Элективные курсы

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы.

Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образцы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами [17].

Овладение абстрактными знаниями приводит к изменению у учащихся старших классов самого течения мыслительного процесса. Такой мыслительных процесс может проявиться только на элективных курса по алгебре, так как этот материал подразумевает серьезное абстрагирование. Мыслительная деятельность отличается у учащихся высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществлять перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий [17].

На наш взгляд, развитию абстрактного мышления старшеклассников способствует изучение элементов современной алгебры. Обучение современной алгебре стоит на более высокой ступени абстракции, чем обучение элементарной математике. Например, такое основное понятие современной алгебры, как группа, кольцо, поле, конечное поле, достаточно абстрактные понятия в отличие от понятий элементарной алгебры и геометрии [10], [14].

Введение элементов современной алгебры предъявляет большие требования к абстрактному мышлению школьников. При изучении современной алгебры понятия даются в столь абстрактной и обобщенной форме, что для учащихся представляет трудность умение видеть за этими общими и абстрактными понятиями все то множество конкретных образов, обобщением которых они являются.

Кроме того, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории конечных полей следует рассматривать на элективных занятиях, так как данный материал достаточно труден для школьников. Здесь требуются предварительные знания по алгебре, должно быть введено на других занятиях понятие поля, кольца, группы, так же необходима чрезвычайно высокая культура работы с даваемыми определениями, необходима, если можно так сказать, потребность в определениях [13]. Теоремы этого курса так же сложны для полного понимания, поэтому многие из них в разработке элективного курса даны без доказательства. Применение всех предоставленных элементов теории в элективном курсе позволяют немного погрузиться в мир современной алгебры, а на практических занятиях. При решении различных простых задач, поучиться применять небольшую часть теории.

На основе выше изложенного можно сделать вывод что, профильное обучение все больше и больше встречается в наших школах, учащиеся старшей школы на пороге поступления в ВУЗы, стали более заинтересованы в знаниях и умениях, которые они выносят их школы. Дети стремятся узнать что-то новое, необычное, тем более, что в профильной школе появилась возможность выбирать. Такая возможность появляется, конечно, при наличии элективных курсов, ведь эти курсы хоть и обязательные для посещения, но по выбору учащихся. Как мы уже отметили, они входят в состав профиля обучения на старшей ступени школы и реализуются за счет школьного компонента учебного плана. А значит, учащиеся могут выбирать, что они будут изучать глубже: алгебру, физику и т.д. Тогда разработка элективных курсов необходима по разным предметам.

Глава 2. Содержание элективного курса по алгебре. Тема: «элементы теории конечного поля»

В этой главе, мы увидим несколько занятий элективного курса по алгебре для классов старшей школы с углубленным изучением математики. Этот материал может изучаться, только в том случае, если у учащихся уже есть некоторые алгебраические основы, на которых строиться этот курс. Другими словами учащиеся должны иметь представления о полях, кольцах, группах и т.д. В главе разработаны несколько теоретических и практических занятий связанных с теорией конечных полей. Конечно, возраст и знания обучаемых, не дают целиком погрузиться в теорию, но введение ключевых определений и формулировок теорем, доказательство некоторых, решение элементарных примеров позволяют лишь немного «прикоснуться » к ней.

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в старших классах школ математического профиля. Направлен на знакомство учащихся с элементами теории конечных полей, развитие абстрактного мышления.

Этот курс может обеспечить мотивацию учащихся для более глубокого и осознанного изучения математики, и алгебры в частности. Вообще курс ориентирован на рассмотрение элементов высшей алгебры в профильной школе. Курс служит для внутрипрофильной дифференциации и углубленное изучение ряда вопросов. Постепенно методика обучения в профильных классах, на элективных курсах, должна постепенно развивать у учащихся навыки организации умственного труда и самообразования. Здесь и умение воспринимать объясняемый материал, достаточно быстро его конспектировать, с одной стороны, и умение работать с учебниками и иной литературой, с другой стороны. Так же учащиеся смогут научиться решать простые задачи из этого курса, в дальнейшем это умение понадобится для дальнейшего обучения в ВУЗах. Курс позволяет развивать умения учащихся мыслить и решать задачи в нестандартных ситуациях.

Кстати, одной из целей обучения является развитие уважения к книге (в первую очередь -- учебной) вообще.

Цели курса:

§ важной целью обучения является: знакомство учащихся с математикой как с наукой, общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя;

§ знакомство с элементами теории конечных полей. А также может послужить базой для продолжения математического образования в вузах различного профиля;

§ реализация поставленных целей будет способствовать овладению учащимися некоторыми знаниями и учениями в этой области.

Материал курса предназначен как для учеников, склонных к практическому, так и для тех, кто склонен к теоретическому мышлению.

При проектировании содержания курса, методов и форм его реализации мы исходили из того, что одной из основных задач образования является создание условий для формирования у учащихся представлений о современной алгебре. Эта наука может быть, не такой как ее преподают в школе, что для овладения ее необходимы не только вычислительные навыки, но и абстрактное мышление, знание определений и теорем.

Развитию познавательных интересов способствует возможность выбора различных видов деятельности (учебные теоретические исследования (отыскание того или иного доказательства), решение прикладных задач, поиск различной информации).

В курсе имеются задания для состоятельного решения, которые способствуют эффективному освоению предлагаемого материала.

Основные формы организации учебных занятий: лекции, беседы, практические занятия и самостоятельные работа учащихся.

Возможно также, что ученики самостоятельно, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий, рефератов и т.п.

