Задачи с двумя кругами

Цель работы над задачами с двумя кругами - развить умение классифицировать предметы по двум свойствам, понимать и применять логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и.

У учащихся в руках тот же раздаточный материал, но теперь они уже будут работать с двумя кругами или обручами разных цветов с пересекающимися областями:

синий

красный

Перед решением задач необходимо выполнить ряд упражнений для выявления замкнутых областей, ограниченных проведенными окружностями. Лучше всего такие упражнения проводить на групповых занятиях с использованием обручей.

Учитель:

Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего, но вне красного круга.

Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри красного, но вне синего круга.

Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего и внутри красного кругов.

Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне синего и вне красного кругов.

Ученики по очереди выполняют задания, наблюдая друг за другом. При выполнении этих упражнений в первый раз ошибки встречаются довольно часто. В случае ошибок важно добиться правильного объяснения от других учеников и понимания этого объяснения всеми учениками.

Учитель:

Обведите границу области внутри синего, но вне красного круга.

Обведите границу области внутри красного, но вне синего круга.

Обведите границу области внутри синего и внутри красного кругов.

Обведите границу области вне синего и вне красного кругов.

После успешного выполнения подготовительных упражнений можно приступить к решению задач.

В красный круг поместите все красные фигуры, а в синий круг поместите все треугольные фигуры.

Так же как и при решении задач с одним кругом, ученики случайным образом выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их в одну из областей. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка обсуждается со всей группой. Если в процессе выполнения задачи кто-то из учеников совершил ошибку, которая осталась незамеченной, то учитель может оставить ее до последнего обсуждения, но при решении первых задач учителю лучше участвовать в игре вместе со всеми и самому произнести: "Стоп". При первом решении задачи полезно также просить каждого ученика объяснить, почему он кладет фигуру именно на это место.

Ученик:

Красный круг должен лежать внутри красного круга, потому что он красный, но вне синего круга, потому что он не треугольный.

Синий квадрат должен лежать вне обоих кругов (вне красного - потому что он не красный, вне синего - потому что не треугольный).

Красный треугольник должен лежать внутри обоих кругов (внутри красного - потому что он красный, внутри синего - потому что треугольный).

Если дети в процессе первой игры не догадываются, как им поступить, или не могут объяснить свои действия, то учитель должен помочь им. В дальнейшем они уже не должны испытывать затруднений.

После задачи с расположением фигур ученики отвечают на четыре вопроса:

Какие фигуры лежат:

внутри обоих кругов;

внутри синего, но вне красного круга;

внутри красного, но вне синего круга;

вне обоих кругов?

Фигуры надо называть, опираясь на два свойства - цвет и форму.

Учитель:

Какие фигуры лежат внутри обоих кругов?

Ученик:

Внутри обоих кругов лежат все красные треугольные фигуры.

Учитель:

Какие фигуры лежат внутри синего, но вне красного круга?

Ученик:

Внутри синего, но вне красного круга лежат все треугольные не красные фигуры.

Учитель:

Какие фигуры лежат внутри красного, но вне синего круга?

Ученик:

Внутри красного, но вне синего круга лежат все красные не треугольные фигуры.

Учитель:

Какие фигуры лежат вне обоих кругов?

Ученик:

Вне обоих кругов лежат все не красные и не треугольные фигуры.

Второй и третий вопросы в самом начале проведения игр с двумя кругами вызывают наибольшие затруднения. Можно помочь ребятам посредством наводящих вопросов.

Учитель:

Какие фигуры лежат внутри красного круга?

Ученик:

Красные.

Учитель:

Какие фигуры лежат вне синего круга?

Ученик:

Не треугольные.

Учитель:

Значит, внутри красного круга, но вне синего круга лежат все красные не треугольные фигуры.

При работе с детьми первого класса, особенно по программе 1-4, наряду с логическими задачами можно ставить и задачи подсчета фигур.

Сколько фигур лежит:

внутри обоих кругов;

внутри синего, но вне красного круга;

внутри красного, но вне синего круга;

вне обоих кругов?

Можно усложнить вопрос, добавив к подсчету фигур их признак:

Сколько зеленых фигур лежит вне обоих кругов?

Далее приводится несколько задач без разбора их решений и вариантов диалога с учениками. Перед каждой задачей определяется набор геометрических фигур, букв или чисел, с которыми предстоит работать.

1. В красный круг положите все квадратные фигуры, а в синий круг положите все зеленые фигуры.

2. В красный круг положите все желтые фигуры, а в синий круг положите все зеленые фигуры.

3. В красный круг положите все маленькие фигуры, а в синий круг положите все круглые фигуры.

