Технологія вивчення початків стохастики в одинадцятих класах з поглибленим вивченням математики з використанням педагогічного програмного засобу GRAN1

Під час гри у дітей буде можливість встановити яка сума випадатиме найчастіше.

Мета теорії ймовірностей - побудова математичної моделі, яка найкращим чином описує дану імовірнісну ситуацію. Метод побудови таблиць випадкових чисел і практична реалізація за допомогою цих таблиць імовірнісних процесів - за рівнем складності значно важче попередніх ідей та розраховано на більш доросліших школярів.

Ми не маємо змоги, принаймні на початку, користуватися імовірнісними методами. Є кілька причин: або учні не володіють необхідним математичним апаратом, або тому що доводиться розглядати занадто велику кількість випадків. Але на першому етапі ми можемо задовольнитися наближеною моделлю, здійснюючи тим самим спробу змоделювати реальну ситуацію.

Одним з достоїнств моделювання є те, що воно дозволяє розвивати імовірнісну інтуїцію дитини, надає більше можливостей для самостійних роздумів. Учень починає розглядати випадкові явища з врахуванням того набору характерних ситуацій, які вже є, поступово замінюючи моделювання міркуваннями.

Суть моделювання полягає в підміні дослідження випадкового явища, дослідженням таблиці випадкових чисел, яка імітує це явище.

Розглянемо як приклад таку задачу:

В родині n дітей, серед яких k хлопчиків і відповідно (n - k) дівчаток. Потрібно вказати ймовірність, з якою серед чотирьох (n = 4) дітей буде

0 дівчаток і 4 хлопчика;

1 дівчинка і 3 хлопчика;

2 дівчинки і 2 хлопчика;

3 дівчинки і 1 хлопчик;

4 дівчинки і 0 хлопчиків.

Розв'язок цієї задачі наведено на рисунку 8.

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8.

Такий розв'язок приводить до даних, які можна представити у вигляді таблиці 1.

Таблиця 1.

	(4М, 0Д)	(3М, 1Д)	(2М, 2Д)	(1М, 3Д)	(0М, 4Д)	Загалом
Частота	1	4	6	4	1	16
Ймовірність	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625	1

Дошка Гальтона (дивись рис. 9) дозволяє змоделювати цю ситуацію (моделювання за допомогою фізичного апарату).

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9.

Тут достатньо помістити до апарату велику кількість куль і провести статистичне дослідження. Наприклад, маючи 2000 куль, можна було б отримати таку статистику, як в таблиці 2.

Таблиця 2.

	А	Б	В	Г	Д	Всього
Кількість куль	140	480	768	492	120	2000
Частота, по відношенню до 16 куль	1,12	3,84	6,144	3,936	0,96	16
Відносна частота	0,07	0,24	0,384	0,246	0,06	1

Фізичне моделювання приводить до результатів, які близькі до попередніх.

А зараз перейдемо до випадкового моделювання цієї ситуації. Візьмемо кубик, на трьох гранях якого написана цифра 0, а на останніх трьох - 1. підкидуючи її багато разів, необхідно записувати результат. Послідовність, яка була отримана після 600 підкидань, записана у вигляді груп, з чотирьох цифр кожна (дивись табл. 3).

Таблиця 3.

0011 1011 0110 1111 1010	0011 1101 0111 1100 1101	0001 0001 0111 0000 0011	1100 1001 0110 1000 0011	1100 0001 0111 0111 0010	0100 1000 1111 1111 1010	0110 0001 1001 0001 1001	0101 1100 0000 1101 1100	0010 1001 0111 0101 1111	1001 1110 1000 1110 1110
0101 1111 0000 1011 1110	0101 0011 0111 1101 0111	1101 0101 1011 1100 0110	0110 1100 0011 1001 0000	1110 0100 0000 0110 0011	1111 0000 1101 1110 0000	1000 1101 1101 1100 1101	0101 0001 1010 0010 0100	0000 1111 0100 0101 0001	0010 1000 1111 1111 1100
1101 1001 0000 1010 0001	0100 0001 1000 1100 1011	1110 0101 1111 1001 1101	0011 0011 0100 1000 1010	1011 0010 1101 1111 0011	0010 0010 1101 0111 0111	0100 1001 1010 1111 0001	1010 0011 0011 1011 0111	0101 1001 1001 1011 0010	1110 0011 1010 1010 1101

Приймемо, що цифра 0 позначає дівчинку, а 1 - хлопчика, то кожна з чотирьох цифр буде відповідати розподілу дітей в нашій задачі. Наведені 600 цифр відносяться до 150 родин, що дає наступну статистику: таблиця 4.

Таблиця 4.

	(4М, 0Д)	(3М, 1Д)	(2М, 2Д)	(1М, 3Д)	(0М, 4Д)	Всього
Частота	12	38	58	33	9	150
Частота, по відношенню до 16 родин	1,28	4,05	6,19	3,52	0,96	16
Відносна частота	0,08	0,253	0,387	0,22	0,06	1

Ми бачимо, що й це випадкове моделювання дає результати, схожі на попередні.

І діти і вчителі можуть подумати, що досить важкувато будувати таблицю, подібну до наведеної, для того, щоб розв'язати одну задачу. Однак така таблиця дозволяє розглядати безліч інших ситуацій.

Звісно, експериментальний підхід не може і не повинен повністю витіснити собою традиційний теоретичний виклад предмету. В старшій школі буде доречним дедуктивний виклад теорії ймовірностей на теоретико-множинній основі, з формулами, теоремами та іншим звичним арсеналом математичних понять.

2.2 Поняття та предмет теорії ймовірностей

Перейдемо до методики викладання теорії ймовірностей та математичної статистики в одинадцятих класах з поглибленим вивченням математики

Перший розділ з теоретичного курсу теорії ймовірностей (він включає таки теми: Предмет і методи теорії ймовірностей. Стохастичний експеримент. Елементарна подія. Множина елементарних подій. Операції над подіями, сума, добуток, різниця подій. Протилежна подія. Геометрична інтерпретація операцій над подіями.) має на меті сформувати уявлення про предмет теорії ймовірностей, про процеси, які вона вивчає. Викладання тем цього розділу передбачає формування основних понять: «подія», «випадкова подія», «елементарна подія», «вірогідна подія», «неможлива подія», «множина елементарних подій», «стохастичний експеримент», «рівносильні події»; вміння виконувати операції над подіями, користуватись графічною інтерпретацією операцій над подіями.

Викладання теоретичного матеріалу теорії ймовірностей проводиться у формі лекцій-бесід, активного діалогу між вчителем та учнями, підкріпленого прикладами. Залучаючи дітей до спілкування, необхідно викликати навчальний позитивний інтерес. Приклади є обов'язковими, вони мають бути доступними та зрозумілими, нехай навіть інколи примітивними. Адже більшість понять вводиться на інтуїтивному рівні.

