависимости.

Уравнение зависимости: y = -0,0015x2 + 0,1353x + 3,7878

Использование этого уравнения позволяет прогнозировать значения t вне диапазона H.

4) Проанализируем, как влияет высота Н (шаг изменений 1 м) на дальность падения L.

Аппроксимация графика привела к квадратичной зависимости.

Уравнение зависимости: y = -0,0008x2 + 0,0751x + 2,1043

Использование уравнения, приведенного на графике, позволяет прогнозировать значения L вне диапазона H.

Задание 2

Дана наклонная плоскость, по которой скатывается шарик:



Угол начальный 200

Угол конечный 400

L1 = 3 м

kтр1 = 0,022

kтр2 = 0,3

Угол начальный 150

Угол конечный 350

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Построим модель движения шарика.

На начальном этапе шарик движется по наклонной плоскости длиной L1, расположенной под углом . Коэффициент трения при движении шарика по наклонной плоскости описывается величиной kтр1. Затем шарик движется по наклонной плоскости вверх. Коэффициент трения kтр2.

При спуске с наклонной плоскости и отсутствии дополнительных сил ускорение равно a1 = g(sin - kтр1 · cos), где g -- ускорение свободного падения; kтр1 -- коэффициент трения. Поскольку начальная скорость шарика равна нулю, скорость шарика v = a1t. Путь, который пройдёт шарик, равен L1 = a1t2/2. Отсюда t = . Значит, скорость шарика в момент прохождения отрезка пути L1 составит v = a1t = .

Далее шарик движется по наклонной плоскости вверх. При подъеме по наклонной плоскости и отсутствии дополнительных сил a2 = g(sin + kтр2 · cos), где g -- ускорение свободного падения; kтр2 -- коэффициент трения. Поскольку у шарика уже есть начальная скорость v, пройденный путь составит: L2 = vt2 + a2t22/2. Нам необходимо найти максимальный пройденный путь. В момент остановки шарика ускорение равно 0. Время подъёма. t2 = v / a2. Тогда пройденный путь равен L2 = vt2 = v2/a2.

Математическая модель построена.

Строим модель в MS Office Excel (лист Задание2).

1) Формулы ячеек:

Результат вычислений с начальными значениями:

2) Определим, как влияет изменение значения угла на скорость движения шарика в момент нахождения его в конце первой наклонной плоскости.

В данном случае зависимость получилась квадратичная (полиномиальная второй степени).

Уравнение зависимости: y = -0,0011x2 + 0,1521x + 1,756

Использование уравнения позволяет прогнозировать значения скорости при других углах . Например, при = 450 скорость равна 6,37 м/с.

3) Определим, как влияет изменение значения угла на длину пробега шарика L2.



В данном случае зависимость получилась полиномиальная 3 степени.

Уравнение зависимости: y = -410-5x3 + 0,0044x2 - 0,2027x + 5,6974.

Использование уравнения позволяет прогнозировать значения пути при других углах . Например, при = 400 скорость равна 6,37 м/с.

Задание 3

Дана электрическая цепь:

Исходные данные:

Е = 12 В; R1 = 12 Ом; R2 = 24 Ом

R3 = 12 Ом; R4 = 16 Ом; R5 = 20 Ом.

Требуется:

· создать математическую модель цепи;

· определить, как влияет изменение значения R4 (таблица) на ток, протекающий в цепи, с построением диаграммы и определением уравнения зависимости;

· спрогнозировать по полученному уравнению величину тока при R4 = 150 Ом;

· определить, как влияет изменение значения R2 (таблица) на ток, протекающий в цепи, с построением диаграммы и определением уравнения зависимости;

· спрогнозировать по полученному уравнению величину тока при R2 = 110 Ом;

· подобрать значение R1, при котором значение протекающего в цепи тока уменьшится на 15 %, и записать его в одну из ячеек;

· подобрать значение R3, при котором падение напряжения на нём увеличится на 10 %, и записать его в одну из ячеек.

Таблица значений сопротивления (Ом):

Решение

Строим математическую модель цепи.

Резисторы 1, 2 связаны параллельно, для них эквивалентное сопротивление будет



Резисторы 4, 5 связаны параллельно, для них эквивалентное сопротивление будет

Участки 12, 3 и 45 подключены последовательно.

Эквивалентное сопротивление цепи:

Ток в цепи определяется законом Ома:

Математическая модель построена.

Строим модель в MS Office Excel (лист Задание3).

1) Формулы:



Расчеты по формулам приводят к следующим результатам:

2) Определим, как влияет изменение значения R4 (таблица) на ток, протекающий в цепи. Результаты анализа представим в графическом виде.



Наиболее точное уравнение аппроксимации является полиномом 6 степени: y = 410-12x6 - 10-9x5 + 210-7x4 - 110-5x3 + 0,0006x2 - 0,0155x + 0,5576.

С помощью этого уравнения можно предсказать величину тока при других значениях R4. Ток в цепи убывает с ростом R4, стремясь к определенному пределу.

Предсказываемое программой Excel уравнение аппроксимации нельзя использовать для прогноза значения параметра, сильно выходящего за аппроксимируемый диапазон. Так, попытка спрогнозировать ток в цепи при R4 = 150 Ом приводит к неправильному значению силы тока. В этом случае следует пользоваться расчетной формулой.

3) Определим, как влияет изменение значения R2 (таблица) на ток, протекающий в цепи. Результаты анализа представим в графическом виде.



Наиболее точное уравнение аппроксимации является полиномом 6 степени:

y = 310-12x6 - 110-9x5 + 110-7x4 - 110-5x3 + 0,0004x2 - 0,011x + 0,5304.

Ток в цепи убывает с ростом R2, стремясь к определенному пределу.

При R2 = 110 Ом это уравнение даёт прогноз -5,30 Ом, что неверно. Следовательно, необходимо пользоваться точными расчетными формулами, поскольку величина 110 Ом выходит за границы диапазона сопротивлений.

4) Далее необходимо узнать значение R1, при котором ток в цепи снизится на 15%. Воспользуемся подбором параметра.



Для того, чтобы ток в цепи снизился на 15%, нужно установить сопротивление R1 = 30,26 Ом.

5) Определим значение R3, при котором падение напряжения на нём увеличится на 10%.

Падение напряжение на R3 равно произведению общего тока I на R3:

E2 = IR3

Воспользуемся инструментом «Поиск решения».



При сопротивлении R3, равном 14,19 Ом, падение напряжения на нём увеличится на 10%.

Список литературы

1. Кашаев С. Офисные решения с использованием Microsoft Excel 2007 и VBA. - СПб.: Питер, 2009. - 352 с.

2. Леонов В. Функции Excel 2010. - СПб.: Эксмо, 2011. - 560 с.

3. Мачула В. Г. Excel 2007 на практике. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 160 с.

Размещено на Allbest.ru