Формирование представлений у учащихся начальных классов о смысле арифметических действий

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Введение 3

Глава I. Общая характеристика исследований в области формирования представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов

Глава II. Проблема формирования представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов

Глава III. Процесс формирования представлений о смысле арифметических действий в ходе курса начальной школы

Глава IV. Задачи-ситуации и их использование при формировании представления о смысле арифметических действий

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Актуальность темы работы состоит в том, что в процессе обучения, опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, т.к. учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свойства действий, их законы и т.д.

Одновременно с изучением свойств арифметических действий и соответствующих приемов вычислений раскрываются на основе операций над множествами или над числами связи между компонентами и результатами арифметических действий, ведутся наблюдения за изменением результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Цель работы состоит в характеристике процесса формирования представлений у учащихся начальных классов о смысле арифметических действий. В соответствии с поставленной целью задачи работы сформулированы следующие:

обзор психолого-педагогических исследований в области формирования представлений у учащихся начальных классов о смысле арифметических действий;

отслеживание процесса формирования представлений в ходе курса начальных классов о смысле арифметических действий;

характеристика средств формирования представлений у учащихся начальных классов о смысле арифметических действий (на примере задач-ситуаций).

Глава I. Общая характеристика исследований в области формирования представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов

Курс математики располагает широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры.  Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел, арифметических действий в начальном обучении важнейшее место всегда занимало формирование у школьников вычислительных навыков. Сегодня значимость названных навыков уменьшилась в связи с широким внедрением во все сферы человеческой деятельности электронной вычислительной техники, использование которой, несомненно, облегчает процесс вычислений. Однако МК не всегда может оказаться под рукой, да и пользоваться им без осознания вычислительных навыков невозможно. Из сказанного следует, что владение навыками вычислений необходимо, а для младшего школьника, в первую очередь, важно в плане практической значимости для дальнейшего обучения.

Данная проблема всегда привлекала внимание психологов, методистов, дидактов, учителей. Достаточно назвать исследования А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Степановой, Я.Ф. Чекмарева, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, Т.И. Фаддейчевой и др., каждое из которых внесло определенный вклад в практику обучения вычислениям. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М.И.Моро, А.М. Пышкало. -- М.: Педагогика, 1977. -- С.188

Из исследований прошлых лет наибольшим авторитетом пользуются работы М.А. Бантовой, опубликованные дважды в методическом журнале «Начальная школа» (№10, 1975 и №11, 1983).

Вычислительный навык М.А. Бантова определила как «высокую степень овладения вычислительными приемами» и выделила следующие его характеристики -- правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм, прочность. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. -- 1993. -- № 11. -- С. 38

Вычислительное умение -- это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.

Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность, которая напрямую связана с вариативностью.  Рациональность вычислений -- это выбор тех вычислительных операций из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия».

Усиление внимания к рационализации вычислений связано с практической направленностью математического образования, которая означает развитие умений школьников применять полученные знания, действовать не только по образцу, но и в нестандартных ситуациях, комбинируя известные способы решения учебной задачи. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни.

Умение рационально выполнять вычисления опирается на осознанное использование законов арифметических действий, применение этих законов в нестандартных условиях, использование искусственных (универсальных) приемов упрощения вычислений.

Свойства арифметических действий (переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения) не являются специальным предметом изучения в начальной школе, а рассматриваются в связи с формированием устных приёмов  вычислений. Это означает, что в процессе обучения на конкретных простых числовых примерах рассматриваются различные способы прибавления числа к сумме, суммы к числу; вычитания числа из суммы, суммы из числа; умножения суммы на число и др. с целью формирования умения осознанно выбирать те способы, которые позволяют рационально осуществлять процесс вычислений.

В начальном курсе математики изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема,  конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения.

Проблема рациональных вычислений неоднократно поднималась на страницах журнала «Начальная школа». Авторы публикаций достаточно подробно описывают теоретические основы различных вычислительных приемов, часть из  них может успешно применяться учителями при обучении младших школьников. Это способ группировки, умножения и деления на 11, 5, 50, 15, 25 и др., округления одного из компонентов арифметического действия и др.; теоретическая основа  их -- свойства арифметических действий, ознакомление с которыми происходит в начальном курсе математики. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. -- 1993. -- № 11. -- С. 39

Остановимся на некоторых из  способах вычислений, которые, на наш взгляд, посильны  учащимся, но не используются в практике обучения младших школьников.

Прием округления, основанный на изменении результата вычисления при изменении одного или нескольких  компонентов.

