Таким образом, заинтересованность общества в создании оптимальных условий для выявления задатков и максимального развития способностей всех детей приводит к необходимости дифференциации обучения. Необходимость дифференциации обучения вытекает и из задачи общества удовлетворить потребности и интересы человека. Подготовка учащихся к продолжению образования в высших учебных заведениях требует профильной дифференциации, особенно на последнем этапе обучения в средней школе.

Как показывают наблюдения за практикой и анализ опыта школ, профильная дифференциация помогает решить ряд противоречий, в т.ч. осуществление профориентации с элементами допрофессиональной подготовки. Профессиональные знания и навыки понадобятся учащимся не только для подготовки к будущей деятельности по окончании школы, но и для их участия в производительном труде в средних, а особенно в профильных классах. Но эти профессиональные знания и навыки должны при этом даваться не взамен общеобразовательных и политехнических, а в дополнение к ним.

При этом важно, чтобы профессиональная ориентация и допрофессиональная подготовка строились на базе углубленного изучения тех учебных предметов, к которым у учащихся проявился и в достаточной мере развит интерес.

Итак, организация профильной дифференциации в средней общеобразовательной школе на данном этапе развития нашего общества обусловлена:

Ш стремлением общества к наиболее рациональному использованию потенциальных возможностей каждого своего члена, что связано с выявлением и максимальным развитием задатков и способностей учащихся;

Ш заботой общества о всестороннем развитии личности и максимальном удовлетворении интересов личности;

Ш требованием общественного производства к дальнейшему повышению уровня специальной подготовки рабочих и инженеров;

Ш необходимостью дальнейшего совершенствования средней общеобразовательной школы.

Эмпирические наблюдения, проводимые в процессе изучения данного вопроса, убеждают в том, что профильная дифференциация - это один из заключительных этапов системы дифференциации вообще, что она естественно вытекает из всей системы, подготовленная ходом осуществления других видов и этапов дифференциации в образовательной системе. Анализ практики показывает, что важнейшую психолого-педагогическую основу составляет то, что осуществление дифференциации строится на учете различий учебных возможностей, способностей детей. Другая психолого-педагогическая основа дифференциации связана с постоянным ростом объема знаний, необходимого для усвоения учащимися. Ускоренное развитие науки приводит к непрерывному увеличению знаний. Наиболее существенное и значимое из нового знания поступает в сферу обучения. Это приводит к тому, что объем учебного материала в школьных программах непрерывно растет.

Наконец, следует отметить, что темп и уровень изложения, рассчитанный на среднего ученика, не соответствует познавательным возможностям учащихся со слабыми способностями к изучению того или иного предмета. Эти учащиеся, как правило, теряют веру в собственные силы и перестают работать.

Таким образом, несоответствие между объемом учебного материала и временем, отводимым на его изучение, в сочетании с неоднородным составом учащихся в конечном итоге приводит к такой организации учебного процесса, при которой не достигаются оптимально возможные результаты.

Особенно необходима дифференциация для выявления и наиболее полного развития учащихся, проявляющих особенные способности, развитие которых при обычной форме занятий (без дифференциации) проходит не в оптимальном режиме. По видимому, группировка детей (особенно старшеклассников) по интересам в рамках класса, в котором изучение одного или групп родственных предметов (к изучению которых эти учащиеся проявили повышенный интерес) будет проходить на повышенном уровне, не создает благоприятных условий для интенсивного развития детей со сравнительно низкими способностями.

Таким образом, педагогическая целесообразность профильной дифференциации в классах математического профиля возникает в случаях:

Ш наличия у большинства старшеклассников устойчивого интереса к определенным видам деятельности;

Ш необходимости использования устойчивых интересов учащихся для целей обучения и воспитания;

Ш необходимости создать благоприятные условия для максимального развития задатков и способностей одаренных учащихся;

Ш стремления ликвидировать перегрузку учащихся;

Ш необходимости профессиональной ориентации учащихся.

Из вышеизложенного вытекают следующие психолого-педагогические основы профильной дифференциации:

максимальное развитие способностей учащихся в целях формирования интеллектуального потенциала общества;

организация педагогического процесса, основанная на более полном учете возможностей, дарований, талантов учащихся, чтобы развивать их одаренность и возможности к различным видам человеческой деятельности как интеллектуального, так и физического, трудового характера;

профилизация изучаемых предметов, содержания образования и способов его добывания, повышающая интерес учащихся к знаниям, определяющая оптимальный режим самостоятельного труда в получении знаний и профессиональных умений и навыков;

преодоление перегрузки школьников учебным материалом путем создания интегрированных курсов, блочного изучения разделов, курсов, предметов, оптимальным погружением в содержание предмета и т.д.;

создание профильных учебных групп в зависимости от индивидуальных возможностей, способностей, профессиональных интересов учащихся, способствующая рациональному построению учебного процесса в зоне ближайшего развития школьников.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету.

В работах Г.В Дорофеева, Л.В Кузнецовой, С.Б.Суворовой, В.В. Фирсова [12] высказывается идея о возможности профильного обучения в основной школе, которое может осуществляться в рамках углубленного изучения математики. Начиная с VIII класса с целью зарождения у учащихся интереса к математике на первичном уровне, поддерживать его развитие до познавательного уровня и тем самым создавать основы для выбора математики как предмета для последующего углубленного изучения. В этих классах можно эффективно использовать факультативные занятия. Педагогический совет школы определяет, исходя из желания ребят и возможностей школы, набор необходимых факультативных курсов. В настоящее время это реализовано в виде предпрофильного обучения в 9 классах. А на второй ступени школы (X-XI классах) можно осуществить полноценное дифференцирование профильного обучения математике. Факультативные занятия и элективный курс (более современная форма факультативных занятий) являются наиболее массовой формой дифференцированного обучения.

