Разработка методики изучения темы "Отрицательные числа" в курсе "Начала алгебры. 6 класс" на основе моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разработка методики изучения темы “Отрицательные числа” в курсе “Начала алгебры. 6 класс” на основе моделирования

Введение

“Недостаточно, чтобы учитель говорил истину, необходимо еще, чтобы ученики понимали, что это истина.

… нужно не только показывать правила, по которым можно найти требуемые числа, но должно ясно уразуметь, почему искомые числа могут быть найдены с помощью этих правил.”

Хр. Вольф (1710)

Формирование у детей понятия отрицательного числа составляет основу темы “Рациональные числа и действия с ними” и всего курса математики для 6-го класса в целом [2, 7].

Одно и то же математическое понятие, в том числе и понятие отрицательного числа, может вводиться различными способами, исходя из разных оснований и соответствующих этим основаниям учебно-практических задач.

Рассматривая подходы к введению понятия отрицательного числа, встречающиеся в литературе, можно выделить четыре основных направления: введение отрицательного числа через фиксацию положения точки на числовой прямой, основания для введения отрицательных чисел “внутри” самой математики, введение отрицательных чисел через понятие направленной величины - “векторный” подход, и, наконец, введение понятия отрицательного числа через задачу сравнения величин. Каждый из перечисленных подходов имеет как достоинства, так и недостатки. Наиболее существенным недостатком является, на наш взгляд, отсутствие строгого обоснования правил действий с отрицательными числами, особенно правил умножения и деления.

Мы предлагаем подход, позволяющий учащимся получать знания о свойствах и действиях с отрицательными числами путем построения ими самими модели и ее преобразования. В основе его лежит представление о действительном числе как о специальном случае комплексного числа, характеризуемого парой: модуль-аргумент, позволяющее придать геометрический смысл операциям сложения и умножения.

Сама идея такого подхода возникла в лаборатории математики РО ИППР (института психологии и педагогики развития) г. Красноярска [2]. Однако, учебно-методическое обеспечение и описание научного обоснования этого подхода отсутствовало.

Цель работы: разработать учебно-методическое средство, обеспечивающее изучение темы “Отрицательные числа” на основе моделирования.

Для достижения цели решались следующие задачи:

· Провести анализ встречающихся в литературе подходов к введению понятия отрицательного числа.

· Разработать методику изучения темы “Отрицательные числа” на основе моделирования.

· Разработать задачник по теме “Отрицательные числа”.

Во время работы над дипломом возникла дополнительная задача, связанная с обоснованием корректности предлагаемых действий, производимых с моделями положительного и отрицательного чисел.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе дипломной работы обсуждаются исторические сведения и современные представления об отрицательных числах.

Путь отрицательных чисел в истории оказался тернистым: от “ложных” и “абсурдных” - к признанию их существующими самостоятельно, как и положительные числа.

Окончательно отрицательные числа вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта (XVII в.), давшего геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных отрезков.

Основной проблемой, стоявшей перед математиками древности и в средние века, было обоснование правил действий с отрицательными числами, особенно - правил умножения и деления.

Определяя отрицательные числа лишь через их включение в различные числовые системы, мы не сможем задать геометрическую интерпретацию правил действия с ними, что является важным для формирования понятия.

Однако, если действительное число определять как специальный случай комплексного числа, тогда сложение и, что особенно важно, умножение отрицательных чисел и чисел с разными знаками имеет явный геометрический смысл, исходящий из геометрической интерпретации сложения и умножения комплексных чисел. Действия вычитания и деления можно рассматривать как обратные действиям сложения и умножения.

Здесь возникает предположение, что, возможно, и в XIX веке отрицательные числа получили всеобщее признание лишь потому, что именно тогда “К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел (1831)” [8], включающую и геометрическую интерпретацию. Однако из-за весьма расплывчатых сведений, содержащихся в источниках по истории математики, ни подтвердить, ни опровергнуть данное предположение не удалось.

Во второй главе рассматривается понятие моделирования. Здесь также описываются навыки и умения учащихся в моделировании к концу начальной школы.

Модель - это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе. Моделирование предполагает ряд этапов: 1) выбор модели или ее построение; 2) изучение модели, работа с моделью; 3) перенос знаний, полученных при работе с моделью, на оригинал. Таким образом, подлинное функциональное назначение модели - это быть объектом действия, с которым оперируют для получения новой информации об оригинале.

Действие по освоению модели в младшей школе осуществляется в двух направлениях. Сначала модель строится после или в процессе манипуляции с предметами. Затем, наоборот, по заданной модели выполняются нужные манипуляции с предметами.

Существенным, на наш взгляд, является то, что, преобразуя модели, в данном случае, учащиеся, фактически, не расширяют класс действий с моделируемыми объектами.

В третьей главе описываются и анализируются встречающиеся в литературе подходы к введению понятия отрицательного числа.

Заметим, что курс “Начала алгебры” для продолжающих развивающее обучение математике в среднем звене, разработанный сотрудниками лаборатории развивающего обучения математике ИППР г. Красноярска под руководством О.В. Знаменской, и предназначенный для классов, обучавшихся первые 4 года по системе Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова, заимствует идею введения понятия отрицательного числа через задачу сравнения величин с неким единым образцом (эталоном) [2]. Но далее подход модифицируется, и правила действия с отрицательными числами вводятся через преобразования направленных отрезков, выступающих в роли модели числа со знаком.