Найпростіший, найпоширеніший та найдоступніший експеримент при вивченні теорії ймовірностей - це підкидання монети. Так, до нього не треба заздалегідь готувати обладнання, адже в кишенях завжди знайдеться одна - дві монети, його можна за необхідністю провести у будь-який момент уроку, або дати як домашнє завдання у вигляді експерименту. Так, у деяких випадках підкидання однієї чи кількох монеток стає в нагоді та допомагає при досягненні навчальних цілей, але не треба зловживати цим експериментом для пояснення майже всіх понять курсу. Можна використати інші не менш цікаві приклади: підкидання гральних кубиків, лотерейні білети, різнокольорові кулі, що лежать в одній скрині, влучання у мішень, та інші.

Значення та між предметний (інтегрований) характер теорії ймовірностей ілюструється прикладами її застосувань в різних областях людської діяльності, науки, суспільного життя.

Вирішальну роль для усвідомлення учнями навчального матеріалу цього розділу відіграє система раціонально відібраних задач.

На першому уроці необхідно оглянути історичні аспекти виникнення теорії ймовірностей, як науки.

Задачі, які будуть нижче наведені як приклади, можуть здатися не дуже серйозними. Вони про шанси на виграш у грі в кості. Математики з цього приводу жартома кажуть, що це безглузда гра породила велику і мудру науку, дуже важливу для практичної діяльності людей, тоді як розумна гра в шахи в історії науки ніякої ролі не відіграла.

Ось деякі прості задачі з тих, які були розв'язані ще в XVII ст.

Уявіть собі, що ви кидаєте на стіл гральний кубик, 6 граней якого занумеровано числами від 1 до 6. Яка ймовірність того, що при його киданні на верхній грані випаде число 5? (ймовірністю події називається стійка частота певної випадкової події).

Усіх можливостей для кубика лягти на стіл тією, чи іншою гранню є 6. Оскільки всі грані рівноправні, то кожна з них випадатиме в одній шостій від загального числа випадків: Р(5)=, де Р(5) - ймовірність випадання п'ятірки.

Яка ймовірність того, що під час кидання кості випаде парне число очок?

Сприятливих можливостей тут буде 3: випадання чисел 2, 4, 6. Тому Р=3.

Яка ймовірність одночасного випадання числа 5 на двох кубиках?

Під час кидання двох кубиків ми матимемо 36 можливих випадків: (1,1), (1,2), (1,3),…, (1,6), (2,1), (2,2),…, (6,1), (6,2),…, (6,6) (тут перша цифра показує число очок, що випало на одному, а друга - на іншому). Усі випадки цілком рівноправні, Р (5,5)=.

Яка ймовірність того, що сума числа очок, які випали при киданні двох кубиків, дорівнюватиме 8?

Складемо таблицю тих випадків, коли сума очок дорівнюватиме 8. Це будуть випадки: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) і (6,2).

Отже ми бачимо, що є лише п'ять комбінацій, які сприяють нашій умові. Але кожна окрема комбінація реалізується, як ми встановили при розв'язуванні попередньої задачі, приблизно в частині всіх кидань; тому умова рівності суми очок числу 8 виконуватиметься приблизно в п'яти випадках з кожних 36 кидань. Отже, шукана ймовірність тут дорівнює .

Існує трохи складніший історичний приклад, що показує, як у XVII ст. практичні потреби гравців у кості допомагали розвиткові теорії ймовірностей, тобто науково ставили питання про закони випадку.

Один французький лицар, кавалер де Мере, був пристрасним гравцем у кості. Він всіляко намагався розбагатіти за допомогою гри, і для цього вигадував різні ускладнені правила, які, як йому здавалися, приведуть його до мети. У той час прагнення розбагатіти за допомогою азартних ігор охоплювало, як хвороба, багатьох людей.

Де Мере вигадав такі правила гри. Він пропонував кинути одну кість чотири рази поспіль і закладався, що при цьому хоч би раз випаде цифра 6; якщо ж цього не траплялося - ні разу не випадало 6 очок, то вигравав його противник. Точне значення ймовірності того, що в цих умовах випаде 6, в той час було невідоме, хоч було видно, що воно близьке до . Де Мере гадав, що він частіше виграватиме, ніж програватиме, але все ж звернувся до свого знайомого, одного з видатних математиків XVII ст. Блеза Паскаля (1623-1662), з проханням розрахувати, яка ймовірність виграшу у вигаданій ним грі.

Наведемо розрахунок Паскаля.

При кожному окремому киданні ймовірність випадання 6 дорівнює . Ймовірність того, що не випаде 6 очок, дорівнює .

Далі, нехай ми кинемо кубик двічі. Повторимо спробу, яка полягає у дворазовому його киданні, багаторазово, скажемо, N разів. Тоді приблизно в із цих N випадків на кубику, кинутому уперше, не випаде 6. Із числа цих випадків приблизно в , тобто в випадків, не випаде 6 і при другому киданні. Отже, ймовірність того, що при дворазовому киданні жодного разу не випаде 6 очок, дорівнює:

Так само виводимо, що ймовірність того, що жодного разу не випаде 6 при триразовому киданні кубика, дорівнює:

Нарешті, ймовірність того, що при чотириразовому киданні жодного разу не випаде 6, дорівнює:

Таким чином, для лицаря де Мере ймовірність програшу дорівнювала тобто менше ; отже, ймовірність виграшу була більша за половину. Значить, при кожній грі більше за половину шансів було за те, що лицар вигравав; при багаторазовому ж повторенні гри він майже напевно був у виграші.

Справді, чим більше лицар грав, тим більше він вигравав. Кавалер де Мере був дуже задоволений і вирішив, що він відкрив вірний спосіб збагачення. Однак поступово іншим гравцям стало ясно, що ця гра для них не вигідна, і вони перестали грати з де Мере. Треба було вигадувати якісь нові правила, і де Мере вигадав нову гру. Він запропонував кидати два кубика 24 рази і закладався, що зверху хоч би один раз будуть дві п'ятірки. Де Мере вважав, що і в цій грі він частіше виграватиме, ніж програватиме.

Але цього разу лицар помилився. Ймовірність одночасного випадання двох п'ятірок при киданні двох кубиків дорівнює, як ми знаємо, ; тому ймовірність того, що не випадуть дві п'ятірки, дорівнює . Ймовірність того, що при 24-разовому киданні двох кубиків жодного разу не випадуть дві п'ятірки, дорівнює відповідно , що більше .

Отже, для лицаря ймовірність програшу була більша від половини. Це означало, що чим більше лицар гратиме, тим більше він програватиме. Так і сталося. Чим більше він грав, тим більше розорявся і кінець кінцем став злидарем.