Коснемся вопроса методов обучения в профильных классах. Как уже говорилось ранее, дифференциация обучения предполагает дифференцированный подход к учащимся. В данном случае, по мнению Рональда де Гроота, уместно направление дифференциации по времени обучения, т.е. учащимся дана свобода выбора и он сам может определить, сколько времени будет работать над заданием и когда его закончит. Специфика методов обучения в профильных классах, как отмечается в статье В.Н. Келбакиани [17], проявляется в большей доле самостоятельной работы учащихся с литературой при изучении, нового материала, решении задач и выполнении творческих заданий, в интенсификации обучения с помощью лекционно-семинарской системы, в усилении индивидуальной работы преподавателя с учащимися как на уроках, так и во внеурочной работе.

Анализируя педагогическую литературу в области профильного преподавания математики можно сделать следующие выводы:

Целесообразно вводить обучение по направлениям (профилям), лишь после того, как школьники получат достаточно единое базовое математическое образование и утвердятся в своих склонностях, для этого требуется введение факультативов или элективных курсов.

На старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений (профилей) обучения или продолжение образования через широкую систему учебных заведений различных типов.

При составлении программ и учебников, выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности подростков, склонных к данному виду деятельности, и в то же время не исключать возможности изменить профиль обучения подростку при ошибке в его выборе, учитывать уровневый подход.

3.4 Элективные курсы и курсы по выбору в профильном обучении и их методическое обеспечение

Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы [21]. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы обязательны для старшеклассников.

В соответствии с одобренной Министерством образования России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в профильных классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг задач, приоритетных для курсов каждого типа.

Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариативную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся. Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию. Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Из вышесказанного данной работы становится понятно, что электив представляет собой один из видов дифференцированного обучения. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, т.к. в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.

Интересно выяснить, есть ли принципиальная разница между элективными и факультативными программами и курсами, и, если она есть, то в чём она состоит? Что такое факультативный курс? Во-первых, это курс, в котором представляется материал, выходящий за рамки программ основных курсов, или углубленный, соответствующий требования программ основных курсов. Во-вторых, перед факультативным курсом обычно ставились задачи в парадигме знаний, умений и навыков, то есть значимые задачи по овладению определённой информацией, и учебно-деятельностные задачи. В последние годы, в ситуации сокращения часов на систематические курсы по многим предметам, факультативные курсы использовались уже для освоения основного учебного материала. В-третьих, если говорить о месте факультативов в сетке расписания, то следует отметить, что факультативные курсы проводились за счёт регионального и школьного компонента базисного учебного плана. В-четвёртых, посещение факультативных курсов учащимися строилось на их свободном выборе. Что же элективные курсы? У них, действительно, есть общие черты с факультативами. По своему содержанию, они также сориентированы на углубление или дополнение материала систематических курсов, т.е. на реализацию принципа дополнительности материала. По месту в сетке часов, они также схожи. Но парадигмальная ориентация элективных курсов во многом иная. Элективные курсы в основной школе должны помочь учащимся сформировать культуру выбора образовательного профиля. Элективные курсы для учащегося - «обязательные по выбору».

В концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, утвержденной приказом Минобразования России от 18.07.02 № 2783 обозначены цели перехода к профильному обучению, среди которых выделим цель создания условий для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ. С этой целью помимо профильных общеобразовательных предметов вводятся элективные курсы - обязательные для посещения по выбору учащихся.

Цель профильного образования: самоопределение личностное и профессиональное. Большое значение в предпрофильной подготовке имеют элективные курсы, избранные учащимися и обязательные для посещения. Данные курсы входят в состав профиля обучения на старшей ступени школы, реализуются за счет школьного компонента и занимают 20 % учебного времени.

Элективные курсы решают следующие задачи:

реализуют индивидуализацию обучения;

удовлетворяют образовательные потребности школьников;

создают условия для того, чтобы ученик утвердился в сделанном им выборе направления дальнейшего обучения, связанного с определенным видом профессиональной деятельности, или отказался от него;

помогают старшекласснику, совершившему первоначальный выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности, связанных с ней.

Набор профильных и элективных курсов на основе базовых общеобразовательных предметов составит индивидуальную образовательную траекторию для каждого школьника. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента и могут выполнять несколько функций:

Ш дополнять содержание профильного курса;

Ш развивать содержание одного из базовых курсов;

Ш удовлетворять разнообразные познавательные интересы школьников, выходящих за рамки выбранного им профиля.

Важно отметить, что в любом случае по элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.

Элективные курсы могут выполнить еще одну важную функцию - явиться полигоном для создания и экспериментальной проверки нового поколения учебных материалов.

Опыт проведения факультативных курсов (элективных курсов с необязательным посещением) показал, что аналогичную функцию факультативные курсы успешно выполнили.

Можно условно выделить следующие типы элективных курсов.

1. Предметные курсы, задача которых - углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный школы. В свою очередь, предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп.

Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. В этом случае все разделы углубляются курса более или менее равномерно.

Элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета. Примерами из области математики могут служить: «Комбинаторика», «Элементы теории вероятностей», «Элементы математической логики», «Элементы теории множеств» и др.

Прикладные элективные курсы, цель которых - знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству. Приведем возможные примеры таких курсов: «Измерения физических величин», «Фундаментальные эксперименты в физической науке», «Учимся проектировать на компьютере», «Компьютерное моделирование», «Компьютерная графика», «Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов», «Математические модели и методы в естествознании и технике», «Основы методологии и методики биоэкологических исследований» и др.

Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы (история физики, биологии, химии, географических открытий), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии и др.).

Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т.д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.

2. Межпредметные элективные курсы, цель которых - интеграция знаний учащихся о природе и обществе. Примерами таких курсов естественнонаучного профиля могут быть: «Основы космонавтики», «Физика Космоса», «Элементы астрофизики», «Естествознание», «Элементы биофизики», «Элементы химической физики», «Биохимическая физика» и др. Межпредметные курсы типа «Естествознание» могут проводиться в основной школе, с целью предпрофильной подготовки - оказание помощи учащимся в выборе профиля обучения в профильных классах. В профильной школе такие курсы могут выполнять двоякую функцию: быть компенсирующим курсом для классов гуманитарного и социально-экономического профилей; быть обобщающим курсом для классов естественнонаучного профиля. Примером такого обобщающего элективного курса может быть: «Эволюция естественнонаучной картины мира».

3. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план. Это курсы, посвященные психологическим, социальным, психологическим культурологическим, искусствоведческим проблемам. Примерами таких курсов могут служить: «Введение в современные социальные проблемы», «Эффективное поведение в конфликте», «География человеческих перспектив», «Условия успешной коммуникации», «Искусство анализа художественного текста», «Русский язык в диалоге культур», «Информационная культура и сетевой этикет школьника», «Основы журналистского мастерства», «Основы дизайна», «Проблемы экологии», «Вопросы менеджмента и маркетинга» и др.

При проведении конкурса задаются новые требования к учебным пособиям нового поколения. Их выполнение в рамках элективных курсов облегчается тем, что эти курсы не связаны рамками образовательных стандартов и какими-либо экзаменационными материалами. Элективные курсы, хотя и различаются целями и содержанием, но во всех случаях они должны соответствовать запросам учащихся, которые их выбирают. В связи с этим появляется возможность на примере учебных пособий по элективным курсам отработать условия реализации мотивационной функции учебника.

Поиски путей оптимизации содержания учебных предметов, обеспечения его соответствия меняющимся целям образования могут привести к новым подходам к структурированию содержания учебных предметов. Традиционный подход основывается на логике базовой науки. Другой подход может заключаться в отборе проблем, явлений, процессов, ситуаций, изучение которых соответствовало бы познавательным запросам учащихся. Такой подход может способствовать формированию учащихся как субъектов образовательной деятельности. С другой стороны, нельзя забывать о главной задаче российской образовательной политики - обеспечения современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Таким образом, современная школа должна считать приоритетным направлением деятельности - способствование развитию школьников, научить его решать учебные и жизненные проблемы, научить учиться.

Как отмечает О.Е. Лебедев в статье «Роль элективных курсов в создании нового поколения учебных материалов» ожидания учащихся в большинстве случаев будут связаны с достижением некоторых метапредметных результатов (например, с освоением способов анализа информации, способов конструирования сообщения, способов совместной деятельности, навыков решения проблем и т.д.).

Важным направлением развития системы элективных курсов является адаптация наиболее удачных существующих курсов по выбору в различных странах мира к условиям России. С этой целью необходимо изучить опыт проведения элективных курсов в развитых странах и отобрать курсы, получившие широкое распространение. Полезно опираться на последний 30-летний опыт существования системы факультативных занятий в России. Было создано более 100 программ разных факультативных курсов и, хотя не все из них получили широкое распространение в школах страны, среди них было много достойных курсов, обеспеченных учебными пособиями для учащихся и методическими пособиями для учителей.

Определим требования к содержанию элективных курсов. Построение курса должно позволять в полной мере использовать активные формы организации занятий, информационные, проектные формы работы. В противном случае и «ликвидация пробелов» и «углубленная подготовка» переродятся во вполне традиционное натаскивание. Содержание курса, форма его организации должны помогать ученику через успешную практику оценить свой потенциал сточки зрения образовательной перспективная учусь в социально-гуманитарном классе не потому, что не нашел в себе силы выучить таблицу умножения, а потому, что намерен стать юристом или журналистом, а для этого буду поступать в университет.) Элективные курсы должны способствовать созданию положительной мотивации, иметь социальную и личную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся. По возможности курсы должны опираться на какое-либо пособие, это позволит исключить «монополию учителя на информацию». Содержание курсов не должно дублировать содержание предметов, обязательных для изучения, Программа курса может состоять из ряда законченных модулей. Это позволит ученику, в том случае, если он понял, что его выбор ошибочен, пойти, в следующей четверти (полугодии) на занятия по другому элективному курсу.

Таким образом, отобранное содержание должно, с одной стороны, соответствовать познавательным возможностям старшеклассников, а с другой - предоставляя ученику возможный опыт работы на уровне повышенных требований, развивать его учебную мотивацию.

