функция

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ

ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО - ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ

ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА

Реферат

Тема: «Функция»

Выполнил: Ярмонтович Д.А.

Проверила:

УССУРИЙСК 2006

СОДЕРЖАНИЕ

· 1)Введние

· 2)Линейная функция

· 3)Квадратичная функция

· 4)Степенная функция

· 5)Показательная функция (экспонента)

· 6)Логарифмическая функция

· 7)Тригонометрическая функция

· -Функция синус

· -Функция косинус

· -Функция тангенс

· -Функция котангенс

· 8)Обратная функция

· -Arcsin x

· -Arctg x

· 9)Список Литературы

введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

Линейная функция.

Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число  - свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси .

График линейной функции - прямая

1. Область определения - все действительные числа.

2. Область значений - все действительные числа.

3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).

4. Линейная функция ни четная ни нечетная.

5. Функция возрастает если k>0,

Функция убывает если k<0.

6. Функция непрерывна.

Квадратичная функция.

Это функция вида ,

Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .

Парабола ()

В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.

.Парабола с вершиной в точке ()

1. Область определения квадратичной функции - вся числовая прямая.

2. При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция - четная.

3. Рис. 4 Рис. 5

4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

5. Функция имеет единственную критическую точку

6. x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

a. Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b²-4ac)/4a) называется вершиной параболы.

7. Область изменения функции: при a>0 - множество значений функции [-((b²-4ac)/4a); +); при a<0 - множество значений функции (-;-((b²-4ac)/4a)].

8. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b²-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b²-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b²-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

a. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) - образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).

b. График функции

9. f(x)=ax²+bx+c

10. (или f(x)=a(x+b/(2a))²-(b²-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x² следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b²-4ac)/(4a))).

Степенная функция.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число  - чётное, то и функция  - чётная (то есть при всех ); если число  - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

График степенной функции при

б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если  - чётное число, то и - чётная функция; если  - нечётное число, то и  - нечётная функция.

График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если  - не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

График степенной функции при

Область определения степенной функции - множество всех положительных чисел.

Область значения степенной функции - множество всех положительных чисел.

Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

Степенная функция непрерывна во всей области определения.

Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x)= ^.x^-1.

Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.

0 1 x 0 1 x

При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 - вогнутостью вниз.

Показательная функция (экспонента).

Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

.График показательной функции при

При вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при

Число называется основанием показательной функции. Область определения функции - вся числовая прямая.

Область значения функции - множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(a^x) =a^xlna

При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.

График показательной функции - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Логарифмическая функция.

Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:

График логарифмической функции при

При график получается такой:

График логарифмической функции при

Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции - промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции - вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(log_a x) = 1/(x ln a).

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

При любом основании a>0, a1, имеют место равенства

log_a 1 = 0, log_a a =1.

При а>1 график логарифмической функции - кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

тригонометрические функции

Функции sin , cos , tg , ctg называются тригонометрическими функциями угла . Кроме основных тригонометрических функций sin , cos , tg , ctg .

Функция синус

.

. Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:

График функции

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Область определения - множество всех действительных чисел.

Область значения - промежуток [-1; 1].

Функция sin х - нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при x (2n; +2n), n Z,

sin х<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

и убывает при x ((/2)+2n; ((3)/2)+ 2n), n Z.

Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2n, n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n, n Z.

Функция косинус.

. Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков:

График функции Область определения - множество всех действительных чисел.

Область значения - промежуток [-1; 1].

Функция cos х - четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х - периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n)), n Z,

cos х<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n), n Z,

и убывает при x (2n; + 2n), n Z.

Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2n, n Z, и максимальные

Функция тангенс.

(в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

График функции Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n, n Z.

Область значения - множество всех действительных чисел.

Функция tg х - нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,

tg х<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos² x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

Функция котангенс.

(в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.

График функции Область определения функции - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n Z.

Область значения - множество всех действительных чисел.

Функция сtg х - нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х - периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,

ctg х<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin² x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (n; (n+1)), n Z.

Обратные тригонометрические функции.

Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.

Arcsin x :

1. Область определения - [-1; 1].

2. Область значений - [-П\2; п\2].

3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)

Графики главной ветви и

Arctg x :

1. Область определений - R.

2. Область значений - интервал (-П\2; П\2).

3. Монотонно возрастающая функция.

4. прямые у=-П\2 и у=П\2 - горизонтальные асимптоты.(рис. 13)

Графики главной ветви и

Список использованной литературы

Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.