Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ

Циклова комісія природничо-математичних та гуманітарних дисциплін

РЕФЕРАТ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

НА ТЕМУ

Диференціальні рівняння в економічній науці

Виконав студент відділення

Комп'ютерної інженерії

групи 2К-21 Лазарів Б.А.

Перевірив викладач Кацімон О.В.

Черкаси 2022

План

Вступ

1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни

2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту)

3. Модель росту в умовах конкуренції

4. Динамічна модель Кейнса

5. Неокласична модель росту

6. Модель ринку з прогнозованими цінами

Висновок

Література

Вступ

модель приріст математичний зростання

Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння

y''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтегруванням. Наприклад, функція у = e^x є розв'язком диференціального рівняння у -- у' = 0, бо (є^x)' = e^x.

Функція у = cos x є розв'язком диференціального рівняння у" + у == 0.

Справді, для функції у = cos x, маємо:

у" = - cos x. Підставляючи значення у" в рівняння y" + у = 0, дістанемо - cos x + cos x = 0.

Аналогічно можна переконатися, що функція у = A sin x + В cos x, де А і В -- довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.

Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв`язання цієї задачі допоможе з`ясувати зміст довільних сталих.

Задача. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2), якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4x³.

Розв`язання. У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F, похідною якої є функція f (x) = 4x^3, тобто треба знайти первісну функції y=4x³. Крім того, відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2).

Множина первісних всіх функцій для функції y=4x³ має вигляд F(x) = x⁴+С, де С - довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2), враховується, що коли x=1, значення функції F (1) має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F(x) = x⁴+С замість x число 1, а замість F(x) - число 2, дістанемо 2 = 1 + С, звідки С=1. Підставляючи значення С в ту саму рівність дістанемо, що F(x) = x⁴+1 - шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2).

Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв`язків і допомагають знайти один - потрібний для даної задачі.

Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sin x + В cos x є загальним, а розв'язок у=cos x - окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.

Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається, задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференціального рівняння

уy'+2х=0. (1)

яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х² + у² =а² (2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 3² + 4² = a², звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих початкових умов є функція у, задана рівнянням х² + у² =25.

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1).

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива

х² + у² = 25, а загальним розв'язком x² + y² = а².

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x² + у² = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомогою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.

1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни

У цій моделі розглядають ринок одного товару, неперервно залежний від часу. Нехай Q(t), S(t), P(t) - відповідно попит, пропозиція і ціна цього товару у момент часу t. Будемо вважати, що і попит, і пропозиція лінійні функції від ціни, тобто Q(t) = a-bP(t), a,b>0 (із зростанням ціни попит спадає), S(t) =б-вP(f), б,в>0 (із зростанням ціни пропозиція зростає), причому а>б (для нульової ціни попит перевищує пропозицію, тобто товар бажаний споживачу).

Головним припущенням є те, що збільшення ціни Др прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією за час Дt, тобто

де г>0, або

Підставивши у це рівняння лінійні залежності попиту і пропозиції від ціни, одержимо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою умовою:

Розв'язавши рівняння, маємо:

звідки

де

Точка > 0 є стаціонарною: , бо для P₀<P*

Ціна прямує до Р*, зростаючи, а для Р₀>Р* ціна, спадаючи, теж прямує до Р*. Сама ціна Р* є рівноважна ціна - для неї Q(P*) = S(P*). Рівноважну ціну можна також знайти графічно.

2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту)

Нехай Q = Q(t) - обсяг продукції деякої галузі (підприємства), виробленої за час t. Будемо вважати, що ринок ненасичений, тобто вся продукція буде реалізована, причому за деякою фіксованою ціною Р. Тоді на момент часу t галузь отримає дохід PQ(t). Нехай I = I(t) -величина чистих інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва (чисті інвестиції - це різниця між загальним обсягом інвестицій і амортизаційними витратами).

Якщо т (0<m<l) - норма інвестицій, тобто частина доходу P?Q(t), направлена на розширення виробництва, то

I(t)= m?p?Q(t). (8.1)

Для збільшення інтенсивності випуску продукції необхідно, щоб чисті інвестиції I = I(t) були більше нуля. У випадку І(і) = 0 загальні інвестиції лише покривають амортизаційні витрати і рівень випуску продукції залишається незмінним. Випадок I(t)<0 веде до зменшення основних фондів, що призводить до зменшення рівня випуску продукції. Таким чином, швидкість збільшення випуску продукції (Q'(t)) є зростаючою функцією від I (бо I(t)>0).

Припустимо, що ця залежність прямо пропорційна, тобто має місце так званий принцип акселерації:

Q'(t) = l?I(t) (l = const), (8.2)

де - норма акселерації.

