Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков

21

ОГЛАВЛЕНИЕ

I. Введение.

II. Главная часть:

1) Построение отрезка, равного произведению двух других с помощью циркуля и линейки:

a) первый способ построения;

b) второй способ построения;

c) третий способ построения,

d) четвёртый способ построения.

2) Построение отрезка, равного отношению двух других с помощью циркуля и линейки:

d) первый способ построения;

e) второй способ построения.

Заключение.

Приложение.

Введение

Геометрические построения, или теория геометрических построений - раздел геометрии, где изучают вопросы и методы построения геометрических фигур, используя те или иные элементы построения. Геометрические построения изучаются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях, как на плоскости, так и в пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль и линейка (односторонняя математическая), однако, существуют построения другими инструментами: только одним циркулем, только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и её центр, только одной линейкой с параллельными краями и.т.д.

Все задачи на построение опираются на постулаты построения, то есть на простейшие элементарные задачи на построение, и задача считается решённой, если она сведена к конечному числу этих простейших задач-постулатов.

Естественно, каждый инструмент имеет свою конструктивную силу - свой набор постулатов. Так, известно, что разделить отрезок, пользуясь только одной линейкой, на две равные части нельзя, а пользуясь циркулем, можно.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнить, - построение окружности, касающейся трёх данных окружностей.

В школе изучают ряд простейших построений циркулем и линейкой (односторонней без делений): построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой; деление пополам заданного угла, деление отрезка на несколько равных частей, используя теорему Фалеса (по сути дела - деление отрезка на натуральное число); построение отрезка большего данного в целое число раз (по сути -умножение отрезка на натуральное число). Однако, нами нигде не встречалась задача, где надо было бы с помощью циркуля и линейки умножить отрезок на отрезок, то есть построить отрезок, равный произведению двух данных отрезков, или деление отрезка на отрезок, то есть построить отрезок, равный отношению двух других отрезков. Нам показалась данная проблема очень интересной, и мы решили её исследовать, попытаться найти решение и возможность применения найденного метода решения к решению других задач, например, в математике и физике.

При решении задач на построение традиционная методика рекомендует нам четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Однако, указанная схема решения задач на построение считается весьма академичной, и для её осуществления требуется много времени, поэтому часто отдельные этапы традиционной схемы решения задачи опускаются, например, этапы доказательства, исследования. В своей работе по возможности мы использовали все четыре этапа, да и то только там, где была в этом необходимость и целесообразность.

И последнее: найденный нами метод построения вышеназванных отрезков предполагает использование, помимо циркуля и линейки, произвольно выбранного единичного отрезка. Введение единичного отрезка диктуется ещё и тем, что он необходим хотя бы для того, чтобы подтвердить справедливость найденного нами метода нахождения отрезка на конкретных частных примерах.

ОБЩАЯ ПРОБЛЕМА І

С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный произведению двух других отрезков.

Примечание:

предполагается:

1) Линейка - односторонняя, без делений.

2) Задан отрезок единичной длины.

Исследование.

1.Рассмотрим прямые y=2x-2² и y=3x-3² и попробуем найти координаты точки пересечения этих прямых геометрическим и аналитическим методами:

а) геометрический метод (Рис.1) показал, что координаты точки А пересечения этих прямых: «5»-абсцисса, «6»- ордината, т.е. АЕ=5, АД=6.

б) аналитический метод данный результат подтверждает, т.е. А (5;6) - точка пересечения прямых.

Действительно, решив систему уравнений

y=2x-2²

y=3x-3²

найдем:

x=5

y=6 А(5;6)- точка пересечения прямых.

2.Рассмотрим отрезок: ОВ=2, ОС=3, АД=6, АЕ=5.

Можно предположить, что АД=ОВ?ОС, т.к. 6=2?3; АЕ=ОВ+ОС, т.к. 5=2+3 ,где

2=ОВ-угловой коэффициент уравнения y=2x-2² , 3=ОС - угловой коэффициент уравнения y=3x-3², АД=у_А, ОД=х_А- координаты точки А пересечения наших прямых.