Задачами курса являются:

§ знакомство учащихся с таким алгебраическим понятием, как конечное поле;

§ актуализация знаний понятийно-терминологической базы алгебры;

§ формирование умений решения задач по алгебре внутри этой темы;

§ повышение математического уровня учащихся.

Элективный курс имеет большой образовательный и развивающий потенциал, так как формирует представление об элементах современной алгебре, а так же способствует развитию абстрактного мышления.

Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется как на практических занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Средствами для ее осуществления являются теоретические знания, которые предлагаются в разработке данного курса. И необходимо также отметить, что изучение этого курса невозможно без знания алгебраических основ, которые учащиеся могут изучить на других элективных курсах - например: понятие числового множества, группы, кольца, поля, класс вычетов по простому модулю и т.д.. И конечно же формулировки теорем относящихся к этим понятиям. (см приложение)

На изучение курса целесообразно отвести 14 аудиторных (академических) часа по два часа в неделю, всего 7 недель, распределив их по темам следующим образом:

Занятие 1-2. Вводное занятие [13]

Занятие 3. Конечное поле, вычисление в конечном поле. [13]

Занятие 4. Характеризация конечных полей.[13]

Занятие 5-6. (практика)

Занятие 7-8. (лекция) Критерии подполя. Таблицы операций конечного поля.[13] Самостоятельная работа.

Занятие 9. Корни неприводимых многочленов.[13]

Занятие 10-11 (практика).

Занятие 12. Основная конструкция конечных полей.

Занятие 13. Контрольная работа.

Занятие 14. Зачет.

Данный курс лучше проводить в начале 3 четверти.

Организация и проведение аттестации учеников:

Самостоятельная работа.

Контрольная работа.

Зачет.

Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений, а также приобретение опыта исследовательской деятельности, содержательно связанных с предметным полем -- математикой.

После изучения предложенного курса, учащиеся пишут контрольную работу, и сдают зачет по теории.

Список основной литературы:

Рудольф Лидл, Конечные поля В 2 т. /Перевод с англ. А. Е. Жукова, В. И. Петрова; Под ред. В И. Нечаева ; Т1 М. : Мир , 1988 - 428 с.[13]

Методические рекомендации:

Все теоретическое содержание разделено на два уровня сложности:

Простой уровень сложности и усложненный уровень.

Основное отличие простого от усложненного состоит в том, что при изучении элективного курса простого уровня, учащиеся изучают теоремы и леммы без доказательств, а на сложном доказываются некоторые из них. В описании содержания курса усложненный материал будет отмечаться пометкой (усложненный уровень).

Занятие 1-2. Вводное занятие

Вводное занятие содержит обзор некоторых основных алгебраических понятий, которые, изучались ранее на другом элективном курсе. В элементарной алгебре применение арифметических операций (например, сложения и умножения) с заменой конкретных чисел символами обеспечивает возможность получения формул, которые при подстановке чисел вместо символов дают решение частных числовых задач. В современной алгебре уровень абстракции возрастает: от обычных операций над действительными числами переходят к общим операциям -- процессам образования в некотором множестве общего вида из двух или более данных элементов некоторого нового элемента. При этом ставится цель изучить общие свойства всевозможных систем, состоящих из множества и некоторого числа, заданных на нем и определенным образом взаимодействующих операций, например множества с двумя бинарными операциями, взаимодействующими подобно сложению и умножению действительных чисел.

Основная задача этого занятия: вспомнить ранее известные определения тех понятий, которые будут использоваться в теории. А также привести ряд примеров.

Мы рассмотрим лишь самые основные определения, сознательно ограничим себя тем минимумом теории, необходимым для нашей основной цели -- изучения конечных полей.

Будем использовать следующие числовые множества: IN -- множество натуральных, Z -- целых, Q -- рациональных, R -- действительных и С -- комплексных чисел.

Определение 1. Группой (G, *) называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, для которых выполняются следующие три условия:

1. Операция * ассоциативна, т. Е. для любых а, b, с G ;

а (Ь с) = (а Ь) с.

2. В G существует единичный элемент (или единица) е, такой, что для любого а G;

a e = e a = a

3. Для каждого а G существует обратный элемент а¹ G такой, что а

* а¹ = а¹ * а = е.

Если группа удовлетворяет также следующему условию:

3. Для любых a, b G

а * b = b * a,

то она называется абелевой (или коммутативной).

Группу (G, *) будем обозначать просто G. Легко показать, что единичный элемент е группы G, а также обратный элемент а^-1 для каждого данного элемента, а G определяются однозначно указанными выше условиями. Далее, для всех a, b G имеет место равенство

(а * b)^-1 = b^-1 * а^-1.

Для простоты мы часто для групповой операции используется мультипликативное обозначение * (как для обычного умножения) и вместо а * b пишут а*b или просто ab (называя этот элемент произведением элементов а и Ь). Но необходимо подчеркнуть, что при этом мы отнюдь не предполагаем, что операция и в самом деле является обычным умножением. Иногда, однако, для групповой операции бывает удобно использовать аддитивную запись и писать а + b вместо а * b (называя этот элемент суммой элементов а и Ь). 0 вместо е (называя этот элемент нулем) и --а вместо а^-1. Такие (аддитивные) обозначения обычно резервируются для абелевых групп.

Для п =0 Z полагаем а⁰ = е в мультипликативных обозначениях и 0а = 0 в аддитивных (здесь второй нуль является единичным элементом группы G).

Приведем пример групп:

1. Пусть G -- множество целых чисел с операцией + (обычным сложением). Известно, что это ассоциативная операция и что сумма двух целых чисел -- однозначно определенное целое число. Легко убедиться, что G -- группа, в которой единичным элементом является нуль 0, а обратным для целого числа а -- противоположное число -а. Эту группу обозначают через Z.