Сложение. Для нахождения значения суммы используется прием округления одного или нескольких слагаемых; при увеличении (уменьшении) слагаемого на несколько единиц сумму уменьшаем (увеличиваем) соответственно на столько же единиц:

224+48=224+(48+2)-2=(224+50)-2=274-2=272 или

224+48=(220+50)+4-2=270+4-2=272.

Вычитание:

при увеличении (уменьшении) уменьшаемого на несколько единиц разность уменьшаем (увеличиваем) на столько же единиц:

397-36=(400-36)-3=364-3=361;

при увеличении (уменьшении)  вычитаемого на несколько единиц разность увеличиваем (уменьшаем) на столько же единиц:

434-98=(434-200)+2=234+2=236;

при увеличении (уменьшении) уменьшаемого и вычитаемого на несколько единиц разность не измениться:

231-96=(231+4)-(96+4)=235-100=135.

Умножение

  При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и  из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)

97х6=(100-3)х6=100х6-3х6=600-18=582.

Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999. Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного  целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.

Но еще проще ознакомить детей с правилом -- «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):

154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

Интересны школьникам и способы сокращенного умножения, к которым относится умножение на 15, 150, 11 и др., теоретической основой которых  является умножение числа на сумму.

Например, при умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения: 23х15=23х(10+5)=230+115=345; если же число четное, то поступаем еще проще -- к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:

18х15=(18+9)х10=27х10=270.

При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150=15х10: 

24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.

Теоретической основой умножения двузначных чисел является правило умножения суммы на число.  Например, 18х16.  Сначала число 18 представляют в виде «суммы удобных (разрядных) слагаемых», потом выполняют последовательные вычисления, используя распределительный закон умножения относительно сложения:

(10+8)х16=10х16+8х16=160+128=288.

Найти значение данного выражения устно можно проще: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.   Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562. Способ отличается от тех «рациональных вычислений», которым обучают детей в школе.

На первый взгляд данные способы вычислений кажутся сложными, но при правильной организации работы на уроке и внеклассных занятиях учащиеся осваивают их и с удовольствием используют в вычислительной деятельности.  Привычка выполнять подобные вычисления устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала.

В учебной литературе описываются и другие универсальные способы быстрого счета (рациональных вычислений), которые всегда можно обосновать  математически и основываются они на известных законах и свойствах арифметических действий. Вариативность вычислительных навыков школьников формирует интерес, положительную мотивацию к вычислительной деятельности. Но на практике универсальным приемам вычислений уделяется мало внимания в силу недостаточной  математической подготовки самих учителей.

Хорошо подготовленный учитель найдет возможность знакомить школьников с известными вычислительными секретами, показывать ученикам практическую значимость математики, тогда перед  детьми откроется совсем другая математика -- живая, полезная и понятная. Ведь уроки математики должны учить считать, должны тренировать мышление, разум, волю. И тогда наши  ученики будут выглядеть перед нами способными, уверенными и культурными. Ведь своя голова надежней, чем самые современные  вычислительные средства Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. -- 1993. -- № 11. -- С. 41.

Глава II. Проблема формирования представлений о смысле арифметических действий у учащихся начальных классов

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых  составляет осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Использование ЭВМ во многом облегчает процесс вычислений. Но пользоваться техникой без осознания вычислительных навыков невозможно, да и микрокалькулятор не всегда может оказаться под рукой.  Следовательно, владение вычислительными навыками необходимо. Научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости для дальнейшего обучения. Поэтому вооружение учащихся прочными вычислительными навыками продолжает оставаться серьезной педагогической проблемой. Но надо выявить, какими качествами должны обладать вычислительные навыки в современных условиях.

Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой,  М.И. Моро, Н.Б. Истоминой,  С.Е. Царевой и др.

Глубоко и всесторонне вопросы совершенствования устных и письменных вычислений учащихся исследовались лишь в 60-70 гг. ХХ века.  Исследования последующих лет посвящены преимущественно разработке качеств вычислительных навыков (М.А. Бантова), рационализации вычислительных приемов (М.И. Моро, С.В. Степанова и др.),  применению средств ТСО (В.И. Кузнецов), дифференциации и индивидуализации процесса формирования вычислительных умений и навыков (Т.И. Фаддейчева).

Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения, и нашло отражение в учебниках   математики (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Пышкало, С.В. Степанова, Ю.М. Колягин).