Мы считаем, что именно такое сочетание подходов при изучении темы “Отрицательные числа” более продуктивно, чем использование каждого из перечисленных выше подходов в отдельности или в любой другой комбинации.

Четвертая глава полностью посвящена разработке учебно-методических средств.

Понятие отрицательного числа мы вводим, исходя из эмпирических представлений учащихся, через задачу сравнения величин с эталоном, пользуясь при этом подходом, реализованным В.М. Заславским [7]. Направленный отрезок при этом выступает в качестве модели числа со знаком.

В процессе изучения темы, учащиеся “изобретают” лишь три действия с моделью, использование которых (помимо знаний о положительных числах), позволяет им формулировать правила сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел и чисел с разными знаками: действие “приложения” (сложение при помощи направленных отрезков); “отражение” (умножение на -1, иначе смена направления); растяжение/сжатие (умножение/деление). Все остальные действия с моделью получаются как композиция указанных трех действий.

Задачник составлен в рамках логики введения понятия отрицательного числа и действий сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел и чисел с разными знаками (см. 4.4). Здесь содержатся задачи разного уровня: от элементарных до задач повышенной трудности.

В заключении описываются основные результаты работы.

Содержание работы докладывалось на семинаре лаборатории математики РО в ИППР г. Красноярска.

Хочу выразить благодарность Владимиру Моисеевичу Заславскому - моему рецензенту.

И, конечно же, особая благодарность моему научному руководителю - Оксане Витальевне Знаменской, без ее советов и поддержки данная работа не была бы написана.

Глава 1. Понятие отрицательного числа в современной математике и в истории

1.1 Исторические замечания о возникновении отрицательных чисел

В литературе, посвященной истории возникновения числа, отмечается, что натуральные числа возникли при счете предметов [6, 19]. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.

Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Бывало и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Понятие об отрицательных числах возникло в практике решения алгебраических уравнений [6].

После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Однако при решении уравнений нередко приходилось производить вычитание большего числа из меньшего и сталкиваться, таким образом, с понятием отрицательного числа.

Не только египтяне и вавилоняне, но и древние греки не знали отрицательных чисел. Понятие отрицательного числа появляется при решении систем линейных уравнений. Для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков “+” и “-” в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же - палочками черного цвета. Отрицательные числа долгое время называли словами, которые означали “долг”, “недостача”. Даже в VII в. в Индии положительные числа толковались как имущество, а отрицательные - как долг. Индийские ученые, стараясь найти в жизни образцы вычитания из меньшей величины большей, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. “Если купец имеет 5000 денежных единиц и закупает товара на 3000 денежных единиц, у него остается 5000-3000=2000 денег. Если же он имеет 3000, а закупает товар на 5000, то он остается в долгу на 2000. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000-5000, результатом же является число 2000 (2000 с точкой наверху), означающее “две тысячи долга” [5, с. 129]. В Древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.

Еще в III в. древнегреческий математик Диофант фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел при таких преобразованиях:

.

Однако для Диофанта не самостоятельное отрицательное число, а всего лишь “вычитаемое”, любое же положительное число - “прибавляемое”. Правило умножения он выражает так: “Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает в результате вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое”. Отдельно взятые отрицательные числа Диофант не признавал, и если при решении уравнения получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как “недопустимый”. Диофант старался так формулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избегать отрицательных корней.

Совершенно по иному относились к отрицательным числам индийские математики. Они признавали существование отрицательных корней уравнения, толковали положительные числа как представляющие имущества, а отрицательные - долги, применяя к ним все правила четырех действий, однако без должного теоретического обоснования.

Вот несколько правил сложения и вычитания, изложенные индийским математиком Брахмагуптой в VII в. н. э. [6]:

Таблица 1.1

Современная запись	Правила Брахмагупты
1. 2. 3.	Сумма двух имуществ есть имущество. Сумма имущества и долга равна их разности. Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом.

Индийский математик Бхаскара (XII в.) выразил правила умножения и деления следующим образом: “Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имуществ на долг есть убыток. То же правило имеет место и при делении” [6].

Однако, несмотря на широкое использование отрицательных чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Бхаскара прямо писал: “Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел…” [6].

Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование “имущество - долг” вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, можно “складывать” или “вычитать” имущества и долги, но какой реальный смысл может иметь “умножение” или “деление” имущества на долг?

Вот почему с большим трудом завоевывали себе место в математике отрицательные числа.

В Европе отрицательные числа упоминаются уже у Леонардо Фибоначчи (XII-XIII вв.). Отрицательные числа находят некоторое применение и толкуются как “долги” и у других европейских ученых XIV-XVI вв.; однако большинство ученых называет новые числа “ложными”, в отличие от “истинных” положительных чисел.

Это отношение мало изменилось и после того, как немецкий математик Михаил Штифель дал в 1544 г. новое определение отрицательных чисел как чисел, “меньших, чем ничто”, т.е. меньших нуля. Несмотря на то, что эта точка зрения означала шаг вперед в деле теоретического обоснования отрицательных чисел, общая неясность относительно природы новых чисел не исчезла. Люди долгое время не могли привыкнуть к мысли, что существует величина “меньше, чем ничто…”. Сам Штифель писал: “Нуль находится между истинными и абсурдными числами…”. Валлис же определял положительные и отрицательные числа как числа, друг другу противоположные (прибыль и потеря). Однако в одном случае Валлис из неравенства для натуральных чисел заключил, что

. . . . . .,

т. е. что отрицательные числа больше бесконечности [4]. Эту же точку зрения позднее высказал и Эйлер.

