Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

§ 1. Психолого-педагогический аспект изучения темы «Площади плоских фигур» в средней школе

§ 2. О модульной технологии и дифференциации в обучении математике

2.1 О технологии модульного обучения

2.2 О дифференциации в обучении математике

§ 3. Анализ методических особенностей изложения темы

«Площадь» в различных учебниках геометрии

§ 4. Примерное поурочное планирование

§ 5. Методические рекомендации к изучению темы

5.1 Площадь многоугольника

5.2 Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

5.3 Решение задач

5.4 Площадь правильного многоугольника

5.5 Площадь круга и кругового сектора. Основные требования к учащимся

§ 6. Планы-конспекты уроков

Заключение

Литература

Приложение

Введение

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. Объекты математических, и в первую очередь - геометрических, умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление.

Ведущая роль принадлежит геометрии в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач развиваются творческая и прикладная стороны мышления. Изучение математики, в частности геометрии, развивает воображение, пространственное представление.

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Для вычисления площади произвольного четырехугольника древние египтяне четыре тысячи лет назад использовали формулу , где a, b, c, d - длины сторон четырехугольника. Эта формула верна только для прямоугольника.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т. п.

Практический характер имела и древнеиндийская геометрия, развитие которой связано как с религиозными обрядами, с культом жертвоприношения. В труде «Сульва-Сутра» встречаются вопросы вычисления площадей прямоугольников, квадратов и трапеций с помощью прямых.

В произведении «Патиганита» руководству по арифметике и измерению фигур - предложена формула:

,

где р - полупериметр, a, b, c, d - стороны четырехугольника. Эта приближенная формула верна только для вычисления площадей вписанных четырехугольников.

В древней Руси уже в XVI в. нужды землемерия, строительства, военного дела привела к созданию сочинений по геометрии. Первое дошедшее до нас сочинение такого рода, называется «О земном верстании», написано при Иване IV в 1556 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобокой трапеции.

Геометрия, элементы которой возникли в глубокой древности из практических запросов людей, является в то же время продуктом естественной потребности человека в познании, постоянном стремлении его к совершенству и красоте. Но вместе с тем, её относят к одному из самых трудных и, возможно из-за этого нелюбимых предметов.

В последнее время много говорится о недостаточной эффективности процесса обучения в школе, поскольку традиционная организация не отвечает требованиям времени, не создаёт условий для улучшения качества обучения и развития учащихся.

В связи с динамичными преобразованиями, происходящими не только в повседневной жизни людей, но и в сфере школьного образования, которое всё больше и больше приобретает профильную ориентацию, от учителя требуется дифференцированный подход к каждому классу. Учитель вынужден внедрять новые методы обучения, разрабатывать эффективную методику обучения.

Всё вышесказанное говорит об актуальности выбранной темы.

Проблема исследования состоит в том, чтобы найти, обосновать и разработать эффективные методы обучения по теме «Площади плоских фигур».

Объектом исследования служит процесс обучения геометрии в восьмом и девятом классах.

Предмет исследования - методика изучения темы «Площадь» в восьмом и девятом классах.

Целью данной работы является разработка методических рекомендаций для изучения материала, включённого в школьный курс геометрии, а также поурочного планирования, планов-конспектов уроков по данной теме.

Для достижения данной цели планируется реализовать следующие задачи:

1. Изучить существующие в настоящее время определение, формулы и свойства площадей плоских фигур.

2. Провести анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы.

3. Определить методические особенности изучаемой темы.

4. Подобрать дидактический материал.

5. Разработать планы-конспекты уроков по теме «Площади плоских фигур».

Решение этих задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1. Анализ научной и методической литературы, а также учебных пособий.

2. Решение задач по теме «Площади плоских фигур».

3. Изучение и обобщение имеющегося опыта преподавания темы «Площади плоских фигур».

4. Проектирование уроков по теме «Площади плоских фигур».

Данная работа состоит из шести параграфов, в которых рассматриваются психолого-педагогические аспекты изучения темы «Площади плоских фигур», рассматриваются особенности модульного обучения и дифференциации в обучении математике, проводится сравнительный анализ учебных пособий по геометрии, предлагается поурочное планирование и планы-конспекты уроков, даются методические рекомендации к теме «Площади плоских фигур». Завершают работу приложения: приложение 1 содержит комментарии и решения к упражнениям по теме «Площади плоских фигур» из учебного пособия «Геометрия 7 - 9» авт. Л. С. Атанасян и др., приложение 2 - макеты наглядных пособий по теме «Площади плоских фигур», а приложение 3 представляет собой описание тестовой программы.

§ 1. Психолого-педагогический аспект изучения темы «Площади плоских фигур» в средней школе

В этом параграфе рассмотрим вопросы, связанные с проблемой развития психических функций учащихся при изучении темы «Площади плоских фигур» с учетом их возрастных особенностей .

О каких бы проявлениях индивидуальных особенностей учащихся ни говорили, какие бы виды деятельности ни описывали, постоянно приходится обращаться к такому фундаментальному понятию, каким является мышление.

