Разработка методики изучения темы "Отрицательные числа" в курсе "Начала алгебры. 6 класс" на основе моделирования

Умножение

49. Вычисли:

а) ; в) ; д) ; ж) ;

б) ; г) ; е) ; з) .

Выполни умножение, используя модель. Всегда ли возможно изобразить действие умножения с помощью модели?

50. Можно ли сказать, что, умножая x на a, мы:

а) увеличиваем число x в a раз;

б) увеличиваем число a на число x;

в) “растягиваем” число a в x раз.

51. Представь каждое из чисел 1; -12; -3; 25; 8 и -1 в виде произведения двух множителей, один из которых равен -1.

52. Верно ли утверждение, что для любого k верны равенства:

а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;

53. Используя модель числа, найди значение выражения , если:

а) x=1, y=89; д) x=-89, y=0;

б) x=-1, y=7; е) x=-11, y<0;

в) x=-2, y=-3; ж) x=0, y=-1;

г) x=-1, y=-2; з) x<0, y=0.

54. Закончи предложения:

Произведение положительного и отрицательного числа есть число

Произведение двух отрицательных чисел есть число .

Произведение любого числа и нуля равно .

55. Используя модель, найди значение выражения , если x=-2; x=1; ; x=-8; x=7.

56. Вычисли:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

57. Представь каждое из чисел:

а) 1; 4;25 и 121 в виде произведения двух равных множителей;

б) -1; -9; -36 и -100 в виде произведения двух противоположных чисел.

58. Дано выражение: .

Какими должны быть x; y; m и n, чтобы равенство было верным? Сколько вариантов ответов ты можешь дать?

59. Что больше: или ?

60. Пусть >0 (<0). Что можно сказать о знаках a и b ?

Используя модель, покажи, как изменится это произведение, если a заменить противоположным числом? Если b заменить на -b? Оба числа a и b заменить противоположными числами?

Деление

61. Какое число надо умножить на , чтобы получить 27?

62. Заполни пропуски:

При делении чисел с разными знаками надо:

1) разделить делимого на делителя;

2) поставить перед полученным числом знак “ ”.

63. Используя модель, найди значение выражения , если , , .

64. Вычисли:

1) ;

2) ;

3) .

65. Из числа 47 вычли некоторое число. Полученную разность умножили на 2 и из результата вычли 15, получили 45. Какое число вычли из 47?

66. Верно ли утверждение, что всегда ? Приведи примеры.

67. Реши уравнение :

а) ; б) .

68. Укажи такие значения и , при которых выполняются следующие соотношения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

69. Верно ли утверждение: “Если , то и ”? Почему? Приведи примеры, подтверждающие ответ.

Нестандартные задачи

70. Величайший математик древности Архимед погиб в возрасте 75 лет во время осады Сиракуз в 212 г. до н. э. Определи год рождения Архимеда. Сколько лет тому назад родился Архимед?

71. На отрезке числовой прямой (рис.1) изображены семь точек с целочисленными координатами. Из них три последовательные точки с координатами 1; 2 и 3 таковы, что . Но на данном отрезке вы легко найдете еще две тройки и только одну пятерку последовательных точек, сумма координат которых равна их произведению.

-3 -2 -1 0 1 2 3

рис. 4.1

Найдутся ли на числовой прямой еще другие тройки и пятерки последовательных точек, сумма целочисленных координат которых равна их произведению?

72. Используя результат решения предыдущей задачи, найди комплект последовательных целых чисел, сумма которых равна их произведению, если комплект состоит из любого заданного нечетного количества таких чисел.

73. Частное от деления двух чисел равно -1. Чему равна сумма чисел?

74. Верно ли утверждение: “Если к отрицательному числу прибавить квадрат этого же числа, то всегда получится положительное число”?

75. Даны 173 числа, каждое из которых равно 1 или -1. можно ли разбить их на две группы так, чтобы суммы чисел в группах были равны?

76. Дано 2001 число. Известно, что сумма любых четырех из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Заключение

Нами была разработана методика изучения темы “Отрицательные числа” на основе моделирования. На основе методики разработан задачник.

Методика прошла апробацию на базе одной из школ г. Красноярска. В результате выяснилось, что оценка детьми собственного изобретения, предшествующая формулировке любого из формальных правил, играет ключевую роль. В ходе апробации этому моменту не было уделено достаточного внимания, поэтому направленные отрезки, как модели положительного и отрицательного чисел, стали для учащихся лишь интересной иллюстрацией.

Следует отметить, что мы не ставили перед собой цель научить решать уравнения с модулями. Однако, дети, исключая “слабых” учеников, без особых затруднений решали такие уравнения.

Введение отрицательных чисел предлагаемым нами образом, полагаем, поможет учащимся, не только самостоятельно вывести правила действий с рациональными числами, но и правильно производить согласно этим правилам вычисления.