В теорії ймовірностей існує ще одна задача, пов'язана з пристрасним гравцем у кості, кавалером де Мере. Вона має назву «Парадокс де Мере». Лицар помітив, що при багаторазовому киданні трьох костей сума очок, яка дорівнює 11, випадає частіше, ніж сума очок, що дорівнює 12, хоч на думку де Мере обидві комбінації очок повинні мати однакову ймовірність. При цьому він міркував так: 11 очок можна дістати шістьма різними способами: (6, 4, 1), (6, 3, 2), (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3), (4, 4, 3); і так само шістьма різними способами можна дістати 12 очок: (6, 5, 1), (6, 4, 2), (6, 3, 3), (5, 5, 2), (5, 4, 3), (4, 4, 4).

На помилку де Мере вказав Блез Паскаль. Слід враховувати не лише очки, які випадають, а й ту обставину, на яких саме костях вони випадають.

Справді, занумеруємо кості і виписуватимемо очки в тій послідовності, в якій вони випадають. Тоді комбінація (6, 4, 1) здійсниться тоді, коли матимемо один з шести результатів (6, 4, 1), (6, 1, 4), (4, 6, 1), (4, 1, 6), (1, 6, 4), (1, 4, 6), а комбінація (4, 4, 4) здійсниться лише в одному результаті (4, 4, 4).

У цьому випробуванні всього n = 816 однаково можливих результатів. Появи суми очок 11 сприяє 27 результатів, а появі суми очок 12 сприяє 25 результатів. Цим і пояснюється помічена де Мере тенденція до частішої появи в сумі 11 очок.

Найцікавішим у цих історичних прикладах є те, що завдяки таким своєрідним «практичним запитам» з'явилася теорія розрахунку випадкових явищ. У XVII I XVIII ст. учені розглядали ці приклади як «забавні випадки» застосування математичних знань до явищ, які не мають значного поширення. Адже гравець у кості, який мріє про багатство, ніяк не заслуговує на те, щоб на допомогу йому була створена спеціальна наука.

Вказавши сфери, де сьогодні використовуються імовірнісно-статистичні методи, необхідно впевнити учнів у важливості та необхідності цієї науки.

Наприклад, сучасне природознавство, що користується теорією ймовірностей, як практичною основою під час обробки результатів спостережень у фізиці, механіці, астрономії, геодезії, біології. Теорію ймовірностей також застосовують в обчислювальній математиці, економіці та статистиці, при виявленні оптимальних каналів зв'язку, на транспорті, в військовій справі, на підприємствах.

Кустарне виробництва має тепер дуже мале значення, а масове виробництво дедалі зростає. Тому зростає важливість теорії масових явищ, що дає змогу науково обґрунтовано вести виробництво. Потрібні науково обґрунтовані методи контролю за якістю виробів, методи визначення частки бракованих виробів на основі спостережень лише невеликої її частини. Немає жодного заводу, який не потребував би використання висновків теорії ймовірностей.

Поняття та ідеї теорії ймовірностей та статистики відіграють велику роль у торгівлі, бізнесі, повсякденному житті навіть тієї людини, професійна діяльність якої далека від математики.

Не варто витрачати час на історію розвитку теорії ймовірностей. Краще дати це як домашнє завдання у вигляді реферату чи повідомлення.

Вводити поняття теорії ймовірностей та визначати її предмет необхідно використовуючи приклади з повсякденного життя, історичні задачі. Ось деякі з них:

Випадковим нам здається те, що порушує загальний хід подій. Ви поспішаєте до школи, сідаєте в автобус. Але автобус зіпсувався - і ви запізнилися на урок. Випадкова подія вплинула сьогодні на звичайний розпорядок вашого дня.

Візьмемо інший приклад. Ви збиралися погуляти у вихідний день, але погода раптом змінилася настільки, що не можна вийти з дому. Знову непередбачене втручання випадку порушило нормальний хід подій у вашому житті.

Звичайно, не завжди випадкові події завдають прикростей. Ви переглядаєте, наприклад, таблицю виграшів лотереї і бачите номер вашого лотерейного білета; тут випадкове явище - виграш вам на користь.

У суспільному житті випадкові події також можуть мати місце. Уявіть собі, що врожай сільськогосподарських культур дуже низький через посуху. Це - прикра випадковість. Є й багато інших прикрих випадковості, яких не може передбачити наука. Наприклад, землетрус, від якого терплять усі, хто живе в даній місцевості. Ми говоримо про «стихійні сили природи», які наука ще не може перебороти. Але вона прагне дати людині обґрунтовані засоби боротьби з неприємними випадковостями.

З першого погляду може здатися, що жодних законів, які керують випадковими подіями, бути не може: на те ці події й випадкові. Однак, якщо придивитися до справи як слід, можна дійти висновку, що й випадкові явища часто уже не зовсім уже й хаотичні. У багатьох випадках тут виявляються певні закономірності. Ці закономірності не подібні до звичайних законів фізичних явищ; вони дуже своєрідні. І все ж можна твердити, що закони випадкових явищ існують. А які саме? Розглянемо це на прикладі.

Коли в сім'ї має народитися дитина, не можна передбачити заздалегідь, буде це хлопчик чи дівчинка (якщо не скористатися сучасною медичною технікою). Якщо навіть сподіватися, що в сім'ї буде кілька дітей (скажімо, двоє, троє або четверо), то і тут також заздалегідь не можна сказати, скільки з них буде хлопчиків. Але в усіх країнах і серед усіх народів завжди на 1000 народжених у середньому припадає 511 хлопчиків і 489 дівчаток, цю дивну сталість народжень хлопчиків і дівчаток відмічало багато вчених серед яких був і основоположник теорії ймовірностей французький математик Сімон Лаплас. Тому в тих випадках, коли нас цікавить число хлопчиків серед дуже великої кількості новонароджених, ми можемо з певністю передбачити це число з великою мірою точності і ніколи не помилимося. Переглядаючи свого часу списки народжень по Парижу за 1745-1784 роках. Лаплас виявив, що відношення числа хлопчиків до загального числа народжень дорівнювала приблизно 0,510, тобто трохи менше, ніж 0,511. Незважаючи на те, що різниці була дуже мала, Лаплас зробив висновок, що є якась спеціальна причина, яка збільшує число дівчаток: адже число народжень у Парижі за 39 років і в ті роки вже було дуже великим; тому навіть таке мале відхилення від звичайного відношення не можна було пояснити впливом випадку.

