Сходимость ряда на концах интервала. Дифференциальные уравнения. Задачи на неопределённый интеграл
Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.04.2013 |
| Размер файла | 73,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Контрольная работа по высшей математике
1. Ситуационная (практическая) задача № 1
Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
Решение.
Подставив последовательно , запишем данный ряд в виде:
Так как среди коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости ряда по формуле:
,
где
,
,
.
Следовательно, ряд сходится при:
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.
При данный ряд принимает вид:
Сравним ряд с гармоническим рядом .
Применим второй признак сравнения:
Так как полученный предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд расходится, то ряд также расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.
При данный ряд принимает вид:
.
Последний ряд является знакочередующим рядом.
По признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:
1.
2.
,
т.е.
Выполняются два условия сходимости знакочередующего ряда, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится.
Но знакопеременный ряд сходится условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .
Ответ. Область сходимости данного ряда
2. Ситуационная (практическая) задача № 2
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию
Решение.
Дано дифференциальное уравнение 1 порядка. Решаем его по методу Бернулли.
Заменим функцию произведением двух неизвестных функций и , положим .
Тогда:
Подстановка и в уравнение дает
.
Преобразуем это уравнение:
Положим , и тогда:
при любом значении .
Из уравнения находим:
При найденном значении линейное уравнение принимает вид: . Подставляем значение в уравнение , получим
Зная, что и , находим:
Проверка.
,
Подставим значения и в заданное уравнение
Получили тождество, следовательно, найденное решение уравнения правильно.
Находим частное решение при .
- частное решение при
Ответ: - общее решение уравнения.
- частное решение при
3. Тестовые задания
ряд сходимость лейбниц дифференциальный уравнение интеграл
1. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. А.
2. Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл:
А.,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. А.
3. Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый интеграл:
А. ,
Б.
В.
Г.
Ответ. Г.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
,
А. 3/2;
Б. 125/6;
В. 9/2;
Г. 9
Ответ. В. 9/2
5. Вычислить:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. В.
6. Выберите сходящийся ряд:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. А.
7. Выберите абсолютно сходящийся ряд:
А. ,
Б. ,
В. ,
Г.
Ответ. Г.
8. В точке ряд
А. расходится,
Б. сходится абсолютно,
В. сходится условно,
Г. может, как сходиться, так и расходиться.
Ответ. А. расходится
9. При каком значении параметра функция является решением уравнения
А. ,
Б.,
В. ,
Г.
Ответ. А. .
10. Найти общее решение уравнения:
А. ,
Б. ,
В.,
Г.
Ответ. А.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010Интервал сходимости степенного ряда, исследование его сходимости на концах этого интервала. Решение дифференциальных уравнений и частных решений, удовлетворяющих начальному условию. Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменных.
контрольная работа [72,2 K], добавлен 08.04.2013Понятие пределов функции, нахождение ее точки экстремума, промежутков возрастания и убывания. Определенный, неопределенный и несобственный интервал. Исследование степенного ряда на сходимость на концах интервала. Решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [116,5 K], добавлен 01.05.2012Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.
контрольная работа [266,9 K], добавлен 27.12.2010
