Проектирование уроков по теме "Площади плоских фигур"

§ 6. Планы-конспекты уроков

Предлагаемые поурочные разработки в своей основе ориентированы на организацию работы класса по технологии дифференцированного обучения.

Практически в каждом сценарии урока присутствуют задачи на готовых чертежах. Наличие уже готовых рисунков поможет учителю наиболее рационально использовать рабочее время на уроке. Эти задачи решаются, как правило, устно, но по мере необходимости можно рекомендовать учащимся записать краткое решение задачи.

Контрольные и самостоятельные работы даны в трех уровнях сложности, что позволяет осуществить дифференцированный контроль. Первый уровень соответствует обязательным программным требованиям; второй - среднему уровню сложности; задания третьего уровня предназначены для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования, а специализированных математических классах. Для каждого уровня приведено два равноценных варианта.

Учитель сообщает о том, в какую группу попал ученик (это основывается на наблюдениях за учениками в предыдущих классах). Ученик должен знать, что состав группы не закреплен раз и навсегда. В последствии можно перейти из одной группы в другую в соответствии с результатами обучения и желанием учащихся.

Все поурочные разработки являются примерными и рассчитаны в своем большинстве на классы со средним уровнем математической подготовки, количество предлагаемых на урок заданий явно избыточно. В зависимости от степени подготовленности и уровня как класса в целом, так и конкретных учащихся, учитель может и должен вносить коррективы, как в методику проведения урока, так и в саму структуру, включая подбор заданий для классной, самостоятельной и домашней работы.

6.1 Планы-конспекты уроков в 8 классе

Урок № 1

Тема: Понятие площади. Площадь квадрата

Цели урока:

1. Образовательная: дать представление об измерении площадей многоугольников, рассмотреть основные свойства площадей, вывести формулу

для вычисления площади квадрата, показать учащимся примеры использования изученного теоретического материала в ходе решения задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Подготовка к восприятию нового материала (10 мин)

2.1.Устный счет

Вспомните известные ранее единицы измерения площади (1 мм2, 1 см2, 1 дм2, 1 м2, 1 км2, 1 ар, 1 га), равносильность этих единиц:

1) 1 см2 = 100 мм2;

2) 1 дм2 = 100 см2 = 10 000 мм2;

3) 1 м2 = 100 дм2 =10 000 см2 = 1 000 000 мм2;

4) 1 ар = 100 м2;

5) 1 га = 100 ар =10 000 м2;

6) 1 км2 = 100 га;

7) 1 см2 = 0,01 дм2;

8) 1 м2 = 0,000001 км2;

9) 1 дм2 = 0,01 м2;

10) 1 ар = 0,01 га;

11) 1 м2 = 0,01 ар = 0,0001 га.

2.2. Проверка задания на дом

Опрос по домашнему заданию, которое заключалось в следующем: узнайте из литературы, как появилась необходимость измерения площадей в древности в различных странах (Египте, Китае, Индии, России и др.); приведите примеры необходимости вычисления площадей в настоящее время. Рекомендуется провести в форме фронтального опроса.

1 - й ученик. Геометрия возникла еще в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека. Измерения расстояний, изготовление орудий труда определенных размеров, нахождение площади земельного участка, вместимость сосудов и т.д. Слово геометрия - греческого происхождения (гео - земля, метрио - меряю) и означает землемерие.

2 - й ученик. Еще 4 - 5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Для вычисления площади произвольного четырехугольника древние египтяне четыре тысячи лет назад использовали формулу , где a, b, c, d -длины сторон четырехугольника. Эта формула верна только для прямоугольника.

3 - й ученик. Практический характер имела и древнеиндийская геометрия, развитие которой связано как с религиозными обрядами, с культом жертвоприношения. В труде «Сульва-Сутра» встречаются вопросы вычисления площадей прямоугольников, квадратов и трапеций с помощью прямых.

4 - й ученик. В произведении «Патиганита» руководству по арифметике и измерению фигур - предложена формула:

,

где р - полупериметр, a, b, c, d - стороны четырехугольника. Эта приближенная формула верна только для вычисления площадей вписанных четырехугольников.

5 - й ученик. В древней Руси уже в XVI в. нужды землемерия, строительства, военного дела привела к созданию сочинений по геометрии. Первое дошедшее до нас сочинение такого рода, называется «О земном верстании», написано при Иване IV в 1556 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобокой трапеции.

6 - й ученик. Практическая необходимость измерения площадей возникает в быту и на производстве и в настоящее время. Так, например, площадь зеркала водохранилища нужно знать проектировщикам, чтобы определить, как будет испаряться вода из заполненного водохранилища.

7 - й ученик. Площадь поверхности стен помещения нужно знать строителям для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев или кафеля.

8 - й ученик. Площадь поверхности дороги нужно знать при расчете необходимого для ее покрытия количества асфальта.

3. Изучение нового материала (6 мин)

Новый материал учитель объясняет сам, демонстрируя учащимся рисунки и примеры из учебника.

Будем рассматривать площадь многоугольника. Можно сказать, что площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

1 см2 - площадь квадрата со стороной 1 см;

1 м2 - площадь квадрата со стороной 1 м и т.д.

Площадь многоугольника - это положительное число, которое показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

На плакатах рисунки:

Рис. 9.

