Площадь правильного многоугольника вычисляется по формуле .

Доказательство этой формулы рассмотреть на уроке по учебнику вместе с учениками.

Рис. 60.

4. Закрепление изученного материала (17 мин)

Решить на доске и в тетрадях задачи:

I уровень: 1094, 1098

II и III уровень: 1095, 1096

5. Подведение итогов (2 мин)

Домашнее задание

Выучить п. 108.

Решить задачи:

I уровень

№№ 1097, 1099;

II уровень

№№ 1097, 1099, 1100;

III уровень

№№ 1097, 1099, 1100;

Дополнительная задача: Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

Урок № 2

Тема: Площадь круга.

Цели урока:

1. Образовательная: учащиеся должны знать формулу для вычисления площади круга и уметь ее доказывать. Выработать у учащихся умение применять полученные знания в решении задач.

2. Развивающая: развить логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (6 мин)

Теоретический опрос

Выведите формулу площади правильного многоугольника (один ученик готовит ответ у доски).

Проверка домашнего задания

Проверить решение задач.

3. Объяснение нового материала (17 мин)

Сначала необходимо напомнить учащимся определение площади произвольной фигуры и дать определение понятия «круг». Затем учитель выводит формулу площади круга в соответствии с текстом учебника.

а) Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоски, находящиеся от точки О на расстоянии R.

б) Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный n - угольник А2А2…Аn, вписанный в окружность, ограничивающую круг. Очевидно, площадь S данного круга больше площади Sn многоугольника А2А2…Аn, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь Sn' круга, вписанного в многоугольник, меньше Sn, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак, .

Будем теперь неограниченно увеличить число сторон многоугольника. Имеем , где rn - радиус вписанной в многоугольник окружности. При , поэтому . Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому при . Отсюда следует, что при .

Используя формулу для вычисления площади правильного многоугольника , где Рn -периметр многоугольника А2А2…Аn. Учитывая, что при , получаем:

.

Итак, для вычисления площади S круга радиуса R мы получим формулу .

4. Закрепление изученного материала (13 мин)

Решить на доске и в тетрадях задачи:

I уровень: 1116, 1117

II уровень: 1124, 1125

III уровень: 1126, 1127

5. Подведение итогов (2 мин)

Домашнее задание

Выучить п.111.

I уровень

Решить задачи №№ 1114, 1115;

II уровень

Решить задачи №№ 1114, 1115,1118;

III уровень

Решить задачи №№ 1114, 1115,1118;

Дополнительная задача: Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 см и 24 см.

Урок № 3

Тема: Площадь кругового сектора.

Цели урока:

1. Образовательная: учащиеся должны знать формулу для вычисления площади кругового сектора и уметь ее доказывать. Выработать у учащихся умение применять полученные знания в решении задач.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1. Организационная часть (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Объяснение нового материала (6 мин)

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

На рисунке 61 изображены два сектора с дугами ALB и AMB. Первый из этих секторов заштрихован.

Выведем формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой . Так как площадь всего круга равна , то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 10, равна . Поэтому площадь S выражается формулой .

Рис. 61.

Далее необходимо ввести понятие кругового сегмента и познакомить учащихся с нахождением площади кругового сегмента.

3. Закрепление изученного материала (30 мин)

Решить на доске и в тетрадях задачи:

I уровень: 1122, 1123,

II уровень: 1126, 1127

III уровень: 1140, 1142

Полезно решить следующую задачу у доски (ее решает наиболее подготовленный ученик):

Вывести формулу площади кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, где R1<R2.

Решение:

; ; .

4. Подведение итогов (2 мин)

Домашнее задание

Выучить п.113.

I и II уровень

Решить задачи №№ 1125, 1128;

III уровень

Решить задачи №№ 1125, 1128;

Дополнительная задача: Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 1200, а радиус круга равен 12 см.

Урок № 4

Тема: Решение задач по теме «Площадь круга и его частей».

Цель урока:

1. Образовательная: формирование умений и навыков решения задач

по данной теме, подготовить учащихся к контрольной работе.

2. Развивающая: развивать логическое, абстрактное мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления; углублять и систематизировать знания по данной теме; развивать точную, лаконичную речь.

3. Воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться с мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Актуализация знаний учащихся (4 мин)

Теоретический опрос

- Что такое площадь?

- Что называют кругом?

- Как вычислить площадь круга?

- Что называют сектором?

- Как вычислить площадь кругового сектора?

3. Решение задач (32 мин)

Полезно решить на доске и в тетрадях следующую задачу, которая будет использоваться при решении задач 1105, 1117 и др. Эту задачу решает наиболее подготовленный ученик.

Задача. Докажите, что площадь S треугольника вычисляется по формуле , где Р - периметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Решение:

Пусть О - центр окружности вписанной в треугольник АВС, которая

касается сторон в точках M, N, P. Очевидно, что S=SAOC+SBOC+SAOB. Так как ОМ, ON, ОР - высоты треугольников АОС, ВОС и АОВ, то

и

.

Подставив эти значения в исходную формулу, по лучим

Рис. 62.

Далее рекомендуется всем учащимся решить задачи 1099, 1104 (д), 1105 (в), 1116 (б), 1117, 1110,1112, 11232, 1144 (б), 1138. Решая некоторые из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов.

Рекомендуется провести самостоятельную работу проверочного характера:

I и II уровень

I вариант

1) Площадь кругового сектора равна м2, а его центральный угол

равен 400. Найдите радиус сектора.

2) Найдите площади секторов, на которые разбивают круг два радиуса, если угол между ними равен 360, а радиус окружности равен 4 м.

II вариант

1) Площадь кругового сектора равна м2, а его радиус равен 6 м. Найдите центральный угол сектора.

2) Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.

III уровень

I вариант

1) Площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром, равна 12 дм2. Найдите радиусы окружностей, если один из них в два раза больше.