Наше предположение проверим на общем примере аналитическим методом, т.е. на уравнениях прямых y=mx-m² и y=nx-n² (где m?n) проверим, что точка пересечения прямых имеет координаты:

x=m+n, y=m•n :

y=mx-m²

y=nx-n² nx-n²=mx-m² x=(m²-n²)?(m-n)=m+n и y=mx-m²=m(m+n)-m²=mn

x_A=m+n

y_A=mn

координаты точки А пересечения прямых, где m и n - угловые коэффициенты этих прямых, ч.т.д.

3. Осталось найти метод построения отрезка. АД=ОВ?ОС=m•n=y_А- ординаты точки А пересечения прямых У=mx-m² и У=nx-n², где m?n и m=OB, n=OC- отрезки, отложенные на оси ох. А для этого мы должны найти метод построения прямых У=mx-m² и У=nx-n². из рассуждений видно, что эти прямые должны пройти через точки В и С отрезков OB=m и OC=n, которые принадлежат оси ох.

Замечание 1. Вышеназванные обозначения отрезков соответствуют рис.1 «Приложения»

Первый способ построения отрезка AD=mn, где m>1ед., n>1ед., m?n.

Дано:

1ед

единичный отрезок

m

произвольный отрезок, m>1eд., n>1eд.

n произвольный отрезок, где m?n.

Построение (Рис.2)

1. Проведём прямую ОХ

2. На ОХ отложим ОА₁=m

3. На ОХ отложим А₁С₁=1ед

4. Построим С₁В₁=m, где С₁В₁+ ОХ

5. Проведём прямую А₁В₁, уравнение которой y=mx-m² в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

Примечание:

1. При желании можно легко убедиться, что во всех предлагаемых нами способах построения отрезков (m* n или k/m) длина единичного отрезка может быть любой, т.е. найденные нами методы построения вышеназванных отрезков универсальны.

2.

Здесь и далее каждое действие может быть выполнено либо линейкой, либо циркулем. Отсутствие следов циркуля упрощает чтение чертежей.

Рис.2

Замечание 1.

Действительно, тангенс угла наклона этой прямой tgЬ₁= С₁В₁/А₁С₁=m/1ед=m, которая проходит через точку А₁ отрезка ОА₁=m.

Анологично строим прямую, уравнение которой У=nx-n².

6.На оси ОХ отложим ОА₂=n (точка А₂ случайно совпала с точкой С1).

7.На оси ОХ отложим А₂С₂=1ед.

8.Строим В₂С₂=n, где В₂С₂+ОХ.

9.Проведём прямую В₂А₂, уравнение которой У=nx-n².

Замечание 2. Действительно, тангенс наклона этой прямой tg Ь₂=C₂B₂/A₂C₂=n/1ед=n, которая проходит через т. А₂ отрезка ОА₂=n.

10. Получили т.А (m+n; mn) - точку пересечения прямых У=mx-m² и У=nx-n²

11. Проведем АД, перпендикулярную ох, где Д принадлежит оси ох.

12. Отрезок АД=mn (ордината т. А), т.е. искомый отрезок.

Замечание 3. а) действительно, если в нашем примере, n=4ед., m=3 ед., то должно быть АД=mn=3ед.•4ед.=12ед. У нас так и получилось: АД=12ед.; б) прямая В₁В₂ в этом построении не использовалась. В В - тоже.

Существует ещё, по крайней мере, три разных способа построения отрезка АД=mn.

Второй способ построения отрезка АД=mn, где m>1ед, n>1ед, m и n-любые.