В психологии мышление понимается как познавательная теоретическая деятельность, теснейшим образом связанная с действием. Человек познает действительность, воздействуя на нее, понимает мир, изменяя его. Мышление не просто сопровождается действием или действие мышлением; «действие - это первичная форма существования мышления. Первичный вид мышления - это мышление в действии и в действии выявляется» [12].

Математическому, в частности геометрическому, образованию в процессах формирования мышления или умственного развития учащихся должно отводиться, и отводится особое место потому, что средства обучения геометрии наиболее эффективно воздействуют на многие основные компоненты целостной личности и, прежде всего - на мышление.

Таким образом, уделяется особое внимание развитию мышления учащегося, так как именно оно связано со всеми другими мыслительными функциями: воображением, гибкостью ума, широтой и глубиной мысли и т. д. Рассматривая развитие мышления в контексте личностно-ориентированного обучения, следует помнить, что необходимым условием для реализации такого развития является индивидуализация обучения [14]. Именно она обеспечивает учет особенностей мыслительной деятельности учащихся различных категорий.

Говоря о мышлении, нельзя не затронуть такое понятие, как интеллект. Часто говорят об интеллектуальном развитии, или о творческих способностях.

Можно привести интересные данные, полученные психологами: 20 % интеллекта ребенок приобретает к концу первого года жизни, 50 % к четырем годам, 80 % к восьми годам, 92 % закладывается до 13 лет. Это доказывает, что уже в этом возрасте возможна высокая предсказуемость будущих достижений человека, его индивидуальных особенностей [3].

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью учащихся, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру [8].

С 1-го по 6-й классы, т. е. примерно до 12 лет, заканчивается наглядно-интуинтивное изучение математики, а в период с 12 до 16 лет и далее изучается систематический курс математики, построенный в той или иной степени на дедуктивной основе. Этот период (12 - 16 лет) по Пиаже совпадает со стадией завершения развития мышления [16]. Последнее положение спорно, однако ясно, что период математического образования в 6 - 9 классах очень важен для развития мышления учащихся и недооценивать его нельзя. Именно в этом возрасте учащиеся начинают овладевать самостоятельной постановкой проблем и задач. И в этом плане изучение темы «Площади плоских фигур» предоставляет учащимся широкое поле деятельности, когда у учащихся возникает вопрос как вычислить площадь той или иной фигуры при наличии некоторых данных и условий.

По Ж. Пиаже возраст от 12 до 16 лет является периодом рождения гипотетико-дедуктивного (формального) мышления, способности абстрагировать понятие от действительности, формировать и перебирать альтернативные гипотезы и делать предметом анализа свою собственную мысль [16].

Среди видов мышления, рассматриваемых в психологии, интерес представляет так называемое дивергентное мышление, которое предполагает, что на один и тот же вопрос может быть множество одинаково правильных ответов [25]. Изучение темы «Площади плоских фигур» развивает такое мышление, так как на большое количество теорем и задач по этой теме существует несколько одинаково правильных доказательств и решений.

С понятием мышления часто соседствует понятие память. Иногда люди, далекие от математической деятельности, смешивают понятия памяти с оценкой способностей некоторых учащихся, чья память иногда заменяет некоторые параметры математических способностей.

По поводу категории «память» психология накопила много полезной информации: для успешного запоминания учебного материала необходимо не столько многократное чтение или повторение одного и того же материала, сколько желание его запомнить, осознать важность его запоминания [21]. Осмысленное запоминание прочнее механического; лучше всего и прочнее всего запоминается тот материал, над которым учащийся самостоятельно активно творчески думал и с которым он самостоятельно работал, даже если он его и не собирался запоминать. Изучая тему «Площади плоских фигур», учащиеся многие теоремы могут доказать самостоятельно, что способствует развитию осмысленного запоминания.

У учащихся восьмых и девятых классов активно развивается логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти.

Среди школьных предметов для развития логической памяти как нельзя лучше подходит геометрия и, в частности, изучение темы «Площади плоских фигур», так как по этой теме существует много логических задач.

Развивая мышление, следует постоянно помнить, что в его состав включаются как знания, так и умения мыслить, то есть действия со знаниями, поэтому, как справедливо отмечает Л. В. Виноградова: «Необходимо учить учащихся применять, использовать свои знания, т. е. строить свою умственную деятельность. Формирование этой деятельности является одной из основных задач обучения. Усвоение учениками приемов умственной деятельности как раз и предполагает умение оперировать знаниями, умение организовывать свою умственную деятельность» [11]. При изучении темы «Площади плоских фигур» у учащихся развивается способность работать с ранее полученными знаниями, как при доказательстве теорем, так и при решении задач.

Учитель должен так организовывать учебный процесс, чтобы заинтересовать ученика, привить ему интерес к предмету. «Интерес - избирательное, эмоционально окрашенное отношение человека к действительности, одна из характеристик личности» [9]. Интерес считают важнейшим побудителем любой деятельности, отсюда и значимость понимания важности этого качества личности.

Кроме термина «интерес», в психолого-педагогической литературе часто встречается такие понятия, как «мотив» или «мотивация».

Сама природа интереса имеет объективно-субъективные основы. С помощью интереса в изучение привносится личное начало, раскрываются возможности школьников.

Мотивация учения, т. е. интерес к учебному предмету, является основой осуществления любой формы дифференциации обучения.

