Технологія вивчення початків стохастики в одинадцятих класах з поглибленим вивченням математики з використанням педагогічного програмного засобу GRAN1



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 26. Рис. 27.

4) Ця подія неможлива, бо вона означає, що влучено в круг з радіусом і при цьому не влучено в круг з радіусом , а за умовою < .

5) Не влучено в круг з радіусом , k= 1, 2…10.

2. Маємо події А, В и С. Записати вирази для подій, які полягають в тому, що:

а). настала лише подія А;

б). настали А і В, С не настала;

в). настала принаймні одна з цих подій;

г). не настала жодна з подій;

д). настали всі три події;

е). настало не більше двох подій.

Зобразити ці події за допомогою кругів Ейлера.

а). (рис. 28.) б). (рис. 29.)



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 28. D. Рис. 29. E.

в)., г). (рис. 31.)

де АВ = А·В. (рис. 30.)

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 30. F. Рис. 31. G.

д). (рис. 32.) е). (рис. 33.)

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 32. H. Рис. 33. K.

3. В полі зору мікроскопа знаходяться чотири клітини. За час спостерігання кожна з них може як розділитися, так і не розділитися. Розглядаються події:

A - «розділилась лише одна клітина»;

B - «Розділилась хоча б одна клітина»;

C - «Розділилося не менше двох клітин»;

D - «Розділилося рівно дві клітини»;

M - «Розділилося рівно три клітини»;

F - «Розділилися усі чотири клітини».

Запишіть словами вирази 1 - 7.

Чи вірні рівності 8, 9?

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) ,

8) , 9) . [6, стор. 256].

1) - «розділилися усі чотири клітини»;

2) - «розділилась хоча б одна клітина»;

3) - «розділилась лише одна клітина»;

4) - «розділилась хоча б одна клітина»;

5) - «розділилося не менше двох клітин»;

6) - «розділилося не менше двох клітин»;

7) - «розділилися усі чотири клітини»;

8)

, , отже рівність вірна;

9)

Рівність не вірна, бо .

4. Назвіть для вказаних подій протилежні:

A - «Випало два герба» (підкидання двох монет);

B - «Вийняли білий шар» (виймають один шар з ящика, де лежать білі, червоні та сині шари);

C - «Три влучання» (зробили три постріли по мішені);

M - «Не більше двох влучань» (п'ять пострілів);

D - «Хоча б одне влучання» (п'ять пострілів);

F - «Виграв Петренко» (партія в шахи Петренко - Василенко).

- «випало дві цифри, або цифра та герб»;

- «вийняли червоний, або синій шар»;

- «менше, ніж три влучання»;

- «не менше трьох влучань»;

- «жодного влучання»;

- «виграв Василенко, або нічия».

5. Які з наступних пар подій не сумісні:

а) навмання вибране натуральне число від 1 до 100 включно ділиться на три; є простим числом;

б) влучання при одному пострілі; промах;

в) виграш у футбольному матчі; програш.

б) влучання при одному пострілі; промах; та в) виграш у футбольному матчі; програш.

6. З 25 учнів 20 чоловік займаються спортом (подія А), 9 - музикою (подія В), 6 - музикою і спортом (подія С). З'ясувати, в чому складаються події , та . [33, стор. 15].

, С = 6.

- «14 учнів займаються лише спортом»;

- «троє учнів займаються лише музикою».

Отже, і музикою і спортом займаються 23 учня, а тому подія полягає в тому, що лише 2 учні з 25 не займаються ні музикою, ні спортом (рис. 34).



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 34.

7. Брауну, Джонсу, та Сміту висунуто звинувачення в співучасті в пограбуванні банку. Грабіжники втекли на автомобілі, що очікував їх за рогом. На допиті Браун розповів, що злочинці були на блакитному «Б'юіку», Джонс дав свідчення, що це був чорний «Крайслер», а Сміт стверджував, що автомобіль був марки «Форд Мустанг» ні в якому разі не блакитний. Стало відомо, що прагнучи заплутати слідство, кожен з них вказав вірно лише або марку машини, або її колір. Якої марки та якого кольору був автомобіль, на якому втекли грабіжники банку? [33, стор. 326].

Позначимо події так: в пограбуванні брав участь автомобіль

A - блакитного кольору;

B - марки «Б'юік»;

C - чорного кольору;

D - марки «Крайслер»;

E - марки «Форд Мустанг».

В кожному окремому свідченні освітлюється пара подій, одна з яких відбулася, тобто відбулася сума цих двох подій.

- свідчення Брауна;

- свідчення Джонса;

- свідчення Сміта.

З того, що ці всі події відбулися випливає, що відбувся їх добуток

Якщо вилучити неможливі події, тобто ті події, що не можуть відбутися (наприклад: - злочинців чекав автомобілі, одночасно і блакитного, і чорного кольору марки «Форд Мустанг»), залишається лише подія . Можна зробити висновок, що грабіжники втекли на чорному «Б'юіку».

8. Чи може сума двох подій А та В співпадати з їх добутком?.

Так, може, якщо події рівнозначні, тобто якщо з події А випливає подія В і, навпаки з події В випливає подія А.

Для більш реального представлення подій, які описані в задачі №1 використовується зображення мішені, яка складається з концентричних кругів, або гра «Дарц».

Задача №2 відкриває вчителю великий простір для творчості. Подану суху, майже шаблонну задачу можна наповнити змістом - реальними подіями, які можуть як перетинатись, так і не перетинатись.

Наприклад: В інкубаторі закладено три яйця, які позначено цифрами 1, 2, 3. В заздалегідь відомий час з них мають вилупитись: з першого - курча, з другого - гусеня, з третього - каченя. Подія А полягає в тому, що вилупилось курча, В-гусеня, С - каченя.

Необхідно привчити учнів до використання як знаків « *», «·» так і « », як знака « +», так і « ». В одному завданні (в одному виразі) використовувати лише один з пари знаків.

Важливим для учнів є вміння зображати вирази операцій над подіями графічно, за допомогою кругів Ейлера.

