Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

Сучасний етап розвитку системи освіти в Україні визначається тенденціями до інтеграції у світовій системі освіти, до збереження та зміцнення інтелектуального потенціалу країни, підвищенням рівня конкуренції інтелектуальної продукції. Це зумовлює її подальшу демократизацію, гуманізацію і гуманітаризацію, диференціацію і орієнтацію на всебічний розвиток особистості. Досягнення цього неможливе без застосування сучасних педагогічних та інформаційних технологій, що вимагає подальших глибоких досліджень процесу навчання.

Різке падіння соціального статусу і престижу знань серед молоді поступово змінюється прагненням до одержання такого рівня освіти, яка б забезпечила гідний статус молодої людини у сучасному суспільстві. Така ситуація сприяє росту пізнавальної активності учнів, потягу їх до знань, бажанню працювати над собою. Система освіти України має забезпечити можливості для всебічного розвитку молодої людини як цілісної особистості, повинна сприяти розвитку здібностей і обдарувань, збагачуючи цим самим інтелектуальний потенціал людини, її духовність та культуру [30].

Оновлення змісту освіти у напрямку задоволення сучасних потреб особистості та суспільства вимагає подальшого вдосконалення процесу навчання. Концепція базової математичної освіти в Україні визначає пріоритетність методів активного навчання і новітніх інформаційних технологій навчання [42].

Перетворення знань у переконання досягається лише тоді, коли учні всебічно усвідомлюють навчальний матеріал, коли засвоєні знання є результатом не тільки їхніх розумових зусиль, але й позитивних емоційних переживань. Все це можливе лише за умов високого рівня професійної культури вчителя.

Професійна культура вчителя математики як сукупність його практичних, матеріальних і духовних надбань, що визначають якість його професійної діяльності, тісно пов'язана з його математичною культурою, загальною педагогічною і психологічною, методичною і інформаційною, мовною і моральною культурою. Вона передбачає допитливість і працьовитість, творчий підхід до справи, вміння постійно вчитися, підвищувати свою кваліфікацію, орієнтуватися у величезному потоці інформації, яка стосується, зокрема і сфери його професійної діяльності.

Фундамент професійної культури вчителя математики закладається під час його навчання у педагогічному вищому навчальному закладі, зокрема, і в процесі навчання фахових дисциплін, до яких відноситься і курс диференціальних рівнянь. Від міцності цього фундаменту залежить, як швидко і наскільки надійно молодий педагог зможе створити себе як вчителя, щоб бути бажаною персоною не тільки у школі загального профілю, але й у навчальних закладах нового типу (гімназіях, ліцеях, коледжах тощо). Тому проблема удосконалення професійної підготовки вчителя математики в сучасних умовах набуває особливої актуальності.

Питанню професійної підготовки вчителя (зокрема і вчителя математики) присвячена величезна кількість праць. Незважаючи на це, важко стверджувати, що ця проблема повністю розв'язана чи, принаймні, близька до розв'язання. Такого роду проблеми є вічними, оскільки життя ставить все нові задачі, в тому числі і в галузі освіти. Зміни, які відбуваються у сучасній школі, висувають значно вищі вимоги до професійної культури вчителя, а існуюча система навчання і виховання людини не зможе задовольнити ці вимоги, якщо не будуть неперервно удосконалюватися зміст освіти, розроблятися нові методичні системи навчання, створюватися нові програми, підручники, навчальні посібники, дидактичні матеріали, і все це на базі сучасних інформаційно-комунікаційних технологій, з урахуванням досягнень людства у науці, техніці, організації суспільного життя.

Проблема формування професійної культури вчителя математики завжди була в центрі уваги провідних вчених: педагогів, психологів, математиків. Значний науково-теоретичний і практичний досвід розв'язання цієї проблеми знайшов своє відображення у численних публікаціях, серед яких слід виділити роботи Ж. Адамара [2], Г. О. Атанова [6] - [8], Ю. К. Бабанського [9], Г. П. Бевза [11] - [14], М. І. Бурди [21] - [22], М. І. Жалдака [32] - [38], Г. С. Костюка [43] - [44], З. І. Слєпкань [64] - [67], М. І. Шкіля [82] - [83] та багатьох інших.

Роботи З. І. Слєпкань [64] - [67] присвячено психолого-педагогічним основам навчання математики та загальним питанням методики навчання математики.

Проблемі формування математичної культури присвячено численні підручники, посібники, задачники, адресовані як майбутнім, так і працюючим учтелям математики. Серед них особливе місце посідають книги авторів, які є професійними математиками, що активно досліджують суто математичні проблеми, зокрема, серед цих підручників та посібників є книги П. С. Александрова, Б. В. Гнєденка, М. О. Давидова, В. К Дзядика, А. М. Колмогорова, Л. Д. Кудрявцева, М. М. Лузіна, І. П. Натансона, Д. А. Райкова, Г. М. Фіхтенгольца, М. І. Шкіля та багатьох інших.

Тому ми й звернули увагу на те, що майбутні вчителі, викладачі природничо-математичних спеціальностей повинні бути підготовлені до професійної діяльності в конкретному середовищі, в якому кожна ситуація вимагає творчого підходу. В навчальній, методичній, науково-популярній літературі недостатньо розроблена методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах. Це і обумовило вибір теми магістерської роботи: «Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах». В даній роботі розглянуті методичні рекомендації щодо вивчення одного (першого) змістовного модуля курсу «Диференціальні рівняння». Цей матеріал містить розробки планів-конспектів лекцій, практичних та індивідуальних занять, модульних контрольних робіт. Також наявні завдання для самостійної та індивідуальної роботи, розроблені модульні контрольні роботи.