2) В равнобокую трапецию с боковой стороной вписан круг, касающийся всех ее сторон. Найдите площадь круга, если площадь трапеции равна 6 м2.

II вариант

1) Площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром, равна 8 см2. Найдите площади этих кругов, ограниченными этими окружностями, если радиус одной из них в три раза больше, чем радиус другой.

2) В равнобокую трапецию вписан круг, касающийся всех ее сторон. Боковая сторона трапеции равна 4 дм, а угол при большем основании равен 300. Найдите площадь круга.

4. Подведение итогов (2 мин)

Домашнее задание

Подготовиться к контрольной работе.

Урок № 5

Тема урока: Контрольная работа по теме «Площадь круга и его частей»

Цель урока: проверить усвоение материала учащимися.

Ход урока

1.Организационный момент (2 мин)

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, его цели, проводит проверку присутствующих.

2. Выполнение контрольной работы (36 мин)

I уровень

I вариант

1) Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

2) Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 27 см2.

3) Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 1500.

II вариант

1) Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

2) Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 см2.

3) Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 1200, а радиус круга равен 12 см.

II уровень

I вариант

1) Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в туже окружность.

2) Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см.

3) Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 4 м, а градусная мера дуги равна 600.

II вариант

1) Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

2) Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45? м2, а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности.

3) Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см.

III уровень

I вариант

1) Трапеция ABCD вписана в окружность (BC || AD), АВ=6 см, а BDAB, BD=8 см. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

2) Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм.

3) Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см.

II вариант

1) Трапеция ABCD вписана в окружность (BC || AD), АВ=5 см, а BDAB, BD=12 см. Найти длину окружности.

2) Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 256 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие.

3) Найдите площадь кругового кольца, заключенного между окружностями, описанной около правильного шестиугольника со стороной b, и вписанной в него.

диаметром 7,5 мм.

3. Подведение итогов (2 мин)

Домашнее задание

Выполнить задачи, с которыми ученик не справился в классе (условия задач выдаются в распечатанном виде на урок и на дом).

Заключение

В данной выпускной квалификационной работе были выполнены следующие задачи:

1. Изучить существующие в настоящее время определение, формулы и свойства площадей плоских фигур.

2. Провести анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы.

3. Определить методические особенности изучаемой темы.

4. Подобрать дидактический материал.

5. Разработать планы-конспекты уроков по теме «Площади плоских фигур».

В данной работе приведены методические рекомендации к проведению занятий по теме «Площадь плоских фигур» в восьмом и девятом классах, поурочное планирование и планы-конспекты уроков на данную тему.

В ходе выполнения работы было проведено исследование психолого-педагогического аспекта изучения темы с учетом возрастных особенностей учащихся.

В исследовании использовались различные методы: анализ учебной и учебно-методической литературы, учебных программ; обобщение и систематизация материала по теме «Площадь плоских фигур»; изучение опыта учителей преподавания данной темы; проектирование уроков по теме «Площадь плоских фигур».

Апробация разработанных уроков проводилась в 2004 учебном году, в третьей четверти, в 9 классе СОШ № 5 г. Славянска-на-Кубани под руководством учителя математики Аксёнова Анатолия Александровича. Во время апробации замечено, что предлагаемые творческие задания на уроках повышают интерес учащихся к изучаемой теме, а разноуровневые задания на уроках и на самостоятельных и контрольных работах делают их более эффективными с точки зрения проверки и более интересными для учащихся.

Данная работа содержит материал, который может быть использован начинающими учителями средних общеобразовательных школ, преподающих геометрию, в качестве методического пособия, а также студентами математических факультетов при изучении методики преподавания математики.

Литература

1. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе, 1980. № 3. - С. 30.

2. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 8 - 9. - М.: Просвещение, 1998. - 263 с.

3. Ананьев В. Г. Познавательные потребности и интересы // Ученые записки ЛГУ, 1958. № 265. - С. 14.

4. Ананьев В. Г. О соотношении способностей и одаренности. - М.: Педагогика, 1992. - 230 с.

5. Асеев А. Г. Мотивация поведения и формирование личности. - М.: Педагогика, 1976. - 361 с.

6. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7 - 9. - М.: Просвещение, 1998. - 335 с.

7. Барр Ст. Россыпи головоломок. - М.: Мир, 1978. - 65 с.

8. Богоявленский Д. И. Приемы умственной деятельности и их формирование у школьников // Вопросы психологии, 1969. № 2. - С. 32.

9. Божович Л. И. Изучение мотивации детей и подростков. - М.,1972. - 258 с.

10. Венгер Л. А. Педагогика способностей. - М., 1993. - 295 с.

11. Виноградова Л. В. Развитие мышления учащихся при обучении математике. - Петрозаводск, 1989. - 173 с.

12. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления. - М., Педагогика, 1989. - 278 с.

13. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971. - 84 с.

14. Гончаров Н. К. Дифференциация и индивидуализация образования м воспитания в современных условиях. - М.: АПИ СССР, 1971. - 320 с.

15. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.: ил.

16. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Вербум - М, 2003. - 562 с.

17. Гусев В. А. и др. Методика преподавания геометрии в средней школе. - М.: Академия, 2002. - 432 с.

18. Гусев В. А. Как помочь ученику полюбить математику? - М.: Авангард, 1994. - Ч. 1. - 208 с.

19. Данилова Е. Ф. Как помочь учащимся находить решение геометрических задач. - М.: Учпедгиз, 1961. - 82 с.

20. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе, 1990. № 4. - С. 12.

21. Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1998. - 298 с.

22. Качатинов Л. П. Формирование мотивов деятельности школьников. - М.: Знание, 1987. - 204 с.

23. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1998. - 243 с.

24. Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. - М., 1990. - 168 с.

25. Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. - М.: Педагогика, 1983. - 268 с.

26. Погорелов А. В. Геометрия 7 - 9. - М.: Просвещение, 2000. - 341 с.

