Функция плотности распределения
Графическое изображение теоретической и эмпирической функций плотности распределения; критерии их согласования. Определение доверительных интервалов для математического ожидания. Расчет диапазона рассеивания значений при заданной вероятности риска.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.06.2011 |
| Размер файла | 519,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание
|
номер интервала |
границы интервалов t |
частота m |
||
|
свыше |
до(включительно) |
|||
|
1 |
57,997 |
57,999 |
2 |
|
|
2 |
57,999 |
58,001 |
2 |
|
|
3 |
58,001 |
58,003 |
8 |
|
|
4 |
58,003 |
58,005 |
25 |
|
|
5 |
58,005 |
58,007 |
33 |
|
|
6 |
58,007 |
58,009 |
50 |
|
|
7 |
58,009 |
58,011 |
65 |
|
|
8 |
58,011 |
58,013 |
71 |
|
|
9 |
58,013 |
58,015 |
32 |
|
|
10 |
58,015 |
58,017 |
37 |
|
|
11 |
58,017 |
58,019 |
26 |
|
|
12 |
58,019 |
58,021 |
6 |
|
|
13 |
58,021 |
58,023 |
3 |
1. Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений
функция плотность распределение математический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi), по оси ординат - частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.
Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки- соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию S2, характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений. и S2 определяются из выражений:
Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:
,
где .
Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h
.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:
|
Середина интервала xi |
Эмпирич. частости P'i |
mixi |
xi- |
zi |
mixi2 |
цi(z) |
Pi |
||
|
57,998 |
0,006 |
115,996 |
-0,01285 |
2,874965 |
6727,536 |
0,006399 |
0,002863 |
||
|
58 |
0,006 |
116 |
-0,01085 |
2,4275 |
6728 |
0,020956 |
0,009377 |
||
|
58,002 |
0,022 |
464,016 |
-0,00885 |
1,980034 |
26913,86 |
0,056179 |
0,025138 |
||
|
58,004 |
0,069 |
1450,1 |
-0,00685 |
1,532569 |
84111,6 |
0,123277 |
0,055162 |
||
|
58,006 |
0,092 |
1914,198 |
-0,00485 |
1,085103 |
111035 |
0,221427 |
0,099081 |
||
|
58,008 |
0,139 |
2900,4 |
-0,00285 |
0,637638 |
168246,4 |
0,325553 |
0,145674 |
||
|
58,01 |
0,181 |
3770,65 |
-0,00085 |
0,190173 |
218735,4 |
0,391793 |
0,175314 |
||
|
58,012 |
0,197 |
4118,852 |
0,00115 |
0,257293 |
238942,8 |
0,385954 |
0,172701 |
||
|
58,014 |
0,089 |
1856,448 |
0,00315 |
0,704758 |
107700 |
0,311212 |
0,139257 |
||
|
58,016 |
0,103 |
2146,592 |
0,00515 |
1,152223 |
124536,7 |
0,20541 |
0,091914 |
||
|
58,018 |
0,072 |
1508,468 |
0,00715 |
1,599689 |
87518,3 |
0,110976 |
0,049658 |
||
|
58,02 |
0,017 |
348,12 |
0,00915 |
2,047154 |
20197,92 |
0,049077 |
0,02196 |
||
|
58,022 |
0,008 |
174,066 |
0,01115 |
2,494619 |
10099,66 |
0,017765 |
0,007949 |
||
|
Сумма |
20883,91 |
1211493 |
|
= |
58,01085 |
|
|
S2= |
1,99775E-05 |
|
|
S= |
0,00446962 |
2. Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - ) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:
,
где N - объем выборки.
Вычисление эмпирических F'i и теоретических Fi значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P'i и Pi. Результаты вычислений сведены в таблицу:
|
Номер интервала |
Pi |
P'i |
Fi |
F'i |
Fi-Fi' |
|
|
1 |
0,002863 |
0,005556 |
0,002863 |
0,005556 |
0,002692 |
|
|
2 |
0,009377 |
0,005556 |
0,01224 |
0,011111 |
-0,00113 |
|
|
3 |
0,025138 |
0,022222 |
0,037379 |
0,033333 |
-0,00405 |
|
|
4 |
0,055162 |
0,069444 |
0,092541 |
0,102778 |
0,010237 |
|
|
5 |
0,099081 |
0,091667 |
0,191622 |
0,194444 |
0,002823 |
|
|
6 |
0,145674 |
0,138889 |
0,337295 |
0,333333 |
-0,00396 |
|
|
7 |
0,175314 |
0,180556 |
0,512609 |
0,513889 |
0,00128 |
|
|
8 |
0,172701 |
0,197222 |
0,68531 |
0,711111 |
0,025801 |
|
|
9 |
0,139257 |
0,088889 |
0,824566 |
0,8 |
-0,02457 |
|
|
10 |
0,091914 |
0,102778 |
0,91648 |
0,902778 |
-0,0137 |
|
|
11 |
0,049658 |
0,072222 |
0,966138 |
0,975 |
0,008862 |
|
|
12 |
0,02196 |
0,016667 |
0,988098 |
0,991667 |
0,003568 |
|
|
13 |
0,007949 |
0,008333 |
0,996048 |
1 |
0,003952 |
DN= F'8 - F 8= 0,025801,
N=mi=360,
Тогда получаем:
л= 0,48953
Для N=0,52 0,05 (1 - 0,05)=0,95 >0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.
3. Определение доверительных интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:
Значения tг табулированы и равняется tг = 2,18 для N=13 и г*=0,95.
58,00814756 <M< 58,01355244
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:
Значения ч12, ч22 табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей г1, г2:
Значение ч12 определяем при вероятности (1- г1), ч22 - при г2.
ч12=24,1 ч22=4,18
И тогда
|
0,003024897 |
<у< |
0,008194587 |
4. Определение диапазона рассеивания значений
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027 .
М =58,01085
S =0,00446962
М-3 57.997442
М+3 58.024258
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2в=0,001
М±у
=0,4995 при этом =3,29 (по справочнику)
М-3,29=57,996146
М+3,29=58,025554
Список использованной литературы
1. Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятность срабатывания устройств при аварии. Расчет математического ожидания, дисперсии и функции распределения по заданному ряду распределения. Построение интервального статистического ряда распределения значений статистических данных.
контрольная работа [148,8 K], добавлен 12.02.2012Определение вероятности наступления заданного события. Расчет математических величин по формуле Бернулли и закону Пуассона. Построение эмпирической функции распределения, вычисление оценки математического ожидания и доверительных интегралов для него.
курсовая работа [101,9 K], добавлен 26.03.2012Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Пространства элементарных событий. Совместные и несовместные события. Функция распределения системы случайных величин. Функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин. Условные плотности распределения.
задача [45,4 K], добавлен 15.06.2012Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Понятие вариационного ряда, статистического распределения. Эмпирическая функция и основные характеристики математического ожидания выборочной дисперсии. Точечные и интервальные оценки распределений. Теория гипотез - аналог теории доверительных интервалов.
контрольная работа [172,9 K], добавлен 22.11.2013Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010