Ось приблизний алгоритм розв'язку завдання на зображення подій за допомогою кругів Ейлера:

1. Якщо необхідно, спрощуємо чи перетворюємо поданий вираз.

2. Прямокутником зображаємо множину елементарних подій ?.

3. На ній розміщуємо у вигляді кругів випадкові події, позначаємо їх літерами (необхідно врахувати можливі умови, наприклад А = В, чи АВ = ?, ).

Якщо розглядаються три випадкові події, найбільш прийнятне таке розміщення, як показано на рисунку 35.

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 35.

4. Послідовно, враховуючи дужки штрихуванням показуємо події які є результатом кожної операції.

5. Виділяємо шукану подію (її можна заштрихувати унікальним способом, або іншим кольором, позначити границі) та позначаємо її літерою.

Якщо ж шукана подія сформульована словами, необхідно самостійно скласти вираз.

Розв'яжемо за цим алгоритмом завдання №2, а).

Нехай шукана подія - D.

1. .

2. рисунок 36. 3. рисунок 37.



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 36. Рис. 37.

4.1. (рис. 38) 4.2. (рис. 39)

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 38. Рис. 39.

5. рисунок 40.

108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 40.

При розв'язуванні завдання №8 доречно розглянути такий приклад:

Нехай здійснюється один постріл по мішені. Приймемо таку умову, що влучання в мішень неодмінно призводить до її руйнування і ніяким іншим засобом мішень зруйнувати не можливо. Тоді дві події: А - влучання в мішень і В-руйнування мішені еквівалентні (А = В).

Для них

А + В = А = В

А*В = А = В.

2.6 Статистичне означення ймовірності або відносна частота

Перед тим, як вводити означення імовірності випадкової події, необхідно сформувати у учнів загальне поняття імовірності. Цього можна досягти, використовуючи проблемний метод навчання. Необхідно підібрати достатню кількість задач, головною «родзинкою» яких повинно бути не складність та об'єм змісту, тобто імовірнісної ситуації, а варіативність питань. Ці питання або в прямій формі ставляться вчителем, або до їх формулювання діти приходять самі.

Імовірність випадкової події - числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.

Необхідно відрізняти класичну ймовірність та статистичну ймовірність. Класична імовірність має обмежену область застосування, оскільки далеко не завжди в реальних умовах можна виділити рівно можливі випадки в скінченій кількості. Наприклад, спостерігаючи за космічними частинками, дослідники зацікавились, яка імовірність потрапляння на певну ділянку земної поверхні за певний період не більше від трьох космічних частинок? Як у даному прикладі визначити рівно можливі випадки? У подібних задачах використовують статистичне означення ймовірності., воно залежить від кількості випробувань.

В посібнику для вчителів М.І. Жолдака та Г.О. Михаліна «Елементи стохастики з комп'ютерною підтримкою», на який ми спираємося в підборі теоретичного матеріалу, використано саме статистичний або емпіричний підхід до формування поняття ймовірності. За його допомогою можна сформувати в учнів інтуїтивне уявлення не тільки про ймовірність, а й про аксіоматичний метод побудови теорії ймовірностей.

Статистична ймовірність (відносна частота) є невід'ємна, цілком адитивна, нормована одиницею функція, визначена на сукупності подій, тобто задовольняє всі аксіоми стосовно ймовірностей, а тому може розглядатися та обчислюватися як звичайна ймовірність. Разом з тим поняття статистичної ймовірності (відносної частоти) значно легше сприймається учнями, зважаючи на їхні вікові особливості, базу математичних знань, життєвий досвід, сформованість абстрактного мислення, здатність до узагальнень. З огляду на сказане цілком природно починати формування основних понять теорії ймовірностей та математичної статистики з вивчення поняття статистичної ймовірності (відносної частоти) та її властивостей, а також методів її обчислення, відмовившись від «класичного», «геометричного» та «механічного» означень ймовірності. [17, стор. 4].

Для обчислення статистичної ймовірності для неперервного розподілу відносних частот на деякому відрізку не обов'язково використовувати поняття і позначення інтеграла, оскільки можна подати як , де , .

Отже, можна, з одного боку, не використовувати поняття інтеграла, якщо елементи стохастики вивчаються з дітьми, які ще не ознайомленні з цим поняттям, а з іншого боку, формувати таке поняття, використовуючи спочатку обчислення площ під графіками кусково-сталих функцій для досить дрібних проміжків .

Для введення означення випадкової події, розглянемо деякий простір S випадкових подій, що відповідає простору ? елементарних подій. Нехай проведено серію з n випробувань, в яких відбулися так звані спостережені елементарні події , і=1, 2,…, n. Візьмемо довільну елементарну подію і довільну подію . Тоді:

1) Число , що дорівнює кількості тих випробувань, у яких спостережені елементарні події дорівнюють Е, називається абсолютною частотою елементарної події в даній серії з n випробувань.

2) Число , що дорівнює кількості тих випробувань, у яких спостережені елементарні події належать до А (сприяють події А), називається абсолютною частотою події в даній серії з n випробувань.

3) Число - відносна частота або статистична ймовірність елементарної події в даній серії з n випробувань. Відносною частотою або статистичною ймовірністю елементарної події називається відношення абсолютної частоти елементарної події до загальної кількості випробувань.

4) Число - відносна частота або статистична ймовірність події в даній серії з n випробувань. Відносною частотою або статистичною ймовірністю події називається відношення абсолютної частоти випадкової події до загальної кількості випробувань.

З вищезазначеного випливає, що і , тобто абсолютна та відносна частоти довільної події цілком визначаються відповідно абсолютними та відносними частотами елементарних подій .

Приклад 1. Нехай простір елементарних подій ? = {Г, Ц}, а простір подій S = {?, ?, {Г}, {Ц}} і подія А₀ = {Г} - випадання герба під час однократного підкидання монети. Припустимо, що проведено n = 100 підкидань монети, в результаті яких герб випав 45 раз. Тоді , , К₁₀₀(?) = 0, К₁₀₀(?) = 100 - абсолютні частоти відповідних подій. А відносними частотами відповідних подій у серії з n = 100 підкидань монети є числа , , (?) = 0, (?) = 1.