І дійсно, Лаплас виявив причину відхилення: вона полягала в тому, що до числа дітей, народжених у Парижі, включалися також діти, підкинуті в спеціальний притулок - єдиний на всю Францію. Через те, що французькі селяни цінили в синах майбутніх робітників, то вони частіше підкидали дівчаток, ніж хлопчиків. Виключавши підкидьків з числа тих, що народилися (багато з них у дійсності народилося не в Парижі). Лаплас дістав і для Парижа звичайне відношення числа хлопчиків до числа дівчаток. Тим самим він показав, що у випадку дуже великого числа народжень можна передбачити загальне число народжених хлопчиків з точністю до 0,1% - відхилення такого порядку можна пояснити лише якимись спеціальними причинами.

Можна твердити, що немає жодної галузі народного господарства, в якій не застосовувалися б закони випадкових явищ. Наприклад, можна заздалегідь розрахувати необхідне в даному місті число пожежних команд або запаси зерна, які треба мати на випадок неврожаю.

Закони випадкових явищ мають величезне практичне застосування.

Ми можемо сказати про предмет теорії ймовірностей.

Шляхом спостережень (випробувань, експериментів), тобто досвіду в широкому розумінні слова відбувається пізнання явищ оточуючого світу.

Предметом теорії ймовірностей є вивчення кількісних закономірностей, що мають місце у масових однорідних спостереженнях за випадковими явищами, та їх математичний аналіз.

2.3 Простір елементарних подій

Такі поняття, як «множина елементарних подій» та «елементарна подія» є основними, базовими, як в теорії множин - «множина» та «елемент множини», в геометрії - «площина» та «точка» і т.д. Тому, ці поняття не означуються, а розтлумачуються на інтуїтивному рівні на конкретних прикладах.

При вивченні початків теорії ймовірностей в одинадцятому класі вчитель має спиратись на початкові опорні знання, які були отримані учнями при вивченні окремих тем розділу в восьмому та дев'ятому класах. Діти оглядово знайомились з теорією ймовірностей як наукою, їм відомі поняття випадкової події та статистичної ймовірності випадкових подій. Але на даному етапі необхідно відновити, проаналізувати, систематизувати знання та продовжити формування основних понять розділу, перевірити та закріпити набуті раніше навички.

Учні також знайомі з означенням множини та іншими поняттями з теорії множин, такими як: «множина», «елемент множини», «порожня множина» та ін. Тому, перш ніж вводити означення множини елементарних подій, необхідно актуалізувати опорні знання школярів з теорії множин шляхом вступної бесіди, або системи питань.

Множина (простір) елементарних подій - це певна визначена множина можливих наслідків стохастичного експерименту, досліду чи випробування. Причому в кожному експерименті має місце єдиний наслідок - відбувається одна елементарна подія із множин ? всіх елементарних подій. Іншими словами, в результаті експерименту з множини ? немов би вибирається єдиний елементи Е, тобто відбувається елементарна подія Е.

Елементарна подія - елемент множини елементарних подій.

Наприклад, експеримент полягає в підкиданні монети один раз і фіксації грані, якою монета впала догори. Множиною можливих наслідків експерименту, тобто множиною, або простором елементарних подій, є множина ? = {Г, Ц}, де Г - це поява герба, а елементарна подія Ц - поява цифри. Інших наслідків бути не може.

Практичний матеріал до цієї теми покликаний допомогти в формуванні у учнів основних понять. Деякі задачі можуть бути використані як приклади при поясненні нового матеріалу на уроці та для створення проблемних ситуацій з необхідністю побудови множини ?. В процесі пошуку розв'язків такої ситуації учні приходять до висновків: простір елементарних подій повинен містити усі можливі наслідки випробування чи експерименту. А неповнота множини ? приводить до втрати одного чи декількох результатів і внаслідок цього неможливість описати можливу подію.

Система завдань:

1. Для данного експерименту вказати множину ? елементарних подій [17, стор. 6].

1.1. Підкидання монети двічі.

? = {ГЦ, ГГ, ЦЦ, ЦГ}.

1.2. Підкидання монети тричі.

? = {ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГГГ, ЦЦЦ}.

1.3. Підкидання шестигранного кубика двічі.

.

1.4. Підкидання шестигранного кубика тричі.

.

1.5. Підкидання шестигранного кубика n разів.

.

1.6. Розміщення трьох предметів, що не розрізняються (наприклад однакові кулі), у трьох однакових скриньках.

1.7. Фіксація віку окремої людини.

1.8. Фіксація часу зустрічі двох осіб, що домовилися зустрітися на проміжку часу .

,

де - одна хвилина, - дві хвилини.

2. Проведіть експеримент: підкиньте 100 разів монету і зафіксуйте якою гранню вона падатиме догори кожного разу. Зробіть висновки:

а). Скільки разів з'явився герб?

б). Скільки разів з'явилась цифра?

в). Яка грань випадала частіше?

Вкажіть множину елементарних подій в наступних ситуаціях (задачі 3 - 9):

3. Автомобіль під'їжджає до перехрестя зі світлофором. Яке світло горить в цей час на світлофорі?

? = {«червоне», «жовте», «зелене»}.

4. Вчитель фізики зібрався викликати до дошки когось з хлопців вашого класу. Хто саме це буде?

Наприклад: ? ={Борщ, Петренко, Сидоренко, Яремчук}.

5. Ви придбали один кілограм цукерок, по сто грамів різних видів. З заплющеними очима ви виймаєте одну цукерку з пакунка. Яку назву має ця цукерка?

Наприклад: ? = {«Білочка», «Пташине молоко», «Червоний мак», «Українська ніч», «Ромашка», «Барбарис», «Дюшес», «Пташка» «Грильяж», «Сніжок»}.

6. З колоди 36 гральних карт виймають одну. Вкажіть множину елементарних подій, якщо враховувати:

1) якої масті вийнято карту;

2) колір масті вийнятої карти;

3) лише значення карти;

4) значення карти та її масть.

1) ? = {«чирвова масть», «бубнова масть», «трефова масть», «пікова масть»};

2) ? = {«червоного кольору», «чорного кольору»};

3) ? ={«туз», «король», «дама», «валет», «десять»… «шість»};

4) ? ={» чирвовий туз», «чирвовий король», «чирвова дама»… «пікова шість»}.

7. Під час уроку до кабінету заходить людина. Хто це?

Наприклад:

? = {чоловік, жінка}, враховуючи стать;

? = {вчитель, учень, директор, інша людина}.

8. Ви стоїте на автобусній зупинці, де зупиняються автобуси трьох маршрутів. До зупинки підходить автобус. Який його номер маршруту?

?

Наприклад: ? = {«17», «13», «4», інший маршрут}.

9. При проведенні лотереї «п'ять з тридцяти шести» з лототрону виймають п'ять кульок з цифрами. Яким буде результат гри?

.