Підстановкою у формулу (8.2) значення I з формули (8.1), одержимо:

Q'(t)=l?m?P?Q(t).

або

Q' = kQ, де k = lmP. (8.3)

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Знайдемо його загальний розв'язок:

Якщо у початковий момент часу г₀ обсяг продукції становить Q₀, то

звідки

Отже, частинний розв'язок рівняння (8.3)

 (8.4)

Рівняння (8.4) називають рівнянням росту. Цим рівнянням можна описати також динаміку зміни цін для постійного темпу інфляції, процеси радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.

3. Модель росту в умовах конкуренції

Розглянемо більш загальний випадок. Нехай ціна Р = P(Q) - спадна функція тобто із збільшенням випуску продукції відбувається насичення ринку і ціна спадає. Тоді з формул (8.1), (8.2) одержимо рівняння:

Q'(t) = l?m?P(Q)-Q(t),

або

Q'=б Р(Q)?Q, де б = lт. (8.5)

Оскільки всі множники у правій частині цього рівняння додатні, Q'>0, тобто функція Q зростає. Характер зростання функції Q(t) (опуклість) визначається знаком другої похідної:

де - еластичність попиту. Розглянемо два випадки:

I. Попит еластичний, тобто Тоді Q">0 і функція Q опукла вниз. Це означає прискорення зростання обсягу продукції.

II. Нееластичний попит Тоді Q"<0 і функція Q - опукла вгору, що означає уповільнення росту обсягу продукції (насиченість ринку). У найпростішому випадку, коли залежність Р = P(Q) лінійна, тобто

P(Q) = a-bQ, а>0, b>0,

рівняння (8.5) матиме вигляд:

Q' = б (a-bQ)-Q. (8.6)

Розв'яжемо це рівняння:

(8.7)

Графік функції (8.7) називають логістичною кривою. Легко бачити, що Q'=0, коли Q = 0, або Q =a/b, і Q = a/2b- точка перегину:

Кривою такого типу можна описати також деякі моделі розповсюдження інформації (реклами), динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в обмеженому середовищі тощо.

4. Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає основні компоненти динаміки витрат та доходів економіки деякої країни. Нехай Y(t)- національний дохід, E(t) - державні витрати, S(t)- споживання, I(t)- інвестиції. Тоді можна скласти такі співвідношення:

де a(t) - коефіцієнт схильності до споживання (0<а(t)<і), b(t)-кінцеве споживання, k(t) - норма акселерації. Всі величини розглядаються як функції від часу t і додатні.

Перше рівняння системи означає, що сума всіх витрат повинна дорівнювати національному доходу. У другому рівнянні відображено, що загальне споживання складається з внутрішнього споживання деякої частини національного доходу та кінцевого споживання. І, нарешті, величина інвестицій не може бути довільною: вона визначається добутком норми акселерації на граничний національний дохід. Будемо вважати, що функції a(t), b(t), k(t), E(t) відомі. Необхідно знайти динаміку національного доходу (зміну доходу залежно від часу).

Підставимо вирази з другого та третього рівнянь системи у перше та зробимо елементарні перетворення. Одержимо лінійне рівняння першого порядку відносно функції Y(t):

У найпростішому випадку, коли функції a(t), b(t), k(t), E(t) є сталими величинами, маємо рівняння

(8.8)

За формулою (3.3) §4 знайдемо розв'язки:

(Частинний розв'язок було знайдено за умови Y' = 0, його називають рівноважним розв'язком). Інтегральні криві рівняння (8.8) мають вигляд:

Якщо у початковий момент часу Y₀<Y*, то С = Y₀-Y*<0 і криві прямують вниз від рівноважного розв'язку, тобто національний дохід з часом зменшується. Якщо ж Y₀>Y*, то С = Y₀-Y*>0 і національний дохід зростає - інтегральні криві прямують вгору від рівноважної прямої.

5. Неокласична модель росту

Нехай Y = F(K,L) - національний дохід, отриманий за рахунок капіталовкладень К і витрат праці L, F(K,L)- однорідна виробнича функція (F(tK,tL) = tF(K,L)). Цю умову, наприклад, задовольняє виробнича функція Кобба-Дугласа. Позначимо

де k = K/L- фондоозброєність. Як відомо, f'(k) > 0, f”(k) < 0. Припустимо, що:

1) відбувається природний приріст трудових ресурсів, тобто

L' = бL (б = const). (8.9)

2) інвестиції спрямовані як на збільшення виробничих фондів, так і на амортизацію, тобто

І = К' + вК

(в - норма амортизації).