4. В красный круг положите все круглые фигуры, а в синий круг положите все квадратные фигуры.

В этой задаче область пересечения обоих кругов также остается пустой, так как нет фигур одновременно круглых и квадратных.

5. В красный круг положите все большие фигуры, а в синий круг положите все прямоугольные фигуры.

6. В красный круг положите все числа, делящиеся на 3, а в синий круг положите все четные числа.

7. В красный круг положите все числа больше 5, а в синий круг положите все числа, меньше 10.

Для рассмотренного класса задач, как и для задач с одним кругом, полезно в процесс обучения включить обратные задачи. В этом случае геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на столе или закрепляются на монтажной панели, а затем ученикам дается задание объединить с помощью двух веревочек разного цвета все фигуры, соответствующие одному признаку, заключив их внутри замкнутых фигур.

Например:

Учитель:

Красной веревочкой объедините все треугольные фигуры, а синей веревочкой объедините все красные фигуры.

Вопросы для обсуждения с учащимися аналогичны приведенным выше для прямых задач с двумя кругами. Обратные задачи также развивают способность классифицировать предметы по двум свойствам, правильно использовать логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и. Эти задачи требуют большей внимательности.

Выше были приведены только некоторые задачи, затрагивающие интуитивное понимание основных логических конструкций математики. Материал для подобных задач может быть взят и из других учебных предметов (например, природоведения).

Умение классифицировать по трем признакам и применять более сложные логические операции отрабатывается на играх с тремя кругами.

Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, над которыми производятся действия (операции), в результате которых снова получаются предложения.

Если нет логических операций - нет математической логики, да и вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд ли приходится говорить о развитии логического мышления.

2.3 Формирование потребности в логических рассуждениях у учащихся начальной школы

Неподготовленность учеников к доказательствам в основной и средней школе - одна из важнейших причин возникновения трудностей. Исследования психологов школы Выготского позволяют утверждать, что подготовку можно и нужно начинать уже в начальной школе. Анализ программ и действующих учебников показывает, что материал курса математики начальной школы дает для пропедевтики обучения доказательствам самые широкие возможности.

Формирование у учащихся потребности в доказательстве рассматривается Г.Р. Бреслером как воспитание потребности в обосновании истинности каждого высказывания.

Перечислим основные направления этой работы.

1. Формирование у учащихся умения подмечать закономерности.

2. Воспитывать у школьников понимание необходимости доказательства.

3. Обучать учащихся умению выделять условие и заключение в математических утверждениях.

4. Знакомить учащихся с простыми и сложными высказываниями и значениями их истинности.

5. Знакомить школьников с понятиями "отрицание высказывания" и "противоречие высказывания".

6. Обучать учащихся умению выделять различные конфигурации на одном и том же чертеже.

7. Обучать школьников умению пользоваться контрпримерами.

8. Обучать учащихся умению выполнять геометрические чертежи и читать их.

9. Формировать у учащихся умения выводить следствия из заданных условий.

10. Формировать у учащихся умения проводить доказательные рассуждения, делать выводы.

В математике все предложения за исключением исходных аксиом, как правило, доказываются дедуктивно. Ни каких других доказательств математика не признает. В начальных классах дедукция также используется. Но речь может идти лишь об элементах таких доказательств. В большинстве случаев для обоснования высказываемых утверждений в начальных классах применяются другие примеры.

1. Измерение. Получение результата измерения выступает доказательством какого-либо утверждения, например относительно равенства противоположных сторон прямоугольника.

2. Вычисление. Высказанное утверждение проверяется вычислением, например при постановке знаков отношения между двумя математическими выражениями.

3. Показ конкретных предметов. Этот прием часто выступает доказательством существования определяемых объектов например, четных и нечетных чисел, уравнении.

4. Дедуктивные рассуждения. В начальной математике они чаще всего выступают обоснованием тех или иных способов действий (решение уравнений и др.).

5. Эксперимент, моделирование. Они часто применяются в математике, особенно в начале её изучения, например при доказательстве 6<7, 5>4 и др.

Задание 1. Из начального курса математики приведите 3 примера на различные виды суждения.

Задание 2. Подберите по нескольку примеров использование различных видов умозаключений в обучении математики.

Задание 3. Покажите на конкретных примерах возможность использования различных примеров для доказательства утверждений учащимся начальных классов.

Например, при отработке определения умножения используются задания, в которых требуется вычислить 12 x 4, заменив умножение сложением. То же самое задание можно сформулировать по-другому: "Докажи с помощью определения умножения, что 12 x 4 = 48". Рассуждения учеников, образцы которых, естественно, должны быть заложены в объяснении учителя, могут быть такими.