В XVII в. математика, механика, астрономия получили широкое развитие. Отрицательные числа, применение которых значительно облегчило математические вычисления, все более прочно входят в математику. Еще в 20-х годах XVII в. ученик Стевина, фламандский математик А. Жирар, решая уравнения, систематически учитывает и отрицательные корни и пользуется отрицательными числами наравне с положительными.

В знаменитом произведении французского математика, физика и философа Декарта “Геометрия”, изданном в 1637 г., описывается геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные - влево.

Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию. Представляя положительные и отрицательные корни уравнений противоположно направленными отрезками, Декарт тем самым считал, что эти корни равноправны, одинаково реальны, хотя и продолжал по традиции называть одни истинными, другие - ложными.

Однако, правила умножения и деления с отрицательными числами по-прежнему оставались необоснованными. Поэтому, даже в XVIII в. еще не достигли ясного понимания того, что отрицательные числа представляют собой закономерное расширение числовой системы, и спор между учеными о том, можно ли признавать отрицательные числа действительно существующими самостоятельно, как и числа положительные, продолжался. Такое признание отстаивали, в частности, Ньютон, Эйлер и почти все русские математики того времени. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX в., когда была развита достаточно строгая теория положительных и отрицательных целых чисел.

Как можно заметить, путь отрицательных чисел в истории оказался тернистым: от “ложных” и “абсурдных” - к признанию их существующими самостоятельно, как и положительные числа.

Основной проблемой, стоявшей перед математиками древности и в средние века, было обоснование правил действий с отрицательными числами, особенно - правил умножения и деления.

Окончательно отрицательные числа вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта (XVII в.), давшего геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных отрезков.

1.2 Современные представления об отрицательных числах

В математических энциклопедических словарях [12, 14] и учебниках по математике [13, 16] отрицательное число формально определяется как действительное число, меньшее нуля, либо как число со знаком “-” перед ним. На числовой прямой отрицательные числа изображаются точками, лежащими левее начала отсчета, т. е. левее нуля.

Однако можно рассматривать отрицательные числа через их включение в различные числовые системы: систему действительных чисел и систему комплексных чисел.

Отрицательные числа как расширение различных числовых систем

Добавляя множество отрицательных чисел и число нуль к множеству натуральных чисел, получаем множество целых чисел.

Сумма любого натурального числа и числа 0 есть число :

.

Любому натуральному числу соответствует единственное отрицательное целое число : такое, что сумма чисел и равна нулю:

.

Сложение и умножение целых чисел, также как и сложение и умножение натуральных чисел, коммутативно и ассоциативно. Кроме того, операции сложения и умножения целых чисел, как и в случае натуральных чисел, связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения, т. е. для любых для любых из ?:

, ,

, ,

.

Разность двух натуральных чисел в множестве натуральных чисел определена только тогда, когда . Тогда как в множестве целых чисел операция вычитания выполнима всегда.

Следовательно, множество целых чисел ? получается расширением множества натуральных чисел путем добавления новых числовых объектов, таких, что в расширенном множестве ?:

1) множество ? является собственным подмножеством;

2) сложение и умножение натуральных чисел в множестве ? совпадает с одноименными операциями в множестве ?;

3) вычитание в множестве ? всегда выполнимо, т. е. разность любых двух элементов (чисел) из ? является элементом (числом) из ?;

4) расширенное множество ? минимально в том смысле, что оно не содержит собственного подмножества, удовлетворяющего условиям 1)-3).

Множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции - сложение и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собою законом дистрибутивности, является полем [14].

Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого , и для каждого элемента противоположного элемента , т. е. такого элемента, что , а также существование единичного элемента (единицы), для которого , и для каждого ненулевого элемента существование обратного элемента , т. е. такого элемента, что . Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы - абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля) [14].

Заметим, что множество целых чисел не является полем, поскольку нет обратного элемента для любого из ? (например, - не целое). Однако, множество целых чисел - абелева группа, относительно сложения [14].

Полями являются множества всех действительных чисел ? и всех комплексных чисел ?.

Следовательно, можно сделать вывод, что ? - расширение множества натуральных чисел ?, ? - расширение множества ?, а ? - расширение множества ?.

Отрицательные числа как специальный случай комплексных чисел

Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое комплексное число мы можем изображать как точкой на плоскости с координатами и (рис. 1.1), так и вектором, начало которого находится в точке (0, 0), а конец - в точке с координатами (a, b) (рис. 1.2). При таком изображении комплексного числа его действительная часть и коэффициент при мнимой части являются проекциями изображающего вектора на действительную ось OX и мнимую ось OY.

Заметим, что любой вектор с началом в точке (0,0) однозначно определяется парой (a, b) или , где - расстояние точки от начала координат, а - угол, который составляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс (рис. 1.3). При этом называют модулем, а - аргументом комплексного числа и обозначают , . Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного [17].