Нехай I - норма інвестицій (тобто I=lY), тоді

lY = K' + вK K' =lY-вK. (8.10)

З означення фондоозброєності маємо:

Ln k = lnK - lnL, тoмy (In k)' = (lnK - ln.L)',

отже

Підставивши у цю формулу значення L' і К' з (8.9) і (8.10), одержимо

Враховуючи, що , остаточно отримаємо рівняння:

(8.11)

яке називають рівнянням неокласичного росту. Стаціонарний розв'язок к* рівняння (8.11) знаходимо з початкової умови Криву називають стаціонарною кривою.

Нехай к - величина фондоозброєності, для якої досягається повна зайнятість. Знайдемо норму інвестицій, що забезпечує зайнятість робітників. З умови задачі випливає, що , тобто

.

6. Модель ринку з прогнозованими цінами

У простих моделях ринку (наприклад, модель Еванса) вважають, що попит і пропозиція залежать тільки від поточної ціни на товар. Однак у реальних ситуаціях попит і пропозиція залежать не тільки від ціни Р, але й від тенденції ціноутворення (тобто від Р'), і від темпів зміни ціни ( Р'). Розглянемо конкретний приклад.

Нехай функції попиту Q(t) і пропозиції S(t) залежать від ціни Р(t) таким чином:

Треба знайти залежність ціни від часу. Оскільки в точці рівноваги Q(t)=S(t). маємо: 3P"-P'-2P+18 S(t) = 4P"+P'+3P+3, або

Р" + 2Р' + 5Р = 15. (8.12)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Загальний розв'язок цього рівняння є сумою якогось його частинного розв'язку і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння Р"+2Р'+5Р = 0.

Характеристичне рівняння P²+2P'+5P = 0 має корені к_1,2 = -1±2і.

Звідси загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння має вигляд

Частинним розв'язком рівняння (8.12) візьмемо Р = Р_st - сталу, що задовольняє рівняння і яку будемо називати стаціонарною ціною. Підставивши цей розв'язок у рівняння (8.12), одержимо:

P_st=3.

Таким чином, загальний розв'язок рівняння (8.12) має вигляд

(8.13)

Легко бачити, що тобто всі ціни з коливаннями прямують до стаціонарної ціни, причому амплітуда цих коливань з часом затухає.

Припустимо тепер, що в початковий момент часу відомі ціна і тенденція її зміни:

t=0; P= 4, Р' = 1.

Підставивши першу умову у (8.13), одержимо

тобто

Продиференціюемо цю рівність:

З другої умови задачі Коші маємо

Р'(0) = 2С₂-1 = 1 С₂=1.

Остаточно розв'язок задачі Коші має вигляд



Висновок

Теорія звичайних диференціальних рівнянь є одним з найпотужніших інструментів пізнання довколишнього світу. Вона дозволяє вивчати й досліджувати різноманітні еволюційні процеси, що мають властивості детермінованості, скінченновимірності, диференційованості тощо. Процес називається детермінованим, якщо його майбутній розвиток і минуле однозначно визначаються його станом у теперішній час. Множину всіх можливих станів процесу називають фазовим простором. У класичній механіці розглядають рух систем, майбутнє й минуле яких однозначно визначається початковими положеннями та початковими швидкостями всіх точок системи. Фазовий простір механічної системи - це множина, елементами якої є набір положень і швидкостей усіх точок даної системи. Рух частинок у квантовій механіці вже неможливо описати за допомогою детермінованого процесу. Розподіл тепла - це приклад напівдетермінованого процесу, оскільки майбутнє визначається теперішнім станом, а минуле не може бути визначеним. Процес називається скінченновимірним, якщо його фазовий простір скінченновимірний. Це означає, що кількість параметрів, потрібних для опису його стану, скінченна. Однак можуть досліджуватися й нескінченновимірні процеси. Прикладами процесів, які неможливо описати за допомогою скінченного фазового простору, є рух рідини, коливання мембрани, поширення хвиль тощо. Диференційованість процесу визначається тим, що його фазовий простір має структуру диференційованого багатовиду, а зміна стану в часі описується диференційованими функціями. Наприклад, задачі, що досліджуються в теорії удару, не мають властивості диференційованості.

Література

1. http://csc.knu.ua/en/library/books/Differential.pdf

2. https://ukrreferat.com/chapters/ekonomichny-temi-rizne/zastosuvannya-diferentsialnih-rivnyan-u-zadachah-ekonomichnoi-dinamiki-referat.html

3. https://ukrreferat.com/chapters/matematika/diferentsialni-rivnyannya-pershogo-poryadku-referat.html

4. Амелькін В.В. Диференціальні рівняння у додатках. М: Наука, 1987

5. Арнольд В.І. Прості диференціальні рівняння. М.: Наука, 1984.

6. Камке Е. Довідник по звичайним диференціальним рівнянням. М.: Наука, 1971

Размещено на Allbest.ru