Необхідно зауважити, що коли провести іншу серію зі 100 підкидань монети, то дістанемо значення , , які необов'язково будуть дорівнювати попереднім.

Основні властивості статистичної ймовірності, які безпосередньо випливають з означення:

1. , тобто статистична ймовірність довільної події невід'ємна.

2. , якщо і ? для (події попарно несумісні), тобто статистична ймовірність скінченої або зчисленної суми попарно несумісних подій. Це так звана властивість повної (або зчисленної) адитивності статистичної ймовірності.

3. , тобто статистична ймовірність вірогідної події дорівнює 1.

З цих трьох основних властивостей статистичної ймовірності виводяться усі інші.

4. .

Як нам уже відомо, ? і , тому за основними властивостями 3 та 2 маємо: . Отже .

5. (?) = 0.

Оскільки ?·? = ? і ? + ? = ?, то за основною властивістю 2:

(?) = (?) + (?) = 0.

6. Якщо , то .

Справді, якщо , то В = А + (В\А) і А·(В\А) = ?. Тому за властивостями 2 і 1 маємо: .

Зокрема, для будь-якої події А, якщо В = ?, то , і тому . Маємо .

Враховуючи отриманий результат та властивість 1, дістанемо наступну властивість.

7. . Статистична ймовірність довільної події може набувати значення лише з відрізка [0; 1].

2.7 Використання ПК на уроках математики при вивченні елементів стохастики

Під час опрацювання статистичних даних, особливо коли вони мають досить великий обсяг, доводиться мати справу з великою кількістю нетворчих, нецікавих, рутинних обчислювальних і графічних операцій. Особливо це стає проблемою, коли вчитель не має достатньої кількості учбових годин, а є бажання запропонувати учням цікаві завдання, або й залучити їх самих до збирання та обробки статистичних даних. Тут в нагоді стане меж предметний зв'язок математики та інформатики.

Заняття з математики, орієнтовані на використання педагогічних програмних засобів навчання, мають проходити у відповідно оснащеному досконалими технічними засобами класі. У таких класах мають вивчатися всі навчальні предмети без винятку, а не лише основи інформатики та обчислювальної техніки. Це сприятиме розширенню і поглибленню інтеграції навчальних предметів, та дасть можливість оволодіти елементами нових інформаційних технологій, з використанням їх на практиці.

Прикро, але сьогодні в школі не використовується в повному обсязі можливості прикладного програмного забезпечення для різноманітних навчальних дисциплін. Роботу з комп'ютером залишають викладачеві інформатики. Нажаль, вчителі інших предметів досить рідко використовують можливість зацікавити своїх учнів дисципліною, що викладають, урізноманітнити свої уроки та полегшити як свою, так і учнівську роботу.

Міністерством освіти і науки України під час вивчення в школі курсу алгебри та початків аналізу, а також деяких розділів геометрії, для аналізу функціональних залежностей та статистичних закономірностей рекомендовано використання педагогічних програмних засобів GRAN1 та Derive. Вони призначені насамперед для розв'язування широкого класу задач шляхом моделювання об'єктів, що фігурують в умові задачі.

Розглянемо можливості застосування програмного засобу GRAN1 при викладанні початків теорії ймовірностей. За його допомогою можна виконати велику кількість обчислень і графічних побудов. Він полегшує опрацювання статистичного матеріалу, оскільки всі обчислення, побудови графіків (полігонів частот, гістограм, функцій дискретних та неперервних розподілів відносних частот), визначення деяких параметрів розподілу (середнє значення, характеристики розсіювання і т. п.) комп'ютер виконує автоматично і практично миттєво - досить звернутися до відповідної послуги програми. Тому з'являється можливість основну увагу зосередити на з'ясуванні сутності явищ, які вивчаються, їх властивостей, причинно-наслідкових зв'язків, різних особливостей окремих їх проявів. Усі рутинні операції, пов'язані з виконанням обчислень та графічних побудов, перекладаються на комп'ютер.

GRAN1 досить легкий в застосуванні, з простим інтерфейсом. Він не вимагає ні від вчителя, ні від учнів якихось особливих знань з інформатики чи програмування. Достатньо буде мінімума навичок користувача. Є змога обрати українську мову або російську мову.

Робоче вікно GRAN1 (Windows) містить панель інструментів, меню та три вікна: Графік, Список обєктів та Відповіді (рисунок 41). Надалі GRAN1 (W) будемо позначати як GRAN1.



Рис. 41.

У вікні Графік будуються графічні зображення об'єктів. При переміщуванні мишки у вікні відповідним чином переміщується і покажчик координат (зображується перехрестям) та виводяться значення координат у верхній частині вікна. Цей покажчик можна переміщувати і за допомогою клавіш управління курсором. У вікні також можна робити пояснювальні написи за допомогою міток. За допомогою послуги меню Графік / Параметри вікна «Графік» можна встановити різні характеристики цього вікна.

Вікно Список обєктів містить список для вибору типу об'єкту, що буде створюватися, список введених об'єктів та панель виведення інформації про поточний об'єкт (об'єкт на якому знаходиться курсор - зображуються інверсним кольором у списку об'єктів). Операції програми виконуються над поточним об'єктом або над відміченими об'єктами.

У вікні Відповіді подаються результати виконання операцій програми.

Меню програми складається з наступних пунктів: Файл, Об'єкт, Виправлення, Графік, Операції та Допомога(«?»). Послуги пункту меню Файл призначені для запису або читання математичних об'єктів у файл чи з файлу на диску. Пункт Об'єкт обслуговує роботу з математичними об'єктами. Послуги Виправлення призначені для роботи з буфером обміну. Графік - для проведення операцій над графіками, що відповідають введеним математичним об'єктам. Послуги пункту меню Операції призначені для виконання певних математичних операцій над введеними об'єктами.

Окремі послуги меню винесено на панель інструментів та, залежно від призначення, деякі пункти повторено в контекстних меню вікон програми.