27. Рубинштейнт С. Л. Основы общей психологии. - М., 1989. - 482 с.

28. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.: ил.

29. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике. - Киев: Высшая школа, 1993. - 438 с.

30. Смирнов В. А., Смирнова И. М. Геометрия 7 - 9. - М.: Просвещение, 2003. - 365 с.

31. Столяр А. А. Педагогика математики. - Минск: Высшая школа, 1984. - 128 с.

32. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990. - 276 с.

33. Утеева Р. А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. - М.: Прометей, 1997. - 164 с.

34. Холодная М. А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. - М.: РАН,1997.

35. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7 - 9. - М.: Дрофа, 1997. - 254с.

36. Щукина Г. И. Педагогические проблемы формирования познавательного интереса учащихся. - М.: Педагогика, 1968. - 243 с.

Приложение 1

В данном приложении приводятся комментарии и решения к упражнениям по теме «Площади плоских фигур» из учебного пособия «Геометрия 7 - 9» авт. Л. С. Атанасян и др.

№ 445. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.

Рис. 63.

а) б)



в)

Рис. 64.

Площади полученных фигур равны, т. к. они равносоставлены.

№ 446. Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.

Рис. 65.

а)

Рис. 66.

б)

Рис. 67.

в) Возьмем два исходных квадрата и разрежем их по диагонали. Из полученных треугольников составим один треугольник, и его площадь равна 2.

Рис. 68.

№ 447. Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что SABCD = SAMD.

Дано: ABCD - параллелограмм,

DC = CM.

Доказать, что SABCD = SAMD.



Рис. 69.

Решение:

Пусть отрезок АМ пересекает сторону параллелограмма ВС в точке Н.
Рассмотрим треугольники АВН и МНС. Так как точка М симметрична точке D относительно точки С, то МС = СD. По свойству параллелограмма

АВ = СD. Тогда в рассматриваемых треугольниках стороны АВ и МС равны. По определению параллелограмма АВ СD и ВС АD. И АВ МD, так как точка М лежит на продолжении стороны DС.

Углы НСМ и АDС равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АD и ВС секущей МD. Углы ВАН и НМС равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и МD.

Следовательно, треугольники АВН и МНС равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Параллелограмм АВСD и треугольник АМD равносоставлены (они состоят из равных треугольников АВН и МНС и четырехугольника АНСD), поэтому они имеют одинаковую площадь, т.е. SABCD = SAMD.

№ 448. На стороне АD прямоугольника АВСD построен треугольник АDЕ так, что его стороны АЕ и DЕ пересекают отрезок ВС в точках М и N, причем точка М - середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADЕ.

Дано: АВСD - прямоугольник, АМ=МЕ.

Докажите, что SABCD = SADЕ.



Рис. 70.

Решение:

Рассмотрим треугольник МЕN. Из вершины Е проведем высоту к стороне МN.

Докажем, что треугольники АВМ и МЕН равны. ЕН || АВ, тогда углы МЕН и МАВ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ЕН и АВ секущей АЕ. Углы ЕМН и АМВ равны как вертикальные. По условию АМ = МЕ, значит треугольники АВМ и МЕН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Аналогично доказывается, что треугольники ЕНN и NСD равны.

Таким образом, прямоугольник АВСD и треугольник АЕD равносоставлены (они состоят из равных треугольников АВМ и МНЕ, DСN и НNЕ и четырехугольника АМN D), поэтому SABCD = SADЕ.

№ 449.Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) дм; в) 3 м.

Дано: квадрат, а - сторона квадрата, а) а=1,2 см; б) дм; в) 3 м. Найти площадь квадрата.

Решение:

S =а2

а) S = (1,2)2= 1,44 (см2)

б) S = ()2= (дм2)

в) S = (3)2=18 (м2)

Ответ: а) 1,44 см2; б) дм2; в) 18 м2.

№ 450. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см2;

б) 2,25 дм2; в) 12 м2.

Дано: квадрат, S - площадь квадрата,

а) 16 см2; б) 2,25 дм2; в) 12 м2.

Найти сторону квадрата.

Решение:

а) (см)

б) (дм)

в) (м)

Ответ: а)4 см; б)1,5 дм; в)2 м.

№ 451. Площадь квадрата равна 24 см2. выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах.

Решение:

а) 1см2=100 мм2 24 см2= 2400 мм2

б) 1дм2 = 100 см2 24 см2 = 0,24 дм2

Ответ: а) 2400 мм2; б) 0,24 дм2.

№ 452. Пусть a и b - смежные стороны прямоугольника, а S - его площадь. Вычислите: а) S, если a = 8,5 см и b = 3,2 см; б) S, если a =2см, b=3

см; в), если a =32 см, S = 684,8 см2; г) a, если b =4,5 см, S =12,15 см2.

Дано: a и b - стороны прямоугольника.

Вычислите:

а) S, если a = 8,5 см и b = 3,2 см;

б) S, если a =2см, b = 3см;

в) b, если a =32 см, S = 684,8 см2;

г) a, если b =4,5 см, S =12,15 см2.

Решение:

S=

,

а) S=27,2 (см2)

б) S = (см2)

в) (см)

г) (см)

Ответ: а) 27,2 см2; б) см2; в) 21,4 см; г) 3 см.

№ 453. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую уменьшить в два раза?

Дано: прямоугольник, a и b - стороны прямоугольника.

Найти , если: а) а1 = 2а, b1=b;

б) а1 =2а, b1 =2b;

 в) a1 =2a, b1 =b.

Решение:

а) =

б) =

в) =

Ответ: а) площадь прямоугольника увеличится в два раза; б) площадь прямоугольника увеличится в четыре раза; в) площадь прямоугольника не изменится.

№ 454. Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.

Дано: прямоугольник, a и b - стороны прямоугольника.