Методы и формы обучения на элективных курсах определяются требованиями профилизации обучения, учетом индивидуальных способностей, развитием и саморазвитием личности. В связи с этим можно выделить основные приоритеты методики преподавания элективных курсов: междисциплинарная интеграция, содействующая становлению целостного мировоззрения; обучение через опыт и сотрудничество; интерактивность (работа в малых группах, имитационное моделирование, метод проектов); личностно-деятельностный подход в обучении; лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели.

При разработке программы элективного курса необходимо:

проанализировать содержание учебного предмета в рамках выбранного профиля;

определить, чем содержание элективного курса будет отличаться от базового или профильного курса;

определить тему, содержание, основные цели курса, его функцию в рамках данного профиля;

разделить содержание программы курса на модули, разделы, темы, отвести необходимое количество часов на каждый из них;

продумать, какие образовательные продукты будут созданы;

выяснить возможность обеспечения данного курса учебными и вспомогательными материалами: учебниками, хрестоматиями, дидактическим материалом, лабораторным оборудованием и т. д. [14];

составить список литературы для учителя и учащихся;

выделить основные виды деятельности учащихся, определить долю самостоятельности, творчества ученика при изучении курса. Если программа курса предполагает выполнение практических работ, лабораторных опытов, проведение экскурсий, выполнение проектов, то их описание должно быть представлено в программе;

продумать, какие образовательные продукты будут созданы учащимися в процессе освоения программы курса;

определить критерии, позволяющие оценить успешность освоения курса;

продумать форму отчетности учащихся по итогам освоения программы кура: проект, реферат, выступление и т.д.

Выделим основные требования к разработке элективных курсов, что поможет нам детально разработать содержание и методический инструментарий нашего геометрического курса «Элементы наглядной топологии»:

Элективный курс должен развивать содержание одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных предметов на предпрофильном уровне.

Элективный курс способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Элективные курсы должны знакомить учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов.

Элективный курс должен планироваться на одну четверть или на одно полугодие (от 4 часов до 72 часов максимально).

Программа элективных курсов должна содержать:

Пояснительную записку;

Раздел 1: «Требования к математической подготовке учащихся» (объем знаний, умений и навыков);

Раздел 2: «Содержание курса» (содержание разделов данного элективного курса);

Раздел 3: «Тематическое планирование»;

Раздел 4: «Методические рекомендации».

Итак, создание элективных курсов - важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения. Перспективы введения профильного обучения в старшей школе вызвали интерес к этой форме образовательной деятельности. Элективные курсы, согласно проекту стандарта общего образования, должны обеспечить как подготовку к выбору профиля в основной школе, так и сам процесс профильного обучения в старшей школе основанный на принципах дифференциации обучения.

Глава II. Методическое обеспечение элективного курса

§1. Программа элективного курса «Элементы наглядной топологии»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предназначен для учащихся 10-х классов математического профиля. Курс рассчитан на 16 часов, на второе полугодие. Программа элективного курса включает материал об элементах наглядной топологии, которая нашла себе ряд блестящих применений для описания качественных, устойчивых свойств различных физических объектов: кристаллов, сверхтекучих жидкостей, ферромагнетиков, плазмы.

Топология является примитивной, элементарной формой, лежащей в основе всякой геометрии, идеи топологии проникают почти во все области математики. Были найдены приложения топологии и к другим наукам за пределами математики, но почти все они осуществляются через посредство какой-либо промежуточной математической дисциплины. Топология превратилась в один из основных объектов математики и фактически стала необходимостью для многих ее областей и объединяющей силой для почти всей математики. Топология все более проникает в физику, химию и биологию.

С изучением топологии мы сталкиваемся только в высших учебных заведениях, в школьном курсе математики с этим разделом мы знакомимся лишь частично, поэтому актуальность разработки элективного курса, посвященного вопросам топологии несомненна.

Одни из основных задач курса:

· расширить кругозор учащихся;

· дать представления о первых понятиях топологии и ее простейших приложениях;

· сформировать у учащихся знания, умения и навыки использования простых и эффективных методов решения более широкого круга задач, по сравнению с общеобразовательной школой.

Этот курс содержит теоретическую часть, разбитую на семь тем: 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел; 2. Узлы и зацепления; 3. Заклеивание узлов и зацеплений; 4. Инвариант узла; 5. Гомеоморфизмы; 6. Векторные поля на плоскости; 7. Двумерные поверхности (сюда входят основные определения, понятия, формулировки свойств, теорем) и практическую часть в конце каждого раздела. В практической части представлены задачи и рекомендации по их решению для работы на занятиях и для самостоятельного решения учащимися. Приведенные задачи расклассифицированы по соответствующим темам, а также по уровням сложности. При этом, уровень А - простейшие задачи, уровень В - задачи средней сложности.

Материал курса структурирован таким образом, что не требует адаптации для учащихся 10-х классов школ математического профиля. Изложение материала построено так, что четко выражается взаимосвязь между отдельными темами.

Требования к математической подготовке учащихся

Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел.

Ученик должен иметь представление:

- о истории развития геометрии, в частности, топологии;

- о применении топологии в повседневной жизни;

- о деформации эластичных тел.

Ученик должен знать:

- определение топологии;

- определение непрерывной деформации.

Ученик должен уметь:

- деформировать эластичные тела на плоскости;

- доказывать задачи на деформацию одного эластичного тела в другое.

Тема 2. Узлы и зацепления.

Ученик должен иметь представление:

- о понятии узла и зацепления.