Мета дослідження:

Розробити методику навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах.

Завдання дослідження:

1. Проаналізувати навчальну, методичну, науково-популярну літературу з педагогічного дослідження.

2. Проаналізувати навчальну програму з метою вивчення диференціальних рівнянь у ВУЗах.

3. Теоретично обґрунтувати цілі, зміст, форми, методи і засоби методики навчання диференціальних рівнянь.

4. Розробити та експериментально обґрунтувати методику навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах.

Об'єкт дослідження:

Процес вивчення диференціальних рівнянь у педагогічних вищих навчальних закладах (ВУЗах).

Предмет дослідження:

Цілі, зміст, форми, методи, засоби, контроль та корекція навчання диференціальних рівнянь.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ПЕДАГОГІЧНИХ УНІВЕРСИТЕТАХ

1.1. Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах

Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, перш за все, необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, математики, що складається з двох областей: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з частковими похідними.

Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з їх широким спектром застосування. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи будь-які фізичні явища, дослідник, перш за все, створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін.

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і лише після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвела як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, в свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона є математичною моделлю механічного руху. Так вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Льоверье в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь є багатою, широко розгалуженою теорією.

Рівняння з частковими похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з частковими похідними виникла на основі конкретних фізичних завдань, що приводять до дослідження окремих рівнянь з частковими похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань привело до створення в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

Основи цієї науки були закладені працями Д'аламбера, Ейлера, Бернуллі, Лагранжа і інших учених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних завдань математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвилеві рівняння.

Важливо відзначити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування вирішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичною, хімічною, біологічною) не виходить існування рішення відповідної математичної задачі.

В даний час важливу роль в розвитку теорії диференціальних рівнянь грає застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Дослідження диференціальних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент для виявлення тих або інших властивостей їх рішень, які потім можуть бути теоретично обгрунтовані і стануть фундаментом для подальших теоретичних досліджень.

Отже, перша особливість теорії диференціальних рівнянь - її тісний зв'язок із їхніми застосуваннями. Іншими словами, можна сказати, що теорія диференціальних рівнянь народилася із застосувань. У цьому своєму розділі - теорії диференціальних рівнянь - математика перш за все виступає як невід'ємна частина природознавства, на якій грунтується вивід і розуміння кількісних і якісних закономірностей, складового змісту наук про природу.

Саме природознавство є для теорії диференціальних рівнянь чудовим джерелом нових проблем, воно значною мірою визначає напрям їх досліджень, дає правильну орієнтацію цим дослідженням.

Вивчення рівнянь з частковими похідними в загальному випадку - таке складне завдання, що якщо хто-небудь навмання напише яке-небудь, навіть лінійне диференціальне рівняння з частковими похідними, то з великою вірогідністю жоден математик не зможе про нього сказати що-небудь і, зокрема, з'ясувати, чи має це рівняння хоч би одне рішення.

Ф. Клейн в книзі "Лекції про розвиток математики в XIX сторіччі" писав, що "математика супроводжувала по п'ятах фізичне мислення і, назад, отримала найбільш могутні імпульси з боку проблем, що висувалися фізикою".

Другою особливістю теорії диференціальних рівнянь є її зв'язок з іншими розділами математики, такими, як функціональний аналіз, алгебра і теорія ймовірності. Теорія диференціальних рівнянь і, особливо теорія рівнянь з частковими похідними, широко використовують основні поняття, ідеї і методи цих областей математики і, більш того, впливають на їх проблематику і характер досліджень. Деякі великі і важливі розділи математики були викликані до життя завданнями теорії диференціальних рівнянь. Класичним прикладом такої взаємодії з іншими областями математики є дослідження коливань струни, що проводилися в середині XVIII століття.

При вивченні конкретних диференціальних рівнянь, що виникають в процесі вирішення фізичних завдань, часто створювалися методи, що володіють великою спільністю і застосовувалися без строгого математичного обгрунтування до широкого круга математичних проблем. Такими методами є, наприклад, метод Фурье, метод Рітца, метод Галеркіну та інші.

У перший період розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь одним з основних завдань було знаходження загального розв'язку в квадратурі, тобто через інтеграли від відомих функцій (цим займалися Ейлер, Ріккаті, Лагранж, Д'аламбер і ін.). Завдання інтеграції диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зробили великий вплив на розвиток лінійної алгебри.

Таким чином, диференціальні рівняння знаходяться якби на перехресті математичних доріг. З одного боку, нові важливі досягнення в топології, алгебрі, функціональному аналізі, теорії функцій і інших областях математики відразу ж приводять до прогресу в теорії диференціальних рівнянь і тим самим знаходять шлях до застосувань. З іншого боку, проблеми фізики, сформульовані на мові диференціальних рівнянь, викликають до життя нові напрями в математиці, приводять до необхідності вдосконалення математичного апарату, дають початок новим математичним теоріям, що мають внутрішні закони розвитку, свої власні проблеми.