Нецелые квадраты со стороной 1 см можно разбить на квадраты и треугольники. Но такой способ измерения площадей неудобен. Существуют формулы для вычисления площадей, которые учитывают следующие свойства площадей:

10. Равные многоугольники имеют равные площади.

20. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

30. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем третье свойство для случая, когда длина стороны квадрата выражается целым числом а ед. Разобьем сторону квадрата на а равных частей. Получим а2 квадратиков со стороной 1 ед. Площадь каждого квадратика равна 1 ед.2. Площадь квадрата равна

Остальные случаи, когда длина стороны квадрата выражается дробным или иррациональным числом, предлагается более подготовленным учащимся разобрать по учебнику самостоятельно.

4. Первичное закрепление материала (17 мин)

Решить задачи устно:

1. На рисунке 10 изображен параллелограмм ABCD. SABCD=12. Найти: SABD, SBCD.

Рис. 10.

2. На рисунке 11 изображен прямоугольник ABCD. CE=DE, SABCD=Q. Найти SABF.

Рис. 11.

3. Площадь заштрихованного квадрата равна 1. Найти SABCD.

Рис. 12.

Решить у доски и в тетрадях задачи № 449 в), 450 в).

Решить самостоятельно в тетрадях задачи № 449 а), 450 а), 451, 447.

5. Домашнее задание (3 мин)

Пп. 48, 49, вопросы 1, 2; решить задачи:

I уровень

№ 448, 449 б), 450 б);

II уровень

№ 448, 449 б), 450 б); 446;

III уровень

№ 448, 449 б), 450 б); 446;

Дополнительная задача: В прямоугольнике ABCD серединный перпендикуляр диагонали AC пересекает сторону BC в точке K так, что BK:KC=1:2. На какие углы диагональ прямоугольника делит его угол?

6. Подведение итогов.

1) Само возникновение геометрии говорит о практической направленности этой науки.

2) Площадь квадрата выражается формулой S = a2, где а - длина стороны квадрата.

3) Понятие площади является основополагающим не только в математике, но и в окружающем нас мире.

Урок № 2

Тема: Площадь прямоугольника

Цели урока:

1. Образовательная: вывести формулу площади прямоугольника и показать ее применение в процессе решения задач, совершенствовать навыки решения задач

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (10 мин)

а) Провести фронтальный опрос по материалу предыдущего урока:

1) Приведите примеры необходимости вычисления площадей в настоящее время.

2) Что такое площадь?

3) Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников?

4) Как вычисляется площадь квадрата? (Отвечает учащийся III уровня)

б) Проверить задачу № 448 и дополнительную домашнюю задачу. (Учитель вызывает к доске учащихся, и они воспроизводят решение задач.)

Решение дополнительной задачи:

Рис. 13.

Дано: ABCD - прямоугольник, AO =OC,

OK AC, BK:KC=1:2.

Найти:BCA, DCA.

Решение:

1) AKO =CKO по двум катетам (AOK =COK=900, AO=OC, KO - общий катет), тогда AK=CK.

2) ABK - прямоугольный. Т.к. BK:KC=1:2, а AK=CK, то BK:AK=1:2, тогда

KAB=300, AKB=600, и AKC= 1200.

3) Т.к. AK=CK, то KAC =KCA как углы при основании равнобедренного треугольника AKC.

AKC= 1200, тогда KAC =KCA=300.

4) BCD=900, BCA=300, тогда DCA=600.

Ответ: 300, 600.

в) Выполнить практические задания (устно):

1. Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

2. На рисунке 14 ABCD -- квадрат, MN||AB, EF||BC. Найдите площадь четырехугольника AFKM, если AM=CE=3 см, DE = 6 см.

Рис. 14.

3. Объяснение нового материала (8 мин)

Вспомнить с учащимися, что ранее уже встречались с формулой для вычисления площади прямоугольника. Поэтому логично задать следующий вопрос: как вычислить площадь прямоугольника. Ученики могут ответить по-разному: а умножить на b, длину умножить на ширину. Следует подсказать, что длина и ширина прямоугольника есть его смежные стороны. Таким образом, будет сформулирована следующая теорема, которую учитель доказывает у доски:

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S. Докажем, что S = ab.

Рис. 15.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке 16.

По свойству 30 площадь этого квадрата равна (a + b)2.

Рис. 16.

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 10 площадей) и двух квадратов с площадями a2 и b2 (свойство 30 площадей). По свойству 20 имеем:

Отсюда получаем S = ab.

Теорема доказана.

4. Закрепление изученного материала (10 мин)

Решить устно задачи № 452 а), в), 453 в).

Решить на доске и в тетрадях задачу

I уровень: № 454;

II уровень: № 455, 456;

III уровень: № 457, 458.

Решить в тетрадях задачу № 501 самостоятельно.

5. Самостоятельная работа обучающего характера (7 мин)

I уровень

I вариант

1. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 80 см, а отношение сторон равно 2:3.

2. Площадь пятиугольника AOBCD равна 48 см2. Найдите площадь и периметр квадрата ABCD,если О - точка пересечения диагоналей квадрата.

II вариант

1. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 98 см2, а

1. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 98 см2, а одна из его сторон вдвое больше другой.

2. Периметр квадрата ABCD равен 48 см. Найдите площадь пятиугольника ABOCD, где О - точка пересечения диагоналей квадрата.