2. Множество, состоящее из единственного элемента е с операцией *, определенной условием е * е = е, образует группу.

3. Пусть G -- множество {0, 1, 2, 3, 4, 5} остатков от деления целых чисел на 6, и для a, b G пусть а * b -- остаток от деления на 6 обычной суммы чисел а и b. Существование единичного элемента и обратных здесь очевидно, но для установления ассоциативности операции * требуются некоторые вычисления. Полученную группу можно непосредственно обобщить, заменив целое число b любым натуральным числом п.

Вспомним следующее определение.

Определение 2. Абелевой Группой (или коммутативной) (G, *) называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, если группа удовлетворяет также следующему условию: для любых a, b G:

а * b = b * a,

Определение 3. Кольцом (R, +, ) называется множество R с двумя бинарными операциями, обозначаемыми символами «+» и «», такими, что

1. R -- абелева группа относительно операции «+».

2. Операция ассоциативна, т. Е. для всех а, b, с R,

(а b) с= а(bс).

Выполняются законы дистрибутивности, т. Е. для всех а, b, с R:

а(b + с) = аb + ас и (b + с)а = bа + с а.

Следует обратить внимание на то, что операции + и * не обязательно являются обычными сложением и умножением. Единичный элемент аддитивной группы кольца R называется нулевым элементом (или нулем) кольца R и обозначается символом 0, а обратный к элементу а этой группы обозначается через -а.

Из определения кольца получается общее свойство a0 = 0а = 0 для всех а R. Из этого в свою очередь следует, что (--a) b = а (--b) = --ab для всех a, b R.

Примеры колец:

1. Пусть R -- абелева группа с групповой операцией +. Определим умножение условием ab = 0 для всех a, b R. Тогда R становится кольцом.

2. Целые числа образуют целостное кольцо, но не поле.

3. Четные числа образуют коммутативное кольцо без единицы.

Выше мы видели, что поле, в частности, является целостным кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 2 ), однако верно в случае, когда указанное целостное кольцо состоит из конечного числа элементов (т. Е. является конечным кольцом). Порядком конечного кольца называется число элементов этого кольца.

Определение 4. а) кольцо называется коммутативным, если операция «» коммутативна.

б) кольцо называется целостным кольцом, если оно является коммутативным кольцом с единицей е 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой а = 0 или b = 0.

в) коммутативное тело называется полем.

Вспомним определение идеала.

Определение 5. Подмножество J кольца R называется идеалом этого кольца, если оно является подкольцом кольца R и для всех а J и r R имеет место аrJ и rа J.

Пример идеала:

Пусть R -- коммутативное кольцо, а R, и пусть J= {raРrR}. Тогда J -- идеал кольца R.

Так как идеалы являются нормальными подгруппами аддитивной группы кольца, то каждый идеал J кольца R определяет некоторое разбиение множества R на смежные классы по аддитивной подгруппе J, называемые классами вычетов кольца R по модулю идеала J. Класс вычетов кольца R по модулю J, содержащий элемент а R, будем обозначать через [а] = a+J, так как он состоит из всех элементов R вида а+с, где с J. Элементы a, b R, принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю J (т. Е. такие, что а -- b ? J), называем сравнимыми по модулю J и записывать это так: а b (mod J ) .

Определение 6. Кольцо классов вычетов кольца R по модулю идеала J относительно операций (a+J)+(b+J)=(a+b)+J и (a+J)(b+J)=ab+J называется факторкольцом кольца R по идеалу J и обозначается через R/J.

Домашнее задание.

Найти примеры: групп, идеала, колец, поля. Уметь объяснить почему этот пример подходит.

Занятие 3. Конечное поле, вычисление в конечном поле

Основные задачи этого занятия: ввести определение конечного поля. Привести пример конечного поля. Так же рассмотреть вычисления в конечном поле.

Содержание занятия.

Определение. Поле называется конечным, если оно состоит из конечного количества элементов. Для любого простого числа р и любого натурального числа n существует поле, состоящее из рⁿ элементов.

Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. Е. факторкольцо Z/(p), где р -- простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей. Множество Zn классов вычетов по модулю n образует кольцо. Если р - простое число, то Zp образует поле, т.е. в нем можно производить сложение, вычитание, умножение и деление. Мы будем работать со следующими представителями смежных классов: 0, 1, 2, … , р-1 .

Задача. Пусть мы находимся в поле Z₁₁ , рассмотрим в этом поле несколько примеров операций.

2 + 10 = 1, так как 2 + 10 = 12 = 1 (mod 11)

56-21=2, так как 56-21=35= 2(mod11)

2 · 10 = 9, так как 2 ·10 = 20 = 9 (mod 11)

2 : (-1) = 6, так как 2· 6 = 12 = 1 (mod 11 )

5 : (-1) = 9, так как 5 ·9 = 45 = 1 (mod 11)

Из выше сказанного возникает потребность в формулировке следующего утверждения.

Теорема 1. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по главному идеалу, порожденному простым числом р, является полем.

Теорема 2. Каждое конечное целостное кольцо является полем.

Для большего понимания приведем следующий пример.

Пример. Пусть p = 3. Тогда факторкольцо Z/(p) состоит из трех элементов [0], [1] и [2]. Операции в этом кольце можно задать таблицами (сложения и умножения).