1.2. Психолого-педагогічні основи навчання вивчення диференціальних рівнянь

Навчання фахових математичних дисциплін, і в частності диференціальних рівнянь, відіграє вирішальну роль у формуванні математичної культури вчителя математики. Менш очевидна їх роль у формуванні інших компонентів професійної культури вчителя математики, проте провідні вчені - і педагоги, і математики - давно зрозуміли, що успішне вирішення задачі формування основ професійної культури вчителя математики можливе лише за умови професійно спрямованого навчання цих дисциплін. Так, видатний німецький математик Фелікс Клейн у своїй праці “Елементарна математика з точки зору вищої”, обґрунтовуючи необхідність професійно спрямованого навчання майбутнього вчителя математики, писав: “Вступаючи до вищої школи, молодий студент стикається з такими завданнями, які зовсім не нагадують йому те, чим він займався раніше; природно, що все це він швидко і ґрунтовно забуває. Коли ж він закінчує університет і стає викладачем, він повинен як учитель викладати традиційну математику і часто не в змозі самостійно пов'язати це завдання з тим, що він чув у вищій школі, тому він швидко засвоює стару традицію, а університетська освіта залишається у нього тільки у вигляді приємного спогаду, який не має впливу на викладання ним математики” [41, с. 15].

Схожа ситуація мала (і, на жаль, ще часто має) місце і у сучасних педагогічних вузах. Пом'якшенню цієї ситуації сприяють численні праці, присвячені дослідженню проблеми професійної спрямованості або так званій “педагогізації” навчання фахових математичних дисциплін майбутніх вчителів математики.

Мабуть, уперше в Україні термін “педагогізація” було введено у 1955 році І. Є. Шиманським, який у своїй роботі [81, с. 123] писав, що педагогізація курсу диференціальних рівнянь полягає в тому, щоб пов'язати його вивчення з профілем майбутнього фахівця, і це повинно здійснюватися так: 1) усі питання програми, які мають безпосереднє відношення до шкільного курсу математики, повинні розглядатися так, щоб студент - майбутній учитель - міг використати цей матеріал (хоча б неповністю) у своїй педагогічній роботі; 2) потрібно ознайомлювати студентів з тими застосуваннями теоретичних питань курсу диференцільних рівнянь, які відносяться до політехнізації середньої школи; 3) нарешті, потрібно вказувати студентам на той матеріал, який доцільно розглядати на заняттях шкільного математичного гуртка.

Таким чином, у перших роботах, присвячених навчанню фахових математичних дисциплін майбутніх вчителів математики, під професійною спрямованістю цього навчання розуміли, в основному, формування математичної культури саме вчителів математики, тобто ґрунтовне засвоєння ними основ шкільного курсу математики у процесі навчання фахових математичних дисциплін.

З часом з'являється розуміння того, що навчання фахових математичних дисципліни, і в частості диференціальних рівнянь, дуже важливе для формування інших компонентів професійної культури вчителя математики. Так, у роботі Г. І. Саранцева [62] міститься ідея про можливість формування методичної культури вчителя математики за рахунок педагогізації, яка повинна здійснюватися і в напрямку вдосконалення методики читання лекцій і проведення практичних занять із спеціальних математичних дисциплін.

Цілісну концепцію професійної спрямованості навчання вчителя математики розробив А. Г. Мордкович [52]. В основі цієї концепції лежать принципи, які покладені в основу побудови методичної системи навчання диференціальних рівнянь майбутніх учителів математики:

1) принцип диференційованої фундаментальності (фундаментальна математична підготовка повинна бути не тільки метою, а й засобом підготовки вчителя математики);

2) принцип “узагальнення для полегшення”, згідно з яким перехід до загальніших об'єктів часто робить теорію значно прозорішою і легшою для сприймання, ніж розгляд цієї теорії на менш загальних об'єктах;

3) принцип мінімізації часу на вивчення курсу за умови досить повільного зростання рівня абстракції матеріалу, починаючи з рівня абстракції шкільного курсу математики;

4) принцип інтегрованості (вивчення багатьох фактів одночасно для так званих дійсних і комплексних випадків; звертати увагу на поєднання математичної, методичної, педагогічної, психологічної, інформаційної, мовної і моральної ліній);

5) принцип провідної ідеї (тісний взаємозв'язок між курсом диференціальних рівнянь та шкільним курсом математики і вплив одного курсу на інший);

6) принцип “навчаючи, навчай навчати”;

7) принцип неперервності (професійна культура вчителя математики формується протягом його життя).

Надалі розумітимемо під професійною спрямованістю навчання вчителя таке навчання, яке забезпечує формування максимально можливої кількості компонентів професійної культури вчителя.

Незважаючи на значну кількість праць, в яких досліджується проблема формування професійної культури вчителя математики у процесі навчання фахових математичних дисциплін, ця проблема потребує подальшої розробки, оскільки високотехнологічна цивілізація, яка вступила в інформаційно-комп'ютерне XXI століття, вимагає усунення невідповідності між її потребами та змістом, методами, формами і засобами навчання та виховання.

Так, потребують подальшого дослідження проблема визначення поняття “професійна культура вчителя математики” і пов'язані з нею проблеми створення нормативної і предметної моделей (коли предметом є диференціальні рівняння) майбутнього вчителя математики, які передбачають, зокрема, визначення та конкретизацію конструктивних цілей курсу диференціальних рівнянь, визначення змісту, методів, засобів і організаційних форм навчання курсу, які забезпечили б формування основ професійної культури вчителя математики.