II уровень

I вариант

1. В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 10 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

2. ABCD и MDKP - равные квадраты. AB=8 см. Найдите площадь и периметр четырехугольника ACKM.



Рис.17.

II вариант

1. Площадь квадрата равна 36 см2. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон.

2. ABCD и DCMK - квадраты. AB=6 см. Найдите площадь и периметр четырехугольника OCPD.

Рис. 18.

III уровень

I вариант

1. В трапеции ABCD A=450, С=1000. Диагональ BD составляет с боковой стороной CD угол 350. На стороне AB построен параллелограмм ABPK так, что точка D принадлежит отрезку BP и BD:DP=2:1. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен 30 см.

2. ABCD - прямоугольник; M, P, K, T - середины его сторон, AB=6 см, AD=12см. Найдите площадь четырехугольника MPKT.



Рис. 19.

II вариант

1. В трапеции MPKOM=450, K=1350. На стороне MP трапеции построен параллелограмм MPDT так, что его сторона PD параллельна прямой KO и пересекает сторону MO в точке A, причем PA:AD=1:3. Площадь параллелограмма равна 36 см2. Найдите его периметр.

2. ABCD - прямоугольник; M, P, K, T - середины его сторон, AB=16 см, AD=10см. Найдите площадь шестиугольника AMKCPT.

Рис. 20.

6. Домашнее задание (2 мин)

П.50, вопрос 3.

Дополнительная задача: Дан прямоугольник ABCD, его периметр равен 44 см, DC:AD=7:4, DE=FC=EF/2, где точки Е и F лежат на стороне DC. Найти площадь треугольника АВК.

6. Подведение итогов урока (1 мин)

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Урок № 3

Тема: Площадь параллелограмма

Цели урока:

1. Образовательная: учащиеся должны знать формулу для вычисления

площади параллелограмма, уметь вывести эту формулу. Выработать у учащихся умение применять полученные знания в решении задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (10 мин)

Теоретический опрос

а) Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

б) Назовите признаки равенства прямоугольных треугольников.

в) Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника (один ученик готовится у доски, в это время остальные проверяют домашнее задание).

Проверка домашнего задания

Проверить решение домашних задач (учитель выборочно проверяет тетради учащихся).

Решение задач с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала

1. Дано: ABCD - параллелограмм, BM=4, MN=6, BMAD, CNAD. Доказать, что SABM=SDCN. Найти SABCD.

2. Дано: ABCD - параллелограмм, ВКAD, BAD=450, ВК=6. Найти SABCD.

3.Изучение нового материала (10 мин)

Перед выводом формулы площади параллелограмма следует ввести понятие основания и высоты параллелограмма. НА доске и в тетрадях - рисунок. BH - высота, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD. BK - высота, проведенная к стороне CD параллелограмма ABCD.

Рис. 21.

Задача

Дано:ABCD - параллелограмм, AD=a,

BH - высота, BH= h.

Найти SABCD.

Рис. 22.

(Разбить учащихся на группы по 3-4 человека, дать на обдумывание 3-5 минут, а затем обсудить решение задачи, выслушав все варианты решений и выбрав среди предложенных наиболее удачный.)

В тетрадях и на доске записать:

Sпар-ма=aha,

где a - сторона параллелограмма, ha - высота, проведенная к стороне a.

4. Закрепление изученного (15 мин)

Решить устно № 459 а), б).

Решить на доске и в тетрадях задачи

I уровень: № 463, 464 в);

II уровень: № 461; 465;

III уровень: № 460, 466, 467.

5. Домашнее задание (2 мин)

П.51, вопрос 4.

I уровень

Решить задачи № 459 (в, г), 464 (а);

II уровень

Решить задачи № 459 (в, г), 464 (а), 462;

III уровень

Решить задачи № 459 (в, г), 464 (а), 462;

Дополнительная задача: Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол 450. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма.

6. Подведение итогов (1 мин)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Урок № 4

Тема: Площадь треугольника

Цели урока:

1. Образовательная: вывести формулы для вычисления площади треугольника и показать их применение в процессе решения задач, совершенствовать навыки решения задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (8 мин)

Теоретический опрос

- Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма. (Один ученик II или III уровня готовит доказательство теоремы у доски.)

- Сформулируйте теорему о площади прямоугольника.

Решение задач с целью закрепления формулы для вычисления площади параллелограмма

(Самостоятельно с последующей самопроверкой.)

1.ABCD - параллелограмм, АВ=6 см, AD=10 см, BAD=300. Найти SABCD.

2.ABCD - параллелограмм, диагональ BD со стороной АВ образует угол 900, а острый угол параллелограмма равен 600. Найти SABCD, если BD=5см, а AD=8 см.

3.ABCD - параллелограмм, ВН и ВК - его высоты на стороны AD и CD соответственно. Найти SABCD, если острый угол параллелограмма равен 600, А ВК=7, АН=4.

4. ABCD - ромб, AC=10 см, BD=8 см. Найти SABCD.

Решение задач с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала (устно)

1. ABCD - параллелограмм, BAD=300, АВ=6 см, AD=12 см. Найти SABCD, SABD, SBCD, SABC, SACD.

2. ABCD - параллелограмм. Найти SABD.

Рис. 23.