Действительное число является частным случаем комплексного числа. В самом деле, аргумент положительного действительного числа равен 0, аргумент отрицательного действительного числа равен ; на действительной оси из начала координат выходят лишь два направления и их можно различать двумя символами “+” и “-“. Заметим, что на комплексной плоскости направлений, выходящих из точки 0, бесконечно много и различаются они уже углом, составляемым ими с положительным направлением действительной оси. Геометрическая интерпретация сложения и умножения комплексных чисел. Изображение комплексных чисел точками плоскости приводит к естественному желанию иметь геометрическую интерпретацию операций, определенных для комплексных чисел. Для сложения такая интерпретация может быть получена без затруднений. Пусть даны числа и . Строим соответствующие этим числам радиус-вектора. Согласно определению сложения комплексных чисел: . Тогда сумма изобразится вектором, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент векторов и , т. е. число представится диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как сторонах. Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу параллелограмма, т. е. по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат. Однако, сложить комплексные числа геометрически можно и, используя правило треугольника для сложения произвольных векторов. Для этого потребуется построить вектор, коллинеарный одному из радиус-векторов (например ), и совместить начало этого вектора с концом радиус вектора . Тогда и сложение действительных чисел можно рассматривать в смысле геометрической интерпретации сложения комплексных чисел с использованием правила треугольника для сложения векторов. Следствие. Модуль суммы двух комплексных чисел меньше или равен сумме модулей слагаемых, но больше или равен разности этих модулей:

. (1.1)

Доказательство:

Неравенства (1.1) вытекают из известной теоремы элементарной геометрии о сторонах треугольника (т. е., что длина любой из сторон треугольника меньше суммы длин двух других сторон, но больше разности длин этих сторон) ввиду того, что равен, как мы знаем, диагонали параллелограмма со сторонами и . Лишь в случае, когда точки , и 0 лежат на одной прямой, т. е. и - действительные числа, в формулах (1.1) могут достигаться равенства.

Для интерпретации умножения удобнее воспользоваться тригонометрической формой записи комплексных чисел:

(cos+i sin) (1.2)

Пусть комплексные числа и заданы в тригонометрической форме:

, . (1.3)

Перемножая эти числа, получаем:

.

Мы получили запись произведения в тригонометрической форме, и поэтому , или

, (1.4)

т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; далее, или

, (1.5)

т. е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. Эти правила распространяются на любое конечное число множителей. В применении к случаю действительных чисел формула (1.4) дает известное свойство абсолютных величин этих чисел, а (1.5) превращается в правило знаков при умножении действительных чисел. Действительно, при умножении двух отрицательных чисел , т. е. результат получается со знаком “+”; а при умножении чисел с разными знаками , следовательно, результат - число отрицательное.

Определяя отрицательные числа лишь через их включение в различные числовые системы, мы не сможем задать геометрическую интерпретацию правил действия с ними, что является важным для формирования понятия.

Однако, если действительное число определять как специальный случай комплексного числа, тогда сложение и, что особенно важно, умножение отрицательных чисел и чисел с разными знаками имеет явный геометрический смысл, исходящий из геометрической интерпретации сложения и умножения комплексных чисел. Действия вычитания и деления можно рассматривать как обратные действиям сложения и умножения.

Здесь возникает предположение, что, возможно, и в XIX веке отрицательные числа получили всеобщее признание лишь потому, что именно тогда “К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел (1831)” [8], включающую и геометрическую интерпретацию. Однако из-за весьма расплывчатых сведений, содержащихся в источниках по истории математики, ни подтвердить, ни опровергнуть данное предположение не удалось.

Глава 2. Моделирование

2.1 Понятие моделирования

Согласно А.И. Уемову, модель - “это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе” [21, с. 48]. По определению В.А. Штоффа, модель - “мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отражая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что изучение ее дает нам новую информацию об этом объекте” [23, с. 19].

Из этих, а также множества других определений модели следуют две ее характеристики: 1) модель - заместитель объекта изучения; 2) модель и изучаемый объект находятся в определенных отношениях соответствия, например: подобие, аналогия, изоморфизм - взаимно-однозначное соответствие структур заместителя и оригинала (и в этом смысле модель отображает объект). Из этих характеристик первая является основной, поскольку модель создается тогда, когда изучение оригинала невозможно или затруднено.

Выделяют ряд функций, которые модель выполняет в качестве средства познания: отражательная (модель является носителем информации, специфическим способом отражения), абстрагирующая (модель выступает средством экспериментального исследования: абстрагируя какие-то свойства, отношения, превращая их в идеализированные объекты, модель дает возможность изучать эти отношения, связи, свойства в чистом виде) и др. [20].

Построение и использование модели в научном познании составляют особый метод - моделирование. Моделирование - метод научного познания, при котором изучается не интересующий объект, а заместитель, находящийся с объектом в отношениях соответствия [20]. Моделирование предполагает ряд этапов: 1) выбор модели или ее построение; 2) изучение модели, работа с моделью; 3) перенос знаний, полученных при работе с моделью, на оригинал. Результаты моделирования определяются выбором модели (имеется ввиду характер соответствия модели оригиналу), степенью изученности модели, удобством оперирования с ней. Другими словами, моделирование - это воспроизведение существенных свойств изучаемого объекта, создание его заместителя и работа с ним. Модель всегда выступает в качестве объекта действия.