Педагогічна культура вчителя математики. Педагогічну культуру вчителя математики визначають такі його знання та уміння:

> знання: 1) поняття сутності процесу навчання, функцій цього процесу, його суперечностей, етапів опанування знаннями, мотивів учіння; 2) основних дидактичних принципів навчання і розвиваючого навчання математики; 3) системного, комплексного та діяльнісного підходів до організації навчального процесу; 4) мети і завдань навчання математики у різних типах навчальних закладів; 5) основних форм організації процесу навчання; 6) основних методів і засобів навчання математики, зокрема, методів активного навчання; 7) загальних педагогічних вимог до навчального матеріалу і засобів навчання математики; 8) загальних прийомів роботи з математичними текстами; 9) основних шляхів і форм індивідуального та диференційованого навчання математики; 10) основних видів контролю та самоконтролю навчально-пізнавальної діяльності та форм їх проведення; 11) основних педагогічних видань, пов'язаних з професійною діяльністю вчителя.

> уміння: 1) реалізовувати функції процесу навчання на кожному етапі опанування знанням, враховуючи протиріччя процесу навчання та мотиви учіння; 2) враховувати основні дидактичні принципи навчання; 3) застосовувати системний, комплексний і діяльнісний підходи до організації навчального процесу; 4) ставити мету і розв'язувати завдання навчання математики, враховуючи тип навчального закладу; 5) застосовувати різні форми організації та проведення класної і позакласної навчально-виховної діяльності; 6) застосовувати різні методи і засоби навчання, віддаючи перевагу активним методам навчання; 7) добирати навчальний матеріал і засоби навчання для проведення відповідних занять, враховуючи поставлену мету; 8) володіти загальними прийомами роботи з математичними текстами і застосовувати їх у навчальному процесі; 9) обирати шляхи і форми індивідуального та диференційованого навчання; 10) організовувати і проводити контроль та самоконтроль навчально-пізнавальної діяльності; 11) систематично працювати над педагогічною літературою, використовувати знайдені там нові ідеї у навчальному процесі.

Психологічна культура вчителя математики. Зміст психологічної культури вчителя математики визначається такими його знаннями та уміннями:

> знання: 1) психологічних механізмів навчально-пізнавальної діяльності людини; 2) психологічних трактувань загальних розумових дій та прийомів розумової діяльності; 3) психологічних принципів розвиваючого навчання; 4) основних психологічних принципів взаємодії між учителем і учнем; 5) психолого-педагогічних умов мотивації та активізації пізнавальної діяльності людини; 6) основних залежностей між інформаційними і психологічними явищами; 7) рекомендацій психологічних теорій щодо продукування ідей, розвитку уявлень і мислення людини, її пізнавальної активності; 8) психологічних аспектів теорії проблемного навчання та інших теорій активного навчання; 9) психологічних, вікових та індивідуальних особливостей учнів; 10) основних психологічних видань, пов'язаних з професійною діяльністю вчителя.

> уміння: 1) застосовувати у навчальному процесі психологічні закономірності навчально-пізнавальної діяльності людини; 2) використовувати у навчальному процесі психологічну сутність загальних розумових дій та прийомів розумової діяльності; 3) враховувати основні психологічні принципи розвиваючого навчання; 4) будувати навчальний процес на основі психологічних принципів організації взаємодії між учителем і учнем; 5) створювати психолого-педагогічні умови активізації пізнавальної діяльності учнів; розкривати учням відповідні психологічні механізми, що сприяють досягненню високих результатів навчання; 6) враховувати залежності між інформаційними і психологічними явищами; 7) застосовувати рекомендації психологічних теорій щодо продукування ідей, розвитку уявлень і мислення; 8) враховувати психологічні аспекти теорії проблемного навчання та інших теорій активного навчання; 9) враховувати психологічні, вікові та індивідуальні особливості учнів; 10) систематично працювати над психологічною літературою і використовувати знайдені там нові ідеї у навчальному процесі.

Математична культура вчителя математики. Математичну культуру вчителя математики визначають такі його знання та уміння:

> знання: 1) основних фактів з фахових математичних дисциплін; 2) загальних методів розв'язування математичних задач, включаючи і методи доведення тверджень; 3) сутності математичного моделювання і методів побудови математичних моделей; 4) прикладів важливих застосувань математики у різних галузях науки, техніки і життя; 5) найяскравіших фактів з історії математики; 6) шкільного курсу математики та його особливостей у різних типах середніх навчальних закладів; 7) логічних прогалин шкільного курсу математики, причин їх виникнення та можливі засоби їх усунення; 8) основних математичних видань (підручники, посібники, монографії, журнали тощо), пов'язаних з професійною діяльністю вчителя математики.

> уміння: 1) використовувати знання з фахових математичних дисциплін у своїй роботі в школі; 2) розв'язувати математичні задачі, зокрема, і доводити твердження різного рівня складності, демонструючи зразок логічного мислення, обґрунтованості кожного кроку міркувань, гнучкість думки, творчий підхід, широкий математичний кругозір, математичну інтуїцію, яскравість уявлень; 3) розвивати прикладну спрямованість математики, будувати математичні моделі процесів і явищ, пов'язаних з матеріалом шкільного курсу математики та доступних учням середніх шкіл; 4) використовувати практично значущі задачі для підвищення рівня мотивації вивчення математики; 5) використовувати факти з історії математики для підвищення інтересу учнів до математики та активізації процесу навчання математики; 6) використовувати різні підходи та різні методи введення найважливіших понять і різні методи доведень тверджень; 7) при необхідності пояснювати учням сутність логічних прогалин шкільного курсу математики та розкривати можливі шляхи їх усунення; 8) систематично працювати над математичною літературою і навчати цього своїх учнів, виховуючи критичність мислення, вміння виявляти помилки і неповноту міркувань, будувати контрприклади, узагальнювати; розвивати нахили учнів до творчої діяльності.