Найти а и b, если: а) S=250 см2, а=2,5b;

б) S=9 м2, P=12 м.

Решение:

а) S=, по условию a=2,5b. Тогда S = , отсюда

.

(см) и (см).

б) S= ,

2(a + b) = 12

a + b =6

a = 6-b, тогда b(6-b) = 9

6b - b2 = 9

b2 - 6b+9 = 0

(b - 3)2 = 0

b = 3

Таким образом, b = 3 м и а = 6 - 3 =3 м.

Ответ: а) 10 см, 25 см; б) 3 м, 3 м.

№ 455. Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина - 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?

Решение:

1) Найдем площадь пола: S= 5,5 (м2)

2) Найдем площадь одной дощечки паркета: S1=(см2) или S1=0,015 (см2).

3) Определим количество дощечек, необходимое для покрытия пола: 33.

Ответ: 2200 дощечек.

№ 456. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими часть стены, имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м.

Решение:

1) Найдем площадь стены: S= 3 (м2).

2) Найдем площадь одной кафельной плитки: S1=(см2) или

S1=0,0225 (см2).

3) Определим количество кафельных плиток, необходимое для покрытия стены: 8,1.

Ответ: 360 штук.

№ 457. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м.

Решение:

1) Найдем площадь прямоугольника: S= 8 (м2)

2) Найдем сторону квадрата по следующей формуле:, (м)

Ответ: 12 м.

№ 458. Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Решение:

1) Определим периметр прямоугольника: Р = 2(220+160)= 760 (м)

2) По условию периметры квадрата и прямоугольника равны, тогда найдем сторону а квадрата по следующей формуле: , (м)

3) Зная сторону квадрата, найдем его площадь: (м2)

4) Найдем площадь прямоугольника: (м2)

5) Очевидно, что площадь квадрата больше площади прямоугольника. Определим разность площадей: 36100 - 35200 = 900 (м2).

Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника на 900 м2.

№ 459. Пусть а - основание, h - высота, а S - площадь параллелограмма. Найдите: а) S, если а = 15 см, h = 12 см; б) а, если S =34 см2, h = 8,5 см; в) а, если S = 162 см2, h =; г) h, если h = 3а, S =27.

Решение:

Воспользуемся формулой площади параллелограмма: где а - основание параллелограмма, а h - его высота. Отсюда имеем:

а) S= 15

б)

в)

г)По условию h=3а, тогда а = и, значит,

.

Ответ: а)180 см2; б) 4 см; в) 18; г) 9.

№ 460. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Дано: ABCD - параллелограмм, BD - диагональ, BDАВ, BD = 13 см,

АВ = 12 см.

Найти SABCD.

Решение:

По условию BDАВ, тогда BD есть высота, проведенная к АВ. Значит, SABCD= , тогда SABCD=(см2).

Ответ: 156 см2.

№ 461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 300. Найдите площадь параллелограмма.

Дано: ABCD - параллелограмм,

АВ = 12 см, AD = 14 см, .

Найти SABCD.

Рис. 71.

Решение:

Воспользуемся формулой площади параллелограмма: где AD - основание параллелограмма, а BH - его высота.

Рассмотрим треугольник АВН, так как ВН - высота, то треугольник прямоугольный. Тогда по свойству прямоугольного треугольника , как катет, лежащий против угла в 300.

(см),

SABCD=14(см2) .

Ответ: 84 см2.

№ 462. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов 1500. Найдите площадь ромба.

Дано: ABCD - ромб, АВ = 6 см, .

Найдите SABCD.



Рис. 72.

Решение:

Из определения ромба имеем: АВ = ВС = CD = AD = 6 см. Так как ромб является параллелограммом, то противоположные углы равны. Тогда

.

ВН - высота ромба.

Из прямоугольного треугольника ВСН: как катет, противолежащий против угла в 300. Значит, ВН = 3 см.

По формуле площади параллелограмма SABCD=. Тогда SABCD=6(см2).

Ответ: 18 см2.

№ 463. Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 300. найдите площадь параллелограмма.

Дано: ABCD - параллелограмм, BD - диагональ, DC = 8,1 см, BD = 14 см, .

Найдите SABCD.



Рис. 73.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD: как катет лежащий против угла в . Тогда ВН=7 см. Значит,

см2.

Ответ: 56,7 см2.

№ 464. Пусть a и b - смежные стороны параллелограмма, а h1 и h2 - его высоты. Найдите: а) h2, если a =18 см, b = 30 см, h1= 6 см, h2> h1; б) h1, если

a =10 см, b = 15 см, h2= 6 см, h2> h1; в) h1 и h2, если S= 54 см2, a =4,5 см, b = 6 см.

Рис. 74.

Решение:

По теореме о площади параллелограмма имеем: или.

Отсюда , .

а) (см)

б)(см)

в) (см), (см)

Ответ: а) 10 см; б) 4 см; в) 9 см, 12см.

№ 465. Острый угол параллелограмма равен 300, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Дано: ABCD - параллелограмм, h1 и h2 - высоты, h1=3 см, h2 = 2 см, .

Найдите SABCD.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН: как катет, лежащий против угла в 300. Тогда АВ = 2ВН

АВ=4 (см).

В параллелограмме противоположные стороны равны, тогда DC= 4 см.

(см2).

Ответ: 12 см2.

№ 466. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если его большая сторона равна 15,2 см, а один из его углов равен 450.

Дано: ABCD - параллелограмм, BD - диагональ, BD=AB, AD=15,2 см, .

Найдите SABCD.

Рис. 75.

Решение:

SABCD

Рассмотрим треугольник АВD. По условию ВD = АВ, значит, этот треугольник является равнобедренным. Тогда . ВН - высота этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН: , тогда он является прямоугольным равнобедренным и АН=ВН. Так как треугольник АВD - равнобедренный, то АН = НD = 7,6 см.