Таким образом, подлинное функциональное назначение модели - это быть объектом действия, с которым оперируют для получения новой информации об оригинале.

2.2 Навыки и умения учащихся в моделировании к концу начальной школы

По окончании младшей школы дети, обучавшиеся по программам РО, умеют измерять заданную величину некоторой меркой и записывать результат измерения соответствующей формулой (например, ); знают, что ту же величину можно измерить другой меркой, что при записи вновь произведенного действия, необходимо изменить прежнюю букву для обозначения мерки, и цифра, записываемая после знака равенства, тогда тоже будет иной; знают, что если оставить мерку прежней, но изменить величину - соответственно изменяются или сохраняются буквы и цифра. Сама формула: , является буквенной моделью [18].

Вообще, действие по освоению модели в младшей школе осуществляется в двух направлениях. Сначала модель строится после или в процессе манипуляции с предметами. Затем, наоборот, по заданной модели выполняются нужные манипуляции с предметами. Так, учитель записывает новую формулу, в которой сохраняется прежнее обозначение измеряемого объекта, но изменяется буква, обозначающая мерку. Дети должны произвести соответствующие изменения в предметной ситуации и далее выполнить измерение в новых условиях. При построении модели дети выделяют необходимые элементы своего способа действия. Такие элементы приобретают обобщенное значение. Этому способствует абстрактный характер моделей. В процессе работы учащиеся используют одни и те же знаковые модели для описания различных частных ситуаций, сводя их тем самым к единому содержанию [18].

Наряду с буквенными моделями используются и пространственно-графические модели (абстрактные отрезки или прямоугольники), позволяющие производить “ручные” действия - такие реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и непосредственно наблюдать.

Существенным, на наш взгляд, является то, что, преобразуя модели, в данном случае, учащиеся, фактически, не расширяют класс действий с моделируемыми объектами.

Глава 3. Подходы к введению понятия отрицательного числа в ТО и РО программах по математике

Как уже отмечалось во введении, формирование у детей понятия отрицательного числа составляет основу темы “Рациональные числа и действия с ними” и всего курса математики для 6-го класса в целом.

Одно и то же математическое понятие может вводиться различными способами, исходя из разных оснований и соответствующих этим основаниям учебно-практических задач. В.М. Заславский среди множества факторов, которые необходимо учитывать при выборе таких оснований, выделяет:

§ адекватность общепринятым научным представлениям;

§ согласованность с общими концепциями построения предмета;

§ обеспечение достаточно высокого уровня абстракции при введении понятия;

§ возможность достаточно явной и наглядной физической интерпретации;

§ возможность опоры на сложившиеся к данному возрасту представления детей (по крайней мере, нежелательность вхождения в противоречие с этими представлениями).

Считаю необходимым добавить к выше перечисленным факторам:

§ естественность введения действий умножения и деления;

§ возможность самостоятельного открытия действий учащимися, понимания и оценивания ими собственных “изобретений”.

Все сказанное относится, естественно, и к проблеме введения отрицательного числа.

Рассмотрим с точки зрения перечисленных выше принципов подходы к понятию отрицательного числа, встречающиеся в литературе. Эти подходы можно сгруппировать в четыре основных направления, обозначенные ниже как 3.1-3.4.

3.1 Введение отрицательного числа через фиксацию положения точки на числовой прямой

Этот подход реализован в большинстве “традиционных” учебников. Суть его в следующем. На числовой прямой выбирается начало отсчета, единичный отрезок. Для различения координат на двух лучах числовой прямой они снабжаются знаком: «+» или «-». Иллюстрации к этому - температура (холоднее/теплее), растительность (выше/ниже), географическое положение (запад/восток, север/юг), рельеф местности (горы/впадины), время (раньше/позже), денежные ресурсы (прибыль/долг) и т.п. Таким образом, знаковая фиксация результата измерения относительно выбранного начала отсчета выступает в качестве более удобного заменителя словесной формулировки. Подход, на мой взгляд, представляется в значительной мере эмпирическим.

На таком же эмпирическом уровне рассматриваются и действия с отрицательными числами. Например, правила сравнения формулируются либо на основании чисто житейских, “бытовых” представлений (например, “холоднее - меньше, теплее - больше”), либо по словесной аналогии со сравнением положительных чисел (“На числовой прямой положительные числа располагаются слева направо в порядке возрастания, поэтому можно договориться располагать таким же образом и другие числа. Тогда слова “правее” и “левее” годятся для изображения и, далее, сравнения любых чисел.”). Сложение и вычитание рациональных чисел с помощью числовой прямой, по моему мнению, больше путает, чем приносит пользы. Правила умножения и деления отрицательных чисел и чисел с разными знаками вводятся вообще аксиоматически.

В ряде учебников возникновение отрицательных чисел связывается с понятием переменной величины, изменяющейся в противоположных направлениях. Этой же точки зрения придерживаются и авторы “векторного” подхода. Такое мнение представляется во многом спорным. Отрицательное число, так же как и положительное, в конкретных ситуациях может описывать вполне статические величины (та же приводимая во многих учебниках глубина Байкала). Фактически, для описания одной и той же физической реальности можно обойтись без отрицательных чисел (например, измерение температуры по Кельвину) или ввести их (температурная шкала Цельсия). Представляется, что суть вопроса в первую очередь именно в выборе начала отсчета. Здесь уместна аналогия с дробями: одна и та же величина может быть описана и натуральным числом, и дробью - вопрос в выборе меры [7].