Интерес к предмету тесно связан с ясным пониманием (восприятием) учебного материала. Психологи различают две возможности: «знания и их принятие», либо «знания и неприязнь» [23]. В отношении геометрии эта формула, безусловно, верна. Так как тема «Площади плоских фигур» при правильно организованном обучении не вызывает больших трудностей у учащихся, то является интересной для учащихся.

Геометрия способствует полноценному эмоциональному развитию ребёнка, что является очень важным в подростковом возрасте. Как показывают исследования психологов, эмоциональное развитие является основой общеинтеллектуального развития. Его составной частью является эстетическое воспитание [24]. Именно геометрия предоставляет огромные возможности для эстетического развития, эстетического воспитания. В математике достаточно чётко можно отличить красивое решение от «простого» решения. Но особенно часто понятие «красивое решение» связано с геометрическими задачами.

Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого подростки могут сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия - витамин для мозга.

§ 2. О модульной технологии и дифференциации в обучении математике

2.1 О технологии модульного обучения

Модульное обучение (как развитие блочного) - это такая организация процесса учения, при которой учащийся работает с учебной программой, составленной из модулей [15].

Применение модульного обучения не требует непременной перестройки всего учебного процесса, а введение модульных уроков можно осуществлять постепенно, сочетая имеющиеся системы с модульной. Модульное планирование позволяет лучше организовать учебный процесс: привлекает его четкость, структурность, возможность изменения содержания модулей с учетом уровня готовности класса и индивидуальных потребностей учащихся. Модульное обучение дает возможность реализовать идеи обучения Д.В. Эльконина, В.В. Давыдова, И.В. Занкова, идеи проблемности, обучения укрупненными дидактическими единицами, использовать прием погружения и т.п.

Технология модульного обучения является одним из направлений индивидуализированного обучения, позволяющим осуществлять само обучения, регулировать не только темп работы, но и содержание учебного материала; контроль знаний тоже осуществляется индивидуально, по мере изучения ребенком темы [15].

Основной объект технологии модульного обучения - учебная тема. Тема-модуль представляет собой законченный блок информации, где определяется комплексная дидактическая цель. Сам модуль может представлять содержание курса в трех уровнях: полном, сокращенном и углубленном. Материал в модулях подается одновременно на всех возможных кодах: рисуночном, числовом и символическом. Тема-модуль распадается на самостоятельные единицы познавательной учебной деятельности - уроки-модули с их интегрированными и частными дидактическими целями. Принцип динамичности и гибкости требует построение модулей таким образом, чтобы обеспечить свободное изменение их содержания: сокращение или дополнение их учебных элементов, конструирование новых модулей с учетом возможностей и потребностей учащихся, зоной их ближайшего развития [15].

Еще одной единицей учебно-познавательной деятельности является обучающий модуль.

Обучающим модулем называют автономную часть учебного материала, состоящую из следующих компонентов:

1) Точно сформулированная учебная цель (целевая программа); банк информации (собственно учебный материал в виде обучающих программ);

2) Методическое руководство по достижению целей;

3) Практические знания по формированию необходимых умений;

4) Контрольная работа, которая строго соответствует целям, поставленным в данном модуле.

Общая система знаний и качеств личности представляется как иерархия модулей.

Внедрение технологии модульного обучения, несомненно, позволяет сделать обучение личностно-ориентированным, превращает ученика из пассивного объекта обучения в активного участника образовательного процесса, способствует становлению самостоятельной, конкурентно-способной личности, повышает качество образования, требует от учителя полной психологической перестройки: принятия роли учителя-консультанта, управляющего учебным процессом, а также перестройки в планировании и организации процесса образования, что особенно трудно для учителей, имеющих большой педагогический стаж [18]. Внедрение модульной технологии требует также больших затрат, но это оправдывает результат.

2.2 О дифференциации в обучении математике

По мнению исследователей, феномен дифференциации возник во Франции в 1852 г., однако Н. К. Гончаров утверждает, что он появился значительно раньше. В России попытка дифференциации была предпринята в 1864г. В то время это явление обозначилось термином «фуркация» и означало разделение учебных планов в старших классах по циклам знаний [14]. В «Педагогической энциклопедии» (1964) приведено следующее пояснение: «Дифференцированное обучение применительно к образовательной школе представляет собой разделение учебных классов и профилей средней школы». Цели дифференциации были направлены на: 1) выбор учащимися профессии в соответствии с их наклонностями и интересами; 2) удовлетворение интереса учащихся к определенному циклу предметов; 3) повышение эффективности учебно-воспитательного процесса в школе; 4) подготовку к продолжению образования в высшей школе [32].

В концепции развития школьного математического образования сказано: «Дифференциация способствует более полному учету индивидуальных запросов учащихся, развитию их интересов и способностей, достижению целей образования. В условиях дифференцированного обучения ученик реализует право выбора предмета или уровня обучения в соответствии со своими склонностями: известная однородность интересов и уровня подготовленности учащихся облегчает и делает более эффективной работу учителя» [14]. В настоящее время широкое распространение получила уровневая дифференциация, которую связывают с планированием обязательных результатов обучения.