+	[0]	[1]	[2]		?	[0]	[1]	[2]
[0]	[0]	[1]	[2]		[0]	[0]	[0]	[0]
[1]	[1]	[2]	[0]		[1]	[0]	[1]	[2]
[2]	[2]	[0]	[1]		[2]	[0]	[2]	[1]

Факторкольцо Z/(p) -- пример конечного поля, т. Е. поля, содержащего конечное число элементов. Общая теория таких полей будет развита позже.

Задача 1. Составьте таблицы операций сложения и умножения, для факторкольца Z/(p), где p=5.

Решение. Если p=5, тогда фактор кольцо состоит из пяти элементов [0], [1], [2], [3], [4].

+	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]		?	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[0]	0	1	2	3	4		[0]	0	0	0	0	0
[1]	1	2	3	4	0		[1]	0	1	2	3	4
[2]	2	3	4	0	1		[2]	0	2	4	1	3
[3]	3	4	0	1	2		[3]	0	3	1	4	2
[4]	4	0	1	2	3		[4]	0	4	3	2	1

Домашнее задание.

1. Найти доказательство теоремы 1. Разобраться в нем до следующего занятия.

(Доказательство. >В силу теоремы о том, что (каждое конечное целостное кольцо является полем) достаточно показать, что Z/(p) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является [1] и что равенство [a][b]=[ab]=[0] выполняется в том и только том случае, когда ab= kp для некоторого целого числа k. Но поскольку р -- простое число, то оно делит произведение ab тогда и только тогда, когда оно делит по крайней мере один из сомножителей. Следовательно, либо [a]=[0], либо [b] = [0], так что кольцо Z/(p) не имеет делителей нуля.<)

2. Задача 1. Составьте таблицы операций сложения и умножения, для факторкольца Z/(p), где p=6.

3. Вычисли в Z₈

а) 135+47 в) 9· 9

б) 198 -109 г)15· 6

Занятие 4. Характеризация конечных полей

Данное занятие включает в себя материалы (усложненного уровня).

Основные задачи этого занятия:

o вспомнить определение коммутативного кольца, кольца с единицей, целостного кольца, что называется телом.

o сформулировать определения: характеристики кольца, простого поля,

o сформулировать теорему про n простое число, если кольцо R без делителей нуля.

o Сформулировать основную теорему этого занятия, о том, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа

Содержание занятия.

Как уже говорилось, что наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. Е. факторкольцо Z/(p), где р -- простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей.

Установим то, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа и, наоборот, для каждой степени простого числа

q = рⁿ, п N,

существует конечное поле, состоящее из q элементов.

Вспомним следующее определение:

Определение.

1) Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т. Е. если существует такой элемент еR, что

ае = еа = а

для любого а R.

(II) Кольцо называется коммутативным, если операция коммутативна.

(III) Кольцо называется целостным кольцом (или областью целостности), если оно является коммутативным кольцом с единицей е 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой а = 0 или b = 0.

(IV) Кольцо R называется телом, если R {0} и ненулевые элементы в R образуют группу относительно операции .

(V) Коммутативное тело называется полем.

Ранее, мы уже приводили примеры некоторых из выше перечисленных колец (см занятие 1).

Определение 1. Пусть R -- произвольное кольцо. Если существует такое натуральное число п, что для каждого rR выполняется равенство пr = 0, то наименьшее из таких чисел п (скажем, n₀ ) называется характеристикой кольца R, а само R называется кольцом (положительной) характеристики п₀. Если же таких натуральных чисел п не существует, то R называется кольцом характеристики 0.

Теорема 1. Если кольцо R {0} с единицей е и без делителей нуля имеет положительную характеристику п, то п --простое число.

Следствие теоремы 1. Характеристикой конечного поля является простое число.

Конечное поле Z/(p) (т. Е. F_p), очевидно, имеет характеристику р, в то время как кольцо Z целых чисел и поле Q рациональных чисел имеют характеристику 0. Заметим, что в кольце R характеристики 2 имеет место равенство 2а =а + а = 0, откуда следует, что а = -а для всех а R.

Поле F_p играет важную роль в общей теории полей, так как, каждое поле характеристики р должно содержать изоморфное f_p подполе и потому может рассматриваться как расширение поля F_p. Это замечание играет основную роль в классификации конечных полей, поскольку характеристика каждого конечного поля является простым числом.

Установим одно простое предложение о числе элементов конечного поля.

Лемма 1. Пусть F -- конечное поле, содержащее подполе К из q элементов. Тогда F состоит из q^т элементов, где т = [F: К].

Следующая теорема поможет нам в утверждении, что:

Теорема 2. Пусть F -- конечное поле. Тогда оно состоит из р^п элементов, где простое число р является характеристикой поля F, а натуральное число п является степенью поля F над его простым подполем.

На основе выше изложенного мы можем сформулировать главную характеризационную теорему ля конечных полей.

Теорема 3. (существование и единственность конечных полей). Для каждого простого числа р и каждого натурального числа п существует конечное поле из р^п элементов. Любое конечное поле из q = pⁿ элементов изоморфно полю разложения многочлена х^q -- х над полем F_p. (Без доказательства)

Домашнее задание.

Чтобы установить, что для каждого простого р и каждого натурального п существует конечное поле из р^п элементов, мы используем подход, подсказываемый следующей леммой.

Лемма. Если F -- конечное поле из q элементов, то каждый элемент аF удовлетворяет равенству а^q = а.

Найти доказательство этой леммы, переписать его и разобраться.