Переориентация методической системы на приоритет развивающей функции по отношению к образовательной, характеризующейся изменением характера деятельности учащихся, личностно-ориентированным подходом к обучению, несколько ослабила внимание к развитию и закреплению вычислительных навыков у учащихся. Чекмарев Я.Ф. Методика устных вычислений. -- М.: Просвещение, 1970. -- С.111

Анализ учебников математики для начальной школы (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон, Э.И. Александрова, В.В. Давыдов, и др.) в исследовании А.А. Клецкиной позволил ей сделать вывод, что «все они в той или иной степени способствуют развитию познавательной активности учащихся, их творческого потенциала, развитию гибкости и критичности мышления. Однако задача формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков отодвинута в них на второй план. Способы организации вычислительной деятельности по-прежнему ориентированы на показ образца вычислительного приема, отработку частных способов вычислений, использование тренировочных упражнений репродуктивного характера». В некоторой части с этой оценкой можно согласиться, но лишь в некоторой. Так, в учебниках системы В.В. Давыдова -- Д.Б. Эльконина задаются именно общие подходы к вычислительным приемам, а не частные. Но в этих учебниках, к сожалению, нет «отработки частных способов вычислений», равно как нет и общих способов Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. -- 1993. -- № 11. -- С. 43.

А.А. Клецкиной отмечается ухудшение качества вычислений учащихся, обучающихся по развивающим учебникам. Особенно пострадала культура устного счета. «Стремление учителей изменить ситуацию приводит к тому, что одни учителя используют в работе два учебника: один выполняет развивающие функции, другой (традиционный) -- нацелен на формирование вычислительных умений и навыков. Другие учителя увеличивают объем домашних заданий. Это приводит к перегрузкам школьников, провоцирует стрессовые ситуации, ..., снижает интерес к математике». 

Многие учителя, признавая устаревшим навык устного счета, не включают его в структуру урока, в результате чего отмечается снижение уровня сложности выполняемых учащимися вычислений.

Из исследований прошлых лет наибольшим авторитетом пользуются работы М.А. Бантовой. Обратимся к ее статье «Система формирования вычислительных навыков», опубликованной дважды в журнале «Начальная школа»

М.А. Бантова определила вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами. «Приобрести вычислительные навыки -- значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро».

О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции, приводящие к решению.

М.А. Бантова выделяет следующие характеристики полноценного вычислительного навыка: правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность.

Однако, сегодня, в век развития электронных средств вычислительной техники,  значительно изменивший процесс вычислений, важно создать модель вычислительной культуры, необходимой современному человеку, в частности выпускнику начальной школы, с учетом многообразия типов учебных заведений, профилизации образования.

Умение пользоваться микрокалькулятором стало неотъемлемой частью математической культуры современного человека. Поэтому необходимо определиться, какими характеристиками должны обладать вычислительные навыки.

Конкретные числа и действия машине задает человек. В некоторых ситуациях машина может дать «сбой», либо задающий ей числа и операции допускает ошибку. Поэтому школьников надо учить давать предварительную оценку результата на основании округления исходных данных и промежуточных результатов действий, т.е. выполнять прикидку (числа цифр результата, его последней цифры с помощью предварительного округления; на основании зависимости между результатами и компонентами арифметических действий; по алгоритму выполнения действий).  Следовательно, одной из характеристик вычислительных навыков, наряду с перечисленными выше, по нашему мнению, выступает  умение прогнозировать результат и оценивать его истинность, которое необходимо в дальнейшем обучении.

М.А. Бантова под рациональностью вычислений понимает выбор тех вычислительных операций из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия». Но рациональный вычислительный прием для одного ученика не всегда рационален для другого. Поэтому, мы считаем необходимым,  рациональность вычислительного навыка  заменить его эффективностью.

В популярном экономическом словаре «эффективность -- в общепринятом смысле представляет собой соотношение затрат и результатов».

По нашему мнению, вычислительный навык можно считать эффективным, если в рамках данного способа вычислений получение правильного результата достигается минимизацией затрат умственных ресурсов. Т.е. ученик, используя различные знания, может выбрать не обязательно более рациональный вычислительный прием с точки зрения методики, а более удобный (легкий) для него в конкретной ситуации, быстрее других приводящий к результату.

Формирование вычислительных умений и навыков -- сложный длительный процесс,  эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития начального образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствуют не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности учителю необходимо отдавать предпочтение обучающим заданиям, в которых  доминирует познавательная мотивация, ориентироваться на развивающий характер работы, учитывать индивидуальные особенности ребенка,  его жизненный опыт,  особенности детского мышления. Вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических) Гельфан Е.М. Арифметические игры и упражнения. -- М.: Просвещение, 1968. -- С.78-79.

На сегодняшний день, работая в любой системе обучения, учитель может и должен организовать работу по формированию вычислительных умений и навыков у учащихся таким образом, чтобы удовлетворить всем выше перечисленным требованиям современной школы.