SABCD=(см2).

Ответ: 115,52 см2.

№ 467. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.



Рис. 76.

Решение:

Рассмотрим квадрат и ромб, имеющие одинаковые периметры, тогда они имеют одинаковые длины сторон. Пусть длина их сторон равна а. Тогда площадь квадрата вычисляется по формуле , а площадь ромба - по формуле , где h - высота ромба . h <а, это следует из прямоугольного треугольника, где а - гипотенуза и h - катет. Значит, площадь квадрата больше площади ромба.

Ответ: площадь квадрата больше.

№ 468. Пусть а - основание, h - высота, а S - площадь треугольника. Найдите: а) S, если а = 7 см, h = 11 см; б) S, если а = см, h = 5 см; в) h, если S= 37,8 см2, а = 14 см; г) а, если S = 12 см2, h= см.

Решение:

Воспользуемся формулой площади треугольника: где а - основание треугольника, а h - его высота. Отсюда имеем:

а) (см2)

б) (см2)

в) (см)

г) (см)

Ответ: а) 38,5 см2; б) см2; в)5,4 см; г)см.

№ 469. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высо-

ту, проведенную к стороне ВС.

Дано: АВС - треугольник, АН и СЕ - высоты, АВ= 16 см, ВС = 22 см, СЕ = 11 см.

Найти АН.

Рис. 77.

Решение:

, .

Значит, (см).

Ответ: 8 см.

№ 470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

Дано: АВС - треугольник, АН и СЕ - высоты,

АВ= 16 см, ВС = 22 см, СЕ = 11 см.

Найти АН.

Решение:

Рис. 78.

, .

Значит, (см).

Ответ: 5,625 см.

№ 471. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.

Решение:

По следствию к теореме о площади треугольника известно, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Значит,

а) (см2)

б) (дм2)

Ответ: а) 22 см2; б) 1,8 дм2.

№ 472. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. найдите катеты, если отношение их длин равно

Дано: прямоугольный треугольник, a и b - катеты,

S = 168 см2, .

Найдите a и b.

Рис. 79.

Решение:

S =

Из условия известно, что . Тогда и

(см)

Ответ: 24 см и 12 см.

№ 473. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.

Дано: , m || AC,.

Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.

Рис. 80.

Решение:

По условию все треугольники имеют одно основание АВ, а их вершины лежат на прямой параллельной основанию. Так как все точки каждой из параллельных прямых равноудалены от другой прямой, то высоты этих треугольников имеют одну длину h. Значит, все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади, и они выражаются одной формулой: .

№ 474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Дано: АВС - треугольник, ВН - медиана.

Сравнить и

Решение:



Рис. 81.

Так как ВН - медиана, то АН = НС. Треугольники АВН и ВНС имеют одну и ту же высоту h. Значит, площади этих треугольников равны.

№ 475. Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Рис. 82.

№ 476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площади ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

Дано: АВСН - ромб, АС и ВН - диагонали,

а) АС =3,2 дм, ВН = 14 см; б) АС= 4,6 дм, ВН=2 дм.

Доказать, что .

Найти .

Рис. 83.

Решение:

В ромбе все стороны равны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, данный ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников. Значит,

.

а) (см2)

б) (дм2)

Ответ: а) 224 см2; б) 4,6 дм2.

№ 477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см2.

Дано: АВСН - ромб, АС и ВН - диагонали,

АС = 1,5ВН, = 27 см2.

Найдите АС и ВН.



Рис. 84.

Решение:

Из задачи № 476 известно, что .

По условию задачи АС = 1,5ВН, тогда . Отсюда . Значит, (см).

Следовательно, (см).

Ответ: 6 см, 9 см.

№ 478. В выпуклом многоугольнике диагонали взаимноперпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

Дано: АВСН - выпуклый четырехугольник, АС и ВН - диагонали,.

Доказать, что .



Рис. 85.

площадь плоский фигура тема

Решение:

Пусть О - точка пересечения диагоналей четырехугольника. По условию задачи известно, что . Тогда данный четырехугольник состоит из четырех прямоугольных треугольников:

.

По свойству площадей:

№ 479. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите: а) SADE, если АВ= 5 см, АС = 6 см, АD = 3 см, АЕ = 2 см, SAВС = 10 см2; б) АD, если АВ= 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, SAВС = 10 см2, SADE = 2 см2.



Рис. 86.

Решение:

Воспользуемся теоремой об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу:

. Отсюда и

.

а) (см2);

б) (см).

Ответ: а) 2 см2; б) 2,4 см.

№ 480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если а) АВ = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см; б) D = 300, АВ = 2 см, CD = 10 см, DА = 8 см; в) ВСАВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

Дано: ABCD - трапеция, АВ и CD - основания, ВН - высота.

а) АВ = 21 см, CD = 17 см, ВН=7 см;

б) D = 300, АВ = 2 см, CD = 10 см, DА = 8 см;

в) ВСАВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

Рис. 87. Найти .

Решение:

а) (см2)

б) Проведем еще одну высоту АЕ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE: как катет лежащий против угла в 300. Значит, (см). Тогда (см2)

в) Если боковая сторона трапеции перпендикулярна ее основанию, то эта сторона совпадает с высотой трапеции, тогда

(см2).

Ответ: а) 133 см2; б) 24 см2; в) 72 см2.

№ 481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 1350.

Дано: ABCD - прямоугольная трапеция, ВС и AD - основания, АВ = ВС = 6 см, С = 1350.

Найти .



Рис. 88.

Решение:

Проведем высоту СН, она равна боковой стороне АВ.

Так как С = 1350 , то D = 450.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH, так как D = 450, то он является равнобедренным и СН = HD = АВ = 6 см.

АВСН - прямоугольник, поэтому АН = ВС = 6 см.

AD = АН + HD

AD = 6 + 6 = 12 (см)

(см2).

