Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных -- лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса (иллюстрация 1).

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Ручка.

Ручка является поверхность с краем.

Рисунок 5

Тор.

Тор является поверхность без краем.

Рисунок 6

Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна -- это определённая неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flдche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки, присоединить к отверстию на дне бутылки.

Бутылка Клейна является поверхностью без края. В отличие от сферы можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.

Рисунок 7

Проективная плоскость.

Проективная плоскость является поверхность без краем.

Рисунок 8

Широкий класс двумерных поверхностей можно получить, заклеивая отверстия на сфере листами Мёбиуса или ручками.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Укажите способы вложения окружности в тор.

Решение: Окружность в тор можно вложить тремя способами: либо так, что окружность уместится в маленьком круге (как на сфере), либо так, что она станет меридианом тора или её параллелью:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 2. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать круг, то в результате получится фигура, гомеоморфная листу Мёбиуса.

Решение: На рисунке показано, как можно представить проективную плоскость с вырезанным диском. Сделаем разрезы b и c. Затем склеим стрелки а. В результате получим лист Мёбиуса [26].

Задача 3. Докажите, что проективная плоскость гомеоморфна сфере с одним листом Мёбиуса.

Решение: Изобразим проективную плоскость, затем преобразуем её. Сначала вырежем круг, затем распрямим стрелки для получения развёртки листа Мёбиуса. В результате получим сферу с отверстием, в которое можно «поместить» лист Мёбиуса [32]:

Задача 4. Докажите, что бутылку Клейна можно разрезать на 2 листа Мёбиуса.

Решение: Два способа склейки бутылки Клейна из квадрата изображены на рис.9. На рис. 10 пунктиром изображены требуемые разрезы для обоих способов склейки [25].

Рисунок 9

Задача 5. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск, то получится лист Мёбиуса.

Задача 6. Докажите, что кольцо гомеоморфно цилиндру.

Задача 7. Проверьте, что цилиндр, тор, сфера - ориентируемые поверхности, а проективная плоскость неориентируема.

Задача 8. Докажите, что фигура, являющаяся объединением боковой поверхности цилиндра и его нижнего основания («стакан»), гомеоморфна кругу.

Задача 9. Докажите, что фигуры, изображенные на рисунке (лента, гомеоморфная боковой поверхности цилиндра, и дважды перекрученная лента) гомеоморфны между собой.

Уровень В.

Задача 10. Докажите, что сфера, к которой приклеены 3 листа Мёбиуса, гомеоморфна сфере, к которой приклеена одна ручка и один лист Мёбиуса.

Решение: Сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна. Поэтому сфера, к которой приклеены три листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна к которой приклеен один лист Мёбиуса. Такая фигура изображена на рис.11 (а). Сделаем разрез с, а затем склеим стрелки b(рис. 11 (б)). В результате получим сферу к которой приклеены ручка а и лист Мёбиуса с [25].

(а) (б)

Рисунок 11

Задача 11. Доказать, что сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна.

Решение:

Очевидно, что склейка двух листов Мёбиуса по их общему краю эквивалентна вклеиванию этих листов в сферу с двумя дырками [32].

Задача 12. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность не может быть гомеоморфна замкнутой неориентируемой двумерной поверхности.

Задача 13. К сфере с двумя дырами приклейте цилиндр по его краям. Докажите, что полученная поверхность гомеоморфна сфере с приклеенной ручкой, т.е. тору.

Задача 14. Покажите, что кольцо и лист Мёбиуса можно получить из круга приклеивание к его границе прямоугольника по двум сторонам.

Задача 15. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, не соединяющихся между собой. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с тремя ручками.

Задача 16. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с пятью ручками.

Задача 17. Если попарно склеить противоположные стороны квадрата с учетом указанных на рисунке а направлений, то получится тор (рисунок б, в, г). Какая поверхность получится, если склеивание произвести с учетом направлений на рисунке (сторона с остается не склеенной)?

Домашнее задание.

Задачи: 4, 5, 7, 8, 10, 15.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная дипломная работа посвящена проблеме разработки методического инструментария для реализации принципов дифференцированного обучения математики в классах математического профиля.

Основная задача элективных занятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания по предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

На сегодняшний день, топология является крупным разделом современной математики и знакомство с ней необходимо для общего образования школьного учителя, а также для разработки элективных занятий по данной теме.

В результате нашего исследования разработан элективный курс для десятого класса профильной школы - «Элементы наглядной топологии», состоящий из 16 занятий и методика проведения занятий по темам: «Узлы и зацепления» и «Двумерные поверхности».

Элективный курс по топологии формирует у учащихся устойчивый интерес к предмету, развивает творческие способности, формирует мировоззрение, показывает содержательную связь с историей развития науки. Совмещение математической строгости изложения материала с математической красотой и занимательностью способствует формированию культуры мышления учеников.

Задачи с элементами топологии представляют для учащихся сложность в логическом, мыслительном и психологическом плане. Однако решение именно таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале, а также позволяет развивать пространственное и логическое мышление, геометрическую интуицию, формировать математический склад ума.

В процессе исследования были решены следующие задачи:

- Изучена и проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература.

- Выяснены психологические и социальные особенностей контингента учащихся старших классов. В психологической части основной акцент сделан на выявление психологических особенностей пространственного мышления старших школьников. Выявлено, оперирование пространственными изображениями с выходом за пределы плоскости в пространстве, сформированный у детей стереотип (использования в планиметрии только плоских изображений в пределах только одной плоскости) мешает свободному оперированию, что в старших классах, при переходе от планиметрии к стереометрии.