В методике обучения математике основную цель дифференциации видят в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей. Такая широкая трактовка понятия дифференциации охватывает понятие индивидуализации, которое трактуется как такая организация учебного процесса, при которой выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению [27].

Надо сказать, что существуют разные точки зрения на содержание понятий дифференциации и индивидуализации и на отношение между ними. Так одни соотносят дифференциацию с образованием, а индивидуализацию с обучением, другие дифференциацию рассматривают как одну из форм индивидуализации. Ряд авторов понятие дифференциации подчиняют понятию индивидуализации, другие полагают, что индивидуализация - частный случай дифференцирования.

Эффективность дифференциации (индивидуализации) в обучении зависит от того, насколько удачно сформированы типологические группы школьников. Последнее понимается в контексте адекватности оснований деления на группы по математическим способностям.

В практике обучения дифференциация реализуется в основном посредством специальных дифференцированных заданий. Примеры таких заданий можно найти в методических рекомендациях для учителя. К таким заданиям можно отнести и многовариантные самостоятельные работы, а также задания с использованием специальных карточек. Внедрение дифференциальных заданий легко осуществить при изучении темы «Площади плоских фигур», так как на эту тему существует очень много задач различного уровня сложности.

Изложим некоторые общие положения теории индивидуализации и дифференциации обучения учащихся.

В настоящее время многим ясно, что школа не может обходиться единой для всех учащихся программой по геометрии и другим школьным предметам. В течение многих лет велись и ведутся исследования, связанные с возможностями изучения различных дисциплин, с усилением их развивающего и воспитывающего влияния на личность ученика [15].

Необходимо различать индивидуальные качества личности учащегося, его богатый и неповторимый духовный мир, выражающие его отношение к внешнему миру, его эмоциональный, психический настрой, и индивидуальные способности и склонности, касающиеся изучения темы «Площадь плоских фигур».

Трудность состоит прежде всего в том, что этот уровень развития, хотя бы с какой-то степенью точности, практически учителю не известен. известно лишь, что кто-то успевает очень хорошо или очень плохо, а про остальных говорим - «средний» ученик, и это понятие «средний» совершенно не управляемое и очень расплывчатое. Представляется особенно важным усилить работу именно с этими «средними» учащимися, так как среди них, безусловно, есть такие, чей уровень развития достаточно ограничен (и их не надо «мучить»), а есть (и немало) таких, которых «жизнь сделала средними» и которые могут стать «хорошими» и даже «очень хорошими» [16]. При изучении темы «Площади плоских фигур» из-за большого количества творческих упражнений можно выделить таких «средних» учащихся.

По поводу дифференциации обучения Н. К. Гончаров пишет: «Дифференциация обучения должна обеспечить условия для всестороннего развития каждого учащегося с учетом его индивидуальных интересов, возможностей и способностей, а также социально-экономических потребностей общества. Ясно, что дифференциация и индивидуализация не решают полностью эту проблему, но могут успешно содействовать ее решению» [14].

Существуют различные виды дифференцированного обучения: внутренняя (уровневая), внешняя (профильная), широкая, поисковая и непрерывная.

В данной работе рассматривается внутренняя, или уровневая, дифференциация обучения.

Г. В. Дорофеев, Л. В. Кузнецова и др. под уровневой дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможности адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям [20]. При этом уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях.

Вопрос об уровневой дифференциации тесно связан с проблемой планирования обязательных результатов обучения или, как их сейчас называют, стандартами образования. Вместе с тем этот вопрос следует изучать комплексно и многосторонне.

Предстоит еще много сделать для разработки четких и практически используемых стандартов по всем школьным предметам.

Можно изучать и внедрять различные приемы и средства внутренней дифференциации обучения. Но основная сложность здесь связана с согласованием массовых форм обучения и индивидуального характера процессов усвоения и применения знаний, развития учащихся.

Внутренняя дифференциация - это та дифференциация обучения, которая осуществляется в условиях обычных ежедневных занятий в классе, ориентированная на всех учащихся, опирающаяся на индивидуальные возможности, потребности и способности учащихся [29].

В современных учебниках многое делается для уровневой дифференциации: появляется материал для индивидуального чтения; на полях учебника чертой выделяется обязательный для всех учащихся материал; много усилий прилагается для дифференциации системы задач и т. д.

Внедряемые элементы дифференцированного подхода активизируют стремление детей к знаниям. С уроков уходят списывание и ничегонеделание. Ученики чувствуют себя ответственными за процесс обучения, приучаются к самоорганизации учебного труда.

§ 3. Анализ методических особенностей изложения темы «Площадь» в различных учебниках геометрии

Существует много различных учебных пособий по геометрии для учащихся в школах. В перечне учебных изданий для общеобразовательных учреждений на 2004/2005 учебный год Министерством образования Российской Федерации были утверждены следующие учебные пособия по геометрии для учащихся основной школы: Александров А.Д. и др. «Геометрия 8 - 9» - Просвещение, 2002, Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7 - 9» - Просвещение, 2001 - 2002, Погорелов А. В. «Геометрия 7 - 9» - Просвещение, 2002, Смирнов В.А., Смирнова И.М. «Геометрия 7 - 9» - Просвещение, 2001 - 2002, Шарыгин И.Ф. «Геометрия 7 - 9» - Дрофа, 1998 - 2002.