(Доказательство. > Для а = 0 равенство а^q = а выполняется тривиально. Что же касается ненулевых элементов поля F, то они образуют мультипликативную группу порядка q -- 1, так что для каждого ненулевого элемента а F выполняется равенство a^q-1=1, умножение которого на а приводит к требуемому результату. <) (усложненный уровень)

Доказательство леммы 1. >Поле F можно рассматривать как векторное пространство над полем К. В силу конечности F это пространство конечно мерно. Если [F:К]=т, то F имеет базис над полем К, состоящий из т элементов, скажем, b₁,…,b_m. Таким образом, каждый элемент поля F может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации a₁b₁ + … + a_mb_m, где a₁,…,а_т К. Так как каждый коэффициент a_i может принимать q значений, то поле F состоит в точности из q^m элементов.<

Доказательство теоремы 2. >Так как поле F конечно, то его характеристика -- некоторое простое число р (по следствию 1 теоремы 1). Поэтому простое подполе K поля F изоморфно F_p, согласно теореме 2, и, значит, содержит р элементов. Остальное вытекает из леммы 1. <

Занятие 5-6. (практика)

Основные задачи этого занятия:

o сформулировать терему о том. что фактор кольцо является полем.

o доказать, что в поле вычетов F_p по простому модулю p, a^p-1=1.

o научиться находить порядок элементов в поле вычетов.

o Найти НОД многочленов в конечном поле.

Содержание занятия

Начнем наши практические занятия с повторения.

Теорема. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по главному идеалу, порожденному простым числом р, является полем. (См. занятие 1)

Задача1. Пусть p - простое число. Докажите, что в поле вычетов F_p по модулю p для любого элемента a, отличного от нуля a^p-1=1.

Вспомним, что порядок группы - это число ее элементов (*)

Доказательство. Не нулевые элементы поля образуют группу по умножению (по определению группы). Всего элементов в поле вычетов p. Порядок этой группы p - 1, в любой конечной группе порядок элемента является делителем порядка группы (по следствию теоремы Лагранжа). Следовательно, элемент в степени порядка группы равен 1.

Задача2. Найти порядки элементов 2, 10 в F₁₉ .

Решение: порядки этих элементов являются делителями 18 (19 - 1=18 по теореме Лагранжа), следовательно находим делители 18, а это числа: 2, 3, 6,9, 18, а значит возведем в теперь а)2 и б)10 в степени 2, 3, 6, 9, 18 помня о том, что, мы находимся в поле F₁₉.

Получим: а) , ,

, вычтем из 64 19 три раза и получим, что

По определению порядка элемента, если при возведении в степень состоящую из делителей (в данном случае это делители числа 18) число дает 1, то порядком элемента является эта степень. Ответ: порядок 2 в F₁₉=18

б) решение: аналогично используя рассуждения задачи (а) определим порядок элемента 10 в F₁₉:

, ,

Ответ: порядок 10 в F₁₉=18

Задача3. Решить уравнение в F₃₇ .

9х = 1. помножим оби части уравнения на 4.

38х = 4 так как мы находимся в поле F₃₇, тогда 36х заменим на -х получим -х = 4,

х= -4 или 33 mod(37). Ответ: -4, 33

Задача4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₂.

А) f(x)= x⁵+ x+1

g(x)= x⁶+x⁵+x⁴+ x+1.

Решение: поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида.

1)_ x⁶+x⁵+x⁴+ x+1 x⁵+ x+1 2)_ x⁵+x+1 x⁴-x²

x⁶+x²+x x+1 x⁵-x³ x

_ x⁵+x⁴-x²+ x+1 x³+x+1

x⁵+ x+1

x⁴-x²

3)_ x⁴-x² x⁵+ x+1

x⁴+x²+1 x

-2x²+1

Рассмотрим полученное выражение, так как мы находимся в поле F₂, то -2 это 0, тогда останется только 1, а значит, 1 является наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x).

Ответ: НОД(f(x),g(x))=1.

Задача5. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₃.

F(x)= x⁸+2x⁵+x³+x²+1

g(x)= 2x⁶+x⁵+ 2x³+2x²+2

Решение:

так как мы находимся в поле F₃, то все коэффициенты при x равные 2 заменятся на -1, тогда многочлены f(x) и g(x), примут вид:

f(x)= x⁸-x⁵+x³+x²+1

g(x)= -x⁶+x⁵-x³-x²-1

поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида

1)_x⁸-x⁵+x³+x²+1 -x⁶+x⁵-x³-x²-1 2)_-x⁶+x⁵-x³-x²-1 -x⁵+x⁴-x³-x²+x

x⁸-x⁷+x⁵+x⁴+x² - x²-x-1 -x⁶+x⁵-x⁴-x³+x² x

_ x⁷+x⁵-x⁴+ x³ x⁴-2x²-1 x⁴+x²-1

x⁷-x⁶+ x⁴+x³+x

_x⁶+x⁵+x⁴+x+1

x⁶-x⁵+x³+x²+1

-x⁵+x⁴-x³-x²+x

3)_ -x⁵+x⁴-x³-x²+x x⁴-x³ +x²-1 4) _ x⁴+x²-1 -x²

- x⁵-x³+x - x+1 x⁴-x² x²-1

_ x⁴-x² _-x²-1

x⁴+x²-1 -x²+1

-2 x²-1 x²-1 -2 1

Ответ: НОД(f(x),g(x))=1.

Домашнее задание.

Задача 1. Найти порядки элементов 2, 10 в F₁₇ .(Самостоятельное решение)

Задача 2. Решить уравнение в F₃₇ 5х =7

(решение аналогично решенному уравнению выше: 5х =-30, х = -6 Ответ: -6, 31.)

Задача3. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₃.

F(x)= x⁷+1

g(x)= x⁵+x³+ x+1.