В процессе решения этих задач необходимо повторить основные свойства площадей, формулу для вычисления площади параллелограмма, акцентируя внимание учащихся на том, что диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

3. Изучение нового материала (10 мин)

Задача

В треугольнике ABC AB=c, CH - высота, CH=h. Найти SABС.

Рис. 24.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, после обсуждения решения

задачи в тетрадях и на доске записывается:

, ,

где a - сторона треугольника, ha - высота, проведенная к стороне a.

Затем учитель формулирует следствия из этой теоремы.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Доказательства данных утверждений учащиеся разбирают самостоятельно по учебнику.

4. Закрепление изученного материала (17 мин)

Решить устно задачи № 468 а), б), 471, 474. К задаче № 474 на доске или на плакате заранее подготовить рисунок.

Решить на доске и в тетрадях задачу

I уровень: № 470;

II уровень: № 472;

III уровень: № 473, 474.

Решить самостоятельно задачи № 472, 475.

6.Домашнее задание (2 мин)

П. 52, вопрос 5.

I уровень

Решить задачи № 468 в), г), 473;

II уровень

Решить задачи № 468 в), г), 473, 469;

III уровень

Решить задачи № 468 в), г), 473, 469;

Дополнительная задача: В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, которая удалена от прямой CD на 4 см. Найдите площадь треугольника АОВ, если CD=8 см.

7. Подведение итогов урока (1 мин)

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Урок № 5

Тема: Площадь треугольника. Решение задач

Цели урока:

1. Образовательная: рассмотреть теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, совершенствовать навыки решения задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения,

аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром

темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (10 мин)

Теоретический опрос (подготовиться у доски)

- Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника. (Один ученик II или III уровня готовит доказательство теоремы у доски.)

- Выведите формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. (Один ученик II или III уровня готовит доказательство теоремы у доски.)

- Докажите, что если высоты треугольников равны, то их площади

относятся как основания. (Один ученик II или III уровня готовит доказательство теоремы у доски.)

Решение задач (письменно с последующей проверкой)

I уровень

1. Найти SABC. (Ответ: 36 кв. ед.)



Рис. 25.

2. На рисунке 26 ABCD - квадрат, AB=5 см, KB=4 см. Найти SABCK. (Ответ: 15 см2)

3. На рисунке 27 АВС - треугольник. Найти SABC. (Ответ: 120 см2)

4. На рисунке 28 АВС - треугольник, угол С - прямой, AB=10. Найти

CD. (Ответ: 4,8 см)

Рис. 26. Рис. 27. Рис. 28.

II уровень

1. В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются под углом 300 друг к другу. Найдите площадь этого четырехугольника.

Решение:



Рис. 29.

Проведем BKAC, DEAC, тогда значит:

.

- прямоугольный, в нем , тогда BK=BO/2.

- прямоугольный, в нем , тогда DE=DO/2.

(см2).

Ответ: 24 см2.

2. Точка Е - середина стороны АВ треугольника АВС, а точки М и Н делят сторону ВС на три равные части, ВМ=МН=НС. Найдите площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника АВС равна S.

Решение:

Высота и , проведенная к сторонам АВ и ВЕ соответственно - это один и тот же отрезок, т. е. высоты и равны, тогда



Рис. 30.

, т. е. .

Высоты равны, их площади относятся так же как , а так как , то

.

Ответ: S/6.

Решение задач с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала

1. СМ - медиана , СК - медиана . Найти SAMC:SABC, SAMC:SКBC, SAКC:SКBC.

Рис. 31.

2. М - середина АВ, К - середина CD. ABCD - выпуклый четырехугольник. Доказать, что

Рис. 32.

3. Изучение нового материала (7 мин)

Учитель самостоятельно формулирует и доказывает теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство. Пусть S и S1 - площади треугольников АВС и А1В1С1, у которых . Докажем, что .

Рис. 33.

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 43). Треугольники АВС и АВС1 имеют общую высоту ВН, поэтому . Треугольники АВС1 и АВ1С1 также имеют общую высоту - С1К, поэтому .

Рис. 34.

Перемножая полученные равенства, находим:

или .

Теорема доказана.

4. Закрепление изученного материала (6 мин)

Решить устно задачи:

1.Дано: . Найти .

Рис. 35.

2. Дано: ОА=8 см, ОВ=6 см, ОС=5 см, OD=2 см, см2. Найти .

Рис. 36.

Решить самостоятельно задачу:

Площадь одного равностороннего треугольника в 3 раза больше, чем

площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

Решить самостоятельно задачу № 479 б).

5. Самостоятельная работа обучающего характера (10 мин)

I уровень

I вариант

1. Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол между ними

300. Найдите площадь треугольника.

2. Дано: АО=4, ВО=9, СО=5, DO=8, SAOC=15. Найти SBOD.

Рис. 37.

II вариант

1. Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними 300.

2. Дано: АО=10, ВО=8, СО=12, DO=8, SВOD=14. Найти SAOC.

Рис. 38.

II уровень

I вариант

1. В треугольнике ABC , ВС=10 см, а высота ВD делит сторону АС на отрезки AD=6 см, DC=8 см. Найдите площадь треугольника и высоту,

проведенную к стороне ВС.

2. Дано: ВО=АО, ОС=2OD, SAOC=12 см2. Найдите SBOD.

Рис. 39.