Для ефективного використання педагогічного програмного засобу GRAN1 необхідно побудувати послідовність уроків таким чином, щоб на одному з уроків можна було б з учнями розібрати негроміздку задачу, побудувати вручну полігон чи гістограму. А на наступному уроці в кабінеті, обладнаному комп'ютерами, цю ж саму задачу розв'язати за допомогою GRAN1. Це буде своєрідним повторенням, та самоперевіркою. Діти зможуть одразу відчути переваги використання GRAN1, як програмний засіб полегшує обробробку статистичних даних та скорочує час, затрачаний на розв'язання задачі. Потім можна запропонувати учням самостійно розв'язати задачі з більшим об'ємом статистичних даних.

Звичайно, якщо діти ще не працювали з цією програмою, то для роботи в комп'ютерному кабінеті краще запланувати зпарений урок, в першій частині якого провести знайомство з GRAN1 (не обов'язково при цьому розглядати створення математичного об'єкту «статистична вибірка», можна почати з простої явно заданої функції). Другий з двох спарених уроків присвячуємо саме розв'язанню задач за допомогою GRAN1. Один з варіантів проведення цих уроків - лабораторні роботи.

Осі орієнтовний зміст лабораторних робіт наведено нижче в косих дужках (\\) - коментарі для викладача:

Лабораторна робота №1.

Знайомство з програмою GRAN1.

Мета: сформувати необхідні вміння та навички роботи з програмним засобом GRAN1.

Обладнання: ПК, програмний засіб GRAN1.

Порядок роботи:

Крок 1. Активізація програми.

\\ Для роботи з програмою GRAN1 потрібно мати два файли - gran1.exe та gran1.hlp, загальний обсяг яких становить близько 240 Кбайт.\\

Завантажте GRAN1. Для ціого можна скористатися ярликом GRAN1 на робочому столі, або відкрити за допомогою однієї з файлових оболонок (Провідник Windows чи Windows Commander) файл C:/ GRAN1/ gran1.exe.

\\ Заздалегідь необхідно створити ярлик для програми GRAN1, розмістивши його на робочих столах комп'ютерів, або винести його на панель інструментів. Вказуємо повну адресу розташування файлу gran1.exe на диску машин.\\

Після активізації програми на екрані ПЕОМ з'явиться робоче вікно, яке показано на рисунку 41. Розглянте його, з'ясуйте, з якіх вікон він складається, які ще об'єкти на ньому розташовано. Вивчіть які відомості подано в кожному з вікон програми.

Крок 2. Вивчення головного меню програми GRAN1.

2.1. У верхньому рядку робочого вікна GRAN1 розміщено головне меню - перелік послуг, до яких можна звернутися в процесі роботи з програмою. При зверненні до певного пункту головного меню з'являється перелік пунктів відповідного підменю (рис. 42). Пункти підменю, в свою чергу, можуть розгалужуватись на підпункти, перелік яких з'являється при звернені до відповідного пункту підменю. Назви підпунктів підменю, використання яких в даний моменнт не є коректними, подано блідим кольором [14, стор. 8]. Ще кажуть, що вони неактивні.



Рис. 42.

2.2. Натисніть правою кнопкою миші на пункті головного меню, позначеного «?». Оберіть пункт Про програму цього підменю. На екрані з'явиться віконце, яке повідомляє короткі відомості про GRAN1. Щоб закрити його скористайтеся кнопкою з хрестиком в правому верхньому куті вікна, або натисніть конопку Ok.

2.3. Оберіть пункт головного меню Графік, перегляньте зміст підменю, та впевнітесь, що біля пунктів Масштаб та Список точок на графіку зображено стрілочки. Це говорить про те, що вони розгалужуються на підпункти. Перегляньте їх перелік при звернені до кожного з пунктів.

Зверніть увагу на те, що в підменю Графік пункт Побудувати неактивний, тому що не створено математичний об'єкт, а отже неможливо побудувати його графічне представлення.

Крок 3. Способи звернення до послуг програми.

Звернення до окремиг послуг програми GRAN1 віднімає багато часу, якщо перебирати пункти головного меню і підпункти відповідних підменю. При необхідності це можна здій снити за допомогою Панелі інструментів чи функціональних клавіш (певних комбінацій клавіш).

3.1. Панель інструментів розташовано ліворуч на робочому вікні GRAN1. вивчіть призначення кожного з його об'єктів. Якщо навести мишку на об'єкт та потримати її деякий час, з'явиться спливаюча підказка. Занесіть до зошитів схематичне зображення кнопок Панелі інструментів та запешіть їх призначення.

\\ Для зменьшення витрат часу на виконання цього завдання, запропонуйте дітям картки (додаток 1), які вони заповнюють та потім вклеюють до робочих зошитів.\\

3.2. Відповідність окремих функціональних клавіш та їх комбінацій послугам програми показано у відповідних підменю пунктів головного меню.

Вивчіть, які функціональних клавіші використовуються при користуванні програмою GRAN1, та запешіть до робочого зошиту комбінації клавіш та їх призначення.

Відмова від роботи із щойно обраною послугою і повернення до головного меню здійснюється за допомогою клавіши Esc, або натисканням правої клавіши мишки.

Крок 4. Збереження наробок.

4.1. Оберіть в головному меню пункт Файл, пункт підменю Записати чи Записати як… З'являється вікно Збереження файлу. В полі Ім'я файлу введіть назву, яка вам довподоби. Вона не повинна перевіщувати 255 символів, та містити деякі спеціальні символи. Натисніть кнопку Сберігти.

\\ Зазвичай файл зберігається в тій папці, де розташовано файли gran1.exe та gran1.hlp. Але вчитель може запропонувати учням збереження своїх робіт в папці свого класу. Наприклад C:/ 11А / Петренко.\\

4.2. Запустіть будь-яку з файлових оболонок (Провідник Windows чи Windows Commander) та знайдіть свій збережений файл. Він буде мати розширення.gr1. При необхідності можна скористуватися послугою Файл/Відкрити щоб відкрити один зі збережених файлів.