Ученик должен знать:

- определение узла;

- определение зацепления;

- определение изотопных узлов и зацеплений;

- определение эквивалентных узлов;

- определение ориентации;

- определение обратимых узлов;

- узел трилистник;

- узел восьмерка;

- зацепление Хопфа;

- зацепление Уайтхеда;

- кольца Борромео;

- свойства колец Борромео.

Ученик должен уметь:

- различать узлы;

- изображать узел трилистник;

- изображать узел восьмерка;

- изображать зацепление Хопфа;

- изображать зацепление Уайтхеда.

Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений.

Ученик должен иметь представление:

- о понятии заклеивания узлов и зацеплений;

- о понятиях ориентируемости и неориентируемости;

- о понятиях ориентируемой и неориентируемой поверхности;

- о бутылке Клейна;

- о поверхности с краем;

- о поверхности без края;

- о листе Мёбиуса;

- об алгоритме Зейферта;

- о поверхности Зейферта.

Ученик должен знать:

- определение ориентируемости;

- определение неориентируемости;

- определение поверхности;

- определение ориентируемой поверхности;

- определение неориентируемой поверхности;

- определение поверхности с краем;

- определение поверхности без края;

- определение листа Мёбиуса;

- алгоритм Зейферта;

- определение поверхности Зейферта.

Ученик должен уметь:

- изображать лист Мёбиуса на плоскости;

- различать ориентируемые поверхности и неориентируемые поверхности;

- различать поверхности с краем и поверхности без края.

Тема 4. Инвариант узла.

Ученик должен иметь представление:

- о понятии инвариантности узла;

- о понятии правильной раскраски;

Ученик должен знать:

- определение инварианта узла;

- определение правильной раскраски;

- теорему об инварианте узла.

Тема 5. Гомеоморфизмы.

Ученик должен иметь представление:

- об изотопных фигурах;

- о понятии гомеоморфных фигур.

Ученик должен знать:

- определение изотопных фигур;

- определение гомеоморфных фигур.

Ученик должен уметь:

- различать гомеоморфные и не гомеоморфные фигуры;

- различать изотопные фигуры.

Тема 6. Векторные поля на плоскости.

Ученик должен иметь представление:

- о понятии непрерывного векторного поля;

Ученик должен знать:

- определение непрерывного векторного поля;

- определение особой точки векторного поля;

- определение индекса особой точки;

- определение индекса кривой;

- теорему об индексе кривой.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Ученик должен иметь представление:

- о понятии двумерных поверхностей;

- о видах двумерных плоскостей.

Ученик должен знать:

- определение двумерной поверхности;

- виды двумерных поверхностей;

Ученик должен уметь:

- изображать ручку на плоскости;

- изображать тор на плоскости;

- изображать бутылку Клейна на плоскости;

- различать двумерные поверхности без края;

- различать двумерные поверхности с краем.

Содержание курса

Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел.

Цели и задачи электива. История развития геометрии, в топологии. Применение топологии. Определение топологии. Деформация эластичных тел. Непрерывная деформация.

Тема 2. Узлы и зацепления.

Определение узла. Определение зацепления. Изотопные узлы и зацепления. Эквивалентные узлы. Ориентация. Обратимые узлы. Узел трилистник. Узел восьмерка. Зацепление Хопфа. Зацепление Уайтхеда. Кольца Борромео. Свойства колец Борромео.

Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений.

Ориентируемость. Неориентируемость. Определение поверхности. Ориентируемая поверхность. Неориентируемая поверхность. Поверхность с краем. Поверхность без края. Лист Мёбиуса. Алгоритм Зейферта. Поверхность Зейферта.

Тема 4. Инвариант узла.

Инварианта узла. Правильная раскраска. Теорема об инварианте узла.

Тема 5. Гомеоморфизмы.

Изотопные фигуры. Гомеоморфные фигуры.

Тема 6. Векторные поля на плоскости.

Непрерывное векторное поле. Особая точка векторного поля. Индекс особой точки. Индекс кривой. Теорема об индексе кривой.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Двумерная поверхность. Виды двумерных поверхностей. Лист Мёбиуса. Бутылка Клейна. Ручка. Тор. Проективная плоскость.

Тематическое планирование

Курс рассчитан на полгода год. Всего 16 уроков, по 1 часу в неделю.

Название темы, раздела.	Количество часов
Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел	2
Тема 2. Узлы и зацепления	3
Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений	3
Тема 4. Инвариант узла	1
Тема 5. Гомеоморфизмы	3
Тема 6. Векторные поля на плоскости	1
Тема 7. Двумерные поверхности	3
ВСЕГО:	16

Методические рекомендации по проведению элективного курса «Элементы наглядной топологии»

Тема 2. Узлы и зацепления.

Знания и умения.

Учащиеся должны знать понятие узла и зацепления. Уметь распознавать и изображать такие узлы, как трилистник, восьмерка. Знать и уметь изображать зацепление Хопфа и Уайтхеда. Изображать кольца Борромео. Знать свойства колец Борромео.

Методические рекомендации.

Дать определение узла. Наглядно показать ученикам изображения узлов: трилистник (выделить существование левого и правого трилистника), узел восьмерка. Доказать, что левый и правый трилистники - разные узлы. Рассказать, что узлы можно рассматривать с ориентацией, дать определение ориентации. Дать определение эквивалентности узлов. Определить какие элементарные операции можно производить с узлами. Ввести понятия: изотопности и обратимости узлов. Привести примеры обратимых и необратимых узлов.