Каждый из учебников имеет свои плюсы и минусы, они отличаются как содержанием, так и стилем изложения учебного материала.

Рассмотрим подробнее данные учебные пособия.

Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. «Геометрия 8 - 9»

Это учебник для углубленного изучения геометрии и содержит богатый теоретический и задачный материал. Система аксиом А. Д. Александрова позволяет изложить геометрию логично и наглядно. В книге оптимально отражены все три составляющие геометрии: логика, наглядное воображение и практика.

По данному учебнику на тему «Площадь многоугольников» выделяется 8 часов в восьмом классе и 5 часов на тему «Площадь круга и кругового сектора» в девятом классе.

Основная цель - сформировать понятие площади многоугольной фигуры как геометрической величины и равновеликих фигур, выработать у учащихся умение находить площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. «Геометрия 7 - 9»

Теоретический материал учебника изложен доступно и интересно, с учетом психологических особенностей школьников. Книга разбита на 13 глав, имеет три приложения и снабжена более чем 1000 разнообразных задач разного уровня сложности. В учебнике много оригинальных приемов изложения, которые используются авторами не ради желания блеснуть своим особым подходом, а ради стремления сделать учебник доступным учащимся и одновременно позволяет развить интерес учащихся к математике с учетом их математической подготовки. Большое внимание уделяется тщательной формулировке задач, нередко приводится несколько решений одной и той же задачи.

По данному учебнику на тему «Площадь многоугольников» выделяется 10 часов в восьмом классе и 5 часов на тему «Площадь круга и кругового сектора» в девятом классе.

Основная цель - сформировать у учащихся понятие площади многоугольника, развить умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы.

Вычисление площадей многоугольников является составной частью решения задач на многогранники в курсе стереометрии. Поэтому основное внимание уделяется формированию практических навыков вычисления площадей многоугольников в ходе решения задач.

В этой же теме учащиеся знакомятся с теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Эта теореме играет важную роль при изучении подобия треугольников. Доказательство этой теоремы от всех учащихся можно не требовать.

Решение задач на применение формул - вычисления площадей круга и его частей - подготавливает аппарат для решения задач, связанных с многогранниками и телами вращения.

При выводе формулы площади круга учащиеся на интуитивном уровне знакомятся с понятием предела.

Погорелов А. В. «Геометрия 7 - 9»

Данное пособие для учащихся было написано в обновленном и более строгом изложении традиционной геометрии в духе А. П. Киселева, учебник которого вобрал в себя многовековые традиции преподавания геометрии.

Главная задача геометрии - научить логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать.

Учебник Погорелова А. В. Является книгой для самостоятельного чтения учеником после объяснения учителем, а все методические аспекты (в том числе и различные подходы к объяснению материала) есть удел книги для учителя. Таким образом, здесь делается упор на высокую квалификацию учителя, на его методические вкусы.

По данному учебнику на тему «Площадь» в 9 классе выделяется 12 часов.

Основная цель - сформировать у учащихся общее представление о площади и умение вычислять площади фигур.

Понятие площади и ее основные свойства изучаются с опорой на наглядные представления учащихся и их жизненный опыт. В теме доказывается справедливость формулы для вычисления площади прямоугольника, на основе которой выводятся формулы площадей других плоских фигур.

Вычисление площадей многоугольников и круга является составной частью решения задач на многогранники и тела вращения в курсе стереометрии. Поэтому про изучении данной темы основное внимание уделяется формированию практических навыков вычисления площадей плоских фигур в ходе решения соответствующих задач.

Смирнов В.А. и Смирнова И. М.«Геометрия 7 - 9»

Авторы учебника «Геометрия 7 - 9» следуют традициям преподавания геометрии в школе, заложенными ещё Киселёвым А.П., но в тоже время учебник соответствует учебной программе. Авторы придерживаются аксиоматического подхода к построению курса геометрии. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Приведённая в учебнике система аксиом несколько избыточна. Такая избыточность позволяет упростить некоторые доказательства. Помимо классических разделов планиметрии в учебник включён научно-популярный материал: графы, теорема Эйлера, золотое сечение, задачи оптимизации и др. Большое внимание уделяется изучению кривых. В конце учебника прилагаются «Начала стереометрии». Основная особенность учебника в том, что сначала излагается абсолютная геометрия, т.е. не использующая аксиому параллельности, а затем вводится сама аксиома параллельности.

По данному учебнику на тему «Площадь» в 9 классе выделяется 15 часов.

Основная цель - сформировать понятие площади многоугольной фигуры как геометрической величины и равновеликих фигур, выработать у учащихся умение находить площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга.

Шарыгин И. Ф. «Геометрия 7 - 9»

Этот учебник привлекает новизной идей, свежестью и оригинальностью задач, нестандартностью решения некоторых теоретических проблем.

Характерные особенности этого курса геометрии: раннее введение осевой симметрии на плоскости; появление окружности и круга одновременно с треугольником. Главной особенностью курса является тот факт, что в учебнике не только выстраивается теория, но и изучаются методы решения геометрических задач, причем последнее является важнейшей целью обучения геометрии. На фоне содержательных задач показываются основные подходы, приемы, идеи, которые могут быть использованы при решении геометрических задач.