Крок 5. Звернення до допомоги.

Програму GRAN1 оснащено контекстно-чутливою допомогою. Якщо вказівник встановлено на на певний підпункт деякого пункту головного меню, то при натисненні клавіши F1 у вікні Графік з'являється допоміжне вікно, в якому міститься коротка інформація про призначення зазначенного пункту та про правила його використання.

Одночасне натискання клавіш Ctrl + F1 приводить до появи на екрані вікна з переліком всіх пунктів допомоги.

Зкористайтесь контекстно-чутливою допомогою при підготовці відповідей на питання до цієї лабораторної роботи.

Запитання для контролю.

1. З яких об'єктів складається робоче вікно програми GRAN1, яке їх призначення?

2. Охарактеризуйте кожне з вікон програми.

3. Скільки пунктів містить головне меню програми GRAN1? Коротко охарактеризуйте зміст кожного з пунктів.

4. Як дізнатися чи є можливим звернення до деякого підпункту меню в данний момент?

5. Як дізнатись про призначення того чи іншого підпункту деякого підменю?

6. Що потрібно зробити, щоб вивести на екран перелік всіх пунктів допомоги?

7. Як дізнатись про призначення деяких функціональних клавіш? Наведіть приклад.

8. Що являє собою панель інструментів? Які функції виконує кожний з її елементів?

Лабораторна робота №2.

Обробка статистичних даних за допомогою GRAN1.

Мета: узагальнити та систематизувати знання, сформувати необхідні вміння та навички розв'язування статистичних задач за допомогою GRAN1.

Обладнання: ПК, програмний засіб GRAN1.

Порядок роботи:

Задача 1: Проведіть експеримент: підкиньте 50 разів дві гральні кості і запишіть суму для кожного кидка. Яка сума з'явилась частіше? Яка - найменшу кількість разів? Яке число з'явилось частіше: 3 або 12?

\\ Ми вже розглядали розв'язування цієї задачі. \\

Таблиця 8 - таблиця експерименту:

Таблиця 8.

1	3	6	12	11	4	16	3	21	6	26	5	31	10	36	8	41	3	46	12
2	5	7	2	12	6	17	8	22	10	27	3	32	7	37	5	42	8	47	8
3	9	8	8	13	11	18	5	23	7	28	8	33	7	38	7	43	5	48	6
4	11	9	4	14	7	19	2	24	12	29	2	34	11	39	9	44	9	49	2
5	6	10	9	15	10	20	9	25	4	30	6	35	3	40	12	45	7	50	10

Крок 1. Актуалізація знань.

\\ Цей крок не обов'язково включати до методичних рекомендації, які роздаються учням. Опитування необхідно провести ще до початку роботи за комп'ютером.\\

Дайте відповіді на питання:

1. Що ми називаємо елементарною подією? Наведіть приклади.

2. Дайте означення випадкової події. Приклад випадкової події.

3. Поясніть різницю між елементарною подією і випадковою подією, використовуючи конкретний приклад.

4. Дайте означення статистичної ймовірності елементарної події.

5. Дайте означення статистичної ймовірності випадкової події.

6. За якими формулами обчислюються статистичні ймовірності подій?

7. Який алгоритм побудови полігону для дискретного варіаційного ряду частот?

Крок 2. Початок роботи.

Завантажте GRAN1.

Крок 3. Створення об'єкту «статистична вибірка».

В вікні Список обєктів зі списку для вибору типу об'єкту обираємо статистичну вибірку. Використавши або контекстне меню цього вікна (права кнопка миші), або головне меню Об'єкт, обираємо послугу Створити. На екрані з'являється вікно Дані статистичної вибірки (рисунок 43).

Рис. 43.

Перемикач в розділі Тип даних ставимо навпроти пункту Варіанти.

В таблицю вводимо наші дані. Після вводу числа, натискаємо Enter і з'являється новий рядок для наступного числа. В нагоді стануть кнопки Вставити рядок(), Вилучити рядок() та Очистити таблицю().

В розділі Тип графіка обираємо Полігон.

За бажанням можемо змінити колір, яким буде зображено наш полігон, вибравши його в палітрі.

Тиснемо на кнопку Далі. В нижній частині вікна Список обєктів зявляться підраховані деякі параметри нашої виборки.

Крок 4. Побудова полігону варіаційного ряду.

Скориставшись об'єктом панелі інструментів , або пунктом меню Графік / Побудувати, будуємо полігон варіаційного ряду (див. додаток 2).

Для наочності можна зменшити масштаб, або в послузі меню Графік / Масштаб / Масштаб користувача обрати оптимальний. Масштаб відображається у верхній частині вікна. Ті значення на осях, які нас цікавлять, можна позначити, використовуючи мітки.

Крок 5. Вивчення частотної таблиці.

За допомогою послуги меню Операції/Статистика / Частотна таблиця відкриваємо таке вікно, як показано на рисунку 44.

Рис. 44.

Розгляньте цю таблицю, які дані містяться в кожній колонці? Які можна зробити висновки за інформацією, отриманою з частотної таблиці?

Крок 6. Відповіді.

Тепер ми можемо відповісти на поставленні питання. Найчастіше з'явилися суми 7 та 8; найменшу кількість разів - 4 та 11. Частіше отримували суму 3, ніж 12. (див Приклад1.gr1)

Використовувати GRAN1, оброброблюючи статистичні дані, дуже зручно, але існують деякі мінуси. Розрахунки виконуються автоматично, учень навіть не замислюється, що саме: математичне сподівання, моду чи середнє квадратичне, йому необхідно обчислити, щоб відповісти на запитання, поставлене в задачі. GRAN1 не вимагає у каристувача знання формули за якою необхідно вести розрахунки.

GRAN1 доцільно використовувати як засіб наглядності. Вчитель може заздалегідь до уроку створити математичний об'єкт «статистична вибірка» з необхідними даними і параметрами та зберегти його. А на уроці лише відкрити програму та показати учням готові результати, не витрачаючи час на побудови того ж полігону на дошці, підрахування різних властивостей вибірки за формулами.