10. Перед грою в футбол діти обирають капітана команди. Антона та Сергія вважають найкращими гравцями і обидва можуть бути капітанами. Почувши суперечку між хлопцями, пенсіонер Віктор Петрович запропонував визначити капітана команди наступним чином. Він кладе до сумки 4 шахових пішака: 2 чорних і 2 білих. Потім виймає навмання 2 пішаки. Потрібно вибрати один з двох варіантів:

1) пішаки одного кольору;

2) пішаки різних кольорів.

За алфавітним порядком Антон має право обирати першим. Який з двох варіантів краще обрати Антону? [65, стор. 64].

Антону краще обрати другий варіант.

11. Проведіть наступний експеримент: підкиньте 50 разів дві гральні кості і запишіть суму для кожного кидка. Яка сума з'явилась частіше? Яка - найменшу кількість разів? Яке число з'явилось частіше: 3 або 12?.

12. Чи утворюють наступні події множину наслідків випробування при двох пострілах по мішені: «жодного влучання», «одне влучання», «жодного промаху», «принаймні одне влучання»? [6, стор. 246].

Ні, це - простір подій.

13. Чи утворюють множину наслідків наступні події при вийманні однієї кістки доміно: «вийнята кістка 0:0», «вийнята кістка 6:6», «сума очок на вийнятій кістці натуральне число, не більше ніж 11»? [6, стор. 246].

Так, утворюють.

14. Для експерименту, що полягає в п'ятикратному підкиданні монети, запишіть усі можливі наслідки випробувань, якщо враховується:

1) результат кожного кидка;

2) кількість випадання герба;

3) якою стороною монета більшу кількість раз впаде до гори.

1) ;

2) ? = {0, 1, 2, 3, 4, 5};

3) ? = {Г, Ц}.

При розв'язуванні задачі 1.3 необхідно звернути увагу учнів на символьне представлення розв'язку. Ця задача дозволяє сприяти формуванню математичної мови учнів.

Кубик підкидають двічі, отже результатом експерименту будуть два числа, що випали на верхній грані кубика. Пару чисел записуємо в дужках, через кому. Перше число - результат першого кидка, а друге - наступного. Цей запис можна зробити коро

Відповідь записується так:

? = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, де перше число - результат першого кидка, а друге - наступного.

Цей запис можна зробити коротшим та зрозумілішим. Якщо позначити результат першої спроби через х, а другої - через у, при чому значення х можуть бути 1, 2, 3, 4, 5, 6, у - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тоді маємо такий розв'язок:

.

Читаємо цей запис так: «множина ? складається з пар чисел х та у, таких що кожне з них приймає значення 1, 2, 3, 4, 5, 6».

Запис відповіді можна скоротити ще:

, де х = читаємо як: «х набуває значень від 1 до 6», або «х приймає значення від 1 до 6».

Аналогічно записується розв'язок задачі 1.4:

.

Завдання 1.5. виступає як узагальнення для n підкидань:

.

При розв'язуванні задачі 1.6 доцільно провести експеримент по розміщенню трьох однакових предметів у трьох скриньках. Необхідно заздалегідь підготувати три скриньки, та три однакових за формою, структурою та кольором предмета. Скриньки повинні розрізнятись, вони можуть бути різнокольоровими, на них можна нанести цифри, або якісь знаки (трикутник, квадрат, чи коло). Доручивши учням підготовку навчально-методичного забезпечення, є змога підвищити їх навчальний інтерес. В процесі проведення експерименту, учні приходять до висновку, що результати всіх випробувань однакові, отже множина елементарних подій ? буде складатись лише з одного елементу. Якщо взяти різні предмети, картина змінюється. Позначимо предмети 1, 2, 3, тоді ? набуває вигляду: .

Розглядаючи задачу 1.7, проводимо такі міркування: якщо враховувати повні роки, то наймолодшою буде немовля, яке щойно народилось, отже першим елементом множини елементарних подій буде «0», далі додаючи по одному року, отримаємо «1 рік», «2 роки», «3 роки» і так далі. Який же найбільший елемент з множини ?? Звичайно - це вік людини-довгожителя, найстаршої людини в світі. Відомості цікаві, знайти таку інформацію необхідно доручити учням.

Задача 1.8 потребує більш приближеного до дійсності формулювання, його необхідно підібрати за допомогою учнів. Ось один з можливих: ви домовились зустрітись зі своїм другом біля кінотеатру десь о сьомій годині вечора, він пообіцяв чекати вас до половини восьмого. Отже t₁ = 19, t₁ = 19 годин 30 хвилин. Ви прийшли вчасно о дев'ятнадцятій, або запізнилися на одну хвилину, на дві, чи навіть на тридцять хвилин. Якщо ви спізнитесь більш ніж на тридцять хвилин, то подія не відбудеться, адже ваш товариш піде і ви не зустрінетесь.

Задачі №2 та №11 полягають в проведенні експериментів. Фіксацію результатів випробувань можна записувати в довільному вигляді, але найкраще - у вигляді таблиці.

Для виконання завдання №2 доцільні таки види таблиць, як таблиця 5 та таблиця 6.

Таблиця 5.

№ випробування	герб	цифра
1	+
2	+
3		+
…	…	…
100		+

Знак «+» замінюється будь-яким іншим, при бажанні можна заповнювати обидві колонки: ставити «+» і «-», або 1 і 0, або інше.

Таблиця 6.

№ випробування	грань монети
1	Г
2	Ц
3	Ц
…	…
100	Ц

При фіксації результатів випробувань експерименту задачі №11 зручніше використовувати таблицю 7.

Таблиця 7.

№ випробування	сума
1	11
2	7
3	2
…	…
50	12

Задачу №10 можна розв'язати експериментальним шляхом. При проведенні випробувань, учні помічають, що частота для першого варіанту, як правило, приблизно в два рази менше частоти для другого варіанту. Цей факт викликає подив і недовіру, але він дає змогу вважати, що Антону краще обрати другий варіант. Після знайомства учнів з імовірнісними моделями, необхідно знов повернутись до цієї задачі і тоді сумніви розсіються.

Задачі, розв'язання яких потребує проведення експерименту найкраще пропонувати як домашнє завдання. До проведення експерименту необхідно підготуватись та його виконання займає багато часу. Обов'язковим є аналіз змісту завдання на уроці, адже неодмінно виникне безліч питань.

Систематичне використання імовірнісно-статистичних підходів для аналізу, опису та вивчення явищ навколишньої дійсності спрямовано на оволодіння учнями особливою методологією з прийнятним для неї використанням специфічних міркувань. Аналіз тих ситуацій, де для проблеми, що розглядається, не виявляється однозначної відповіді, не повинен викликати розгубленості. Особливості стохастичних міркувань проявляються, перед усім, при інтерпретації результатів розв'язку математичної задачі, що виникла на базі статистичної інформації. З цієї причини в багатьох випадках одну й ту саму статистичну інформацію можна розуміти по-різному. Приклад:

Дві фірми по виготовленню взуття послали в одну з африканських країн свого агента для встановлення можливості продажі своєї продукції. Агент першої фірми телеграфував: «чудовий ринок для взуття - тут дев'яносто відсотків населення не носять чобіт». Агент іншої фірми повідомив: «тут немає ринку для взуття - дев'яносто відсотків населення не носять чобіт».