Анализ

Анализ ранее построенного чертежа (рис.2), где с помощью найденного способа построения прямых У=mx-m² и У=nx-n² нашли т.А (m+n; mn) (это первый способ), подсказывает, что т.А(m+n; mn) можно найти построением любой из этих прямых ( У=mx-m² или У=nx-n²) и перпендикуляра АД, где АД - перпендикуляр к ОХ, АД=mn, Д принадлежит оси ОХ. Тогда искомая точка А (m+n; mn) является точкой пересечения любой из этих прямых и перпендикуляра АД. Достаточно найти углы наклона этих прямых, тангенсы которых, согласно угловым коэффициентам, равны m и n, т.е. tg Ь₁₌m и tg Ь₂=n. Учитывая, что tg Ь₁=m/1ед=m и tg Ь₂=n/1ед=n, где 1ед-единичный отрезок, можно легко построить прямые, уравнения которых У=mx-m² и У=nx-n².

Дано:

1ед.

единичный отрезок

m m>1eд

n n>1ед., m и n-любые числа.

Построение (Рис.3)

Рис.3

1.Проведём прямую ОХ.

2.На оси ОХ откладываем отрезок ОА₁=m.

3.На оси ОХ отложим отрезок А₁Д=n.

4.На оси ОХ отложим отрезок А₁С₁=1ед.

5.Строим С₁В₁=m, где С₁В₁+ОХ.

6.Проведём прямую А1В1, уравнение которой У=mx-m2, в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый).

7.Востанавливаем перпендикуляр к ОХ в точке D.

8.Получаем точку А (m+n; mn) - точку пересечения прямой У=mx-m2 и перпендикуляра AD

9.Отрезок AD=mn, то есть искомый отрезок.

Вывод: Этот второй способ универсальнее первого способа, так как позволяет найти точу А(m+n;mn) и тогда, когда m=n>1ед., тогда координаты этой точки А(2m;m²) и AD=m².

Другими словами этот метод позволяет найти отрезок, равный квадрату данного, длина которого больше 1ед.

Замечание: Действительно, если в нашем примере m=3ед., n=5ед., то должно быть AD=mn=3ед.?5ед.=15ед. У нас так и получилось: AD=15ед.

Третий способ построения отрезка AD=mn, где m>1ед, n>1ед и m?n.

Анализ.

Используя рисунок №2, проведём штриховой линией прямую В₁В₂ до пересечения с ОХ в точке Е € ОХ, и прямую В₁В + В₂С₂, тогда <Ь=<B₁EC₁=45?. Действительно, ?В₁ВВ₂, ?ЕС₁В₁ и ?ЕС₂В₂- прямоугольные, подобные и равнобедренные, т.к.

В₁В=С₁С₂=ОС₂-ОС₁=(n+1ед.)-(m+1ед)=n-m, а В₂В=В₂С₂-В₁С₁=m-n => В₁В=В₂В=>?В₁ВВ₂- равнобедренный, прямоугольный>?ЕС₁В₁- равнобедренный, прямоугольный => Ь=45?

Т.к. ОС₁=m+1ед., а ЕС₁=В₁С₁=m, то ОЕ=ОС₁-ЕС₁=m+1ед.-m=1ед.

Из рассуждений следует, что точки В₁ и В₂ можно найти по-другому, т.к. они являются точками пересечения прямой ЕВ₁, проведённой под углом Ь=45? к оси ОХ и перпендикуляров к ОХ: В₁С₁ и В₂С₂, а ОЕ=1ед.Дальше, используя уже предыдущие методы будем иметь следующий способ построения.

Дано:

1ед.

21

- единичный отрезок.

m m>1ед.

n n>1ед., и m?n.

Построение (Рис.4)

1.Проведём прямую ОХ.

2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

3.Отлтжим ЕС₁=m, где С₁ € ОХ.

4.Восстановим перпендикуляр в точке С₁ к оси ОХ.

5.Построим Ь=С₁ЕВ₁=45?, где В_{1 -} точка пересечения перпендикуляра С₁В₁ со стороной Ь=45?.

6.Отложив ОА₁=m, проводим прямую А₁В₁, уравнение которой У=mx-m², А € ОХ.

7.Отложим ОА₂=n, где А₂ € ОХ.