Нажаль, не завжди є змога провести урок математики в кабінеті, обладнаному комп'ютерами чи використати один комп'ютер для демонстрації наочності і прикладів. В такому випадку можна використати GRAN1 для розробки дидактичного матеріалу. Наприклад, створити картки для розглянутого нами приклада (див. додаток 3), як наочне представлення простої статистичної вибірки, або більш складної задачі з великим об'ємом статистичних даних.

Ось приклади задач, розв'язаних за допомогою GRAN1:

Задача 2: Побудувати дискретний варіаційний ряд і накреслити полігон для розподілу 45 пар чоловічого взуття, проданого магазином за день:

41, 40, 39, 40, 42, 41, 42, 40, 44, 41, 43, 42, 43, 42, 39, 41, 39, 41, 42, 43, 37, 41, 42, 43, 38, 41, 40, 42, 41, 40, 40, 42, 40, 41, 39, 40, 44, 38, 41, 40, 39, 38, 43, 42, 41 [14, стор. 504].

Першим етапом є самостійне розв'язання задачі. Вона не дуже складна, тому вчитель може обрати один з двох варіантів: або розв'язувати її на уроці, або дати як домашнє завдання перед уроком в комп'ютерному кабінеті.

Проаналізувавши статистичні дані, отримаємо таблицю 9.

Таблиця 9.

Розмір взуття	37	38	39	40	41	42	43	44	Разом
Кількість пар	1	3	5	9	11	9	5	2	45

Відкладаємо на осі ОХ розміри взуття, а на осі ОY - кількість проданих магазином пар. Масштаб обираємо таким чином, щоб висота полігону відносилась до його ширини, як 3:5 (рисунок 45).



Рис. 45.

Наступним етапом розв'язання цієї задачі є перевірка отриманих результатів за допомогою GRAN1.

Діти створюють математичний об'єкт «статистична вибірка», заносять статистичні дані в таблицю, потім отримують полігон, параметри вибірки та, за допомогою послуги меню «Операції/Статистика / Частотна таблиця», частотну таблицю (див. Приклад2.gr1).

Порівнявши полігон, отриманий самостійно, та той, що одержано за допомогою GRAN1 (див. додаток 4), діти зможуть адекватно оцінити свою роботу, та побачити власні помилки. Вчитель повинен стати координатором ціого процесу.

Наступною має стати задача з більшим об'ємом статистичних даних, або ж з даними, що представлені дробами чи великими числами.

Задача 3: Підприємство «Аква» випускає різноманітну продукцію, щодня товар реалізується, причому різним покупцям. Керівник зацікавився, які з партнерів цього підприємства є найбільш активними покупцями, а які ні. Розгляньте реєстр видаткових накладних (див. додаток 5) фірми «Аква», де вказано суми та назви фірм, дайте відповідь на це питання.

Для більш зручної обробки даних, в зазначеній таблиці поряд з колонкою, що містить назву покупця, розміщено колонку з номером, який присвоєно кожному покупцю (див. додаток 6).

Для зручності введення даних, кожному учневі роздається таблиця реєстру.

Родзинка задачі полягає в тому, що питання поставлено не в формалізованій формі. Звісно, тут нама б було чаго робити, якщо б задача вимагала знайти середнє значення, або просто побудувати полігон.

Створивши за введеними данними математичний обєкт (див. Приклад3.gr1), ми одразу отримаємо відповідь на питання: кого можна назвати постійним клієнтом фірми «Аква». Побудова полігону - це лише наочне представлення (див. додаток 7). За частотною таблицею (див. додаток 8) можна охарактеризувати кожного з покупців.

Отже, постійним клієнтом фірми «Аква» є покупець, позначений номером 8, - це фірма «Інвест». І маємо цілу низку клієнтів (16 фірм), якім «Аква» за розглянутий період постачала свій товар лише один раз:

4 - Приморец;

14 - Промтепловоз ДЗРТ;

15 - ТЕХРЕМ ООО;

17 - Лик-СВ ООО;

20 - Прогресс;

21 - Транзас Украина;

24 - Донэлектро ООО;

26 - Азовкомплект ООО НПП;

27 - Модус-Сервис ООО ПКФ;

28 - Промсбыт ООО;

30 - Астапов;

32 - Керченський судоремонтный завод;

33 - НКМЗ ЗАО;

34 - Технохим ЗАО;

36 - Порт Мариупольский торговый;

38 - Индустриал-2000.

Процес розв'язання задач за допомогою GRAN1 дозволить перевірити учнів на наявність знань про способи оцінки даних за розподілом частот, виявлення міри центральної тенденції (центрального положення).

Найпростіше знайти міру центральної тенденції за допомогою моди.

Мода - це значення ознаки, яке зустрічається найчастіше в данному ряді розподілу.

Проте не кожна сукупність значень має єдину моду в строгому розумінні ціого означення. Якщо два сусідніх значення мають однакову частоту і вона більше від частоти будь-якого іншого значення, мода є середнє цих двох значень. Повернемося до першої задачі. Найчастіше в нас з'явилися суми 7 та 8, а .

GRAN1 також дозволяє будувати гістограми, для цього в вікні «Дані статистичної вибірки», перемикач в розділі «Розподіл» ставимо навпроти пункту «Неперервний», в розділі «Тип графіку» замість полігону з'являється вибір гістограми. Після введення даних і натиснення кнопки «Далі» переходимо до вікна «Додатково» (рисунок 46), де обираємо відрізок, на якому будуємо гістограму, та кількість відрізків розбиття.

Рис. 46.

Якщо витрати часу на занесення даних досить значні, можна скористуватися послугами Записати у файл та Дані з файлу. Це доречно, якщо комп'ютери об'єднано в локальну мережу. Вчитель при підготовці до уроку створює об'єкт статистична вибірка та заносить данні, потім, натиснувши на кнопку Записати у файл в вікні Дані статистичної вибірки, зберігає статистичні дані в файлі (обирати назву файлу доцільно якомога близькою до змісту). Потім учні при роботі з GRAN1, замість того, щоб вручну вводити дані, натискають кнопку Дані з файлу і таблиця статистичних даних автоматично заповнюється.