Тут доречне висловлювання англійського прем'єр-міністра ХІХ сторіччя Б. Дизраелі про те, що існують три види обману: звичайний обман, підступний обман та статистика. Одні й ті самі статистичні дані можуть привести до різних розв'язків. Звідси, математична модель не завжди адекватна практичній ситуації. Об'єктивні висновки можливо зробити лише на основі здорового глузду.

Вчитель, як помічник учнів, призваний прививати їм критичне ставлення до статистичних висновків та узагальнень, вміння правильно розуміти статистичну інформацію, самостійно виявляти різні фальсифікації, вміло замасковані під «правдоподібною» інформацією. Це сприяє розвитку у майбутніх дорослих громадян критичного мислення, вміння розуміти прихований зміст того чи іншого повідомлення, протистояти маніпулюванню свідомості особистості з боку засобів масової інформації.

2.4 Поняття випадкової події. Вірогідна та неможлива події

Поняття випадкової події формулюється мовою теорії множин.

Нехай ? - множина елементарних подій, що відповідає певному експерименту. Деяку (не будь-яку) підмножину А множини ? називають подією (або випадковою подією).

Подію називають випадковою, якщо за виконання певної сукупності умов вона може відбутися або не відбутися.

Кажуть, що в результаті випробування (проведення експерименту) подія А відбулася, якщо в цьому випробуванні відбулася елементарна подія Е така, що . Множини А = ? та В = ? завжди вважаються подіями (на відміну від інших підмножин ?).

Важливими поняттями теорії ймовірностей є поняття вірогідної і неможливої події. Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов'язково моє відбутися, а неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Оскільки ? - множина всіх можливих наслідків експерименту, то в результаті кожного експерименту подія ? обов'язково відбувається. Тому подія ? називають вірогідною.

Подія В = ? не містить жодного елемента (елементарної події) з множини ?, тому вона ніколи не може відбутися в результаті експерименту. Подія В = ? називають неможливою.

Ці поняття вже відомі учням, тому їх необхідно лише повторити.

Означення події, що спричиняється іншою, вводиться з використанням приклада.

Елементарні події Е такі, що , називаються елементарними подіями, що сприяють події А.

Приклад 1. Експеримент полягає в підкиданні монети один раз, . Тоді подіями можуть бути підмножини множини ?: , , , D=?, які означають відповідно, що можна впаде догори гербом, цифрою, гербом або цифрою, ні гербом, ні цифрою. Елементарна подія Г сприяє події і події , але не сприяє події і події D = ?. Аналогічно елементарна подія Ц сприяє подіям та і не сприяє події і події D = ?.

Нехай підмножини А і В множини ? є подіями. Якщо , тобто кожний елемент множини А є елементом і множини В, то кажуть, що подія А спричинює подію В (або подія В спричинює подію А). Отже, подія А є спричинює подію В тоді і тільки тоді, коли з відбуванням А відбувається і В.

Вивчаючи множини, учні знайомилися з геометричним представленням відносин між множинами - з кругами Ейлера (рис. 10).



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10. .

Круги Ейлера доцільно використовувати для більш повного представлення взаємовідносин між подіями. Простір елементарних подій зображається у вигляді прямокутника (рис. 11), на ньому в вигляді кругів розміщуються випадкові події (рис. 12).

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11. Рис. 12.

Важливим є означення рівних подій. Події А і В називають рівними, або рівносильними, або еквівалентними, якщо і , тобто, якщо кожний елемент множини А є одночасно елементом множини В і навпаки - кожний елемент множини В є елементом множини А. Отже події А і В рівні тоді і тільки тоді, коли вони одночасно відбуваються, або не відбуваються (рис. 13).



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 13. А=В.

Задачі:

Вказати всі можливі події, що визначаються множиною ? елементарних подій (1 - 3).

1. ? - множина наслідків випробування, яке полягає в підкиданні відразу двох монет (одна копійка, дві копійки) [17, стор. 8].

Як наслідки випробування розглядаються:

1) усі можливі пари появи герба і цифри на двох монетах, тобто ? = {ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}, де першою вказується монета вартістю одна копійка.

A = {ГГ} - «на двох монетах випав герб»;

B = {ЦЦ} - «не двох монетах випала цифра»;

C = {ГЦ, ЦГ} - «монети впали різними сторонами до гори»;

D = {ГЦ, ГГ} - «одна копійка впала догори гербом»;

E = {ЦГ, ЦЦ} - «одна копійка впала догори цифрою»;

F = {ЦГ, ГГ} - «дві копійки впали догори гербом»;

G = {ГЦ, ЦЦ} - «дві копійки впали догори цифрою»;

H = {ЦГ} - «одна копійка впала догори цифрою, а дві копійки впали догори гербом»;

J = {ГЦ} - «одна копійка впала догори гербом, а дві копійки впали догори цифрою»;

K = {ГГ, ЦЦ} - «монети впали догори однаковими сторонами»;

L = ?;

M = ?.

2) кількість появ герба на обох монетах, тобто ? = {0, 1, 2}.

A = {0} - «герб не випав жодного разу»;

B = {1} - «герб випав лише один раз»;

C = {1, 2} - «герб випав не менше, ніж один раз»;

D = {0, 1} - «герб випав не більше, ніж один раз»;

E = {2} - «герб випав на обох монетах»;

F = {0, 2} - «кількість появ герба не дорівнює одиниці»;

L = ?;

M = ?.

2. ? - множина наслідків випробування - пострілу в мішень, на якій вказано можливу кількість отриманих очок: 0, 1, 2, 3, 4, 5 залежно від відстані точки влучання до центра мішені. Розглядаються два наслідки випробування: менше, чи не менше трьох очок отримаємо після пострілу.

? = {«менше», «не менше»},

події:

A = {«менше»},

B = {«не менше»}

C = ?;

D = ?.

3. ? - множина наслідків випробування, що полягає в підкиданні одразу двох гральних кубиків (червоного та білого кольору), на гранях кожного з яких нанесено цифри від 1 до 6. [17, стор. 9].

Як наслідки випробування розглядаються:

1) можливі пари цифр (i; j), i = 1, 2…6, j = 1, 2…6, де i - цифра, що випала на верхній грані одного з кубиків (білого кольору), j - цифра, що випала на верхній грані іншого кубика (червоного кольору).