8.Отложим А₂С₂=1ед., где С₂ € ОХ.

9.Восстановим перпендикуляр С₂В₂ к оси ОХ в точке С₂, где В₂- точка пересечения перпендикуляра с прямой ЕВ₁.

10.Проводим прямую А₂В₂, уравнение которой У=nx-n², до пересечения с прямой А₁В₁ в точке А.

11.Опускаем на ОХ из точки А перпендикуляр и получаем AD_, равный mn, где D € ОХ, так как в координатных плоскостях осях ХОУ координаты точки А(m+n;mn).

Рис.4

Замечание: Недостаток данного способа такой же, как у первого способа построения, где построение возможно только при условии m?n.

Четвёртый способ построения отрезка AD=mn, где m и n- любые, большие единичного отрезка.

Дано:

1ед.

21

- единичный отрезок.

m m>1ед.

n n>1ед., m и n- любые.

Построение (Рис.5)

Рис.5

1.Проведём прямую ОХ.

2.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

3.Отлтжим ЕС₁=m, где С₁ € ОХ.

4.Восстановим перпендикуляр в точке С₁ к оси ОХ.

5.Построим Ь=С₁ЕВ₁=45?, где В_{1 -} точка пересечения перпендикуляра С₁В₁ со стороной Ь=45?.

6.Отложив ОА₁=m, проводим прямую А₁В₁, уравнение которой У=mx-m², А € ОХ.

7.Отложим А₁D=n, где D € OX.

8.Восстановим перпендикуляр в точке D до пересечения его в точке А с прямой А₁В₁, уравнение которой У=mx-m².

9.Отрезок перпендикуляра AD = произведению отрезков m и n, то есть AD=mn, так как А (m+n; mn).

Замечание: Этот способ выгодно отличается от первого и третьего способов, где m?n, так как имеем дело с любыми отрезками m и n, единичный отрезок может быть меньше только одного из них, участвующего в начале построения (у нас m>1ед.).

Общая проблема ІІ

С помощью циркуля и линейки построить отрезок, равный отношению двух других отрезков.

Примечание:

единичный отрезок меньше отрезка делителя.

Первый способ построения отрезка n=k/m, где m>1ед.

Дано:

1ед.

21

- единичный отрезок.

m m>1ед.

k

21

(k=mn)

Построение (Рис.6)

1.Строим координатные оси ХОУ.

2.На ОУ отложим ОМ=k.

3. На ОХ отложим ОА₁=m.

4.На ОХ отложим А₁С₁=1ед.

5.Построим С₁В₁=m, где С₁В₁+ ОХ.

6. Проведём прямую А₁В₁, уравнение которой y=mx-m² в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

7.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А- точка пересечения МА с прямой А₁В₁ (т.е. А € А₁В₁).

8.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

9.Отрезок А₁D= n - искомый отрезок, равный n=k/m.



Рис.6

Доказательство:

1.Уравнение прямой А₁В₁ действительно У=mx-m², при У=0 имеем 0=mx-m² => x=m=OA_{1, т}а угловой коэффициент - tg<B₁A₁C₁=B₁C₁/А₁С₁=m/1ед.=m.

2.В ?АDA₁ tg<AA₁D=AD/A₁D=B₁C₁/A₁C₁=>A₁D=AD?A₁C₁/B₁C₁=k?1ед./m=mn/m=n, т.е. А₁D=n=k/m - искомый отрезок.

Замечание. Действительно, если в нашем примере m=3ед., k=15ед., то должно быть A₁D=n=k/m=15ед./3ед.=5ед. У нас так и получилось.

Второй способ построения отрезка n=k/m, где m>1ед.

Дано:

1ед.

21

- единичный отрезок.

m m>1ед.

k

21

(k=mn)

Рис.7

1.Строим координатные оси ХОУ.

2.На ОУ отложим ОМ=k.

3.Отложим ОЕ=1ед., где Е € ОХ.

4.Отложим ЕС₁=m, где С₁ € ОХ.