Ввести понятие зацепления. Наглядно показать ученикам изображения зацеплений: зацепление Хопфа, зацепление Уайтхеда. Рассказать, что для зацепления Хопфа существует симметрия относительно прямой, меняющая местами компоненты зацепления.

Показать учащимся кольца Борромео. Рассказать об их свойствах.

Рассказать о классификации узлов и зацеплений. Показать иллюстрацию таблицы узлов.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Знания и умения.

Определение двумерной поверхности. Виды двумерных поверхностей. Изображение ручки, тора, листа Мёбиуса, бутылки Клейна. Различать двумерные поверхности без края. Различать двумерные поверхности с краем.

Методические рекомендации.

Дать определение двумерной поверхности. Ввести понятия поверхности с краем и без края. Привести примеры поверхностей с краем и без края.

Рассмотреть виды двумерных поверхностей. Лента Мёбиуса и ее свойства. Ручка. Тор. Бутылка Клейна. Проективная плоскость. Указать какие двумерные поверхности являются поверхностями с краем и без края.

В качестве наглядного пособия можно воспользоваться иллюстрациями, где изображены: лента Мёбиуса, тор, ручка, бутылка Клейна и проективная плоскость.

учащийся пространственный преобразование мышление

§2. Методика проведения занятия по теме «Узлы и зацепления»

Тема: Узлы и зацепления.

Тип урока: Урок введения нового материала; урок-практикум.

Цели урока:

1) Обучающая: Обеспечить формирование на наглядном уровне целостной системы ведущих знаний о предмете топология.

2) Ознакомить с понятием узлов и зацеплений на наглядном уровне для дальнейшего изучения данного раздела математики.

3) Развивающая: Обеспечить у школьников развитие пространственного мышления.

Оборудование:

1) Литература;

2) Доска;

3) Приложения (иллюстрации Иллюстрации представлены в Приложениях) у каждого ученика.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Введение нового материала.

5. Закрепление изученного материала:

- Решение задач практического содержания.

6. Итог урока, постановка домашнего задания:

- Подведение итогов урока;

- Информация о домашнем задании для учащихся.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность учеников.
Этап 1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока ученикам.
Этап 2. Проверка домашнего задания.
Отвечает на вопросы учеников по домашнему заданию.
Этап 3. Актуализация знаний.
- Итак, давайте вспомним, о чём мы говорили на прошлом занятии. - Дайте определение топологии. - Что называется непрерывной деформацией?	Познакомились с новым понятие топология и деформацией эластичных тел. Топология - это раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. - Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек).
Этап 4. Введение нового материала.
Рассказ об узлах и зацеплениях с последующим рассмотрением примеров.	Конспект в тетрадь.
Этап 5. Закрепление изученного материала.
Решение задач практического содержания
Этап 6. Итог урока, постановка домашнего задания.
- Ребята, сегодня на уроке мы познакомились с понятиями узла и зацепления, рассмотрели виды узлов и зацеплений и их свойства. Запишите, пожалуйста, домашнее задание (диктует задание).	Запись домашнего задания в тетрадь.

Узлы.

- Ребята, сегодня на уроке мы поговорим о таких важных понятиях в топологии, как узлы и зацепления. Сначала, определим понятие узла.

Узлы - предметы простые и наглядные. Вы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, не подозревали, что это объекты еще и математические. Чем отличается математический узел от узлов, которые завязывают на галстуках или шнурках ботинок? Естественно, в математике узел - это некая абстракция, рассматривается не веревка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой -- в бесконечность «вниз» рис. 1), либо просто соединить их. В этом случае модель узла - замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Будем предполагать, что эта кривая является ломаной, т.е. состоит из отрезков.

Представим узел в виде гибкой, растяжимой нити, концы которой соединены.

Самый простой узел - тривиальный. Узел называется нетривиальным, если он не эквивалентен тривиальному, т.е. его нельзя «пошевелить» (возможно растягивая, но не разрывая нить) так чтобы он превратился в тривиальный.

Рассмотрим несколько примеров нетривиальных узлов:

Наиболее простой узел:

Правый трилистник

Он называется трилистник, или точнее,- правый трилистник. Потому что существует ещё левый трилистник:

Левый и правый трилистники,- разные узлы, их нельзя продеформировать друг в друга. Под деформацией узла понимается деформация его как эластичного тела.

Вслед за трилистником по сложности идёт узел восьмёрка, своей формой напоминающей цифру 8:

Узел восьмерка

Обычно узлы рассматривают с ориентацией, т. е. считают, что задано направление обхода кривой, это направление изображается стрелкой.

Дадим математически строгое определение эквивалентности узлов. Напомним, что узел -- это ломаная. С этой ломаной можно производить следующие элементарные операции

B

два последовательных звена AS и ВС ломаной заменить звеном АС;

звено АС заменить двузвенной ломаной АВ U ВС.

Обе операции разрешены, только если треугольник ABC не пересекается (в пространстве) ни с какими другими кусками нашего узла. Например, в ситуациях, показанных на рис. 8 (а), (б) эти операции производить можно, а в ситуации, показанной на рис. 8 (в), -- нельзя.

(а) (б) (в)

Рисунок 8

Определение 1. Теперь назовём два узла эквивалентными, если их можно элементарными операциями превратить в совершенно одинаковые (совмещаемые сдвигом) узлы.