Произведение 12 x 4 - это по-другому записанная сумма 12 + 12 + 12 + 12. Эта сумма равна 48. Следовательно, 12 x 4 = 48.

Даже обычные вычислительные задачи можно формулировать, используя слово "докажи". Например, вместо того чтобы вычислять площадь квадрата с указанной стороной и площадь прямоугольника с указанными сторонами, можно предложить задачу: "Докажи, что площадь квадрата со стороной 4 см равна площади прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см". Рассуждения ученика могут быть такими.

Площадь квадрата со стороной 4 см равна 4 см x 4 см = 16 см2.

Площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см равна 8 см x 2 см = 16 см.

Эти площади равны. Что и требовалось доказать.

Во всех классах, в том числе и в начальных, полезно давать задачи повышенной трудности, стимулирующие математическое развитие и интерес к математике. Среди них достойное место могут занимать задачи на доказательство, сформулированные в общем виде. Рассмотрим в качестве примера задачу: "Докажи, что площадь квадрата со стороной а равна площади прямоугольника, одна сторона которого в 2 раза больше стороны квадрата, вторая - в 2 раза меньше стороны квадрата". Такую задачу полезно предложить после того, как ученики познакомятся со свойством произведения: если увеличить один множитель в несколько раз, то произведение увеличится во столько же раз; если уменьшить один множитель в несколько раз, то произведение уменьшится во столько же раз.

Рассуждения могут быть такими. Площадь квадрата со стороной а равна произведению a x a. Площадь прямоугольника, у которого стороны равны 2 x а и а, равна (2 x а) x а, то есть в два раза больше площади квадрата а x а. Площадь прямоугольника, у которого одна сторона равна 2 x а, вторая равна а, в два раза меньше площади прямоугольника со сторонами 2 x а и а, то есть равна площади квадрата со стороной а. Что и требовалось доказать.

Очень важным компонентом доказательств является умение аргументировано излагать свои мысли. Учить этому в начальной школе можно при изучении практически каждой темы. Покажем, каким образом эта возможность может быть реализована на примере решения задачи: "Имеется 4 коробки по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в этих коробках?" Поскольку аналогичных задач в действующих учебниках очень много, дети запоминают, что они решаются умножением. Но, как правило, не в состоянии обосновать, почему надо находить произведение 6 x 4.

Необходимо предложить ребенку объяснить, почему он перемножает числа, а не складывает их, не вычитает, не делит. Мы задавали этот вопрос многим десяткам хорошо успевающих детей в разных регионах. Многие дети воспринимали вопрос как сигнал о неверно выполненном решении и немедленно предлагали выполнить какое-либо иное действие, чаще всего сложение.

Некоторые ученики, твердо "уловившие", что такие задачи решаются умножением, пытались обосновать свой вывод ссылкой на присутствие в формулировке предлога "по". В этом случае им предлагалась задача: "Имеется 24 карандаша. Сколько потребуется коробок, чтобы разложить карандаши по 6 карандашей в каждую?", показывающая, что предлог "по" может означать необходимость выполнять не только умножение, но и деление.

Аналогичные эксперименты показывают, что само по себе умение обосновывать свои выводы, как правило, не появляется, ему надо целенаправленно учить.

Обучение может быть организовано, например, так.

Уже при первоначальном знакомстве с понятием произведения сумма п одинаковых слагаемых изображается в виде п равных между собой отрезков, отложенных на луче от его начала. Например, сумма 6 + 6 + 6 + 6 изображается так.

Поскольку данная сумма записывается в виде произведения 6 x 4, тот же самый рисунок моделирует произведение 6 x 4.

Графическая интерпретация произведения с помощью суммы равных отрезков может стать наглядной опорой при обучении обосновывать свои выводы в ходе решения задач, аналогичных задаче на отыскание числа карандашей в 4 коробках по 6 карандашей в каждой. Разумеется, если учитель не только познакомит с моделированием произведения в виде последовательно отложенных на луче равных отрезков, но и научит детей самостоятельно строить аналогичные модели. Обучение может быть организовано так.

Учитель предъявляет такой, например, рисунок.

Предлагается записать то, что на нем изображено:

1) в виде суммы;

2) если это возможно, заменить суммы произведениями.

Существенно, чтобы все ученики записывали результат выполнения каждого из заданий и чтобы правильность выполнения сразу же проверялась у всех. Например, кто-нибудь диктует или записывает свой результат, а остальные "сигнализируют", согласны они с этим результатом или не согласны.