3.2 Основания для введения отрицательных чисел “внутри” самой математики

Естественное основание для введения отрицательных чисел - выполнимость вычитания как обратной операции по отношению к сложению, так же, как введение дробей делает всегда выполнимой операцию деления (за исключением деления на ноль). “Понадобилось немало времени, чтобы среди математиков было хорошо осознано, что “правило знаков” и вместе с ним все прочие определения, относящиеся как к отрицательным числам, так и к дробям, никак не могут быть “доказаны”. Они создаются, или декларируются, нами самими с целью обеспечить свободу операций и притом без нарушения основных арифметических законов… Расширение области посредством введения новых символов, совершаемое таким образом, что законы, которые имели место в первоначальной области, сохраняются и в расширенной, есть одна из форм характерного в математике процесса обобщения… Логически безупречная арифметическая система может быть сконструирована не иначе, как в отвлечении от действительности” [10].

Не думаю, что подход, базирующийся на столь формальных основаниях, может быть принятым за основу построения курса математики в 6-ом классе.

Близким к рассмотренному основанием для введения отрицательных чисел является рационализация процесса решения уравнений. “Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах… Отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникающих, прежде всего, при решении уравнений. Правила действий над ними вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли бы быть получены и без них” [5, с. 133].

По мнению В.М. Заславского, подход, базирующийся на таких основаниях, во многих отношениях весьма привлекателен. Прежде всего, он имеет серьезные теоретические предпосылки: теория отрицательных чисел может быть построена строго и последовательно в рамках учебной задачи решения уравнений [7]. В то же время:

§ подход лежит несколько в стороне от принятой в РО “измерительной” концепции числа;

§ уравнения для многих детей еще не превратились в наиболее естественный аппарат для решения задач и, тем более, не воспринимаются ими как самостоятельная математическая абстракция;

§ подход может оказаться недостаточно согласующимся с имеющимся у детей интуитивным и ранее приобретенным из житейского опыта представлением об отрицательных числах;

§ введением отрицательных чисел как удобного средства решения “обычных” уравнений с неотрицательными корнями не снимается проблема интерпретации отрицательных корней; придание им физического смысла потребовало бы, по-видимому, тех же самых словесных аналогий: тепло/холодно, горы/впадины, и т.п.;

§ правила действия с отрицательными числами вводятся несколько искусственно и не являются для детей “изобретениями”.

3.3 Введение отрицательных чисел через понятие направленной величины (“векторный” подход)

От рассмотренных выше подходов существенно отличается подход к введению отрицательного числа через понятия перемещения и направленной величины (вектора), возникающие при решении конкретно-практической задачи ориентирования на местности. Переход от вектора на плоскости к вектору на прямой и измерение его с помощью направленной меры приводит к рациональному числу как средству фиксации результата такого измерения. При этом результат измерения наделяется свойствами переменности и направленности, поскольку понятие перемещения по существу является динамическим и характеризует процесс изменения соответствующей величины.

Но, возможно, что “при таком подходе числовая прямая (да и само число), которая с первого класса вводится как универсальная модель, позволяющая отображать измерения величин любой природы, становится средством отображения только линейных величин (механических перемещений)” [7, с. 23]. Представляется, что в данном случае, и здесь я согласна с В.М. Заславским, новое понятие - вектор - выступает не в качестве средства разрешения некоторого противоречия (как это было, например, с дробями, позволявшими измерять величину меньшую, чем мера), а лишь как средство описания задачи ориентирования, которая по отношению к задаче введения рационального числа является частной, прикладной задачей. Таким образом, задача ориентирования на плоскости, скорее, лишь иллюстрирует ситуацию, в которой может оказаться удобным использование отрицательных чисел. Аналогичная ситуация может быть достаточно четко обозначена и в одномерном случае, причем на примерах из области измерения различных, в том числе и принципиально скалярных по своей природе величин: времени (летоисчисление), температуры и т.п. Да и в “векторном” подходе понятие вектора в итоге (к моменту введения отрицательного числа) с необходимостью вырождается в одномерный.

Приведенные соображения, в качестве одной из причин, побуждают отказаться от “векторного” подхода при введении понятия отрицательного числа. Можно высказать еще ряд аргументов:

ь подход представляется довольно сложным и далеким от имеющихся к данному возрасту представлений детей;

ь введение вектора как понятия, связанного только с пространственными перемещениями, впоследствии может вызвать психологические затруднения с векторными величинами другой физической природы, с представлениями о многомерном (размерности больше трех) пространстве, о фазовом векторе, координатами которого могут быть разнородные величины (например, рост, масса, объем легких, температура, кровяное давление человека) [7];

ь вызывает сомнение целесообразность использования вырожденной ситуации в качестве теоретического основания для введения нового типа чисел.

По мнению В.М. Заславского, “представляется целесообразным “обратный” ход. Отрицательные, а впоследствии рациональные и, далее, действительные числа вводятся без использования представлений о векторе. Понятие вектора вводится на соответствующем этапе в алгебраическом смысле, как обобщение понятия числа. Задача ориентирования рассматривается как частная задача - одно из практических применений понятия вектора (или одно из возможных оснований для рассмотрения этого понятия)” [7, с. 24-25].