Ответ: 54 см2.

№ 482. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 1350, а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Дано: АВСЕ - трапеция, АВ = СЕ,

, ВН - высота,

АН = 1,4 см, НЕ = 3,4 см.

Найдите площадь трапеции

Рис. 89.

Решение:

АЕ = 1,4 + 3,4 = 4,8 (см)

Из того, что следует, что . Тогда треугольник АВН - прямоугольный равнобедренный и АН = ВН = 1,4 см.

В данной трапеции проведем высоту СМ. ВСМН - прямоугольник и

ВС = НМ.

По условию трапеция равнобедренная, тогда АН = МЕ и НМ = АЕ - 2АН.

Значит, ВС = см.

Следовательно, (см2).

Ответ: 4,76 см2.

№ 1114. Перечертите таблицу и, используя формулу площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением .

Решение:

S	12,56	78,5	8	0,26	49?	9258,26	9,42	6,25
R	2	5	1,69		7	54,3		1,41

№ 1115. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз.

Решение:

а) если R увеличить в k раз, то S - увеличится в k2 раз.

б) если R уменьшить в k раз, то S - уменьшится в k2 раз.

№ 1116. Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами a и b; б) прямоугольного треугольника с катетом a и противолежащим углом ; в) равнобедренного треугольника с основанием a и высотой h, проведенной к основанию.

а) Дано: ABCD - прямоугольник вписан в круг (О;R),

АВ = а, ВС = b.

Найти S круга.

Решение:

Рис. 90.

б) Дано: АВС - вписан в круг (O;R), .

Найти S круга.

Решение:

в)

Дано: - вписан в круг, АВ = ВС, АС = а, , ВН = h.

Найдите S круга.

Рис. 91.

Решение:

Если АО = R, то ОН = h.

По теореме Пифагора: АО2 = ОН2 + АН2



Ответ: а) ; б) ; в) .

№ 1118. Диаметр основания царь - колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола.

Дано: круг(O;R), d= 6,6 м.

Найти S круга.

Рис. 92.

Решение:

м2.

Ответ: 34,2 м2.

№ 1119.Длина окружности цирковой арены равна 41м. Найдите диаметр и площадь арены.

Дано: круг(O;R), С= 41 м.

Найти S и d круга.

Решение:

, так как 2r=d, то м;

Ответ: 13,02 м и 133,84 м2.

№ 1120. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, R1<R2. Вычислите площадь кольца, если R1= 1,5 см, R2= 2,5 см.

Дано: круг(O;R1), круг(O;R2),

R1=1,5 см, R2=2,5 см.

Найти S кольца.

Решение:

или см2

Ответ: .

№ 1121. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?

Дано: круг(O;R1), круг(O;R2),

S=314 мм2, АВ= 18,5 мм

Найти d.

Рис. 93.

Решение:

10 - 9б25 = 0,75 мм - слой нужно снять.

Ответ: 0,75 мм.

№ 1122. Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка?

Дано: ОА = 3 мм, d =1 м, 1 м2 - 0,8 дм3

Найти V песка.



Рис. 94.

Решение:

Sб-Sм=S

Sб=??OB2=??42=16? (м2)

Sм=??ОА2=??32=9? (м2)

Таким образом, S= 7 (м2); V = 7(дм3)

Ответ: дм3.

№ 1123. Из круга радиуса r вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь оставшейся части круга.

Дано: окружность (O;R), ABCD - квадрат.

Найти Sост.

Решение:

Так как ABCD - квадрат, вписанный в круг, то

Ответ: .

№ 1124. На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3, и 4. Найдите площадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец мишени.

Решение:

Ответ: 16.

№ 1125. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Решение:

S3 - площадь полукруга, построенного на гипотенузе, S1 и S2 - площади полукругов, построенных на катетах.

По теореме Пифагора .

Поэтому .

№ 1126. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 600. Найдите площадь оставшейся части круга.

Дано: круг (О; 10), АОВ=600.

Найти Sост.

Решение:

Sост=Sкруга-SABO

Sкруга=100?

см2.

Ответ: 261,7 см2.

№ 1127. Площадь сектора с центральным углом 720 равна S. Найдите радиус сектора.

Решение:

Ответ: .

Приложение 2

Плакат 1. Формулы площади

S=a2, где a - сторона квадрата	S=c2, где с - диагональ квадрата	S=ab, где a и b - стороны прямоугольника
S=c2sin?cos?, где с - диагональ прямоугольника, ? - угол ее наклона к стороне	S=c2sin?, где с - диагональ прямоугольника, ? - угол между диагоналями	S=ah, где а - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне
S=absin?, где а и b - стороны параллелограмма, ? - угол между ними	S=cdsin?, где с и d - диагонали параллелограмма, ? - угол между ними	S=cd, где c и d - диагонали ромба
S=a2sin?, где а - сторона ромба, ? - угол при вершине ромба	S=ah, где а - сторона треугольника,h - высота, проведенная к этой стороне	S=absin?, где а и b - стороны треугольника,? - угол между ними
S=ab, где а и b - катеты прямоугольного треугольника	S=rp, где р - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности	S=, где a, b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности
S=, где a, b, c - стороны треугольника, р - его полупериметр	S=(a+b)h, где a и b - основания трапеции, h - ее высота	S=?R2, где R - радиус окружности
S=cdsin?, где с и d - диагонали четырехугольника, а ?- угол между диагоналями	S=?R2, где R - радиус, а ?- центральный угол (в радианах)	S=R2(?-sin?), где R - радиус, а ? - центральный угол в радианах

Плакат 2. Площадь треугольника

О - центр окружности, описанной около треугольника АВС, О1 - центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Найти площадь АВС.

Плакат 3. Площадь четырехугольника

О - центр окружности, вписанной в четырех угольник ABCD.

Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Параллелограмм	Ромб	Трапеция
	Дано: АС=24.