(Решение: поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида.

1)_ x⁷+1 x⁵+ x³+x+1 2)_ x⁵+x³+x+1 -x²+x-1

x⁷+x⁵+x³+x² x²-1 x⁵-x⁴+x³ -x³-x²-x

_- x⁵-x³-x²+1 _ x⁴+x

-x⁵- x³-x-1 x⁴-x³+x²

-x²+x+2 -x²+x-1 _ x³-x²+x

x³-x²+x

1

Ответ: НОД(f(x),g(x))=1. )

Занятие 7-8. (лекция) критерии подполя. Таблицы операций конечного поля

Основные задачи этого занятия:

o Сформулировать критерий описывающий возможные подполя для конечного поля.

o Решить задачу о составлении списка всех делителей числа 30.

o Построить таблицы сложения и умножения для некоторого конечного поля.

Теорема 1. (критерий подполя). Пусть F_q -- конечное поле из q = р^п элементов (р -- простое число). Тогда каждое подполе поля F_q имеет порядок р^т, где т является положительным делителем числа п. Обратно, если т - положительный делитель числа п, то существует ровно одно подполе поля F_q из р^т эле_ое_ов.

Теорема 1 показывает, что если т -- положительный делитель числа п, то в поле имеется единственное подполе порядка р^т, и это подполе состоит в точности из корней многочлена

в поле .

Пример 1. Подполя конечного поля F₂³⁰ можно найти, составив список всех положительных делителей числа 30.

Согласно теореме 1, эти отношения включения равносильны отношениям делимости соответствующих делителей числа 30.

Задача 1. найти подполя конечно поля F₅²⁵ составив список всех положительных делителей числа 25. (решить самостоятельно)

Определение 1. Пусть К -- некоторое подполе поля F и F. Если удовлетворяет нетривиальному уравнению с коэффициентами из поля К, т. Е. если , где элементы а_i лежат в К и не равны нулю одновременно, то элемент называется алгебраическим над К. Расширение L поля К называется алгебраическим расширением поля К.

Определение 3. Пусть L -- некоторое расширение поля К. Если L, рассматриваемое как векторное пространство над К, имеет конечную размерность, то L называется конечным расширением поля К.

Теорема 3. Пусть F_q - конечное поле и F_r - его конечное расширение. Тогда F_r является простым алгебраическим расширением поля F_q, причем образующим элементом этого простого расширения может служить любой примитивный элемент поля F_r.

Следствие 1. Для каждого конечного поля F_q и каждого натурального числа n в кольце F_q[x] существует неприводимый многочлен степени n.

Самостоятельная работа.

1. Составить таблицы операций сложения и умножения для фактор кольца Z/(p), где p=7.

2. Найди порядки элементов 4 и 20 в F_21.

3. Решить уравнение. А) В F₇₁ 8x=2 б) В F₅₂ 3x+4x=3

4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₂.

f(x)= x³+x+1, g(x)= 2x⁵+ x²+2

Домашнее задание.

Задача 1. найти подполя конечно поля F₂⁶⁰ составив список всех положительных делителей числа 60.

Занятие 9. Корни неприводимых многочленов

Занятие содержит материал повышенного уровня) Основные задачи этого занятия:

o Сформулировать определение неприводимого многочлена.

o Сформулировать теорему о существовании простого алгебраического расширения поля К.

o Рассмотреть примеры.

Содержание занятия.

На этом занятии мы рассмотрим вопрос о множестве корней неприводимого многочлена над конечным полем.

Определение. Многочлен fF [х] называется неприводимым (точнее неприводим над полем F или в кольце F[x]), если он имеет положительную степень и равенство f = gh, g ,h F [x], может выполняться лишь в том случае, когда, либо g, либо h является постоянным многочленом. Многочлен называется неприводимым тогда и только тогда, когда он, не имеет корней.

Определение 1. Если элемент поля F алгебраический над подполем К этого поля, то однозначно определенный нормированный многочлен gК[х], порождающий идеал J = {f К[x] f () = 0} кольца К [х], называется минимальным многочленом элемента над полем К.

Под степенью элемента над полем К понимается степень его минимального многочлена g.

Введенное определение позволяет сформулировать лемму о неприводимом многочлене.

Лемма 1. Пусть f F_q[x]-- неприводимый многочлен над конечным полем F_q, и пусть -- корень этого многочлена в некотором расширении поля F_q. Тогда для многочлена h F_q [x] равенство h () = 0 выполняется в том и только том случае, если многочлен f делит h.

Лемма 2. Пусть f F_q [x]- неприводимый многочлен степени т над F_q- Тогда f(x) делит многочлен -x в том и только том случае, если число т делит п.

С помощью следующей теоремы мы сможем решить задачу. Которая будет в контрольной работе. Запишем ее формулировку.

Теорема 1. Пусть многочлен f К[х] неприводим над полем К. Тогда существует простое алгебраическое расширение поля К, образующим элементом которого является некоторый корень многочлена f.

Приведем пример характеризующий теорему. В качестве примера формального процесса присоединения корня, описанного в теореме, рассмотрим простое поле F₃ и многочлен f(х) = х² + х+2 F₃ [х], который неприводим над F₃ [х]. Пусть и = [х] -некоторый «корень» многочлена f, т. Е. класс вычетов х + (f) из фактор кольца L =F₃ [x]/(f).Другим корнем многочлена f в L является тогда 2и + 2, поскольку,

f(2и + 2) = (2и + 2)² + (2и + 2)+2 = и² + и + 2 = 0. Простое алгебраическое расширение L=F₃(и) состоит из девяти элементов: 0, 1, 2, и, и+1, и+2,2и, 2и+1, 2и+2. Для L можно построить таблицы операций.