Задачі, рекомендовані до розв'язання за допомогою GRAN1:

Задача 4.

4.1. Побудувати полігон відносних частот появи спостережених значень досліджуваної величини, якщо задано розподіл частот (таблиця 10)

Таблиця 10.

	-3	-2	-1	0	1	2	3
	1	6	15	43	17	5	2

4.2. За данними вправи 4.1. побудувати гістограму інтервального розподілу відносних частот появи спостережених значень досліджуваної величини, якщо розглядаються інтервали (-3,5; -2,5), (-2,5; -1,5), (-1,5; -0,5), (-0,5; 0,5), (0,5; 1,5), (1,5; 2,5), [2,5; 3,5].

4.3. Знайти середнє арифметичне спостережених значень досліджуваної величини та середнє квадратичне. [14, стор. 144].

Задача 5. Побудувати ряд розподілу і полігон частот для вибірки, яку утворюють відхилення результатів вимірювання відстані між двома точками від істиного значення цієї відстані: -50, 20, -10, 10, 20, -50, -20, -10, 40, -20, -30, -10, 10, 20, -40, 50, -10, 10, 50. [14, стор. 161].

Задача 6. При визначенні похибки вимірювального прикладу зроблено 40 вимірів, при яких зафіусовано похибки: -2,5; 3; 4; 2; 0,5; -1; 2; 4; -4; 0; -05; -0,5; 1; 0,5; 2,5; -0,5; 2; 1; -4; -2; -1; 1,5; 0,5; 4; -1,5; -1; 0; 1; 0; 1; -0,5; 1,5; 0,5; 0,5; -0,5; -1,5; -0,5; -1; 2; 0,5.

Побудувати інтервальний ряд розподілу частот і гістограму частот, поклавши n=8. [14, стор. 161].

Задача 7. 11-А клас, що складається з двадцяти учнів, здавав норматив зі стрибків у висоту. Було зафіксовано такі результати: 137, 140, 143, 135, 142, 139, 141, 137, 142, 131, 145, 138, 141, 143, 130, 138, 140, 135, 137, 138. норматив зараховується, якщо отримано результат від 140 і вище. Скільки учнів будуть перездавати стрибки у висоту? Який з результатів найкращій?

Задача 8. На 100 однакових за розмірами навмання вибраних ділянках землі в даному районі висаджено по 100 саджанців фруктових дерев. Для кількості саджанців, що прийнялися, побудовано інтервальний розподіл спостережених частот (таблиця 11).

Таблиця 11.

	(0,10)	(10,20)	(20,30)	(30,40)	(40,50)	(50,60)	(60,70)	(70,80)	(80,90)	[90,100]
	0,05	0,08	0,12	0,14	0,15	0,20	0,10	0,08	0,06	0,02

Визначити значення функції розподілу частот в кінцях заданих інтервалів і побудувати її графік. [14, стор. 161].

Задача 9. На 100 однакових за розмірами навмання вибраних ділянках землі з однаковою кількістю внесених добрив зібрано різний урожай зерна. Результати проведених спостережень подано у таблиці 12.

Таблиця 12.

Урожай, ц/га	14	15	16	17	18	19	20
Кількість ділянок	6	10	18	28	20	12	6

Побудувати полігон частот. Визначити середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення. [14, стор. 161].

Задача 10. Кількість викликів, що поступають на АТС за 1 годину, є випадкова величина. Для спостережень протягом кількох днів навмання вибрано 10 разів по 1 годині між дев'ятою і дванадцятою годиною і одержано такі результати: таблиця 13.

Таблиця 13.

№ спостереження	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кількість викликів	280	320	315	300	285	270	300	330	310	290

Побудувати полігон частот. Знайти середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення для досліджуваної величини. [14, стор. 161].

Задача 11. Одна і та ж віддаль вимірюється багато разів. Результати 10 різних вимірювань наведено в таблиці 14.

Таблиця 14.

№ вимірювання	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Результат вимірювання	41	39,5	40	40,2	39,9	40,2	39,8	40,1	40	39,9

Побудувати полігон частот. Знайти числові характеристики статистичної вибірки. [14, стор. 162].

Задача 12. Візьміть сторінку будь-якого тексту, який не містить цифри та будь-які спеціальні знаки, а лише слова, що складаються з літер. Які літери найвживані, а які навпаки мало використовуються в словотворенні. Для розгляду не враховувати знаки пунктуації.

2.8 Аналіз експерименту

Для підтвердження гіпотези магістерського проекту, було вирішено провести формуючий експеримент. Для цього був обраний 11-А клас з поглибленим вивченням математики та фізики загальноосвітньої школі №3 міста Бердянська. Клас, обраний для апробації експериментального дослідження складається з 28 учнів, рівень успішності достатньо високий. Відчувається стійкий усвідомлений інтерес дітей до математики.

Під час проведення занять з розділу «Початки теорії ймовірностей та математичної статистики» в 11-А класі була застосована експериментальна методика викладання теоретичного матеріалу, введення основних понять, формування необхідних знань та вироблення вмінь, навичок розв'язання імовірнісних задач. Розроблена система практичних завдань використовувалась на уроках при поясненні нового матеріалу, для повторення, перевірки, систематизації та закріплення вже отриманих знань та умінь, для домашніх завдань. Окремі задач в трохи зміненому за змістом вигляді були включені в навчальний процес як евристичні (як проблемні ситуації). Використання проблемного методу навчання дуже ефективне в класах з поглибленим вивченням математики.

Задачі викликали інтерес та зацікавленість у учнів, вони охоче та успішно їх розв'язували. Особливо привабливими виявились задачі експериментального характеру, які потребували проведення конкретної кількості випробувань. Фіксація результатів та їх обробка проводилась дуже ретельно. Для дітей було важливим виконати завдання не для того, щоб отримати високий бал, а з цікавості самостійно отримати статистичні результати та зробити необхідні висновки.