Методична культура вчителя математики. Названі нижче знання та уміння вчителя математики визначають зміст його методичної культури:

> знання: 1) програм шкільного курсу математики, змісту та структури шкільних підручників і посібників для різних типів середніх навчальних закладів; 2) форм календарних і тематичних планів та планів-конспектів уроків математики і методів їх складання з чітко виділеними метою та завданнями навчання відповідної теми та окремого уроку; 3) типів уроків з математики, їх структури і методики проведення; 4) видів математичних понять (тверджень), їх систематизації та класифікації, основних методів і прийомів навчання для введення математичних понять і “відкриття” та доведення математичних тверджень; 5) поняття математичної задачі, видів математичних задач, методів навчання учнів умінню розв'язувати математичні задачі, зокрема, задачі на доведення; 6) внутрішньопредметних і міжпредметних зв'язків математики та методики використання цих зв'язків для активізації процесу навчання математики; 7) методики застосування сучасних засобів навчання математики; 8) специфіки навчання математики у школах і класах різної спрямованості: гуманітарної, математичної, економічної, технічної тощо; 9) основних методичних видань, пов'язаних з професійною діяльністю вчителя математики.

> уміння: 1) аналізувати програми, підручники й посібники з точки зору їх науковості та доступності, добирати найкращі підручники і посібники та ефективно їх використовувати для формування у своїх учнів необхідних знань, навичок і вмінь з основних тем шкільного курсу математики; 2) складати календарні і тематичні плани та плани-конспекти уроків і адекватно їх реалізовувати у процесі навчання математики своїх учнів; 3) обирати тип уроку, який дозволяв би ефективно досягати поставлених цілей і завдань, проводити уроки різних типів, пояснювати відповідний матеріал науково, але доступно й цікаво для учнів, заохочуючи їх до активної співпраці; 4) добирати ефективні методи і прийоми навчання для введення математичних понять і “відкриття” й доведення математичних тверджень та застосовувати їх в процесі навчання; 5) ефективно формувати в учнів уміння розв'язувати математичні задачі, зокрема і задачі на доведення; 6) використовувати внутрішньопредметні і міжпредметні зв'язки математики для активізації процесу пізнання, реалізовувати прикладну спрямованість навчання; 7) добирати методи застосування сучасних засобів навчання згідно з метою, завданням і типом уроку та ефективно їх використовувати у процесі навчання математики; 8) враховувати специфіку навчання математики у школах і класах різної спрямованості; 9) систематично працювати над науково-методичною літературою, використовувати знайдені там нові ідеї у навчальному процесі.

Майбутній учитель математики у процесі свого навчання повинен постійно діставати підтвердження того, що любов і довіра вчителя до учня не виключає регулярного контролю за його роботою, розумної вимогливості і строгості в оцінці результатів цієї роботи. При цьому справедлива і об'єктивна оцінка знань учня разом з доброзичливим відношенням до нього вчителя є надзвичайно важливим для ефективності навчання і виховання.

Широкі можливості для формування у майбутніх учителів математики високих моральних якостей (чесності, порядності, поваги до оточуючих людей, тактовності і об'єктивності, наполегливості, відповідальності і сумлінного ставлення до своїх обов'язків, скромності і самокритичності, бадьорості духу) викладач має на практичних заняттях, на яких студенти можуть явно побачити прояв цих якостей, правильно оцінити допомогу товаришів, роль довіри викладача, дискомфорт від дій, несумісних з високими моральними якостями, відчути, як важко повернути загублену довіру до себе і яким святом може бути повернення цієї довіри після того, як визнав свою помилку і справою довів свою чесність і безкорисливість, порядність і принципове ставлення до людей.

Для майбутніх учителів математики повинні бути взірцем уміння викладача створити на практичних заняттях атмосферу доброзичливості і взаємної довіри, коли студенти знаходяться у стані духовної розкутості, не соромлячись ні викладача, ні товаришів, запитують, коли їм щось незрозуміло, діляться своїми припущеннями, гіпотезами, сумнівами. Саме така атмосфера гарантує успішність процесу навчання. Досягти мистецтва створювати таку атмосферу важко, проте можливо завдяки вдумливому і самокритичному відношенню викладача до своїх обов'язків, зацікавленості в успіхах своїх студентів, завдяки досвіду власного і своїх колег, завдяки поступовому опануванню методами роботи з колективом індивідуумів, що мають різні здібності і різні підготовленості до навчання, різні характери і темпераменти. До цього викладачеві слід докласти чимало зусиль, не обмежуючись колективними заняттями і заходами, а звертаючи також велику увагу на індивідуальні контакти із студентами під час консультацій та особистих бесід, коли викладач може надати студентові відповідну допомогу, дати корисну пораду, позитивно морально вплинути на нього. Саме у процесі спілкування з викладачами майбутній учитель математики звикає до коректного звертання (на “ви”), до розумної психологічної дистанції, яка виключає панібратські стосунки, але в залежності від обставин може змінюватися, сигналізуючи про певні незадоволення або задоволення сторін спілкування; тут він вчиться розрізняти різні стилі спілкування (авторитарний, демократичний і ліберальний), формує переконання, що стиль спілкування може змінюватися залежно від ситуації, проте повинен залишатися природним і невимушеним, що можливо лише за умов взаємоповаги і взаємодопомоги сторін, які спілкуються.