Заметим, что в рассмотренном примере мы могли бы вместо и, присоединить к полю F ₃ корень 2и + 2 того же многочлена f и получили бы то же самое поле L.

Домашнее задание.

Построить таблицы операции для L.

(усложненный материал)

1) Доказательство леммы1. > Пусть а -- старший коэффициент многочлена f. Положим g(х)=а^-1f (x). Тогда g - нормированный не приводимый многочлен из F_q [x], причем g()=0, а значит, g - минимальный многочлен элемента над F_q в смысле определения 1. Остальное вытекает из утверждения, что для многочлена fК [х] равенство f () = 0 выполняется в том и только том случае, когда многочлен g делит f.<

Занятие 10-11 (практика)

Основные задачи этого занятия:

o Доказать неприводимость многочленов в конечном поле.

o Построить таблицу операций для простого расширения.

o Решить ряд задач на доказательство неприводимости.

o Решить задачу о наличии кратных корней.

Содержание занятия.

Задача1. Доказать неприводимость над F₂ многочлена f(x)=x⁴+x+1 F₂ [x] и построить таблицу операций для простого расширения F₂(), где - корень многочлена f.

1) Искомая таблица состоит из 16 элементов по вертикале, и таких же элементов по горизонтали, следовательно, всего буде 256 произведений. Укажем сначала все 16 элементов таблицы:

0; 1; ; 1+; ²; 1+²; +²; 1++²;

³; 1+³; +³; 1++³;

²+ ³; +²+³; 1+²+³; 1++²+³.

Умножение на 0 и 1 тривиально, из этого следует, что тривиальны 60 произведений, далее по принципу симметрии будем искать произведение центральной диагонали и 91+14=105 произведений.

Отметим еще раз, что элементы поля имеют такой вид:

а₀+а₁+ а₂ ²+ а₃ ³,

где а₀ , а₁ , а₂ , а₃=0 или 1, и 1,, ², ³- линейно порождают F₂() над F₂.

Посчитаем произведение некоторых из 105 элементов.

(1+) (1+³) = 1+ + ³+ ⁴ =

Так как ⁴ = - -1 , то равенство примет вид:

= 1+ +³- -1=³

Перемножим ³ на ³, получим:

^{3 3} = ⁶ = ^{4 2} = ² (- -1) = -³ -²=² +³

Учащимся предлагается посчитать все оставшиеся элементы таблицы.

Найдем обратный элемент ^-1

⁴ ++1=0

⁴ += -1 в F₂ ⁴ +=1

⁴(³ +1)=1

^-1=1 +³ по определению обратного элемента:

Определение1. для каждого а G существует обратный элемент а¹ G такой, что

а * а¹ = а¹ * а = е.

2) Теперь докажем неприводимость F(x) над F₂ .

Для доказательства неприводимости, достаточно показать, что нет линейных делителей, если найдется хотя бы один линейный делитель, то в таком случае есть и корень, а значит, многочлен не является неприводимым.

Рассмотрим наш многочлен f(x)=x⁴+x+1 F₂ [x] так как мы находимся в F₂, то проверим равен ли многочлен f(x) нулю, при подстановки вместо x 0 и 1.

А) f(0)=1, 10 следовательно 1 не корень.

F(1)=1+1+1=3, 30 следовательно 3 не корень.

Значит линейных делителей нет.

Б) если нет линейных делителей, то могут быть два множителя второй степени, они имеют такой вид:

пусть x⁴+x+1= (x²+аx+1) (x²+bx+1) где [ a,b F₂ (0 или 1) и а+ b=0](*)

Тогда: (x²+аx+1) (x²+bx+1)= x⁴+bx³+x²+аx³+abx²+аx+x²+bx+1=

x⁴+bx³+ аx³+2x²+abx²+аx+ bx+1=

bx³+ аx³=0, аx+ bx=0

А из того, что 2=0 в F₂ следует, что: 2x²=0

Тогда наше уравнение примет вид : = x⁴+abx²+1, но x⁴+x+1 x⁴+abx²+1 следовательно многочлен f(x)=x⁴+x+1 F₂ [x] не приводим по определению неприводимости.

Задача2. Выяснить вопрос, имеет ли кратные корни многочлен

f(x)=x⁶+x⁵+x⁴+x³+1 F₂ [x]

Решение: не нулевой многочлен f над полем F имеет кратные корни, тогда и только тогда, когда f и не взаимно просты.

Найдем f'(x) многочлена f(x)=x⁶+x⁵+x⁴+x³+1 F₂ [x]

f'(x)=6x⁵ +5x⁴ +4x³ +3x² так как мы в F₂ [x], то 6x⁵=0; 5x⁴=1; 4x³=0; 3x²=1,а значит f'(x)=x⁴+x²= x²(x²+1) множитель x² не имеет с f(x) общих корней. Поделим уголком f(x) на f'(x)= x²+1

1)_ x⁶+x⁵+x⁴+ x³+1 x²+1

x⁶+x⁴ x⁴+x³

_ x⁵+x³+1

x⁵+ x³

1(остаток)

Ответ: НОД =1, следовательно: нет кратных корней.

Домашнее задание.

Задача. Построить таблицу операций для простого расширения F₂(), где - корень многочлена f(x)=x⁴+x+1 F₂ [x]

Занятие 12. Основная конструкция конечных полей

Основные задачи этого занятия:

o Составить основную конструкцию конечного поля.

o Решить задачу на нахождение корней многочлена в конечном поле.