Приложение 3

В многочисленных публикациях, как в нашей стране, так и за рубежом отмечается, что компьютер может быть использован при изучении естественно-математических и гуманитарных дисциплин для решения самых различных задач: выполнения сложных вычислительных операций, анализа результатов учебных экспериментов, построения и интерпретации математических моделей физических, химических и других явлений и процессов. Он может выполнять функции информационной системы, банка данных, автоматизированного справочника. Указываются и многие другие возможности применения компьютеров в учебном процессе.

Отмечается, в частности, что компьютеры могут быть с успехом использованы на всех стадиях учебного занятия: они оказывают значительное влияние на контрольно-оценочные функции урока, придают ему игровой характер, способствуют активизации учебно-познавательной деятельности учащихся. Компьютеры позволяют добиться качественно более высокого уровня наглядности предлагаемого материала, значительно расширяют возможности включения разнообразных упражнений в процесс обучения, а непрерывная обратная связь, подкрепленная тщательно продуманными стимулами учения, оживляет учебный процесс, способствует повышению его динамизма, что, в конечном счете, ведет к достижению едва ли не главной цели собственно процессуальной стороны обучения - формированию положительного отношения учащихся к изучаемому материалу, интереса к нему, удовлетворения результатами каждого локального этапа в обучении.

Предлагаемая контролирующая программа по теме «Площади плоских фигур», в сущности, представляет собой тест.

Тест рассчитан примерно на один урок, в течение которого ученики должны справиться с 10 заданиями. Время на каждое задание ограничено (4 минуты на задание ). Вопросы выбираются случайным образом из двадцати. Если учитель не успел просмотреть данные после тестирования, то они автоматически заносятся в электронный журнал, который можно открыть и просмотреть. Причем изменять данные без соответствующей подготовки невозможно, что препятствует подмене результатов теста. Таковы основные преимущества электронной контролирующей программы.

Однако важно отметить, что основной формой организации учебного процесса был и остается урок, и не следует забывать об этом, доверяя образование персональному компьютеру. Как бы ни были развиты информационные технологии, компьютер не заменяет учителя, а является хорошим помощником в достижении высоких и прочных результатов обучения.

Задания к тесту

1) Стороны параллелограмма 6 см и 5 см, а один из углов параллелограмма равен 1500. Найдите площадь параллелограмма.

1. см2

2. см2

3. 15 см2

4. 30 см2

Ответ: 3.

2) Сторона ромба равна 20 см, а одна из диагоналей равна 24 см. Найдите площадь ромба.

1. 480 см2

2. 540 см2

3. 768 см2

4. 384 см2

Ответ: 4.

3) Угол при основании равнобедренного треугольника равен 300, а площадь треугольника равна см2. Найдите боковую сторону треугольника.

1. см

2. см

3. см

4. 6 см

Ответ: 4.

4) Стороны треугольника равны 8 см, 6 см, 4 см. Найдите меньшую высоту треугольника.

1. 4 см

2. см

3. см

4. см

Ответ: 2.

5) Диагональ квадрата равна см. Найдите его площадь.

1. 73,5 см2

2. см2

3. 67, 5 см2

4. 78 см2

Ответ: 1.

6) Высота правильного треугольника равна h. Найдите площадь этого треугольника.

1.

2.

3.

4.

Ответ: 3.

7) В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно см, а один из углов трапеции равен 600.

1. 180 см2

2. см2

3. 144 см2

4. см2

Ответ: 4.

8) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 24 см. При каком значении высоты площадь треугольника наибольшая?

1. 12 см

2. см

3. см

4. см

Ответ: 2.

9) Стороны параллелограмма равны 5 см и см, а один из углов равен 1200. Найдите площадь параллелограмма.

1. 20 см2

2. 30 см2

3. см2

4. см2

Ответ: 2.

10) Сторона ромба равна 25 см, а одна из диагоналей равна 48 см. Найдите площадь ромба.

1. 600 см2

2. 1200 см2

3. 336 см2

4. см2

Ответ: 3.

11) Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 1200, а основание равно см. Найдите площадь треугольника.

1. см2

2. см2

3. 42 см2

4. 48 см2

Ответ: 1.

12) Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите большую высоту треугольника.

1. см

2. см

3. см

4. см

Ответ: 2.

13) Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна 16 см2. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. см

2. см

3. 12 см

4. 8 см

14) Площадь равностороннего треугольника равна см2. Найдите сторону этого треугольника.

1. 4 см

2. см

3. см

4. см

Ответ: 3.

15) В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 600.

1. 24 см2

2. см2

3. 27 см2

4. см2

Ответ: 4.

16) В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона равна 6 см, а один из углов трапеции равен 600.

1. 24 см2

2. см2

3. 27 см2

4. см2

Ответ: 1.

17) ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника АВО равна 7,5 см2.

1. 22,5 см2

2. 60 см2

3. 15 см2

4. 30 см2

Ответ: 4.

18) Дано: ?АВС - прямоугольный, С=900, ВС=8 см, АВ=10 см, CD - высота. Найти S?BDC: S?ADC.

1. 1,5

2.

3.

4.

Ответ: 4.

19) CDEK - параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника КОЕ равна 13,5 дм2.

1. 40,5 дм2

2. 27 дм2

3. 54 дм2

4. дм2

Ответ: 3.

20) ABCD - трапеция, ВС || AD, О - точка пересечения ее диагоналей, причем АС ВD, S?BOC=см2, S?AOD=см2, AB=CD. Найдите площадь треугольника АОВ.

1. см2

2. см2

3. см2

4. 20 см2

Ответ: 3.