II вариант

1. В треугольнике ABC , AB=10 см, а высота AD делит сторону CB на отрезки DB=6 см, DC=8 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне AВ.

2. Дано: ВО=CО, ОD=3OA, SAOC=16 см2. Найдите SBOD.

Рис. 40.

III уровень

I вариант

1. В треугольнике АВС , , АВ=10 см. Найдите площадь треугольника.

2. Дано: ОА=АВ, АС BD. Доказать, что SOBC=SOAD.

Рис. 41.

II вариант

1. В треугольнике АВС . Найдите ВС, если площадь треугольника равна 36 см2.

2. Дано: ВС=АВ, ВЕAD, CDAD. Доказать, что SACD=4SABE.



Рис. 42.

6. Домашнее задание (3 мин)

П. 52, вопрос 6.

I уровень

Решить задачи № 479 а), 476 а);

II уровень

Решить задачи № 479 а), 476 а), 477;

III уровень

Решить задачи № 479 а), 476 а), 477;

Дополнительная задача: Дан четырехугольник ABCD, О - точка пересечения его диагоналей. АО=3 см, ВО=6 см, OD=4 см, SAOC+SBOD=39 см2. Найдите SAOC.

6. Подведение итогов урока (2 мин)

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающие равные углы.

Урок № 6

Тема: Площадь трапеции

Цели урока:

1. Образовательная: учащиеся должны знать формулу для вычисления площади трапеции и уметь ее доказывать. Выработать у учащихся умение применять полученные знания в решении задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2.Актуализация знаний учащихся (11 мин)

Теоретический опрос

Сформулировать и доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу (один из наиболее подготовленных учащихся готовится у доски, затем его ответ слушает весь класс с целью закрепления доказательства данной теоремы).

Проверка домашнего задания

Проверить решение задачи № 476 а) (проверить выборочно тетради у

некоторых учащихся).

Решение задачи с целью подготовки учащихся к восприятию нового

материала

(Учащиеся решают самостоятельно с последующим коллективным обсуждением решений).

Задача: Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и ВС равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона АВ равна 6 см, А=300.

Решение:

Проведем диагональ BD в треугольнике ABD, которая равна высоте в треугольнике BCD, т. е. BK=DH.



Рис. 43.

,

BKDH - прямоугольник, поэтому ВК=DH, тогда:

.

Найдем ВК из прямоугольного треугольника АВК, в котором , АВ=6 см: ВК=АВ/2=3 см.

(см2)

Ответ: 27 см2.

3. Изучение нового материала (10 мин)

Учитель рассказывает, что для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 53).

Используя этот прием, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание



Рис. 44.

На рисунке 45 отрезок ВН (а также отрезок DК)- высота трапеции.

Рис. 45.

Далее перед учащимися ставится задача:

Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и ВС равны и соответственно, а высота равна .

Задачу можно предложить решить самостоятельно или в небольших группах, затем обсудить решение задачи, на доске и в тетрадях учащихся записать:

,

где и - основания трапеции, - высота трапеции.

4. Закрепление изученного материала (15 мин)

Решить устно № 480 а) (данную задачу рекомендуется решить учащемуся I уровня).

Решить на доске и в тетрадях задачу № 482 (данную задачу рекомендуется решить учащемуся II уровня).

Решить самостоятельно задачи (условия задач заранее написаны на доске):

1. Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 88 см2, а высота меньше оснований. (Ответ: 10 см)

2. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 54 см2. (Ответ: 6 см)

3. основания равнобедренной трапеции 12 см, и 16 см, а ее диагонали взаимноперпендикулярны. Найдите площадь трапеции. (Ответ: 160 см2)

5. Подведение итогов урока (2 мин)

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту

Домашнее задание

П. 53, вопрос 7;повторить формулы для вычисления площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, треугольника, трапеции

I уровень

Решить задачи № 480 б), в), 478, 476 б);

II уровень

Решить задачи № 480 б), в), 478, 476 б); 481;

III уровень

Решить задачи № 480 б), в), 478, 476 б); 481;

Дополнительная задача: В трапеции ABCD AD и ВС - основания, AD:BC=2:1. Точка Е - середина стороны ВС трапеции. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕAD равна 60 см2.

Урок № 7

Тема: Решение задач на вычисление площадей фигур

Цели урока:

1. Образовательная: закрепить теоретический материал по теме «Площадь», совершенствовать навыки решения задач на вычисление площадей фигур.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, про-

водит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (15 мин)

Проверка домашнего задания

Проверить решение задачи № 478 (учитель выборочно проверяет тетради у некоторых учащихся)

Теоретический тест

Работа выполняется на двух листочках, один из которых сдается учителю на проверку, второй остается ученику для самопроверки, которая будет проведена непосредственно по окончанию работы.

I вариант

1. Выберите верные утверждения:

а) Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;

б) Площадь квадрата равна квадрату его стороны;

в) Площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.

2. Закончите фразу: Площадь ромба равна половине произведения…

а) его сторон;

б) его стороны и высоты, проведенной к этой стороне;

в) его диагоналей.

3. По формуле можно вычислить площадь:

а) параллелограмма;

б) треугольника;

в) прямоугольника.

4. Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой ВН вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

5. Выберите правильное утверждение. Площадь прямоугольного треугольника равна:

а) половине произведения его стороны на какую-либо высоту;

б) половине произведения катетов;

в) произведению его стороны на проведенную к ней высоту.