A = {(1; 1)}, B = {(1; 2)}, C = {(1; 3)}… D = {(6; 6)} та комбінації цих множин (наприклад: І= «на білому кубику випала двійка, а на червоному кубику випала п'ятірка»);

E = {(1; 1), (1; 2)… (1; 6)} - «на білому кубику випала одиниця», аналогічно для інших п'яти цифр (2, 3, 4, 5, 6), що випали на білому кубику;

F = {(1; 1), (2; 1)… (6; 1)} - «на червоному кубику випала одиниця», аналогічно для інших п'яти цифр (2, 3, 4, 5, 6), що випали на червоному кубику;

G = {(i; j): i = j, i = 1, 2…6, j = 1, 2…6} - «на двох кубиках випали однакові цифри»;

H = {(i; j): i ? j, i = 1, 2…6, j = 1, 2…6} - «на двох кубиках випали різні цифри»;

J = {(i; j): i = 1, 3, 5, j = 1, 2…6} - «на білому кубику випала непарна цифра»;

K = {(i; j): i = 2, 4, 6, j = 1, 2…6} - «на білому кубику випала парна цифра»;

L = {(i; j): i = 1, 2…6, j = 1, 3, 5} - «на червоному кубику випала непарна цифра»;

M = {(i; j): i = 1, 2…6, j = 2, 4, 6} - «на червоному кубику випала парна цифра»;

N = {(i; j): i = 1, 3, 5, j = 1, 3, 5} - «на обох кубиках випали непарні цифри»;

O = {(i; j): i = 2, 4, 6, j = 2, 4, 6} - «на обох кубиках випали парні цифри»;

P = «цифри, що випали на кубиках однакової парності»;

Q = «цифри, що випали на кубиках різної парності»;

R = {(i; j): i = 1, 3, 5, j = 2, 4, 6} - «на білому кубику випала непарна цифра, а на червоному кубику випала парна цифра»;

S = {(i; j): i = 2, 4, 6, j = 1, 3, 5} - «на білому кубику випала парна цифра, а на червоному кубику випала непарна цифра»;

T = {(i; j): i = 1, 3, 5, j = 1, 3, 5} - «на білому кубику випала непарна цифра, і на червоному кубику випала непарна цифра»;

U = {(i; j): i = 2, 4, 6, j = 1, 3, 5} - «на білому кубику випала парна цифра, а на червоному кубику випала непарна цифра»;

V = ?;

W = ?.

2) можливі суми цифр (i+j), i = 1, 2…6, j = 1, 2…6, де i - цифра, що випала на верхній грані одного з кубиків (білого кольору), j - цифра, що випала на верхній грані іншого кубика (червоного кольору).

?

A = {2}, B = {3}, C = {4}, D = {5}, K = {6}, L = {7}, M = {8}, N = {9}, O = {10}, P = {11}, Q = {12}, та їх комбінації (наприклад: E = {2, 6} - «сума цифр, що випали на кубиках або 2, або 6»);

F = {2, 4, 6…12} - «сума цифр, що випали на кубиках парне число»;

G = {3, 5, 7…11} - «сума цифр, що випали на кубиках непарне число»;

H = {3, 6, 9, 12} - «сума цифр, що випали на кубиках ділиться на 3», аналогічно на 4, 5, 6;

I = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} - «сума цифр, що випали на кубиках не ділиться на 3», аналогічно на 4, 5, 6;

J = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} - «сума цифр, що випали на кубиках не дорівнює 12», аналогічно для 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11;

V = ?;

W = ?.

4. Два товариші народились у різні місяці. Вкажіть множину елементарних подій ?. Як можуть бути представленні такі події:

A - «один з товаришів народився взимку»;

B - «один з товаришів народився влітку, інший - восени».

Які з наступних подій спричиняють подію А:

C - «один з товаришів народився восени»;

D - «обидва святкують свої дні народження взимку»;

E - «один з товаришів народився на Новий Рік, інший - восьмого березня».

Зобразити це за допомогою кругів Ейлера.



D сприяє A, бо DA (рис. 14).

Також Е сприяє А, ЕА (рис. 15)

Е ={(грудень, березень)}

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 14. Рис. 15.

5. Підкидають одразу дві гральні кості. Вкажіть множину елементарних подій ? та подію А - «сума очок, що випали на двох кубиках дорівнює 7». Назвіть подію, рівносильну події А та подію, яку спричиняє подія А.

Враховуємо суму очок, що випали на двох кубиках.

.

В - «сума очок, що випали на двох кубиках ділиться на 7», АВ і ВА (рис. 16).

С - «сума очок, що випали на двох кубиках - просте число», АС (рис. 17).

А і В - рівносильні, С спричиняється подією А.

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 16. А=В. Рис. 17. АС.

6. Екзаменаційна програма з Історії України складається з 20 питань. На іспиті пропонується відповісти на два з них. Учень підготувався з 10 перших питань. Які питання йому запропонують викладачі на іспиті? Вкажіть множину елементарних подій та подію А - «учневі дістались питання, до яких він підготувався, тобто знає відповіді і може відповісти». Які елементарні події з вказаних нижче будуть сприяти події А:

B - «вчитель поставив питання №3 та №12»;

C - «учень витяг білет з питаннями №6 та №7»;

D - «учневі необхідно відповісти на питання №10 та №11»;

E - «учневі дістались питання №1 та №20».

, ,

(рис. 18).

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 18. СА.

7. З урни, в якій знаходяться п'ять куль, пронумеровані числами 1, 2, 3, 4, 5 (кулі однакові на дотик) спочатку виймається одна куля, потім інша. Складіть множину елементарних подій (виймання двох куль) та опишіть наступні події:

А - «другого разу вийняли кулю з парною цифрою»;

В - «на вийнятих кулях два послідовних числа»;

С - «сума чисел на вийнятих кулях не більша за 4».

;

;

;

.

8. Маємо 10 відрізків, довжиною 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 10. Опишіть подію: А - «з трьох навмання взятих відрізків можна побудувати трикутник».

.

При розв'язуванні задач необхідно звернути увагу учнів на зміст, що криється за словами «менше», « не менше», «більше». Наприклад, завдання №2.

1) Після пострілу отримали менше трьох очок. Це означає, що кількість очок становить 0, 1 або 2. Тобто .

2) Після пострілу отримали не менше трьох очок. Тобто, або рівно три очки, або більше - 4, 5. .

Відповідь ? = {«менше», «більше»} для цього завдання не є вірною, адже втрачається наслідок випробування з результатом в три очки і множина ? елементарних подій неповна.

В задачах, де необхідно вказати всі можливі події, що визначаються множиною ? елементарних подій, до переліку подій в будь-якому випробуванні входять обов'язково входять дві події: неможлива = ? та вірогідна = ?.