По данному учебнику на тему «Площадь многоугольников» выделяется 16 часов и 5 часов на тему «Площадь круга и кругового сектора» в девятом классе.

Основная цель - сформировать у учащихся общее представление о площади и умения вычислять площади фигур.

Понятие площади вводится аксиоматически, перечислением свойств величины, называемой площадью. Затем выводится формула площади прямоугольника, которая послужит опорой для выведения формул площадей треугольника и четырехугольников. Понятие площади и ее основные свойства изучаются с опорой на наглядные представления учащихся и их жизненный опыт. В теме доказывается справедливость формулы для вычисления площади прямоугольника. Это доказательство от учащихся можно не требовать.

В данном курсе планиметрии понятие площади и формулы площадей конкретных плоских фигур не только позволяют решать многие задачи на вычисления, но в значительной степени свойства площади применяются при решении задач на доказательства и построения.

Здесь же вводится важное в геометрии понятие равновеликости, которое вносит существенный вклад в логическое развитие учащихся. Во-первых, упрощается решение многих задач с его применением; во-вторых, углубляются общие представления учащихся о методологических основах геометрии.

И всё-таки из перечисленных учебных пособий остановимся на «Геометрии 7 - 9» авторов Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б., Позняк Э.Г., Юдиной И.И. Исходя из вышесказанного, этот учебник является наиболее подходящим для изучения курса геометрии в 7-9 классах, так как в нём содержится удачно подобранный теоретический и практический материал. Для углубления знаний учащихся по некоторым темам можно использовать некоторые выкладки и задачный материал из учебников других авторов.

Если изучение темы «Площадь» идёт по самому распространённому на сегодня в школах учебнику «Геометрия 7 - 9» Атанасяна Л.С. и др., то остальные учебные пособия могут быть предложены учащимся в качестве дополнительного материала для выработки умений и навыков по применению данных теорем в доказательствах, на факультативных, групповых или индивидуальных занятиях, при подготовке учащихся, желающих сдавать устный экзамен по геометрии в 9 классе.

§ 4. Примерное поурочное планирование

Планирование проведено в соответствии с учебным планом, согласно которому в VIII-IX классах отводится на изучение математики 5 часов в неделю, из них 2 часа геометрии, ориентировано на учебник Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия 7 - 9»

Итак, тема «Площадь» в VIII - IX классах:

№ урока	Тема урока
I модуль (8 класс)	Площади многоугольников
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	Понятие площади. Площадь квадрата Площадь прямоугольника. Самостоятельная работа обучающего характера Площадь параллелограмма Площадь треугольника Площадь треугольника. Решение задач. Самостоятельная работа обучающего характера Площадь трапеции Решение задач на вычисление площадей фигур Решение задач. Самостоятельная работа контролирующего характера Формула Герона. Решение задач Контрольная работа по теме «Площадь многоугольников»
II модуль (9 класс)	Площадь круга
1 2 3 4 5	Площадь правильного многоугольника Площадь круга Площадь кругового сектора Решение задач по теме «Площадь круга и его частей». Самостоятельная работа проверочного характера Контрольная работа по теме «Площадь круга и его частей»

§ 5. Методические рекомендации к изучению темы

Существенной особенностью данного курса геометрии является сравнительно раннее введение понятия площади многоугольника. Это обеспечивает ряд методических преимуществ в построении курса, о которых будет сказано ниже.

С понятием площади и формулами для вычисления площадей некоторых фигур (круг и прямоугольник) учащиеся уже встречались в 5 - 6 классах. Назначение данной главы - расширить и углубить представления учащихся об измерении площадей, вывести формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

Учителю следует обратить особое внимание на нетрадиционную для школьного курса теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. На этой теореме основано доказательство признаков подобия треугольников. Кроме того, эта теорема позволяет решить большое число задач без использования теории подобия и тригонометрических формул, связывающих стороны и углы треугольника.

5.1 Площадь многоугольника

Назначение параграфа -- дать представление об измерении площадей многоугольников, рассмотреть основные свойства площадей и вывести формулы для вычисления площадей квадрата и прямоугольника. Этот материал служит основой для вывода всех остальных формул данной главы.

Перед тем как непосредственно приступить к изучению нового материала, желательно вспомнить понятие многоугольника как части плоскости, а также понятие равенства фигур, в частности многоугольников. Для этого можно использовать следующие устные задачи:

1. Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник?

2. На рисунке ABCD -- параллелограмм, AD=2AB, AM -- биссектриса угла BAD. Докажите, что часть отрезка AM, лежащая во внутренней области параллелограмма ABCD, равна части, лежащей во внешней области.

Рис. 1.

Ввести понятие площади многоугольника и основные свойства площадей можно в форме короткой лекции с привлечением иллюстративного материала. При этом полезно отметить, что вывод формул для вычисления площадей различных многоугольников будет основан на двух свойствах площадей, аналогичных свойствам длин отрезков:

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.

2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Эти свойства принимаются на основе наглядных представлений об измерении площадей.