6. В треугольниках АВС и MNK . Отношение площадей треугольников АВС и MNK равно:

а) ;

б) ;

в) .

7. В треугольниках MNK и DOS высоты NE и ОТ. Тогда SMNK:SDOS=…

а) MN:PO;

б) MK:PS;

в) NK:OS.

II вариант

1. Выберите верные утверждения:

а) Площадь квадрата равна произведению его сторон;

б) Площадь прямоугольника равна произведению его противолежащих сторон;

в) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

2. Закончите фразу: Площадь параллелограмма равна произведению…

а) двух его соседних сторон;

б) его стороны на высоту, проведенную к этой стороне;

в) двух его сторон.

3. По формуле можно вычислить площадь:

а) параллелограмма;

б) треугольника;

в) ромба.

4. Площадь трапеции ABCD с основаниями ВС и АD и высотой СН вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

5. Выберите правильное утверждение. Площадь треугольника равна:

а) половине произведения его сторон;

б) половине произведения двух его сторон;

в) произведению его стороны на какую-либо высоту.

6. В треугольниках АВС и DEF . Отношение площадей треугольников АВС и DEF равно:

а) ;

б) ;

в) .

7. В треугольниках DEF и TRQ высоты DA и ТB. Тогда SDEF:STRQ=…

а) EF:RQ;

б) DE:TR;

в) EF:RT.

Ответы к тесту

	1	2	3	4	5	6	7
I вариант	б	в	а	в	б	а	б
II вариант	в	б	в	а	б	в	а

Пройденный тест оценивается по следующей системе:

7 правильных ответов - оценка «5»;

5-6 правильных ответов - оценка «4»;

4 правильных ответа - оценка «3»;

1-3 правильных ответа - оценка «2».

Оценки за тест выставляются в журнал по желанию учащихся.

3. Решение задач (20 мин)

Решить на доске и в тетрадях задачи (данные задачи решают учащиеся II или III уровней):

1. В трапеции АВСМ одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75 % большего основания. Площадь трапеции равна 72 см2. Найдите основания и высоту трапеции.

Ответ: 16 см, 48 см, 36 см.

2. В параллелограмме ABCD на стороне AD отмечена точка М так, что

АМ:MD=3:2. Найдите площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна 60 см2.

Ответ: 18 см2.

Решить самостоятельно задачи:

1. В параллелограмме КМРТ диагональ МТ перпендикулярна стороне МК, Км=13 см, МТ=5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высоты, МР=14 см.

Ответ: 65 см2, 5 см, см.

2. Стороны параллелограмма равны 12 см и 15 см, а угол между ними 300. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ: 90 см2.

3. В треугольнике КМР высота МВ делит сторону КР на отрезки 6 см и 8 см, . Найдите площадь треугольника КМР.

Ответ: 42 см2.

4. Периметр ромба АВСК равен 68 см, периметр треугольника АВС равен 50 см, а периметр треугольника ВСК равен 64 см. Найдите: а) диагонали АС и ВК; б) площадь ромба.

Ответ: а) 16см и 30 см; б) 240 см2.

4. Подведение итогов урока (2 мин)

Домашнее задание

I уровень

Решить задачи № 466, 467;

II уровень

Решить задачи № 466, 467,476 б);

III уровень

Решить задачи № 466, 467,476 б);

Дополнительная задача: В равнобедренной трапеции ABCD проведены высоты ВК к стороне AD и высота DH к стороне ВС. Найдите площадь четырехугольника BKDH, если площадь трапеции равна 89 дм2.

Урок № 8

Тема: Решение задач. Самостоятельная работа

Цель урока:

1. Образовательная: закрепить знания и умения по теме «Площадь», совершенствовать навыки решения задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (11 мин)

Решение задач по готовым чертежам (можно использовать задачи из приложения 2)

I уровень: № 1, 2, 3, 5, 7, 9 (устно);

II уровень: № 1 - 9 (письменно с последующей самопроверкой)

1. ABCD - параллелограмм, ВН=8 см. Найти ВК.



Рис. 46.

2. АBCD - параллелограмм. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Рис. 47.

3. Найти площадь треугольника АВС.

Рис. 48.

4. Найти площадь треугольника АВС.

Рис. 49.

5. Найти площадь треугольника АВС.

Рис. 50.

6. Найти площадь треугольника АВС.

Рис. 51.

7. АС=12; SABCD=48. Найти BD.

Рис. 52.

8. ABCD - трапеция, ВС: AD=2:3, ВК=6, SABCD=60. Найти ВС, AD.



Рис. 53.

9. Найти SABCD.

Рис. 54.

3. Самостоятельная работа (25 мин)

I уровень

I вариант

1. Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведенная к ней 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

2. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

3. В трапеции основания равны 6 и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.

4. Стороны параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними равен 300. Найдите площадь параллелограмма.

5. Диагонали ромба относятся как 2:3, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.

II вариант

1. Сторона параллелограмма равна 17 см, а его площадь 187 см2. Найдите высоту, проведенную к данной стороне.

2. Сторона треугольника равна 18 см, а высота, проведенная к ней, в 3 раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.

3. В трапеции основания равны 4 и 12 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.

4. Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 1500. Найдите площадь параллелограмма.