5.Восстановим перпендикуляр в точке С₁ к оси ОХ.

6.Строим С₁ЕВ₁=45?, где В₁ - точка пересечения перпендикуляра С₁В₁ со стороной угла С₁ЕВ₁= 45?.

7. На ОХ отложим ОА₁=m.

8. Проведём прямую А₁В₁, уравнение которой y=mx-m² в координатных осях ХОУ (масштаб на осях одинаковый, равный 1ед.).

9.Восстановим перпендикуляр МА в точке М к оси ОУ, где А - точка пересечения МА с прямой А₁В₁ (т.е. А € А₁В₁).

10.Опустим перпендикуляр из точки А на ось ОХ до пересечения его с осью ОХ в точке D. Отрезок AD=ОМ=k=mn.

11.Отрезок А₁D=n - искомый отрезок, равный n=k/m.

Доказательство:

1.?В₁С₁Е - прямоугольный и равнобедренный, так как С₁ЕВ₁=45? =>В₁С₁=ЕС₁=m.

2.А₁С₁=ОС₁- ОА₁=(ОЕ+ЕС1) - ОА₁=1ед+m-m=1ед.

3.Уравнение прямой А₁В₁ действительно У=mx-m², при У=0 имеем 0=mx-m² => x=m=OA_1, а угловой коэффициент - tg<B₁A₁C₁=B₁C₁/А₁С₁=m/1ед.=m.

4.В ?АDA₁ tg<AA₁D=AD/A₁D=B₁C₁/A₁C₁=> A₁D=AD?A₁C₁/B₁C₁=k ?1ед./m=mn/m=n, т.е. А₁D=n=k/m - искомый отрезок.

Заключение

В своей работе мы нашли и исследовали различные методы построения с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению или отношению двух других отрезков, предварительно дав своё определение этим действиям с отрезками, так как ни в одной специальной литературе мы не смогли найти не только определение умножения и деления отрезков, но даже упоминания об этих действиях над отрезками.

Здесь нами было использовано практически все четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

В заключение мы бы хотели отметить возможность применения найденных методов построения отрезков в отдельных разделах физики и математики.

1. Если продлить прямые y=mx-m² и y=nx-n² (n>m>0) до пересечения с осью ОУ, то можно получить отрезки, равные m², n², n²- m² (Рис.8), где ОК=m², ОМ= n², КМ= n²- m².



Рис.8

Доказательство:

Если х=0, то y=0-m² =>ОК=m².

Аналогично доказывается, что ОМ= n²=>КМ=ОМ-ОК= n²- m².

2. Так как произведение двух отрезков есть площадь прямоугольника со сторонами, равными этим отрезкам, то, найдя отрезок, равный произведению двух других, тем самым мы представляем площадь прямоугольника в виде отрезка, длина которого численно равна этой площади.

3. В механике, термодинамике есть физические величины, например, работа (А=FS,A=PV), численно равные площадям прямоугольников, построенных в соответствующих координатных плоскостях, поэтому в задачах, где требуется, например, сравнить работы по площадям прямоугольников, очень просто это сделать, если эти площади представить в виде отрезков, численно равных площадям прямоугольников. А отрезки легко сравнить между собой.

4. Рассмотренный метод построения позволяет строить и другие отрезки, например, используя систему уравнений y=mx-m³ и y=nx-n³, можно построить отрезки, имея данные m и n такие, как m² +mn+n² и mn(m+n), так как точка А пересечения прямых, заданных данной системой уравнений, имеет координаты (m² +mn+n² ; mn(m+n), а также можно построить отрезки n³, m³, и разность n³- m³, получаемые на ОУ в отрицательной области при Х=0.

6. Найденный метод нахождения отрезка, равного произведению двух других, позволяет найти отрезки, являющиеся корнями квадратного уравнения. Но решение данной проблемы не входит в тему данной работы.

Данная работа основана на идеях и разработках нашего руководителя Скворцова Александра Петровича, учителя, ветерана педагогического труда.