Глава III. Процесс формирования представлений о смысле арифметических действий в ходе курса начальной школы

Основой процесса обучения математике в системе, направленной на общее развитие школьников, являются ее дидактические принципы и типические свойства, что выражается, в первую очередь, в самостоятельном - коллективном и индивидуальном - добывании знаний самими учениками на основе использования их опыта, результатов их практической деятельности, проведенных наблюдений, высказанных предположений, их сравнения и доказательного отбора.

Таким образом, основным в обучении математике является индуктивный путь познания этого предмета, особенно в начале обучения, что не исключает использования и дедуктивного пути в тех случаях, когда это диктуется особенностями рассматриваемого вопроса и возможностями детей. Общая тенденция заключается в постепенном увеличении удельного веса дедуктивного подхода по мере взросления детей Экономика для всех: популярный словарь / Под ред. О.В. Амуржуева. -- М.: ОАО «Изд-во «Экономика», 1997. -- С.101.

Максимальное внимание к личности ученика, выявление и использование всех его потенциальных возможностей служит психолого-педагогической основой, как для его развития, так и для полноценного усвоения знаний, умений и навыков.

Основным содержанием программы в начальных классах являются понятия натурального числа и действий с этими числами.
Изучение натуральных чисел происходит по следующим концентрам: однозначные числа, двузначные числа, трехзначные числа, числа в пределах класса тысяч, числа в пределах класса миллионов. Выделение таких концентров связано с тем, что одной из главных задач изучения этой темы является осознание принципа построения той системы счисления, которой в настоящее время пользуются в большинстве стран мира - позиционной десятичной. В этой системе числа десять, сто, тысяча и т.д. являются основными системообразующими и, следовательно, должны занимать особое место в процессе изучения, а не возникать как рядоположенные по отношению к остальным натуральным числам.

Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, который позволяет максимально использовать дошкольный опыт учеников, сложившиеся у них представления о механизме возникновения чисел как результата пересчета предметов.

Таким образом, натуральное число возникает как инвариантная характеристика класса равномощных конечных множеств, а основным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств, имеющих соответствующие числовые характеристики. На этой основе формируются понятия об отношениях «больше», «меньше», «равно», «не равно» как между множествами, так и между соответствующими им числами.
Изучение концентра однозначных натуральных чисел завершается их упорядочиванием и знакомством с началом натурального ряда и свойствами этого ряда.

В дальнейшем происходит постепенное расширение множества натуральных чисел по концентрам: двузначные числа, трехзначные числа и т.д., которое завершается классом миллионов. При изучении каждого из последующих концентров в центре внимания находится образование новой единицы счета - десятка, сотни, тысячи и т.д., что неразрывно связано с принципами построения десятичной позиционной системы счисления, с овладением устной и письменной нумерацией на множестве натуральных чисел. Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. -- 2003. -- №10. -- С. 67

Необходимо иметь в виду, что хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в близком их дошкольному опыту теоретико-множественном подходе, уже в первом классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении такой величины как длина в первом классе, масса, вместимость, площадь и разнообразных других величин в последующие годы обучения в начальной школе.

Эти два подхода к натуральному числу сосуществуют на протяжении всего начального обучения, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного числа.

Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами. Основными направлениями работы с ними являются: осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел, выделение детьми таких ситуаций в окружающем их мире, относительность их использования, как в жизни, так и в математике.

Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вычитания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание - как разбиение группы на две. Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-действенном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием.

В дальнейшем понятие о сложении и вычитании становится более разносторонним и глубоким за счет рассмотрения их с других точек зрения: сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание - как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, т.е. ответить на вопрос, на сколько одно число больше (меньше) другого.

Одним из центральных вопросов при изучении этих действий является составление таблицы сложения, которая возникает на основе состава чисел первых двух десятков из двух однозначных чисел.

В отличие от традиционной системы внетабличное сложение и вычитание строится не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании основных положений, лежащих в фундаменте алгоритма их выполнения: поразрядности выполнения каждой из этих операций и использования таблицы сложения для вычислений в каждом разряде. Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев Клецкина А.А. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения / Автореферат диссертации  на соискание ученой степени канд. пед. наук. -- М., 2001. -- С.13.

Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел, с которыми детям сравнительно легко работать, операции с которыми без значительной затраты сил и времени они могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.

Во втором классе начинается изучение действий умножения и деления. Первое из них рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых, второе - как действие, обратное умножению, при помощи которого по значению произведения и одному множителю можно узнать другой множитель.

В дальнейшем умножение и деление рассматриваются и с других точек зрения: как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого.
В связи с решением задач рассматриваются также случаи, приводящие к делению на равные части и делению по содержанию.