5. Диагонали ромба относятся как 3:5, а их сумма равна 8 см. Найдите площадь ромба.

II уровень

I вариант

1. В равнобедренном треугольнике АВС высота ВН равна 12 см, а основание АС в 3 раза больше высоты ВН. Найдите площадь треугольника АВС.

2. В параллелограмме ABCD стороны равны 14 и 8 см, высота, проведенная к большей стороне, равна 4 см. Найдите площадь параллелограмма и вторую высоту.

3. Площадь трапеции равна 320 см2, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если длина одного из оснований составляет 60 % длины другого.

4. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны соответственно 14 и 18 см. Сторона АВ продолжена за точку А на отрезок АМ, равный АВ. Сторона ВС продолжена за точку С на отрезок КС, равный половине ВС. Найдите площадь треугольника МВК, если площадь треугольника АВС равна 126 см2.

5. В ромбе АВСК из вершин В и С опущены высоты ВМ и СН на прямую АК. Найдите площадь четырехугольника МВСН, если площадь ромба равна 67 см2.

II вариант

1. В равнобедренном треугольнике АВС высота АН в 4 раза меньше основания ВС, равного 16см. Найдите площадь треугольника АВС.

2. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см2. Найдите стороны параллелограмма.

3. В равнобокой трапеции АВСМ большее основание АМ равно 20 см,

высота ВН отсекает от АМ отрезок АН, равный 6 см. Угол ВАМ равен 450. Найдите площадь трапеции.

4. В ромбе ABCD на стороне ВС отмечена точка К такая, что КС:ВК=3:1. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь ромба равна 48 см2.

5. В треугольнике АВМ через вершину В проведена прямая d, параллельная стороне АМ. Из вершин А и М проведены перпендикуляры АС и VD на прямую d. Найдите площадь четырехугольника ACDM, если площадь треугольника АВМ равна 23 см2.

III уровень

I вариант

1. Площадь параллелограмма равна 48 см2, а его периметр 40 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная к одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

2. В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что АМ:МС=4:1. Найдите площадь треугольника АМD.

3. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 20 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.

4. В треугольнике АВС угол В равен 1300, АВ=a, ВС=b, а в параллелограмме МРКН МР=a, МН=b, угол М равен 500. Найдите отношение площади треугольника к площади параллелограмма.

5. В трапеции ABCD ВС и AD - основания, ВС:AD=3:4. Площадь трапеции равна 70 см2. Найдите площадь треугольника АВС.

II вариант

1. Площадь параллелограмма равна 50 см2, а его периметр 34 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 2 раза больше проведенной к ней высоты.

2. В прямоугольном треугольнике АВС точка О - середина медианы СН, проведенной к гипотенузе АВ, АС=6 см, ВС=8 см. Найдите площадь треугольника ОВС.

3. В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 900, высота трапеции равна 8 см. Найдите площадь трапеции.

4. В треугольнике АВС АВ=x, АС=y, угол А равен 150, а в треугольнике МРК КР=x, МК=y, угол К равен 1650. Сравните площади этих треугольников.

5. В трапеции ABCD ВС и AD - основания, ВС:AD=4:5. Площадь треугольника ACD равна 35 см2. Найдите площадь трапеции.

Примечание:

Самостоятельная работа III уровня рассчитана на весь урок.

Этап актуализации знаний учащихся проводится с учащимися, которым в дальнейшем будут предложены задачи I и II уровня, при этом при выполнении самостоятельной работы в целях экономии времени к задачам 1 - 3 необходимо начертить рисунок и краткое решение (можно только ответ), к задачам 4, 5 - полное решение. В зависимости от уровня подготовленности класса количество обязательных задач можно сократить до четырех.

4. Подведение итогов (2 мин)

Домашнее задание

Решить первый вариант самостоятельной работы следующего уровня (условия задач в распечатанном виде выдаются на урок и на дом), № 524 (устно). Для учащихся, решавших самостоятельную работу III уровня - дополнительные задачи.

Дополнительные задачи:

1. В трапеции ABCD AD и ВС - основания, AD:BC=2:1. Точка Е - середина стороны ВС трапеции. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕAD равна 60 см2.

2. В трапеции МРНК МК - большее основание. Площади треугольников МНК и КНР равны S1 и S2 соответственно. Найдите площадь трапеции.

3. Дан равнобедренный треугольник АВС, АС - основание, КТ || ВС, МР || AB, EO || AC. Доказать, что SAEMN:SMOCT=BP:BK.

4. В ромбе ABCD ВМ - биссектриса треугольника ABD, ВМD = =157030`. Найдите площадь ромба, если его высота равна 10 см.

5. Дан ромб ABCD, HT || AB, MP || BC, O=MP?TH. Доказать, что SAOMT • SOHCP=SMBHO • STOPD.

Урок № 9

Тема: Формула Герона. Решение задач

Цель урока:

1. Образовательная: совершенствовать навыки решения задач по теме «Площадь», ознакомить учащихся с формулой Герона и показать ее применение, а процессе решения задач, подготовить учащихся к контрольной работе.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения,

аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (10 мин)

Проверка домашнего задания

Проверить задачу № 524 (доказательство формулы Герона).

На доске наиболее подготовленный ученик делает рисунок, записывает на доске доказательство формулы Герона:

План доказательства:

Рис. 55.

а) В ВСН . В АСН .

б) .