После выполнения нескольких таких заданий можно предложить изобразить с помощью отрезков указанные произведения и суммы произведений, а затем, используя графическую модель, обосновывать с ее помощью вывод о том, что задача решается с помощью умножения.

Обоснование при решении упомянутой задачи, в которой требуется отыскать число карандашей, может выглядеть так.

В одной коробке 6 карандашей. И в другой 6. В остальных тоже по 6. Изобразить это можно так (делается рисунок, на котором изображено 4 последовательно отложенных равных отрезка). Надо найти, сколько всего. Поэтому надо сложить: во всех четырех коробках 6 + 6 + 6 + 6 карандашей. Такую сумму можно заменить произведением 6 x 4. Рассмотрим еще одну задачу, математическая модель которой не такая, как у предыдущей: "В классе 18 девочек, что в 3 раза больше, чем мальчиков. На сколько в классе больше девочек, чем мальчиков? Сколько учеников в классе?" Учитывая крайне низкую технику письма у большинства детей, вряд ли целесообразно записывать полностью вопросы задачи. Записи сильно сократятся, если договориться записывать число девочек буквой Д, а число мальчиков буквой М. Записи могут быть такими.

1. На сколько Д > М?

2. Сколько учеников?

Далее читаем текст: "В классе 18 девочек." - и изображаем графически имеющуюся в нем информацию. Рисунок может быть таким.

Черта слева здесь облегчает сравнение числа девочек и мальчиков.

Продолжаем читать задачу: "В классе 18 девочек, что в 3 раза больше, чем мальчиков".

Известно, что, увидев в тексте задачи слова "в. больше", многие дети, не раздумывая, выполняют умножение. Поэтому необходимо обсудить вопрос о том, кого больше, девочек или мальчиков, выяснить, что мальчиков в 3 раза меньше, чем девочек, а потому, чтобы узнать число мальчиков, надо разделить 18 на 3. На рисунке это можно изобразить так.

Чтобы узнать, на сколько девочек больше, чем мальчиков, надо от 18 отнять 18: 3, то есть 6: 18 - 6 = 12.

Чтобы узнать, сколько учеников в классе, надо установить, сколько в классе девочек и мальчиков вместе: 18 + 6 = 24.

Ответ:

1) девочек больше мальчиков на 12;

2) всего в классе 24 ученика.

В заключение считаем необходимым подчеркнуть, что рассмотренная работа учит детей грамотно формулировать мысли, обосновывать выводы, способствует развитию логического мышления. Все это необходимо не только для пропедевтики обучения доказательствам, но и является важнейшим показателем успешности обучения в начальной школе.

Практическая часть исследования была направлена на выявление особенностей методики формирования математической грамотности в образовательной программе "Школа 2100". А также на подбор логических задач способствующих формированию логических операций с высказываниями. Для того чтобы успешно формировать логическую грамотность на уроках математики нами были выявлены потребности в формировании потребности в логических рассуждениях у учащихся начальной школы.

Заключение

Важнейшей задачей математического образования является вооружение учащихся общими приемами мышления, пространственного воображения, развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому важно научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, отчетливо выражать свои мысли, а с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения).

Сегодня математика как живая наука с многосторонними связями, оказывающая существенное влияние на развитие других наук и практики, является базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Кроме того, считаю необходимым введение в школе отдельного предмета "Логика", который позволит вооружить учащихся систематизированными знаниями по этой важной отрасли науки. Одна из важнейших задач курса логики - показать на основе философской теории познания основные формы и законы содержательного мышления, помочь интеллектуальному формированию личности учащегося.

Педагогическое исследование было направлено на изучение теоретической основы формирования логической грамотности у младших школьников на уроках математики. Нами раскрыта актуальность этой темы в современном изучении математики. Раскрыли и показали роль математики и пришли к выводу, что основной целью математического образования должно быть развитие умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира. Реализации этой цели может и должно способствовать решение на уроках математики различного рода логических задач. Поэтому использование учителем начальной школы этих задач на уроках математики является не только желательным, но даже необходимым элементом обучения математике.

Для выявления логических основ формирования логической грамотности на уроках математики, нами был проведен анализ школьных образовательных программ для определения логической линии. Так, например, изучение литературы учащиеся начинают с понятий "художественный образ", "литературный тип", "литературная форма", затем подходят к изучению более общих понятий - "критический реализм", "натурализм", "романтизм", "принцип историзма"; при этом понятия берутся в их системе, а не изолированно. Большое значение для развития мышления учащихся имеет использование различных типов самостоятельных работ по литературе: самостоятельные работы по образцу, реконструктивные, вариативные самостоятельные работы - на применение понятий науки, творческие самостоятельные работы, постановка самими учащимися проблемы и нахождение путей ее решения. Итак, выявлено значительное многообразие средств, методов, приемов развития логического, творческого мышления учащихся на уроках в школе. Математика способствует развитию творческого мышления, заставляя учащихся искать решения нестандартных задач, размышлять над парадоксами, анализировать содержание условий теорем и сути их доказательств, изучать специфику работы творческой мысли выдающихся ученых.