Как и при изучении сложения и вычитания одним из важнейших вопросов знакомства с новыми действиями является составление таблицы умножения. Стремясь максимально использовать связь между сложением и умножением, мы отказались от принципа ее составления, основанного на последовательном увеличении количества одинаковых слагаемых (2+2, 2+2+2, 2+2+2+2, и т.д.). В системе, в рамках которой разработана настоящая программа, первым шагом в составлении таблицы умножения является выделение из таблицы сложения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.

Таким образом, первый столбик таблицы умножения объединяет все случаи умножения однозначных натуральных чисел на число 2. В дальнейшем величина второго множителя последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9.

Такой подход к составлению таблицы умножения является более предпочтительным и потому, что после сокращения составленной таблицы на основе переместительного закона умножения и использования особых случаев этого действия оставшаяся для заучивания часть таблицы легче запоминается детьми, так как по мере увеличения второго множителя число равенств, оставшихся в таблице, сокращается.

Табличное деление выполняется учащимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.

В третьем классе область применения умножения и деления расширяется за счет изучения внетабличного выполнения этих операций: умножения и деления многозначных чисел на однозначное число. В основе изучения этой темы также лежит осознание двух позиций: поразрядности выполнения этих действий и использования таблицы умножения в каждом разряде.

На этом этапе формируется общий подход к выполнению действий умножения и деления, который затем переносится с соответствующими дополнениями на любые числа натурального ряда.

Изучение умножения и деления натуральных чисел завершается в четвертом классе темой умножения и деления на многозначное число.
В целях расширения и углубления представлений детей об изученных операциях рассматриваются случаи их выполнения с геометрическими объектами: сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число и деление на равные части.

Большую роль в осознании связи между обратными действиями играет знакомство с уравнениями, их решение на основе этих взаимосвязей, которые начинаются в первом классе и продолжаются до конца обучения в начальной школе.

Формированию осознанного и прочного навыка выполнения изученных действий способствуют систематические наблюдения за изменением результата изученных операций при изменении одного и (или) двух компонентов. Такие наблюдения проводятся на протяжении всего времени обучения в начальной школе и завершаются их обобщением в четвертом классе. Клецкина А.А. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения / Автореферат диссертации  на соискание ученой степени канд. пед. наук. -- М., 2001. -- С.15

В четвертом классе ученики знакомятся с пятым действием - возведением в степень. Оно рассматривается как действие, заменяющее умножение равных множителей и используется только на множестве натуральных чисел. Это действие также связывается с изучением таких величин как площадь и объем.

Необходимо отметить, что при изучении всех действий используется терминология, отличающаяся от принятой в традиционной программе. Так, из употребления полностью исключается слово «примеры» для обозначения выражений и используется термин «выражение». Это влечет за собой разграничение между названием конкретного выражения и его значения (например, выражение, в котором числа связаны действием сложения - сумма, а результат выполнения сложения - значение суммы).
Изучение величин в каждом конкретном случае базируется на сравнении объектов. В связи с этим в изучении каждой величины можно выделить следующие этапы: сравнение объектов непосредственными действиями (на глаз, приложением, наложением и т.д.) и установление границ возможности использования таких приемов; поиск опосредованного способа сравнения при выходе за эти границы (т.е. при невозможности или значительной затрудненности непосредственных способов сравнения); выделение среди найденных опосредованных способов того, который связан с использованием произвольных мерок; осознание основного правила использования мерок - необходимость использования одной и той же мерки при измерении сравниваемых объектов; осознание удобства использования общепринятых мерок и знакомство с ними; знакомство с инструментами, предназначенными для измерения изучаемой величины общепринятыми мерками, и (или) со способами косвенного определения величины. Зимовец Н.А., Пащенко В.П. Интересные приемы устных вычислений // Начальная школа. -- 1990. -- №6. -- С. 44-46

По мере продвижения в изучении величин и приобретения опыта такого изучения, а также в связи с особенностями каждой величины, отдельные из перечисленных этапов свертываются или не возникают совсем, но должны находиться в поле зрения учителя.

Глава IV. Задачи-ситуации и их использование при формировании представления о смысле арифметических действий

Традиционно сложилось так, что к решению текстовых задач младшие школьники приступают довольно рано. Правда, сначала это простые задачи, для решения которых надо выполнить одно арифметическое действие (сложение или вычитание). Но уже на этом этапе учащихся знакомят со структурой задачи (условие, вопрос), с такими понятиями, как известное, неизвестное, данные искомые, с краткой записью задачи и с оформлением ее решения и ответа.

Очевидно, что большинство первоклассников не только не способны на данном этапе проанализировать текст задачи, установить взаимосвязь между условием и вопросом, выделить известные и неизвестные величины и выбрать арифметическое действие для решения задачи, но не могут даже прочитать задачу.