Отже, у процесі навчання майбутнього вчителя слід прагнути до формування у нього переконання у тому, що успіх процесів навчання і виховання залежить перш за все від того, хто навчає і виховує. Лише власним прикладом можна виховати доброту, великодушність, гуманізм та інші високі моральні якості. Лише той має право навчати і виховувати, і буде це успішно робити, хто відчуває відповідальність за свою роботу, захоплений нею, хвилюється за її результати, переконаний у правильності своїх дій і принципів, якими він керується; той, хто тактичний до інших, вміє уважно вислуховувати думку інших, враховувати її, коли вона слушна, і ненав'язливо відстоювати власну думку, коли опонент помиляється; той, хто дістає задоволення від спілкування з учнями, щиро радіючи їхнім успіхам.

академічний лекція вчитель математика

1.3. Теоретичні основи вивчення диференціальних рівнянь

Навчальна програма вивчення курсу «Диференціальні рівняння» для студентів фізико-математичного факультету вищих навчальних педагогічних закладів

I. Загальні відомості

Дисципліна «Диференціальні рівняння» є однією з основних дисциплін циклу природничо-наукової (фундаментальної) підготовки студентів.

II. Перелік дисциплін, знання яких необхідне для вивчення курсу

Для оволодіння курсом студент повинен опонувати розділами диференціального і інтегрального числення з курсу математичного аналізу, алгеброю та геометрією.

III. Цілі і завдання дисципліни

Основні цілі вивчення дисципліни:

-- оволодіння студентами основними поняттями, методами теорії звичайних диференціальних рівнянь, варіаційного числення та технікою розв'язання прикладних задач;

-- систематично викласти основи теорії диференціальних рівнянь та варіаційного числення під кутом їхнього практичного застосування;

-- виробити у студентів логічне й алгоритмічне мислення, необхідне для розв'язання теоретичних та практичних задач за фахом;

-- прищепити навички дослідження динамічних математичних моделей практичних задач, їх розв'язання та вміння аналізувати отримані результати.

Головна задача вивчення навчальної дисципліни:

-- опанувати сучасними математичними методами диференціальних рівнянь і варіаційного числення, які дозволяють розв'язувати теоретичні та практичні задачі;

-- навчити формалізувати прикладну задачу і приводити її до типових сучасних задач теорії диференціальних рівнянь і варіаційного числення.

Після вивчення курсу:

Ш студент повинен знати формулювання основних означень, понять, теорем, та їх доведення в межах програми, основні методи розв'язування диференціальних рівнянь;

Ш студент повинен вміти застосовувати теоретичний матеріал до розв'язання задач і прикладів, які пропонуються як у даному курсі, так і в процесі подальшого навчання.

Набуті знання використовуються в чисельних методах, чисельних методах системного аналізу, методах оптимізації, теорії керування, основах системного аналізу.

Знання з даного курсу будуть використовуватися при вивченні рівнянь із частинними похідними, варіаційного числення, спеціальних курсів, написання курсових, кваліфікаційних та дипломних робіт.

IV. Методи навчання та інформаційно-методичне забезпечення

Основними методами навчання є лекції та практичні заняття, на яких закріплюються та відпрацьовуються основні теоретичні положення та вміння їх застосовувати до розв'язання практичних та прикладних задач.

V. Форми оцінювання

Іспит, залік, колоквіум, контрольні роботи

VI. Зміст дисципліни

№ п/п	Зміст програмного матеріалу	Літе-ратура	Кількість годин	Кален-дарні строки
			Лекції	Прак-тичні заня-ття	Самос-тійна робота
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ І
1.	Основні означення. Задачі, які приводять до звичайних диференціальних рівнянь. Геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюючими змінними.	[3, 2, 9, 12]	4	2	2
2.	Однорідні рівняння першого порядку. Рівняння, які зводяться до однорідних.	[3, 4, 5, 12]	2	2	2
3.	Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод варіації довільної змінної. Рівняння Бернуллі. Метод Бернуллі.	[3, 4, 5, 12]	2	2	2
4.	Диференціальне рівняння у повних диференціалах. Інтегруючий множник.	[3, 4, 9, 11]	2	2	2
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІІ
5.	Диференціальні рівняння, які не розв'язуються відносно похідної. Рівняння Лагранжа. Рівняння Клеро.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
6.	Диференціальні рівняння вищих порядків. Методи пониження порядків.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІІІ
7.	Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Однорідні лінійні рівняння. Основні властивості однорідних лінійних рівнянь.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
8.	Лінійно залежні функції. Вронскіан. Властивості Вронскіана.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
9.	Лінійні однорідні рівняння ого порядку. Характеристичне рівняння. Корені характеристичного рівняння: 1) дійсні різні; 2) дійсні кратні; 3) комплексні. Загальні розв'язки рівнянь.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
10.	Лінійні неоднорідні рівняння ого порядку з постійними коефіцієнтами. Метод варіації довільних постійних.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
11.	Лінійні неоднорідні рівняння ого порядку із постійними коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	4	2
ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІV
12.	Системи звичайних лінійних рівнянь. Зведення лінійних рівнянь до лінійних рівнянь вищого порядку.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
13.	Системи звичайних лінійних однорідних рівнянь. Характеристичне рівняння. Корені характеристичного рівняння: 1) дійсні різні; 2) дійсні кратні; 3) комплексні.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	4	2
14.	Системи звичайних лінійних неоднорідних рівнянь. Метод невизначених коефіцієнтів.	[2, 3, 4, 5, 9, 11, 12]	2	2	2
ВСЬОГО		30	32	28

Література до курсу

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

2. Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Ляшко И.И. и др. Дифференциальные уравнения.

4. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.

6. Кисилев А.И., Краснов М.А., Макаренко Т.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

7. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.

8. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

9. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.

10. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

12. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations

Дидактичні і методичні вимоги до академічної лекції

Лекція є найкращим засобом для викладення інформації певній кількості людей (особливо великим групам). Цей метод гнучкий і може включати поєднання кількох методів - бесіду чи промову, наочні посібники, опитування чи обговорювання. Цей спосіб викладання добре відповідає ситуаціям, коли треба дати певну інформацію для підготовки підґрунтя для подальшої роботи.

Коли йдеться про лекцію у вищому навчальному закладі, то мається на увазі академічна лекція, яка відповідає навчальному завданню конкретної дисципліни і спрямована на реалізацію відповідної програми. Це ставить певні вимоги до змісту, структури, технології і методики підготовки та читання лекції.

Структура академічної лекції: план -- основні питання лекції; вступна частина -- зв?язок з минулою лекцією, введення в тему; виклад основних положень з акцентованими висновками за кожним окремо; підбиття підсумків -- загальний висновок.

Академічна лекція будується на принципах системності, інформативності, наочності, зрозумілості (доступності). Кожна лекція є логічно завершеною ланкою єдиної замкненої системи -- курсу лекцій. У її тексті мають бути чітко пов?язані між собою структурно-логічні дидактичні блоки. Проектується графічний текст, планується, де, коли, скільки і які схеми, рисунки, графіки, формули подаються як підтвердження вербальної інформації. Принцип наочності реалізується засобами візуалізації (ТЗН, роздатковий матеріал, схеми, планшети тощо). Лекція має читатися зрозумілою для студентів мовою, незнайомі слова і терміни роз?яснюються, не варто перенасичувати лекцію "наукоподібними" термінами і модними іноземними словами. Текст лекції має бути логічним, простим і зрозумілим.

Зміст навчального матеріалу означеної теми має великі можливості для інтелектуального розвитку студентів. Включення в лекцію низки проблемних ситуацій, виокремлення завдань сприятиме активізації мислення студентів, а отже, і розвитку їхнього інтелекту. Широка палітра для реалізації вимог виховної функції міститься у темі про розвиток і формування особистості. Необхідно виділити низку загальнодидактичних вимог до лекції у вищій школі:

- зміст лекції має відповідати робочій навчальній програмі, відображати найновіші досягнення науки, висвітлювати перспективи подальшого розвитку наукових пошуків;

- в лекції мають реалізовуватись вимоги загальнодидактичних принципів навчання: науковості, систематичності і послідовності, свідомості, активності й самостійності, наочності, зв?язку змісту навчального матеріалу з професійною діяльністю, доступності, емоційності;

- має бути забезпечена логічно доцільна структура лекції відповідно до змісту навчального матеріалу;

- лекція має сприяти активізації мисленнєвої діяльності студентів з метою їх інтелектуального розвитку;

- в лекції доцільно виокремлювати певні компоненти змісту для самостійного опрацювання студентами з належним методичним забезпеченням.

Щодо методичних вимог до лекції, то вони наступні:

лекцію треба викласти так, щоб студенти зрозуміли, зацікавилися її змістом, осмислено законспектували і при цьому не перевтомилися. Важливою умовою цього є ораторська і педагогічна майстерність лектора, його мовленнєва культура. Треба вміло користуватися текстом лекції, не допускаючи неперервного монотонного читання і не відриваючись далеко від теми, захопившись окремими подробицями і деталями. Необхідно створювати оптимальні умови для конспектування. Це особливо важливо на молодших курсах. Значущі моменти, дидактичні одиниці доцільно виділяти інтонацією, зміною темпу, повторенням. Корисними під час лекції будуть рекомендації викладача типу: "Цю тезу підкресліть особливо", "Виділіть це поняття певним позначенням", "Це можна не записувати, послухайте, а рука відпочине". Зберігаючи оптимальний темп викладу, лектор має бути впевненим, що студенти встигають конспектувати, розуміють і осмислюють почуте, не перенапружуючи свої зусилля до стресового стану.

Який би не був досвідчений викладач, він повинен завчасно підготувати повний текст лекції, постійно удосконалювати, поліпшувати її, доповнювати, додавати новий матеріал, проектувати хід, подумки тренуватися. Підготовка і читання лекцій, якщо підходити до цього серйозно і відповідально, -- складна, тяжка і затратна в часі робота. К.Д. Ушинський писав, що мистецтво класної розповіді зустрічається у викладачеві не часто, -- не тому, що це рідкісний дарунок природи, а тому, що й обдарованій людині треба багато попрацювати, щоб виробити у собі здатність якісної педагогічної розповіді.

Шкідливими і небезпечними є поради окремих, як правило слабких, лекторів молодим типу: "Будь переконаним у тому, що ти в аудиторії найрозумніший, що студенти все сприймуть, що б ти не говорив". Треба кожного разу ретельно готуватися до лекції, продумувати її сценарій стосовно конкретної аудиторії, бути вимогливим до себе, самокритичним.

Однією з важливих вимог лекції є її емоційність. Але не варто перенасичувати лекцію емоціями. Раціональний і емоційний компоненти мають бути збалансованими. Ніяка емоційність, вишукані прийоми педагогічної техніки не замінять і не закриють змістової пустоти, наукової неспроможності, непідготовленості викладача.