Наряду с двумя основными свойствами важную роль играет в дальнейшем еще одно свойство:

3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Доказательство свойства 3° является, пожалуй, самым трудным местом во всем курсе, и потому, как нам кажется, не нужно требовать от каждого ученика, чтобы он умел доказывать это свойство. Именно поэтому п. 49 учебника, содержащий доказательство свойства 3°, отмечен звездочкой. Это означает, что материал данного пункта не является обязательным. Учителю следует на конкретных примерах разъяснить свойство 3°, а более подготовленным учащимся можно предложить изучить доказательство самостоятельно по учебнику. Трудность доказательства связана с тем, что наряду со случаем, когда сторона квадрата выражается конечной десятичной дробью, приходится рассматривать более сложный случай, когда сторона квадрата выражается бесконечной десятичной дробью (иррациональным числом). Вместе с тем это единственное место во всем курсе, где возникают трудности, связанные с иррациональными значениями величин. Одно из преимуществ раннего введения понятия площади состоит в том, что такого рода трудности удается легко обойти в главе «Подобные треугольники» при доказательстве признаков подобия.

Закрепить усвоение свойств площадей можно в процессе решения задачи 445, а также задач типа:

1. Площадь параллелограмма ABCD равна S. Найдите площади треугольников ABC и ABD .

2. Площадь прямоугольника ABCD, изображенного на рисунке, равна Q. Найдите площадь треугольника AMD .

Рис. 2.

3. На рисунке 3 ABCD -- прямоугольник, точки Е и F -- середины его сторон AD и ВС. Заштрихованный квадрат представляет собой единицу измерения площадей. Найдите площадь трапеции KMNP.

Кроме того, на первом уроке рекомендуется решить задачи 449 (а, в),

450 (а, б), 451 (устно).

Дома: вопросы 1, 2 (с. 129); задачи 447, 449 (б), 450 (в), 451 (записать решение).

Рис. 3.

На втором уроке перед выводом формулы площади прямоугольника полезно провести подготовительную работу, выполнив следующие задания:

4. Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

5. На рисунке ABCD -- квадрат, MN AB, EF BC. Найдите площадь четырехугольника AFKM, если AM=CE=3 см, DE = 6 см.

Рис. 4.

При доказательстве теоремы о площади прямоугольника желательно иметь заранее заготовленный чертеж (см. рис. 181 учебника).

В классе рекомендуется решить задачи 452 (а, в), 453 (а, б).

Дома: вопрос 3 (с. 129); задачи 452 (б, г), 453 (в), 44?-,

В конце второго урока полезно провести самостоятельную работу обучающего характера.

5.2 Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Назначение параграфа -- опираясь на основные свойства площадей и теорему о площади прямоугольника, вывести формулы для вычисления площадей параллелограмма, треугольника и трапеции. Кроме того, рассмотреть теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, на которой основано доказательство ряда теорем из последующих разделов курса.

Материал этого параграфа можно распределить по урокам следующим

образом: площадь параллелограмма -- 1 урок, площадь треугольника -- 2 урока, площадь трапеции -- 1 урок. Оставшиеся два урока рекомендуется посвятить решению задач.

Перед выводом формулы площади параллелограмма полезно провести подготовительную работу, с тем, чтобы напомнить основные свойства площадей и признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. На рисунке 182 учебника отрезки ВН и СК -- высоты параллелограмма ABCD. Найдите площадь этого параллелограмма, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, BAH= 30°.

После доказательства теоремы о площади параллелограмма в классе рекомендуется решить задачи 459 (а) (устно), 459 (б, в), 464 (в).

Дома: вопрос 4 (с. 129); задачи 459 (г), 460, 464 (б).

В конце урока или в начале следующего урока желательно провести самостоятельную работу обучающего характера.

Перед изучением теоремы о площади треугольника полезно устно по заготовленному заранее чертежу решить следующую задачу:

2. Смежные стороны параллелограмма ABCD, равные 8 см и 12 см, образуют угол в 30°. Найдите площади треугольников ABC и ABD.

В процессе решения этой задачи повторяются основные свойства площадей, формула площади параллелограмма, акцентируется внимание на том, что диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Доказательство теоремы о площади треугольника и следствий из нее можно предложить учащимся провести самостоятельно (без учебника или с помощью него).

В классе рекомендуется решить задачи 468 (л, г), 471 (а), 475.

Дома: вопрос 5 (с. 129); задачи 467, 468 (б, в), 471 (б), 474 (устно).

В основе доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, лежит следствие 2° из теоремы о площади треугольника. Поэтому именно на этом следствии желательно акцентировать

внимание учащихся в процессе проверки домашнего задания (задача 474) и в процессе устного решения следующих задач:

3. На рисунке СМ -- медиана треугольника AВС, СК -- медиана треугольника АСМ. Найдите отношение площадей .

Рис. 5.

4. На рисунке точка М -- середина стороны АВ, К -- середина стороны СD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что SMBKD = SABCD

Доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, рекомендуется провести самому учителю.

Рис. 6.

На применение теоремы об отношении площадей треугольников в классе можно решить следующую задачу (устно).

5. На рисунке 7 A=K, AC = 5 см, АВ = 3 см, KN = 7 см, KM = 2 см. Найдите отношение .