3.4 Введение понятия отрицательного числа через задачу сравнения величин

Выше были сформулированы требования, которым должны удовлетворять основания для введения новых понятий в курсе математики. “Представляется, что этим требованиям, применительно к введению понятия отрицательного числа, отвечает процедура разностного сравнения величин, которая впервые рассматривалась еще в дочисловом периоде первого класса и далее постоянно возникала в связи с задачей сравнения чисел всех изучаемых типов. Этот подход опирается также на процедуру сравнения в 5 классе в качестве основания для введения арифметических действий (вычитания и сложения) с дробными числами” [7, с. 25].

Процедура разностного сравнения двух величин в том виде, как она воспринимается детьми к 6 классу, может быть описана следующим образом:

q устанавливается факт равенства или неравенства этих величин (“низший” уровень сравнения);

q если установлено, что величины не равны, определяется, какая из них больше;

q определяется, на сколько большая величина больше (или на сколько меньшая величина меньше), т.е. из большей величины вычитается меньшая.

Первые два этапа характеризуют сравнение на качественном уровне, третий - на количественном.

“Сворачивание” описанной процедуры сравнения позволяет свести ее к одному действию - вычитанию, если ввести знак, позволяющий идентифицировать, какая из сравниваемых величин больше.

Очевидно, что предлагаемый подход очень близок к рассмотренному выше и возникающему непосредственно “внутри” математики подходу, основанному на выполнимости операции вычитания (принцип обобщения). “Разница в том, что здесь выступает не как абстрактная арифметическая операция над числами, а в качестве средства сравнения величин, что естественным образом согласуется с предшествующим построением предмета” [7, с. 26].

Целесообразность “новой” процедуры сравнения особенно наглядно проявляется в ситуации, когда возникает необходимость сопоставления множества величин с неким единым образцом (эталоном), т.е. когда сравниваемые величины имеют различную смысловую окраску (В.М. Заславский). В качестве иллюстрации может быть рассмотрен пример сравнения характеристик (размеров, массы) деталей на конвейере с аналогичными характеристиками образца. Другим примером может служить регистрация отклонений параметров какого-либо реально протекающего процесса от заданных параметров “идеального” процесса и т. д.

Следует подчеркнуть, что понятие модуля вводится до понятия отрицательной величины, в отличие от “обычного” определения модуля (модуль, как расстояние между точками), появляющегося после формального введения отрицательного числа. Здесь через модуль определяется смысл вычитания большей величины из меньшей, а уже эта ситуация приводит к отрицательной величине. “Вводимое впоследствии понятие модуля числа естественно связать с модулем соответствующей величины” [7, с. 27].

Далее рассматриваются одновременно две величины, сравниваемые с некоторой величиной, выступающей в роли эталона. В связи с этим появляется новое средство графического моделирования - направленный отрезок. По словам В.М. Заславского: “Принципиально, что мы говорим не о направленных величинах, а о направленных отрезках, являющихся средством моделирования положительных и отрицательных величин-приращений” [7].

Следующим шагом является переход от положительных и отрицательных величин к рациональным числам, посредством перенесения полученных моделей на числовую прямую.

На мой взгляд, реализация методики введения понятия отрицательного числа и действий с рациональными числами, предложенная В.М. Заславским [7], занимает слишком много времени и очень трудоемка.

Заметим, что идею введения понятия отрицательного числа через задачу сравнения величин с неким единым образцом (эталоном) заимствует курс “Начала алгебры” для продолжающих развивающее обучение математике в среднем звене, разработанный сотрудниками лаборатории развивающего обучения математике ИППР г. Красноярска под руководством О.В. Знаменской, и предназначенный для классов, обучавшихся первые 4 года по системе Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова [2].

Вначале оформляются стихийно сложившиеся представления учащихся о происхождении отрицательных чисел. Учащимися приводятся примеры направленных величин (температура, прибыль-долг, уровень моря и т. д.), реконструируется задача сравнения с эталоном. Здесь, по словам авторов, также возможна фиксация, что отрицательное число есть средство решения задачи вычитания из меньшего числа большего [2]. Далее производится систематизация и анализ представлений учащихся. Выделяются характеристики направленной величины и строится модель направленной величины. алгебра отрицательный число моделирование

Модель “измеренной” направленной величины (вектор на прямой) отождествляется с моделью числа со знаком, выделяются две характеристики числа со знаком: величинная характеристика (модуль) числа и направление, моделирующее знак числа. Как отмечают авторы, особое внимание уделяется интерпретации нуля.

Правила действий с отрицательными числами выводятся при помощи модели, путем ее преобразования. “Учащиеся сами изобретают удобные для них схемы для запоминания правил” [2, с. 79].

Внимание акцентируется на том, что учащиеся должны понимать, что вычитание чисел со знаком можно заменить сложением с противоположным числом. Отождествление чисел со знаком и рациональных чисел производится в результате анализа выполнения арифметических операций с числами. Здесь также не обходятся без числовой прямой, которая вводится, в первую очередь, как средство сравнения рациональных чисел. Понятие числовой прямой строится путем сравнительного анализа модели рационального числа, построенной учащимися, и знаком (числовой прямой), предложенным в учебных текстах.