Необхідно враховувати особливості студентської аудиторії. Одну й ту саму лекцію треба подавати по-різному залежно від профілю ВНЗ, факультету, курсу, форми навчання. Особливо уважно треба підходити до читання лекцій першокурсникам, враховувати їх недостатню адаптованість. Певна специфіка властива і викладу лекцій студентам заочної форми навчання.

Лекція не повинна мати характеру дослівного, текстового, письмового стилю. Жива, імпровізована усна мова набагато легше сприймається і засвоюється студентами ніж письмова, книжна. Вона має бути літературно правильною, виразною, ясною, простою, образною, доступною. Стиль -- лаконічний, конкретизований, предметний. Не треба "лити воду" і витрачати дорогоцінний час на елементарні речі. Доцільно дотримуватися принципу: "Немає часу, щоб витрачати час даремно".

При читанні лекції не повинно бути другорядних елементів, дрібниць. Найважливіший компонент лекції -- її зміст. Але досить важливими є манера викладу, інтонація, жести, міміка, то нальність, гучність голосу. Говорити слід достатньо гучно, щоб чули, і достатньо тихо, щоб слухали; ясно, просто, виразно, дохідливо, не монотонно, але й не "хвилеподібно".

Не рекомендується заучувати зміст лекції напам?ять, а також читати всуціль, не відриваючись від тексту. Найкраще сприймається студентами імпровізаційний виклад матеріалу з періодичним умілим користуванням планом-конспектом лекції.

Педагогічна парадигма співробітництва вимагає ставлення до студентів як до партнерів, рівних співрозмовників. Треба уміти вести себе розкуто, невимушено, але й не чванливо, не розв?язно. Лектор має бути доброзичливим, атракційним, емпатичним.

Необхідно пам?ятати, що студенти не тільки слухають зміст лекції, а й уважно спостерігають і оцінюють самого лектора. Треба бути належно і охайно одягненим, дотримуватися природних, невимушених поз, поводити себе щиро, доброзичливо, впевнено.

Основні вимоги до практичних та семінарських занять

Практичне заняття використовується при опануванні навиків, включаючи ментальні навички, фізичні або соціальні навички.

Цей метод може використовувати такі самі засоби, як і лекція, та застосовуватися для більшості видів діяльності з чіткими правилами та добре відлагодженими процесами.

1. Відповідність змісту практичних і семінарських занять до типової і робочої навчальних програм, відображення у них розділів дисципліни.

2. Підготовленість викладача до проведення семінарських і практичних занять.

3. Зміст: Мета та спрямованість практичного заняття, його місце в темі курсу; професійна спрямованість семінарських і практичних занять, яка забезпечує відображення особливостей відповідній спеціальності; використання наукових методів пізнання суті явищ, що вивчаються, і положень науки; розкриття на конкретних прикладах органічної єдності теорії і практики; наявність понятійного апарату, висновків з кожного питання та зв'язку з матеріалом, що вивчається.

4. Структура: Раціональне використання дидактичних доцільних форм і методів навчання, спрямованих на найбільш ефективне здійснення навчальної мети семінарських і практичних занять і забезпечуючих логічну послідовність їх побудови, використання проблемного та інших методів навчання, які формують у студентів самостійний творчий підхід.

5. Стиль: Вміння точно і обгрунтовано висловлювати свої думки мовою конкретної науки. Розвиток продуктивного мислення студентів у перебігу обговорення проблем, що розглядаються, залучення їх у колективну пізнавальну діяльність. Створення безпосереднього контакту викладача зі студентами, вміння залучити студентів до дискусії.

6. Забезпеченість семінарських і практичних занять методичними розробками, пакетами візуального супроводження, використання технічних засобів навчання.

Основні вимоги до контролю та корекції

Функції контролю знань студентів. Система навчання у вищій школі - багатогранний процес, який складається з цілого ряду взаємопов'язаних елементів. Серед них важливе місце посідає контроль та корекція знань, тобто організація зворотного зв'язку як засобу управління навчально-виховним процесом. Ця проблема особливо актуальна у наш час у зв'язку з тим, що вся система вищої освіти в Україні підлягає повній організаційній перебудові.

Посилення уваги до проблеми контролю занять викликано не тільки бажанням визначити ступінь підготовленості студентів, але і потягом до удосконалення всієї системи навчання. Перевірка і оцінка знань виконують, принаймні, шість функцій: контрольну, навчальну, виховну, організаторську, розвиваючу і методичну.

Для визначення рівня сформованості знань та умінь з даної дисципліни, необхідно спроектувати фонд тестових завдань, контрольних.

Тестові завдання слугують базою для формування критеріально орієнтовних тестів досягнень, які належать до психо-діагностичних методик, спрямованих на оцінку досягнутого рівня розвитку здібностей, знань та умінь.

Основними канонічними формами тестових завдань, які рекомендовані розроблювачами, вважаються такі: 1) завдання (задачі) закритої форми із запропонованими відповідями; 2) завдання (задачі) відкритої форми із вільно конструйованими відповідями. Тестові завдання (задачі) закритої форми мають складатися з трьох компонентів: а) інструкція до їх виконання; б) запитальної (змістовної) частини; в) відповіді (ей).

Тестові завдання закритої форми

Тестові завдання закритої форми розрізняються за принципом побудови відповіді.

1.1. Альтернативні тестові завдання, які передбачають наявність двох варіантів організації відповіді тестового завдання (типів "так" - "ні"; "вірно" - "невірно") тощо. Як правило, їх використовують для грубої перевірки правильності вибору або прийняття рішення у згорненій формі.