Задача №3 може стати конкурсом на кількість можливих подій. В другому пункті необхідно запобігти появі такої помилки: S = {1} - можлива подія. Якщо сума цифр, що випали на верхніх гранях кубиків дорівнює 1, то це означає, що на одному з кубиків випало число 0, а це неможливо.

Використовувати завдання, зміст яких перекликається з суміжними дисциплінами необхідно обережно, адже це потребує наявності у учнів необхідних знань.

№8 - задача геометричного змісту на побудову. Як відомо для будь-якого трикутника справедлива нерівність , де а, b і с - сторони трикутника. Результатом описаного випробування є трійка чисел, три довжини навмання вибраних відрізків, позначимо їх а, b і с.

(а, b, с).

Кожна зі змінних набуває значень від 1 до 10.

, , .

Звісно, відрізки не повторюються, отже , і .

Необхідною умовою того, що з трьох навмання вибраних відрізків можна побудувати трикутник є нерівність .

Якщо зібрати всі умови, отримаємо шукану подію А.

.

2.5 Операції над подіями, їх геометрична інтерпретація

Оскільки події - це деякі підмножини множини ? елементарних подій, то для подій можна ввести за аналогією такі самі операції, як і для множин.

На початку уроку з даної теми доцільно провести опитування, щоб пригадати операції над множинами.

Можливі питання:

1) Яку множину ми називаємо сумою кількох множин?

2) Як позначається сума множин (двох, кількох)?

3) Дайте означення добутку множин.

4) Що ми називаємо різницею двох множин?

Кількість питань за необхідністю можна збільшити.

Основні властивості, якими володіють події ?, А, В, С як множини:

1. ? .

2. Якщо і , то .

3. А = А.

4. Якщо А = В, то В = А.

5. Якщо А = В, В = С, то А = С.

Нехай і - деякі події.

Сумою подій А і В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається принаймні одна з подій А або В.

Діти мають розуміти, що це означає, що кожна елементарна подія, що не належить до множини С, не належить принаймні до однієї з множин А або В, і навпаки, якщо або , то .

Аналогічно визначається сума довільної кількості подій , зокрема, - сума скінченої кількості n подій, а - сума зчисленої кількості подій (тут номер події набуває значень з множини N натуральних чисел). Суму скінченої або зчисленої кількості подій позначають , а також .

Нагадаємо, що для того, щоб одержати об'єднання (суму) двох множин А і В, треба до однієї з низ приєднати ті елементи іншої, яких немає в першій множині.

Позначення, які використовуються для сум:

.

Геометричне тлумачення суми подій А і В подано на рисунку 19, де прямокутником зображено множину елементарних подій ?, один з кругів - подія А, іншими - подія В застрахована множина - подія



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 19. .

Пояснення нового матеріалу супроводжується прикладами.

Приклад 1. Нехай - множина елементарних подій, що відповідає підкиданню експериментального кубика один раз, - подія, що полягає у випаданні на верхній грані числа, кратного 3, - подія, що полягає у випаданні парного числа. Тоді , - подія, яка полягає в тому, що на верхній грані кубика випаде або число, кратне 3 (відбудеться подія А), або число, кратне 2 (відбудеться подія В). - подія, яка полягає в тому, що на верхній грані кубика випаде парне число (відбувається подія В), кратне 3 (відбувається подія А). (рис. 20).

?

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

А В

Рис. 20.

Добутком подій А і В називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В.

Це означає, що кожна елементарна подія Е, що належить С, належить також до обох множин А і В, тобто і і навпаки, якщо і то . Отже, .

Добуток подій А і В позначають також А • В, або просто АВ. Аналогічно визначається добуток довільної кількості подій , зокрема - добуток скінченої кількості n подій, - добуток зчисленної кількості подій. Добуток скінченої або зчисленної кількості подій позначають , а також .

Нагадаємо, що для того, щоб одержати переріз (добуток) двох множин А і В треба взяти все елементи, які належать до обох цих множин.

Геометричне тлумачення добутку подій А і В Подано на рисунку 21, де заштрихована множина точок - подія .

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 21. .

Різницею подій А і В (А мінус В) називають таку подію С, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія В.

Це означає, що кожна елементарна подія Е, що належить до множини С, належить також до множини А і не належить до множини В, і навпаки, якщо і , то . Адже С = А\В. Тоді різницю подій А і В (А мінус В) позначають як А - В.

Нагадаємо, що для того щоб одержати різницю множин А і В, треба із множини А вилучити всі елементи множини В. Геометричне тлумачення різниці подій А і В подано на рисунку 22, де заштрихована множина точок А\В.

Важливим є означення протилежної події. Різницю ?/А називають подією, протилежною до події А і позначають . Отже, подія протилежна до А, відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А. Очевидно, події А і несумісні. Геометричне тлумачення протилежної події подано на рисунку 23, де заштрихована множина точок - подія , протилежна до події А.

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 22. А\В. Рис. 23. .

Прикладом для пояснення протилежної події може стати такий:

Приклад 2. В урні знаходяться білі й чорні кулі, які виймають по одній. Множина елементарних подій ? = {«біла куля», «чорна куля»}. Якщо подія А полягає в тому, що вийняли білу кулю, то протилежною буде подія, коли вийняли чорну кулю.

Подія , протилежна вірогідній, є неможливою. Неможливій події відповідає порожня множина можливих наслідків випробування.

Важливим для учнів є знання основних законів.

Нехай А, В і С - довільні випадкові події, ? - неможлива подія. Введені операції над подіями задовольняють таким законам:

1. - закон подвійного заперечення;

2.

3. АВ = ВА комутативні (переставні) закони додавання і множення

4.

5. асоціативні закони додавання і множення

6. - перший дистрибутивний (розподільний) закон

7. - другий дистрибутивний (розподільний) закон

8. А + А = А

9. А • А = А

10.

11. ?

12. A + ? = ?

13. A? =A

14. A + ? = A

15. А ? = ?

16.

17. закони двоїстості (правила де Моргана)

Рівності 1 - 5, 8 - 15 випливають безпосередньо з наведених вище означень.

Розглянемо, наприклад, рівність 7: .

Геометрично цей закон можна проілюструвати так, як показано на рисунку 24 та рисунку 25. При порівнянні цих зображень, можна впевнитися, що множини збігаються.

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 24. . Рис. 25. .

Система вправ до цієї теми:

1. Мішень складається з 10 кругів, обмежених концентричними колами з радіусами : . Подія полягає у влученні в круг з радіусом . Що означають події:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) . [17, стор. 12].

1) Влучено принаймні в один круг з шести, обмежених колами, радіуси яких дорівнюють , , , , , (рис. 26).

2) Влучено в круг, обмежений колом з радіусом .

3) Влучено в кільце, обмежене колами з радіусами та , k=1, 2….