Например, тривиальный узел эквивалентен плоскости окружности.

Введем еще два понятия.

Определение 2. Узлы и зацепления, которые можно продеформировать друг в друга, называют изотопными.

Определение 3. Узел называется обратимым, если он эквивалентен своему обратному, т.е. тому же узлу, проходимому в обратном направлении.

Пример. Трилистник обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180° вокруг оси l.

Среди узлов, имеющих не более 8 пересечений, есть только один необратимый: это узел 817 (см. таблицу узлов в иллюстрации 3).

Распознать, обратим ли данный узел, непросто. Первое строгое доказательство необратимости было проведено только в 1962 году. Общего алгоритма для решения этой проблемы не найдено до сих пор.

Деформируя узел, его можно сильно запутать. А если даже такой простой узел как трилистник или восьмёрка, запутан не очень сильно, то распознать его бывает нелегко. Посмотрите, пожалуйста, на вторую иллюстрацию:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Не сразу заметно, что в верхнем углу изображён один и тот же узел (трилистник) и на нижнем ряду тоже (восьмёрка). Более того, некоторые изображения трилистника очень похожи на изображения восьмёрки.

Зацепления.

Если взять не одну нить, а несколько, и у каждой из них соединить концы, то получим зацепление.

На доске изображены три зацепления, они имеют определённые названия:

Для зацепления Хопфа существует симметрия относительно прямой, которая меняет местами нити (меняются местами компоненты зацепления). Симметрия относительно прямой в пространстве является поворотом на 180° относительно этой прямой. Поэтому существует деформация, которая меняет местами компоненты зацепления Хопфа.

Рассмотрим зацепление Уайтхеда. Перережем компоненту (нить) 1 в верхней части на нашем рисунке, затем проведём через этот разрез ту же самую нить ровно один раз и вновь соединим концы перерезанной нити. После этого, нити, из которых состоит зацепление, можно будет расцепить. Как проделать эту операцию для нити 1,- очевидно. Как сделать ту же самую операцию для нити 2 мы рассмотрим чуть позже, когда будем решать задачи.

Зацепление Борромео (такие кольца нарисованы на гербе знаменитого рода Борромео):

Зацепление Борромео имеет интересные свойства:

Ш Эти кольца попарно не зацеплены, то есть после удаления любого кольца, остаётся пара незацеплённых колец;

Ш Если любые два из колец Борромео зацепить простейшим образом (то есть так, чтобы они образовали зацепление Хопфа), то после этого третье кольцо можно будет снять с этого зацепления.

Существует бесконечное множество разных типов узлов и зацеплений. Типы узлов (зацеплений) принято классифицировать следующим образом. Для их классификации составляют таблицы узлов (иллюстрация 3) -- перечень всех простых узлов, допускающих проекции на плоскость.

Для облегчения поиска узлы имеют стандартное обозначение: первая цифра указывает число пересечений, а вторая (расположенная в индексе) -- порядковый номер узла.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Доказать, что все узлы, изображённые на иллюстрации 2 (см. Приложение I) в нижнем ряду, можно продеформировать друг в друга.

Решение: Проще всего изготовить восьмёрку из верёвки или шнурка, а затем попытаться получить из этого узла все узлы, изображенные на иллюстрации в нижнем ряду. Выполнить некоторые преобразования узла восьмёрка поможет данный рисунок (на доске) [26]:

Задача 2. Доказать, что все узлы, изображённые на иллюстрации 2 в верхнем ряду, можно продеформировать друг в друга.

Решение: Можно изготовить трилистник из верёвки или нити, а затем попытаться получить из этих узлов все узлы, изображённые на данной иллюстрации.

Задача 3. Расположите зацепление Уайтхеда так, чтобы его компоненты были симметричны относительно некоторой прямой.

Решение [26]:

Задача 4. Узел называют зеркальным, если он эквивалентен своему зеркальному отражению (т.е образу при симметрии относительно плоскости). Докажите, что узел восьмерка зеркален.

Решение [27]:

Задача5. Докажите, что узел восьмерка обратим.

Решение: Узел восьмерка обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180° вокруг оси.

Задача 6. Проделать для компоненты 2 зацепления Уайтхеда операцию перерезания и соединения концов перерезанной нити.

Решение: Проведём нить через разрез, как показано на рисунке 1 в иллюстрации 4. Процесс расцепления верёвок можно изобразить так, как это изображено на рисунках 2-6 в данной иллюстрации [26].

Задача 7. Докажите, что все зацепления, изображенные на рисунке, попарно изотопны (т.е. все эти диаграммы изображают зацепление Уайтхеда).

Решение: Можно сделать из одной или нескольких веревок данный узел или зацепление, расположить его на столе в виде данной диаграммы а затем попытаться получить из него другую диаграмму.

Задача 8. Доказать второе свойство зацеплений Борромео.