Естественно, возникает вопрос: может быть, целесообразнее познакомить детей со структурой текстовой задачи и с ее решением позже, когда они научатся читать?

Но в преподавании математики уже сложились определенные традиции. Так учили решать задачи в курсе «Арифметика», ориентируясь на типы простых задач и рассматривая как основное средство формирования у младших школьников представлений о конкретном смысле арифметических действий. Эта же методика нашла отражение в учебниках математики (авт. М.И. Моро и др.), по которым учителя начальных классов работают с 1969 года. Позже в них были внесены дополнения, связанные с названиями структурных компонентов задачи. Этот же методический подход, при котором простая задача является основным средством формирования у младших школьников математических понятий, остался в учебниках математики 2002 года издания для 1-4-х классов, хотя нельзя не отметить, что авторы увеличили время подготовительного периода для знакомства учащихся с задачей Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 1-2 классы. М: Линка-Пресс, 2002 - С.123-124.

Представляя определенную познавательную ценность, такой подход имеет один существенный недостаток: решая простые задачи с помощью предметных моделей, ученик не осознает необходимости выбора арифметического действия для ответа на вопрос задачи, так как может ответить на него, используя счет предметов. В связи с этим запись решения задачи оказывается для него формальной операцией, дополнительной нагрузкой. Например, решая задачу: «У зайчика было 9 морковок, 3 морковки он съел. Сколько морковок осталось у зайчика?», ученик выставляет на наборное полотно 9 морковок. «Это в задаче известно», - говорит он. Затем убирает 3 морковки: «Это тоже известно, эти морковки зайчик съел». Фактически ответ на вопрос задачи получен, так как оставшиеся на доске морковки ученик может пересчитать. Но теперь надо записать решение задачи. «Морковок стало меньше, чем было, значит, нужно вычитать», - произносит ребенок и записывает решение задачи.

Как видим, логика выполняемых учеником действий лишена всякого смысла. Сначала он ответил на вопрос задачи, затем сделал вывод, «что получилось меньше», и поэтому выбрал вычитание.

Если мы обратились к ученику с вопросом «Какое действие ты выберешь для решения задачи?», то у него уже должны быть определенные представления о тех действиях, из которых он будет осуществлять выбор. Но оказывается, что эти представления только формируются у младших школьников в процессе решения простых задач. А для выбора арифметических действий используются житейские представления детей, которые сориентированы в большинстве случаев на слова-действия в тексте задачи: подарили - взяли, было - осталось, пришли - ушли, улетели - прилетели - или на способность ребенка представить ситуацию, которая описывается в задаче. Но и с этим справляются не все дети, так как этому их не учили.

Поэтому возникает второй вопрос: может быть, целесообразно сначала разъяснить детям смысл действий сложения и вычитания, а потом уже приступить к решению простых задач?

Заметим, что сторонником этой точки зрения был прогрессивный русский методист Ф.А. Эрн, который считал, что у ученика сначала должны быть сформированы понятия об арифметических действиях, а лишь после этого - умение выбрать то или иное действие для решения данной простой задачи.

Как известно, процесс решения задачи связан с выделением посылок и построением умозаключений. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач, необходимо провести определенную работу по формированию у школьников основных приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение), использование которых является необходимым при анализе текста задачи.

Из приведенных выше размышлений следует, что решению текстовых задач должна предшествовать большая подготовительная работа, целью которой является формирование у младших школьников: а) навыков чтения; б) приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение); в) представлений о смысле арифметических действий, на которые они смогут опираться, осуществляя поиск решения задачи.

Рассматривая текстовую задачу как словесную модель ситуации (явления, события, процесса), а ее решение - как перевод словесной модели в символическую (математическую) - выражение, равенство, уравнение и т.д., целесообразно до решения текстовых задач создать учащимся условия для приобретения опыта в интерпретации той или иной ситуации на различных моделях. Средством создания этих условий может являться методика формирования у учащихся представлений о смысле арифметических действий, в основе которой лежит установление соответствия между словесными (вербальными), предметными, графическими (схематическими) и символическими моделями. Овладев этими умениями до решения текстовых задач, учащиеся смогут использовать приемы моделирования как общий способ деятельности, а не как частный прием для решения той или иной конкретной задачи Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 1-2 классы. М: Линка-Пресс, 2002 - С.156.

Данный методический подход к обучению младших школьников решению текстовых задач является ответом на вопрос, как научить младших школьников решать текстовые задачи.

Этот подход можно представить в виде двух этапов.

I этап - подготовительный. На нем младшие школьники овладевают навыками чтения; приемами умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения); усваивают смысл основных математических понятий: «сложение», «увеличить на», «вычитание», «уменьшить на», «разностное сравнение»; учатся использовать отрезки как средство моделирования этих понятий, овладевают умением складывать и вычитать отрезки, знакомятся со схемой.