- Изучено состояние и перспективы развития дифференциации в обучении (как прошлых периодов, так и современного этапа).

- Изучены психолого-педагогические аспекты профильной дифференциации.

- Изучена классификация и типы элективных курсов и курсов по выбору учащихся в профильном обучении и их методическое обеспечение.

- Разработано содержание элективного курса по теме «Элементы наглядной топологии», ориентированного на учащихся классов математического профиля.

- Разработана методика проведения занятий по темам «Узлы и зацепления» и «Двумерные поверхности».

- Представлены задачи с подробным решением по двум из основных тем «Узлы и зацепления» и «Двумерные поверхности» (расклассифицированный список задач по уровням сложности).

Таким образом, можно сделать вывод о том, что цель исследования - разработка элективного курса по теме «Элементы наглядной топологии», была достигнута, задачи исследования решены.

Основные выводы, которые мы сделали в процессе исследования следующие:

- Вводить обучение по направлениям (профилям) следует после того, как школьники получат единое математическое образование.

- На старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений (профилей) обучения.

- При составлении программ и учебников, выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности учащихся, учитывать уровневый подход.

- Разработка элективных курсов является важной задачей современного образования, так как данный вид курсов позволяет учитывать различные интересы школьников, выбравших определенный профиль.

В процессе исследования были разработаны методические рекомендации, теоретическое обоснование электива и предложена классификация по уровням сложности и типу задач для аудиторного и самостоятельного решения.

В предложенном элективе учтены, выявленные в процессе исследования требования к разработке элективных курсов. Данный электив оформлен в соответствии с выявленными требованиями к оформлению элективных курсов. Элективный курс содержит: «Пояснительную записку», «Содержание», «Тематическое планирование», «Методические рекомендации».

Материалы дипломной работы могут быть использованы студентами - практикантами, учителями математики, методической службой школ для возможной доработки и внедрения данного курса в практику школ математического профиля.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Антология педагогической мысли России второй половины 19 века. М.: Педагогика, 1985. - 608 с.

2. Антология педагогической мысли России первой половины 19 века. М.: Педагогика, 1985. - 559 с.

3. Антология педагогической мысли России. 17 век. М.: Педагогика, 1985.- 479 с.

4. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект. - М., 1977.

5. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология [текст]. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.- 160 с.

6. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию: Учеб. Пособие [текст].- 2-е изд.- М.: Наука. Физматлит, 1995.- 416 c.

7. Боярчук В.Ф. Межпредметные связи в процессе обучения.

8. Бутузов И.Г. Дифференцированное обучение - важное дидактическое средство эффективного обучения школьников. - М., 1968 г.

9. Бутузов И.Г. Дифференцированный подход к обучению учащихся на современном уроке. - Новгород: ЛГПИ, 1972. - 72. с.

10. Гильберт Давид, Кон-Фоссен Стефан: Наглядная геометрия [текст]: Пер. с нем. Изд. 4-е, стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - с 289-292.

11. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. докт.пед.наук. М.: 1990. - 364 с.

12. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Фирсов В.В. дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. - с. 15-21

13. Дужин С.В., Чмутов С.В. Узлы и их инварианты: Математическое просвещение, серия 3, выпуск 3, 1999 - 59-93с.

14. Зуев Д.Д. Проблемы школьного учебника: ХХ век: Итоги / Д.Д. Зуев. - М.: Просвещение, 2004. - 384 с.

15. Иванович К.А., Эпштейн Д.А. Дифференциация профессиональной подготовки учащихся средних общеобразовательных школ по научно-техническим направлениям. / В сб. основные направления производственного обучения в средней школе. - 2 -е изд., перер. и дополнен. М: АПН РСФСР, 1963, с. 5-19.

16. Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. - М.:Знание, 1997. - 49 с.

17. Кирсанов А.А. Индивидуальзация учебной деятельности школьников. - Казань: Тат.кн.изд-во, 1980. - 207 с.

18. Крутецкий В.А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ. - М.: Просвещение, 1980.

19. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. М.: Учпедгиз, 1951. - 152 с.

20. Мерлина М.А. Опыт дифференцированного обучения в советской школе. // Советская педагогика. - 1962. - № 9. - с. 98-109.

21. Министерство образования Российской Федерации Письмо № 14-51-277/13 от 13.11.2003 Элективные курсы (курсы по выбору).

22. Мухина В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: Учебник для студ. вузов. - М.: Издательский центр «Академия», 1999. - 456 с.

23. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: просвещение, 1980.

24. Педагогическая энциклопедия: В 2 томах. / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия. - Т.1. - 832 с.

25. Педагогическая энциклопедия: В 2 томах. / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия. - Т.2. - 912 с.

26. Прасолов В.В. Наглядная топология. - М: МЦНМО, 2006 - 112 с.

27. Прасолов В.В., Сосинский А.Б.. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. - М.: МЦНМО, 1997.

28. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентом мат. спец. пед. вузов и ун-тов. - М.: Просвещение, 2002.

29. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: Монография. - М.: Прометей, 1994.

30. Сосинский А.Б. Узлы и косы. - М.: МЦНМО, 2001 - 24 с.

31. Унт Э.И. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990. - 192 с.

32. Элементы топологии. Методическое пособие для студентов 5 курса математического факультета [текст] / кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания. Сост. А.В. Ушаков. М.: МГПУ, 2005.- 30 с.

33. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980.

34. http://ru.wikipedia.org/wiki/Бутылка_Клейна

35. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса

Размещено на Allbest.ru