Решение: Кольца Борромео попарно не зацеплены, поэтому два кольца можно развести в разные стороны. Третье при этом как-то обовьётся вокруг них. Нарисуем, как именно оно будет расположено. Для этого, выясним сначала, что происходит с верёвкой, проходящей между двумя прутами, при перестановке этих прутов, в процессе которой прут 2 проходит над прутом 1:

Теперь легко понять, что происходит с третьим кольцом Борромео при разведении двух колец в разные стороны:

Будем считать, что те два кольца, которые мы раздвинули, представляют собой жёсткие обручи с какими-либо устройствами, позволяющие при желании сцеплять и расцеплять их (например, с развинчивающимися цилиндрами), а третье кольцо представляет собой верёвку. При этом верёвку снять с обручей нельзя:

Но если мы зацепим обручи, то верёвку можно будет снять:

В самом деле, на данном рисунке (на доске) изображено то же самое зацепление, что и на рисунке с зацеплением Борромео [26].

Уровень В.

Задача 9. Что получится после разрезания по средней линии ленты с тремя полуоборотами? Что получится после повторения этой процедуры?

Решение: Прежде всего, отметим, что краем скрученной ленты служит трилистник. После первого разреза получим двустороннюю поверхность, ограниченную двумя трилистниками (которые зацеплены друг с другом). После второго разреза получим две двусторонние ленты в виде трилистника, которые будут зацеплены друг с другом. Разрезав обе эти ленты, получим 4 двусторонние ленты в виде трилистника, зацепленные друг с другом. На п-м шаге получим 2n-1 зацепленных лент в виде трилистника [27].

Задача 10. Линяя А (рисунок) не разрезает тор Т на две части, а линия С разрезает. Изотопны ли А и С в фигуре Т? Изотопны ли А и С в трехмерном пространстве?

Задача 11. Докажите, что меридиан А и параллель В тора Т (см. рис. Задачи 10) изотопны в Т.



Задача 13. Докажите, что трижды перекрученная лента (рисунок) гомеоморфна ленте Мёбиуса, а ее край изотопен простому узлу.

Домашнее задание.

Задачи: 2, 5, 6, 11, 13.

§3. Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»

Тема: Двумерные поверхности.

Тип урока: Урок введения нового материала, урок-практикум.

Цели урока:

1) Обучающая: Обеспечить формирование целостной системы ведущих знаний о предмете топология.

2) Ознакомить с понятием двумерных поверхностей.

3) Развивающая: Обеспечить у школьников развитие пространственного мышления.

Оборудование:

1) Литература;

2) Доска.

3) Приложения (иллюстрации) у каждого ученика.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4. Введение нового материала.

5. Закрепление изученного материала:

6. - Решение задач практического содержания.

7. Итог урока:

- Подведение итогов урока;

- Подведение итогов элективного курса.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность учеников.
Этап 1. Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока ученикам.
Этап 2. Проверка домашнего задания.
Отвечает на вопросы учеников по домашнему заданию.
Этап 3. Актуализация знаний.
- Итак, давайте вспомним, о чём мы говорили на прошлом занятии. - Что называется непрерывным векторным полем? - Что такое особая точка? - Что называется индексом особой точки?	- О векторных полях на плоскости. - Пусть в каждой точке плоскости (или части плоскости) задан вектор, причем координаты вектора непрерывно зависят от точки. Тогда говорят, что на плоскости задано непрерывное векторное поле. - Точка, в которой задан нулевой вектор. - Общее количество оборотов вектора с учетом знака.
Этап 4. Введение нового материала.
Рассказ о поверхностях, их видах. Демонстрация моделей и их иллюстраций (см. Приложение II). Рассказ о лентах Мёбиуса.	Конспект и зарисовки в тетрадь.
Этап 5. Закрепление изученного материала.
Решение задач практического содержания.
Этап 6. Итог урока.
- На сегодняшнем уроке мы ознакомились с двумерными поверхностями, узнали некоторые их виды. Можно сделать вывод о том, что основными примерами двумерных поверхностей могут служить поверхности, получаемые заклеиванием дырок в сфере листами Мёбиуса или ручками. На этом мы завершаем наш элективный курс, который вам, возможно, пригодится в дальнейшем.	Слушают учителя.

Двумерные поверхности.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием двумерных поверхностей, а также рассмотрим их виды. Для начала разберемся, что же такое поверхность?

Определение 1. Фигура, у которой каждая точка х имеет окрестность, гомеоморфную кругу (внутри которого лежит точка х), называется двумерной поверхностью. Примером таких поверхностей является сфера (рис.1) и тор (рис.2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Рассматривают также поверхности с краем. Круг - поверхность с краем. Сфера, в которой вырезаны несколько круглых отверстий (рис.3), также является поверхностью с краем.



Рисунок 3

Рассмотрим другие примеры двумерных поверхностей на наглядных примерах: следующие поверхности можно получить, склеивая противоположные стороны прямоугольника. Склеиваемые стороны обозначаются одинаковыми буквами и стрелками в зависимости от направления склеивания.

Лента Мёбиуса.

Интересный пример двумерной поверхности с краем был описан в 1862--1865 годах в работах немецких математиков Мёбиуса и Листинга. Она получается следующим образом: прямоугольник один раз перекручивается, и затем ее концы склеиваются (рис.4). Полученная поверхность с краем называется лентой Мёбиуса:

Рисунок 4

Рисунок 5

Эта поверхность имеет лишь одну сторону. Посмотрите, пожалуйста, на иллюстрацию 1 (см. Приложение II). Например, перемещая кисточку по листу Мёбиуса

мы придем к тому же месту, с которого начинали закрашивание, но с обратной стороны. Перемещая кисточку дальше, мы закрасим весь лист Мёбиуса и убедимся, что у него нет «второй стороны».

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна -- более тонкая лента Мёбиуса, другая -- длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.