Считается важным, периодически ставить перед учащимися учебные задачи-ситуации, требующие анализа текстов.

“Выведенные правила действий с отрицательными числами учащиеся применяют для преобразования числовых и простейших буквенных выражений и решения линейных уравнений” [2, с. 80].

Каждый из перечисленных в данной главе подходов обладает как достоинствами, так и недостатками.

Наиболее приемлемым для нас является сочетание подхода, разработанного В.М. Заславским, и подхода, обозначенного авторами курса “Начала алгебры”.

Мы считаем, что именно такое сочетание подходов при изучении темы “Отрицательные числа” более продуктивно, чем использование каждого из перечисленных выше подходов в отдельности или в любой другой комбинации.

Глава 4. Методика изучения темы “Отрицательные числа” на основе моделирования

4.1 Особенности введения понятия отрицательного числа

Предлагаемый нами подход в целом отличается от описанных в главе 3 подходов к введению понятия отрицательного числа.

Однако, следует заметить, что понятие отрицательного числа мы вводим через сравнение величин с эталоном, пользуясь при этом подходом, реализованным В.М. Заславским (см. 3.4) [7]. Направленный отрезок при этом выступает не как направленная величина, а как средство моделирования положительных и отрицательных измеренных величин, иначе говоря, как модель числа со знаком.

Предлагаемый нами подход позволяет учащимся получать знания о свойствах и действиях с отрицательными числами путем построения ими самими модели и ее преобразования.

В процессе изучения темы, учащиеся “изобретают” лишь три действия с моделью, использование которых (помимо знаний о положительных числах), позволяет им формулировать правила сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел и чисел с разными знаками:

v действие “приложения” (сложение при помощи направленных отрезков);

v “отражение” (умножение на -1, иначе смена направления);

v растяжение/сжатие (умножение/деление).

Все остальные действия с моделью получаются как композиция указанных трех действий.

Корректность всех действий, производимых с направленными отрезками, нами обоснована в главе 1 во втором параграфе.

На реализацию разработанной нами методики (см. 4.2) времени уходит даже меньше, чем на изучение подобной темы при традиционном обучении. Однако, следует отметить, что качество усвоения материала при этом не хуже.

4.2 Логика введения отрицательного числа и операций сложения, вычитания, умножения и деления

В ходе изучения темы “Отрицательные числа” мы выделяем несколько этапов:

1. Построение модели числа со знаком через сравнение величин с эталоном.

2. Введение понятия противоположного числа.

3. Отождествление числа +a с положительным числом (при помощи числовой прямой).

4. Сравнение чисел при помощи числовой прямой.

5. Сложение: отрицательных чисел; чисел с разными знаками.

6. Вычитание.

7. Умножение.

8. Деление.

Рассмотрим эти этапы подробнее.

На первом этапе оформляются стихийно сложившиеся представления учащихся об отрицательных числах, производится их систематизация и анализ. Реконструируется задача сравнения с эталоном. Особое внимание уделяется интерпретации нуля.

Модели положительного и отрицательного чисел строятся, исходя из этих представлений: температура (холоднее/теплее), рельеф местности (горы/впадины), денежные ресурсы (прибыль/долг), растительность (выше/ниже), географическое положение (запад/восток, север/юг), время (раньше/позже) и т.п. Также как и авторы курса “Начала алгебры”, мы считаем, что уже здесь возможна фиксация, что отрицательное число есть средство решения задачи вычитания из меньшего числа большего. Выделяются характеристики направленной величины и строится модель направленной величины.

Модель числа со знаком отождествляется с моделью “измеренной” направленной величины:

-a +b

Размещено на http://www.allbest.ru/

Знак: “-” Знак: “+”

Рис. 4.1

Здесь выделяются две характеристики числа со знаком: величинная характеристика (модуль) числа и знак, моделируемый как направление [рис. 4.1].

На втором этапе вводится понятие противоположного числа.

Учащимся предлагается найти модуль каждого из предложенных чисел: -6; +6; +1; +4; -1; +81; -81; -7; -x; +x. Здесь выясняется, что некоторые числа имеют равные модули.

Используя оба плана рассмотрения положительного и отрицательного чисел, фиксируем, что противоположные числа характеризуются равными длинами (модулями), но разными направлениями (знаками) (рис. 4.2):

Размещено на http://www.allbest.ru/

-a +a

Знак: “-” Знак: “+”

Рис. 4.2

Далее формулируется определение, какие числа называются противоположными.

Третий этап. Отождествление числа +a с положительным числом (при помощи числовой прямой), (рис. 4.3):

Размещено на http://www.allbest.ru/

-a +a

-3 +3

-2 +2

-1 +1

0 1 2 3 a

Рис. 4.3

Учащимся предлагается, используя данный рисунок, изобразить на числовой прямой числа ;; и -a.

Следует отметить, что перед этим детям предлагается вспомнить, что такое числовой луч, и по какому принципу располагаются числа на числовом луче.

Следует вывод, что отрицательные числа на числовой прямой располагаются левее нуля, а также, что все числа, независимо от того, какие они - положительные или отрицательные, линейно упорядочены (стрелочка на числовой прямой указывает в каком направлении).

Четвертый этап. Сравнение чисел.

Числа сравниваются стандартно - посредством числовой прямой.