II этап - основной. На нем учащиеся знакомятся со структурой задачи (условие, вопрос, известные, неизвестные), учатся анализировать ее текст (здесь уже не имеет значения, простая это задача или составная), переводить словесную модель в схематическую и (или) в символическую и овладевают умением записывать решение и ответ задачи.

Рассмотрим более подробно организацию деятельности учащихся на каждом этапе.

Так как предлагаемая методика обучения решению задач реализуется в курсе, направленном на систематическое формирование у детей приемов умственной деятельности, то работа в этом направлении осуществляется при изучении каждой темы, на каждом уроке математики, в каждом учебном задании, в процессе выполнения которых дети усваивают математическое содержание программы.

Безусловно, формирование навыков чтения не является основной задачей курса математики, поэтому словесные формулировки, сопровождающие в учебнике каждое задание, не следует рассматривать как материал для упражнений в чтении. Использование различных формулировок заданий позволяет детям осознать тот факт, что прежде, чем выполнять задание, его необходимо внимательно прочитать и понять. Тем самым учащиеся приучаются внимательно читать словесную инструкцию и анализировать условия выполнения предложенного задания. Этот навык является очень важным для решения задач Демидова Т.Е., Тонких А.П. Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. -- 2002. -- №2. -- С. 96.

Для разъяснения смысла арифметических действий используется способ соотнесения различных моделей: предметной, вербальной, графической и символической. Покажем, как можно организовать такую деятельность учащихся на конкретном уроке по теме «Сложение».

Первый вариант урока

Учитель. Прочитайте слово, которое написано наверху страницы.

Дети. Сложение.

У. Может быть, кто-нибудь знает, что означает это слово?

Д. Это плюс, это прибавить. У зайчика одна морковка, а у белочки 3. Всего у них 4 морковки. Это сложение.

Помимо этих ответов, были и другие, но они в меньшей степени относились к содержанию этого понятия.

У. Сегодня на уроке мы постараемся разобраться, что же такое сложение. Кто может прочитать задание? (№ 152). Расскажи, что делают Миша и Маша?

арифметический вычислительный навык школьник

Д. Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум, они сажают рыбок вместе. Маша запускает в аквариум трех рыбок, а Миша двух; рыбки будут плавать вместе и т.д.

Обратите внимание, сколько важных и нужных слов, характеризующих смысл действия «сложение», произнесли дети. При этом, заметьте, им не давалось никакого образца. Каждый из них работал на своем уровне и использовал только те слова, которые ему были понятны.

У. Я попробую изобразить на доске то, что нарисовано на картинке.

Учитель выкладывает на фланелеграфе трех рыбок.

- Все ли правильно я сделала?

Д. Вы показали рыбок только Маши, надо еще добавить рыбок Миши. У него две рыбки.

Учитель выкладывает на фланелеграфе еще двух рыбок.

Аналогичная работа проводится с верхней правой картинкой, которая дана в учебнике. Миша ставит в вазу четыре тюльпана, а Маша пять васильков. Они объединяют цветы вместе в одной вазе.

У. Вы очень хорошо рассказывали, что нарисовано на картинках. А теперь давайте попробуем то, что вы рассказывали словами, записать с помощью математических знаков. Посмотрите, под картинками даны в рамочках какие-то записи. Может быть, некоторые из вас могут их прочитать, а вот как они называются, вы, наверное, не знаете.

Некоторые дети пытаются угадать названия записей. Одни говорят - примеры, другие - неравенства, третьи даже - таблица умножения.

У. Нет, никто не угадал. Эти записи называются «математические выражения».

Д. А здесь это написано.

У. Верно, прочитай всем ребятам то, что написано в учебнике. (Действия Миши и Маши можно записать математическими выражениями.)

- А теперь внимательно рассмотрите эти выражения. Может быть, кто-то догадается, какие выражения относятся к верхней левой картинке.

Ориентируясь на числа, дети называют выражения 3 + 2 и 2 + 3 и объясняют, что обозначает каждое число в выражении: 3 - это количество рыбок, которых Маша запускает в аквариум, 2 - это количество рыбок, которых Миша запускает в аквариум.

У. Верно, выражения 3 + 2 и 2 + 3 обозначают, что рыбок объединили вместе.

Теперь подберите выражения к верхней правой картинке.

Дети легко справляются с заданием и объясняют, что обозначают на картинке числа 4 и 5.

У. А теперь попробуйте самостоятельно подобрать выражения к другим картинкам. У каждого из вас листочек, который разделен на четыре части. Вы должны записать выражения, которые подходят к левой нижней картинке и к правой нижней картинке.