6. На рисунке 8 ОА=8 см, ОВ = 6 см, ОС = 5 см, OD = 2 см, SAOB = 20 см2. Найдите SCOD .

Рис. 7.



Рис. 8.

7. Площадь одного равностороннего треугольника в три раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

8. Задача 479 (б).

Дома: вопрос 6 (с. 129); задачи 469, 472, 479 (а). В конце урока рекомендуется провести самостоятельную работу обучающего характера.

Доказательство теоремы о площади трапеции можно предложить учащимся разобрать дома самостоятельно.

На эту теорему в классе рекомендуется решить задачу 480 (а, в).

Дома: вопрос 7 (с. 129); задачи 480 (б), 518 (а).

В конце урока можно провести самостоятельную работу обучающего характера.

Уроки, отведенные на решение задач к § 2, учитель может использовать по своему усмотрению (так, например, один из уроков можно провести до изучения теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). На одном из этих уроков обязательно следует разобрать задачу 476 (теорема о площади ромба) и закрепить усвоение формулы площади ромба в процессе решения задач типа 476, 477, 478.

5.3 Решение задач

Назначение этих уроков - закрепить навыки в решении задач по теме «Площадь» и подготовиться к контрольной работе. Материал к этим урокам подбирается из нерешенных задач к §1 - 3, а также из дополнительных задач к главе VI.

Задачу 489 желательно решить на первом из этих уроков (вывод формулы площади равностороннего треугольника). На втором уроке следует провести самостоятельную итоговую работу.

5.4 Площадь правильного многоугольника

Доказательство формулы о площади правильного многоугольника можно предложить учащимся разобрать дома самостоятельно.

На эту тему в классе рекомендуется решить задачи 1094, 1095, 1096, 1098.

Дома: вопрос 5 (с. 270); задачи 1097, 1099.

5.5 Площадь круга и кругового сектора

Назначение параграфа -- дать представление о выводе формулы площади круга, получить на ее основе формулу площади кругового сектора.

В 6 классе учащиеся получили наглядное представление площади круга, познакомились с соответствующей формулой. После изучения правильных многоугольников появляется возможность в какой-то мере обосновать эти формулы. Однако следует учесть, что это обоснование нестрогое, оно основано на интуитивном представлении о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его площадь стремится к площади круга, ограниченного окружностью.

Учителю следует иметь в виду, что хотя теория пределов и используется в какой-то мере при выводе формулы площади круга, однако без соответствующего строгого обоснования, так что фактически эта формула выводится на интуитивно наглядном уровне. Учитель выводит эту формулу в соответствии с текстом учебника, а вывод формулы для вычисления площади кругового сектора учащиеся могут изучить по учебнику самостоятельно.

Для лучшего усвоения формул площади круга и кругового сектора можно решить задачу 1114 (не вычерчивая таблицы, выполнить вычисления для трех первых столбцов). Затем можно рассмотреть задачи 1116 (в), 1117 (г), 1124, 1127.

В конце урока рекомендуется провести самостоятельную проверочную работу.

5.6 Решение задач

Назначение этих уроков - закрепить навыки в решении задач по теме «Площадь круга и кругового сектора» и подготовиться к контрольной работе. Материал к этим урокам подбирается из нерешенных задач к §2, а также из дополнительных задач к главе XII. В конце урока рекомендуется провести самостоятельную итоговую работу.

Основные требования к учащимся

В результате изучения темы «Площадь плоских фигур», учитывая дифференциацию в обучении, учащиеся должны знать и уметь:

I уровень

Определение площади. Площадь прямоугольника (без доказательства). Исторические факты об измерении площадей в древности.

Площадь параллелограмма и площадь треугольника. Формула Герона для площади треугольника (без вывода). Площадь трапеции. Исторические факты: Герон Александрийский и его формула.

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника. Площадь круга и его частей (без вывода). Исторические факты о длине окружности и площади круга.

Уметь применять полученные знания при решении задач типа 447 - 454, 459 - 464, 468 - 472, 1114 - 1120.

II уровень

Определение площади. Площадь прямоугольника (без доказательства). Исторические факты об измерении площадей в древности.

Площадь параллелограмма и площадь треугольника. Формула Герона для площади треугольника (без вывода). Исторические факты: Герон Александрийский и его формула. Площадь трапеции.

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника. Площадь круга и его частей.

Уметь применять полученные знания при решении задач типа 447 - 454, 459 - 464, 474, 476 - 480, 468 - 472, 1114 - 1127.

III уровень

Определение площади. Исторические факты об измерении площадей в древности. Площадь прямоугольника. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Задача деления площадей и преобразования равновеликих фигур.

Площадь параллелограмма и площадь треугольника. Формула Герона для площади треугольника. Исторические факты: Герон Александрийский и его формула. Площадь трапеции. Вывод формулы S= для произвольного четырехугольника, у которого d1 и d2 - диагонали, а ? - угол между ними.

Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника. Площадь круга и его частей. Вычисление площади кругового сегмента.

Уметь применять полученные знания при решении задач типа 447 - 454, 459 - 464, 474, 476 - 480, 468 - 472, 1114 - 1127, а также задач повышенной трудности.