Содержание занятия.

F_p [x]- кольцо многочленов над полем вычетов F_p по модулю p. Пусть f(x) F_p [x]- неприводимый многочлен степени n 2

a(x) b(x)(mod f(x)), если f(x) \ a(x)- b(x) или тоже самое, что a(x) и b(x) имеют одни остатки при делении на f(x).

Вводим отношение эквивалентности через сравнение a(x) b(x)(mod f(x)), обозначим - класс эквивалентности, содержащий a(x)

.

- кольцо с нулем и единицей , тогда введем операцию . Докажем, что класс эквивалентности обратим.

не делиться на так как f(x) неприводим, следовательно , а следовательно - обратный к g(x).

Посчитаем число элементов. Остатки от деления определяют классы эквивалентности. Остатки имеют вид: , c_iF_p.

Таких различных остатков всего pⁿ, состоит из pⁿ элементов вида .

Задача1. F₂[x]-кольцо над полем вычетов и g(x)=x³+x+1-неприводимый многочлен. Найти корни многочлена g(x) в конечном поле из 8 элементов.

Решение:

- элементы поля L, и а₀ , а₁ , а ₂ {0,1}.

Пусть - корень g(x)=x³+x+1 в , и - другие корни x³+x+1=

_,

Проверим, что - корень.

_x⁶+x²+1 x³+x+1

x⁶+x⁴+x³ x³-x-1

_ -x⁴+x²-x³

- x⁴-x²- x

_ -x³+x+1

-x³-x-1

2x+2 0остаток равен 0.

Задача2. F₃[x]-кольцо над полем вычетов и g(x)=x³-x-1. Найти корни многочлена g(x) в конечном поле из 3 элементов.

Решение:

В корни f(x)=x³-x-1 - это , ,

1) _x³ x³-x-1

x³-x-1 1

x³+1- остаток.

2)

3)

Ответ: , , корни x³-x-1

Домашнее задание. Подготовиться к контрольной работе.

Занятие 13. Контрольная работа

Основные задачи этого занятия:

o Провести контрольную работу.

Содержание занятия.

Задания для контрольной работы.

1. Решить уравнение. а) В F₆ 5x=20

б) В F₅ 6x=6

в) В F₇₇ 4x=5

2. Доказать неприводимость над F₂ многочлена f(x)=x³+x+1 F₂ [x]

3. Построить таблицы сложения и умножения для поля L=F₃ (и) , f(х) = х² + х+2 F₃ [х],

4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₂ , f(x)= x⁴+x³+1, g(x)= x⁴+ x²+x+1

5. Найдите дискриминант и кратные корни многочлена f(x)= 2x⁴+x³+x²+2x+2F₃ [х].

6. F₃[x]-кольцо над полем вычетов g(x)=x³+x-1 неприводимый многочлен. Найти корни многочлена g(x) в конечном поле из 3 элементов.

7* Пусть F- поле и f, g, h, F[x] . Доказать, что если f делит g h и НОД ( f, g)=1, то f делит h.

Занятие 14. Зачет

Учащиеся к зачету должны выучить все формулировки теорем и определений. изученных в элективном курсе.

Зачет проводиться в устной форме. Сначала защищается контрольная работа, исправляются ошибки, а затем учащиеся устно отвечают на вопросы учителя.

Оценка в виде зачет или незачет.

Заключение

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики. На сегодняшний момент это возможно в рамках профильной школы, на элективных курсах.

Изучение школьных программ и программ элективных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории конечных полей в них не включены. В качестве элективного курса нами был разработан курс «Элементы современной алгебры» для учащихся 10-11-х классов.

В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу элективных курсов, обоснованы целесообразность данного учебного материала.

Было разработано содержание занятий элективного курса по теме: «Элементы теории конечные поля».

В ходе исследования были изучены основные понятия теории конечных полей, решены задачи по данной теме. На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика старшеклассника, его процесса, развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников.

Элективные курсы -- дело для отечественной школы новое, опыта их проведения практически нет. Это означает, что учителя, преподающие эти курсы, исходят в основном из своего личного опыта.

Как уже говорилось выше, одной из основных целей обучения в профильных классах является развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей. Было бы неверно считать, что целью обучения в математическом профиле является «выращивание» математиков. Очень немногие выпускники математических школ станут профессионалами в этой области.

Если в результате занятий в профильной школе, и в частности занятий элективным курсом, ученик выбирает путь продолжения образования, связанный с математикой, -- ориентационная цель достигнута. Но если выпускник математического класса осознанно не выбирает «математическое будущее», то цель также достигнута. Недостигнутой она может считаться лишь в том случае, если ученик так и не понял, нравится ему математика или нет.

Все поставленные цели и задачи исследования выполнены.

Библиография

1. Артемова Л.К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения.//Педагогическое образование и наука-2003-1-с.46

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы. //Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 1992.

3. 5. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1992.

4. Воронина Г. Профильные классы: решение дидактических проблем в практике общеобразовательных школ.//Школа-2001-6-с.84

5. Выготский Л.С. «Педагогика подростка» Москва, 1984 г.

6. Гузеев В. Содержание образования и профильное обучение в старшей школе. //Народное образование-2002-9-с.113

7. Дубровина И.В. «Формирование личности в переходный период от подросткового к юношескому возрасту» Москва, 1987 г

8. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. //Управление школой "ПС"-2002-20-с.8;Учительская газета-2002-42-с.13; Дидакт-2002-5-с.3

9. Крылова Н. Как организовать профильный продуктивный класс в школе. //Школьные технологии-2003-2-с.32