Дети самостоятельно выполняют задание. Учитель наблюдает за их работой, ходит по классу, помогает некоторым детям. Затем он пишет на доске, которая разделена на четыре части, математические выражения.

На доске:

3 + 2 2 + 3

- Посмотрите на доску. Я записала два выражения, которые увидела у одного ученика в тетради. Все ли с ним согласны?

Д. Это надо записать к верхней картинке.

- Это неверно. Здесь надо записать 3 + 1 и 1 + 3, потому что у Маши 3 конфетки, а у Миши одна. Они складывают их в одну вазочку.

У. Ну, а если я запишу к нижней левой картинке выражение 2 + 2 - это будет верно?

Находятся ученики, которые с этим соглашаются, так как 2 + 2 это 4. Но другие возражают. Это неверно, ведь Маша кладет в вазочку три конфетки, а Миша одну.

У. А теперь догадайтесь, к какой картинке подходит запись 4 + 5 = 9?

Посмотрите, здесь появился новый знак, который называется «равно», а запись 4 + 5 = 9 называется «равенство».

Равенства могут быть верные и неверные. Что значит «верные равенства»?

Каждое из равенств, предложенных в учебнике, записывается на доске и проверяется на предметных моделях (это могут быть любые предметы).

4 + 5 = 9

Для проверки равенства дети пересчитывают или присчитывают предметы.

У. Давайте теперь прочитаем в учебнике, как предлагает проверять равенства Миша.

(Обсуждается рисунок числового луча, который учитель выносит на доску.)

Таким образом, для разъяснения действия сложения активно привлекается ранее изученный материал (счет, присчитывание, числовой луч). Простая задача заменяется способом соотнесения различных моделей: предметной (рисунки), вербальной (описание картинок), графической (рисунок на числовом луче), символической (запись выражения, равенства).

Второй вариант урока

На доске изображен числовой луч. Учитель вызывает к доске двух учеников. Дети поворачиваются спиной к классу, и учитель дает каждому из них какие-то предметы.

Учитель комментирует:

У. Я даю грибочки Лене и Вере. Они их сосчитают и скажут мне число на ушко. А я покажу вам на луче, сколько грибочков у каждой из них.

Учитель выполняет на доске рисунок:

Учитель комментирует свои действия:

У Лены столько грибочков (проводит первую дугу), а у Веры столько грибочков (проводит вторую дугу).

Кто угадал, сколько грибочков у Лены? Сколько грибочков у Веры? Сколько всего грибочков у Лены и у Веры?

У. Давайте проверим, правильно ли вы ответили на мои вопросы. Девочки выкладывают грибочки на фланелеграфе (4 больших и 4 маленьких).
А теперь я объединю большие и маленькие грибочки (проводит кривую замкнутую линию, внутри которой оказываются большие и маленькие грибочки). Кто сможет записать на языке математики то, что я сделала?

Дети записывают 4 + 4 и поясняют, что обозначает каждое число в данном выражении.

Как видим, на втором уроке учитель для разъяснения смысла сложения сначала воспользовался графической моделью, затем перешел к предметной, далее к словесной (дети описали, что они видят на картинке) и после этого познакомил их с символической моделью (выражение, равенство).

Аналогично, ориентируясь на страницу учебника, можно построить урок при знакомстве детей с вычитанием.

Таким образом, решение простых задач заменяется различными упражнениями (учебными заданиями), в процессе выполнения которых дети усваивают конкретный смысл действий сложение и вычитание. Приведем такие упражнения: (тетрадь с печатной основой № 1) № 63, 64-67, 68, 70, 79.

Для разъяснения понятия «разностное сравнение» - «На сколько больше? На сколько меньше?» - особое значение имеет выбор предметной модели. Дело в том, что если в качестве предметной модели используется рисунок, на котором предметы расположены друг под другом, то детям довольно трудно осознать, что ответ на вопрос «На сколько больше (меньше)?» связан с выполнением действия вычитание. Если же ребенок не осознает этой связи, а только запомнит правило: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее», - то при решении задач он будет ориентироваться только на внешний признак, а именно на слово «на сколько» Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М.И.Моро, А.М. Пышкало. -- М.: Педагогика, 1977. -- С.191.

В качестве примера можно привести такую задачу: «На остановке из автобуса вышли 3 девочки и 7 мальчиков. На сколько человек в автобусе стало меньше?» (До 50% детей решают задачу вычитанием.)

Не представляя предметного смысла разностного сравнения, многие дети, отвечая на вопрос «На сколько меньше?», выбирают вычитание. А для ответа на вопрос «На сколько больше?» выбирают сложение.