Листинг программы

unit U_bd;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

ExtCtrls, DBCtrls, Grids, DBGrids, Db, DBTables, StdCtrls;

type

TF_Bd = class(TForm)

DataSource1: TDataSource;

Table1: TTable;

DBGrid1: TDBGrid;

DBNavigator1: TDBNavigator;

Button1: TButton;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure FormShow(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

F_Bd: TF_Bd;

implementation

uses U_main,UPsw;

{$R *.DFM}

procedure TF_Bd.FormCreate(Sender: TObject);

begin

Table1.DatabaseName:=ExtractFileDir(Application.ExeName);

Table1.TableName:='tabl1.db';

Table1.Active:=true;

end;

procedure TF_Bd.Button1Click(Sender: TObject);

begin

F_Bd.Close;

FMain.Show;

end;

procedure TF_Bd.FormShow(Sender: TObject);

begin

FPsw.ShowModal;

end;

end.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

StdCtrls,Unit2, ExtCtrls, ComCtrls, Buttons, OleCtrls, SHDocVw, Db,

DBTables;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

BitBtn1: TBitBtn;

BitBtn2: TBitBtn;

ProgressBar1: TProgressBar;

Timer1: TTimer;

RadioGroup1: TRadioGroup;

Label3: TLabel;

Panel1: TPanel;

WebBrowser1: TWebBrowser;

Label4: TLabel;

DataSource1: TDataSource;

Table1: TTable;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure FormShow(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure Timer1Timer(Sender: TObject);

procedure BitBtn2Click(Sender: TObject);

procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

sfam1,sname1,skl1:string;

k,i,j,sch,n,n1:integer;

s,ss,so,s1:string;

f1,f2,f3: TextFile;

m_otv:array of integer ;

tv:array of integer;

b: boolean;

implementation

uses U_main;

{$R *.DFM}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm1.FormShow(Sender: TObject);

begin

Form2.ShowModal;

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

assignFile(f3,'n_file.txt');

reset(f3);

read(f3,n);

closefile(f3);

setlength(tv,n-5);

SetLength(m_otv,n);

AssignFile(f1,'otv.txt');

REset(f1);

for i:=0 to n-1 do

readln(f1,k,m_otv[i]);

CloseFile(f1);

randomize;

k:=random(n);

k:=k+1;

for i:=0 to n-9 do

begin

tv[i]:=k;

b:=true;

while b do

begin

j:=0;

k:=random(n);

k:=k+1;

b:=false;

while j<=i do

if tv[j]=k then begin b:=True; j:=i+1; end

else Inc(j);

end;

end;

sch:=0;

j:=1;

k:=tv[j-1];

s1:='вопросы\q'+inttostr(k)+'.htm';

WebBrowser1.Align:=alClient;

WebBrowser1.Navigate(ExtractFilePath(ParamStr(0))+s1);

ProgressBar1.Position:=0;

Timer1.Enabled:=True;

inc(j);

end;

procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);

begin

if ProgressBar1.Position=ProgressBar1.Max then

begin

Timer1.Enabled:=False;

ProgressBar1.Position:=0;

i:=radiogroup1.ItemIndex+1;

if i=m_otv[k] then

begin

sch:=sch+1;label3.Caption:='верно'; end

else label3.Caption:='не верно';

so:=inttostr(k)+' - '+ inttostr(i)+' '+inttostr(m_otv[k]);

writeln(f2,so);

radiogroup1.ItemIndex:=-1;

if j<=n-10 then

begin

k:=tv[j];

s1:='вопросы\q'+inttostr(k)+'.htm';

WebBrowser1.Align:=alClient;

WebBrowser1.Navigate(ExtractFilePath(ParamStr(0))+s1);

inc(j);

end

else

begin

label3.Caption:='';

label2.Caption:='';

Bitbtn1.Caption:='все!';

bitbtn2.Enabled:=true;

ProgressBar1.Position:=0;

Timer1.Enabled:=False;

Label4.Caption:='правильных ответов - '+inttostr(sch);

s1:='правильных ответов - '+ inttostr(sch);

writeln(f2,s1);

closefile(f2);

end;

end

else

ProgressBar1.Position:=ProgressBar1.Position+1;

end;

procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);

begin

Timer1.Enabled:=False;

ProgressBar1.Position:=0;

i:=radiogroup1.ItemIndex+1;

so:=inttostr(k)+' - '+ inttostr(i)+' '+inttostr(m_otv[k-1]);

writeln(f2,so);

if i=m_otv[k-1] then

begin

sch:=sch+1;label3.Caption:='верно'; end

else label3.Caption:='неверно';

if j<=n-10 then

begin

RadioGroup1.ItemIndex:=-1;

k:=tv[j-1];

s1:='вопросы\q'+inttostr(k)+'.htm';

WebBrowser1.Align:=alClient;

WebBrowser1.Navigate(ExtractFilePath(ParamStr(0))+s1);

ProgressBar1.Position:=0;

Timer1.Enabled:=True;

inc(j);

end

else

begin

Bitbtn1.Caption:='все!';

bitbtn1.Enabled:=true;

bitbtn2.Enabled:=False;

ProgressBar1.Position:=0;

Timer1.Enabled:=False;

Label4.Caption:='правильных ответов - '+inttostr(sch);

s1:='правильных ответов - '+ inttostr(sch);

writeln(f2,s1);

closefile(f2);

s:=sfam1+' '+sname1;

Table1.DatabaseName:=ExtractFileDir(Application.ExeName);

Table1.TableName:='tabl1.db';

Table1.Active:=true;

Table1.Append;

n1:=sch;

Table1.FieldByName('Fam').AsString:=s;

Table1.FieldByName('Prav_otv').AsInteger:=n1;

Table1.Post;

Table1.Active:=false;

end;

end;

procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);

begin

Fmain.show;

close;

end;

end.

unit Unit2;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

StdCtrls;

type

TForm2 = class(TForm)

Button1: TButton;

Label1: TLabel;

Efam: TEdit;

Label2: TLabel;

Ename: TEdit;

Label3: TLabel;

Ekl: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);