Практическая работа была направлена на методику организации логического развития учащихся начальной школы. Нами были выявлены особенности методики формирования математической грамотности в образовательной программе "Школа 2100". В соответствии с программой курса "Моя математика" программа "Школа 2100" авторы Т.Е. Демидова С.А. Козлова А.П. Тонких к концу обучения во втором классе учащиеся должны овладеть следующими знаниями, умениями и навыками:

1. различать истинные и ложные высказывания (верные и неверные равенства и неравенства);

2. составлять истинные высказывания (верные равенства и неравенства). В соответствии с программой: курса "Моя математика" к концу третьего класса учащиеся должны уметь:

3. устанавливать принадлежность или непринадлежность множеству данных элементов;

4. различать истинные и ложные высказывания с кванторами общности и существования;

5. решать удобным для себя способом (в том числе и с помощью таблиц и графов) логические задачи, содержащие не более трех высказываний

В четвертом классе никаких новых вопросов и типов задач, формально относящихся к линии логики, не рассматривается, а происходит повторение и некоторое углубление изученного ранее. Многие тонкие логические вопросы, связанные с понятием "хотя бы" и его отрицанием, рассмотрены ниже в разделе "Задачи на принцип Дирихле".

Для формирования логической грамотности на уроках математики в младших классах нами были подобрана методика в которую включены логические задачи как средство формирования логических операций с высказываниями. Эта методика была разработана ведущим отечественным методистом А.А. Столяром. Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ логического мышления и в изучении геометрических фигур А.А. Столяр использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение, которой приведено в работе.

Для формирования логической грамотности на уроках математики мы изучили потребности в логических рассуждениях учащихся начальных классов. Формирование у учащихся потребности в доказательстве рассматривается Г.Р. Бреслером как воспитание потребности в обосновании истинности каждого высказывания. В работе перечислены основные направления этой работы.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что раскрыты методы, средства, приемы формирования логической грамотности у младших школьников. Также выявлены и раскрыты основные педагогические категории исследования.

Практическая значимость исследования заключается в том, что раскрыты особенности методики формирования математической грамотности в образовательной программе "Школа 2100". Подобраны логические задачи как средство формирования логических операций с высказываниями. Также раскрыты потребности в логических рассуждениях у учащихся начальной школы.

Литература

1. Атахов Р.В. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления. Вопросы психологии, №5, 1995.

2. Гетманова А.Д. Занимательная логика. - М., "Владос", 1998.

3. Гетманова А.Д. Логика. - М., "Добросвет", 2000.

4. Далингер В.А. Об одном способе доказательства // Математика в школе. - 1993. - № 5.

5. Далингер В.А. Обучение учащийся доказательству теорем: учеб. пособие / В.А. Далингер. - Омск: Изд-во Омского пединститута, 1990.

6. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. Математика в школе, №6, 1990.

7. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. - М., "Академия", 1998.

8. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.

9. Крыговская А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитие // Математика в школе. - 1966 - №6.

10. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. - М., 1980.

11. Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. - 1999. - № 8.

12. Лехова В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов. - Начальная школа, 1988, № 5.

13. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М., 1975.

14. Пойа Д. Как решать задачу: пособие для учителей. - М.: Наука, 1975.

15. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. - М., "Просвещение", 2000.

16. Семенов Е.М., Горбунова Е.Д. Развитие мышления на уроках математики. Свердловск, 1966.

17. Скаткин Л.Н. Методика начального обучения математике. - М., "Просвещение", 1972.

18. Стойлова Л.П. Математика. - М., "Академия", 1997.

19. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математике. - М., "Просвещение", 1988.

20. Столяр А.А. Педагогика математики. - Минск, Вышэйшая школа, 1986.

21. Теребилов О.Ф. Логика математического мышления / О.Ф. Теребилов. - Л.: Изд-во Ленинградского госуниверситета, 1987.

22. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. - М.: Просвещение, 1984.

23. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики. Математика как профессия. - М., 1980.

24. Якиманская И.С. Знания и мышление школьников - М.: Знание, 1985. - (Сер. "Педагогика и психология").

25. http://standart.edu.ru

26. http://ru. wikipedia.org

27. http://www.cultinfo.ru

Размещено на Allbest.ru