(1), тогда (2).

в) (1)+(2): , .

г)

,

, где .

д) .

Закрепление формулы Герона

Решить задачи (устно):

1. Найти площадь треугольника АВС.

Рис. 56.

2. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Рис. 57.

3. Найти площадь трапеции ABCD.

Рис. 58.

3. Решение задач (26 мин)

На доске и в тетрадях решить задачи № 504, 517 (эти задачи рекомендуется решить учащимся I или II уровней).

Самостоятельное решение задач № 502, 514, 516, 525.

(В тетрадях начертить рисунок и записать краткое решение. Учитель в это время работает индивидуально с менее подготовленными учащимися.)

4. Подведение итогов урока (2 мин)

Домашнее задание

I уровень

Решить задачи № 490 в), 497, 503;

II уровень

Решить задачи № 490 в), 497, 503, 518;

III уровень

Решить задачи № 490 в), 497, 503, 518;

Дополнительная задача: Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка М. докажите, что сумма площадей треугольников AMD и ВМС равна половине площади параллелограмма.

Урок № 10

Тема урока: Контрольная работа по теме «Площадь многоугольников»

Цель урока: проверить усвоение материала учащимися.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Выполнение контрольной работы (36 мин)

I уровень

I вариант

1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см.

4*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 600, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

II вариант

1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная, к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника.

2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12см, а гипотенуза равна 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника.

3. Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и периметр.

4*. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна

3 см, угол К равен 450, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

II уровень

I вариант

1. Смежные стороны параллелограмма равны 52 и 30 см, а острый угол равен 300. Найдите площадь параллелограмма.

2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если AD=24 см, ВС=16 см, А=450, D=900.

3. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка С так, что АК=6 см, КС=9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ=13 см, ВС=14 см.

4*. Высота равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого треугольника, до его сторон.

II вариант

1. Высота ВК, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD, делит эту сторону на два отрезка АК=7 см, KD=25 см. Найдите площадь параллелограмма, если А=450.

2. Вычислить площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ВС=13 см, AD=27 см, CD=10 см, D=300.

3. Дан треугольник МКР. На стороне МК отмечена точка Т так, что МТ=5 см, КТ=10 см. Найдите площади треугольников МРТ и КРТ, если МР=12 см, КР=9 см.

4*. В равностороннем треугольнике большая сторона составляет 75 % суммы двух других. Точка М, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы треугольника. Найдите расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.

III уровень

I вариант

1. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Е так, что АЕ=4 см, ED=5 см, ВЕ=12 см, BD=13 см. Найдите площадь параллелограмма.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ=12 см, ВЕ=9 см, АК=10 см. Найдите АС.

3. В равнобедренной трапеции ABCD AD || BC , А=300, высота ВК=1 см ВС=2 см. Найдите площадь Треугольника KMD, если М - середина BD.

4*. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников ABD, ACD, BCD равны. Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом.

II вариант

1. В трапеции ABCD АВ - большее основание, СК- высота, АВ=5 см. На отрезке АК взята точка Е так, что АЕ=3 см, ЕК=6 см, KD=1 см, ВЕ=4 см. Найдите площадь трапеции.

2. В треугольнике АВС угол А тупой, ВК и CD - высоты, ВК=12 см, АК=9 см, CD=10 см. Найдите AD.

3. В параллелограмме ABCD А=600, диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD - точку М параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК=4 см. Найдите площадь треугольника AMD.

4*. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников ABD и ACD равны, а площади треугольников ACD и BCD не равны. Докажите, что данный четырехугольник является трапецией.

3. Подведение итогов урока (2 мин)

Решить задачи, с которыми ученик не справился во время контрольной

работы. (Условия задач в распечатанном виде выдаются на урок и на дом.)

6.2 Планы-конспекты уроков в 9 классе

Урок № 1

Тема: Площадь правильного многоугольника

Цели урока:

1. Образовательная: учащиеся должны знать формулу для вычисления площади правильного многоугольника и уметь ее доказывать. Выработать у

учащихся умение применять полученные знания в решении задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (10 мин)

Необходимо повторить формулу площади треугольника:

.

Устно решить следующую задачу:

Пусть a - основание, h - высота, S - площадь треугольника. Найдите: а) S, если a=7 см, h=11 см; б) S, если a=2 см, h=5 см.

Для того чтобы показать актуальность данной темы, учащимся можно предложить следующую задачу:

Поперечное сечение металлического стержня - круг радиуса 2 см. Из него изготавливают ключи, опиливая конец стержня под квадрат. Найдите наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.

Решение:

В задаче требуется вычислить площадь квадрата, вписанного в поперечное сечение стержня диаметром 4 см.

Рис. 59.

Впишем квадрат ABCD в окружность следующим образом:

Проведем два взаимноперпендикулярных диаметра BD и АС и соединим отрезками их концы; получим четырехугольник ABCD, в котором

АВ=ВС=CD=AD как стороны равных треугольников ВОС, АОВ,DOA, COA, а углы равны по 900. Значит, ABCD - квадрат. По теореме Пифагора ВС= см.

А как решить подобную задачу, если в круг мы будем вписывать не квадрат, а правильный n-угольник?

3. Изучение нового материала (10 мин)

Пусть S - площадь правильного n - угольника, аn- его сторона, P - периметр, а r и R - радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.