Сходимость рядов
Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.09.2010 |
| Размер файла | 127,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
ВАРИАНТ 9.3.
Найти область сходимости указанных рядов
9.3.1.
а)
По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)
.
б)
Отсюда следует, что при ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.
Рассмотрим случай
Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд
При аналогично получим ряд , ряд сходится условно.
Ответ:
9.3.2.
а)
. По признаку Даламбера ряд сходится, если .
Ряд будет сходится при
Первый случай или
В промежутке ряд сходится.
Второй случай
В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы интервала.
При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида -- -1+1-1+1-1+…
Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).
При получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.
б)
Ряд будет сходиться при .
1)
в интервале ряд сходится.
2)
в интервале 3<x<8 ряд сходится.
Общий интервал сходимости -2<x<8.
На концах интервала х=-2, имеем ряд:
-- расходящийся гармонический ряд.
в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.
Ответ: (-2,8]
9.3.3.
а)
Ряд сходится при условии
1)
Решим неравенство:
корней нет, следовательно: -- всегда.
Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Здесь ряд сходится.
Исследуем концы интервалов:
1) . Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .
2)
б)
.
Ряд сходится при .
1) интервал сходимости .
2) интервал сходимости .
Исследуем границы интервала.
1)
По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд -- расходится.
2) .
Сравним с рядом по второму признаку сравнения
расходится, то расходится и ряд .
3.9.4.
а)
Ряд сходится при
1) тогда
корней нет, .
Решаем неравенство:
.
Решаем полученное неравенство:
В промежутке (1,3) ряд сходится.
На концах интервала имеем:
1)
Ряд расходится, т.к. .
2)
б)
Ряд сходится при условии или
Интервал сходимости .
На концах интервала.
1)
-- ряд расходится, т.к. расходится ряд .
2)
Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.
9.3.5.
а)
Ряд сходится при условии .
1)
2)
Исследуем концы интервала:
1)
2)
б)
Ряд сходится при условии откуда
9.3.6.
а)
Ряд сходится при
и корней нет, следовательно, имеет условие
Интервал сходимости .
Исследуем концы интервалов:
1)
Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница
-- выполняется
Ряд сходится при
Получим такой же ряд.
б)
Проверяем признак Даламбера:
Условие сходимости
На концах интервала имеем:
1)
Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.
Ряд сходится условно при .
Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.
.
9.3.7.
а)
Проверяем концы интервалов
1)
Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.
При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).
б)
9.3.8.
а)
Условие сходимости .
Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид
Интервал сходимости .
На концах интервала
Получаем один и тот же ряд
.
Члены этого ряда не меньше членов ряда , следовательно, ряд расходится.
б)
Условие сходимости
На краях интервалов:
1) . Получается ряд:
Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.
2)
9.3.9.
а)
1. Если , т.е. и необходимо решить неравенство: . Получается интервал .
2.
Интервал с учетом .
На концах интервала:
1)
Ряд сходится. Аналогично при .
.
б)
Интервал сходимости определяется неравенством
9.3.10.
а)
Найдем дискриминант числителя
б)
1)
2)
1.
2.
Подобные документы
Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Понятие знакочередующихся рядов. Последовательность частичных сумм четного и нечетного числа членов. Исследование сходимости ряда. Проверка выполнения признака Лейбница. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда.
презентация [82,8 K], добавлен 18.09.2013Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.
контрольная работа [266,9 K], добавлен 27.12.2010Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010