При вивченні тем «Поняття випадкової події. Вірогідна та неможлива події», «Операції над подіями» виникли деякі ускладнення з розумінням учнями геометричних зображень відношень між подіями. Вирішено було запропонувати задачі подібного змісту:

Встановити за рисунком 47 які відношення між множинами А, В та С. Чи спричиняє множина В множину С? Чи є спільні елементарні події у множин А та В, у множин А та С?



108

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 47.

Було проведено три уроки в кабінеті, обладнаному комп'ютерами. два з яких - у вигляді лабораторних робіт: «Знайомство з програмою GRAN1» та «Обробка статистичних даних за допомогою GRAN1». Робота з комп'ютером викликала в учнів позитивні емоції. Вони були вражені і здивовані, що інформаційні технології можуть стати корисними не лише на уроках інформатики. Діти відчули, як педагогічний програмний засіб полегшує їхню роботу, та виникли питання: які ще задачі з математики можна розв'язати за допомогою GRAN1, чи існують інші програми для розв'язування математичних задач.

Задача до теми «Простір елементарних подій» (Проведіть наступний експеримент: підкиньте 50 разів дві гральні кості і запишіть суму для кожного кидка. Яка сума з'явилась частіше? Яка - найменшу кількість разів? Яке число з'явилось частіше: 3 або 12?) була запропонована як домашнє завдання після першої лабораторної роботи в комп'ютерному класі. Перед наступним заняттям учні почали порівнювати отримані результати, вчитель вирішив використати цю ідею. При виконані другої лабораторної роботи діти використовували кожен свої статистичні дані. Потім вчителем було запропоновано зібрати та скласти всі результати в один. На уроці були присутні 25 учнів. На дошці зобразили таблицю 15.

Таблиця 15.

№	Яка сума з'явилась частіше	Яка сума з'явилась найменшу кількість разів	3 або 12
1
2
…
25

Потім її заповнили та отримали середній результат для 25 досліджень. У більшості випадків він співпав з результатами досліджень.

Під час проведення експериментального дослідження виникли деякі методичні рекомендації:

1. У цілях вдосконалення навчання математики доцільною є подальша розробка нових методик викладання розділів, що вводяться в зміст шкільної освіти.

2. В процесі цілеспрямованого навчання учнів розв'язанню задач, вчити їх спостерігати, користуватися аналогією, індукцією, порівняннями й робити відповідні висновки.

3. Необхідно враховувати індивідуальні особливості школярів, диференціацію пізнавальних процесів в кожного з них, використовуючи завдання різноманітного типу.

Після проведення тематичного оцінювання отримали такі результати, як в таблиці 16 (додаток 9).

Таблиця 16.

Бали	Кількість учнів
«6»	2
«7»	1
«8»	2
«9»	4
«10»	8
«11»	7
«12»	4

Аналіз результатів експерименту дає підставу зробити такі висновки: дана методика може бути реалізована в загальноосвітній школі, вона дозволяє підвищити якість навчання при вивченні розділу «Початки теорії ймовірностей та математичної статистики», також вона дає можливість середній школі більш якісно підготувати майбутніх абітурієнтів до вступних іспитів у вищі навчальні заклади.

Результати експерименту обговорювалися на методичному об'єднанні вчителів математики загальноосвітньої школи №3 міста Бердянська та на кафедрі математики та методики викладання математики БДПУ. Запропонована методика знайшла підтримку, висловлено погодження з необхідністю впровадження її в практику викладання теорії ймовірностей та побажання подальшого розвитку по іншим темам «Початків теорії ймовірностей».

Все вищезазначене є підставою для підтвердження гіпотези дослідження.

Висновки

Знання теорії ймовірностей у значній мірі сприяє інтелектуальному розвитку учнів, виробленню уміння аналізувати випадкові фактори, формулювати та оцінювати гіпотези, прогнозувати розвиток ситуацій, проводити розрахунки, знати якісний характер закономірностей, вміти оцінювати їх з кількісного боку за даними спостережень і випробувань та, нарешті, приймати рішення в ситуаціях, які мають імовірнісний характер.

Життя показало, що в період швидкої зміни суспільних умов, переходу до ринкових відносин в економіці, на виробництві, суспільство зацікавлене в тому, щоб рівень освіти громадян давав їм змогу вільно орієнтуватися в морі нової інформації.

Роль теорії ймовірностей особливо бурхливо зростає в наші дні. Розробки, що базуються на її основі широко застосовуються.

Дидактика математики шукає джерела цікавих для школярів проблемних ситуацій, на фоні яких виникають справжні задачі з теорії ймовірностей. Йдеться про задачі, які дають учню відповідь на запитання: кому, в яких обставинах і навіщо можуть знадобиться стохастичні поняття і методи. У типових задачах з теорії ймовірностей часто потрібно обчислювати ймовірності «дивних» подій (наприклад, ймовірність того, що декілька осіб сідають так, або інакше навколо круглого столу, що неграмотна дитина складе з букв розрізаної азбуки правильне слово тощо). Зміст шкільних задач з теорії ймовірностей повинен стосуватися навколишнього світу і розв'язування цих нематематичних задач може бути ілюстрацією справжнього процесу застосування математики.

Введення імовірнісно-статистичної лінії до шкільного курсу математики суттєво підвищує прикладну спрямованість навчання математики. З'являється змога навіть за допомогою невеликого математичного апарату, якім оволодіватимуть учні, та імовірнісного мислення, яке в них формуватиметься, розв'язувати задачі, які мають громадську цінність. Але цей процес супроводжується складнощами. Одною з проблем є розробка якісного навчально-методичного забезпечення, яке б змістовно допомогло вчителям математики та підвищило рівень навчання.

Заняття з математики у відповідно оснащеному досконалими технічними засобами класі, з використанням педагогічних програмних засобів навчання - це один зі способів підвищити у учнів інтерес до навчання, урізноманітнити уроки та полегшити як учительську, так і учнівську роботу.

При викладанні початків теорії ймовірностей доцільно використовувати для аналізу статистичних закономірностей педагогічний програмний засіб GRAN1, рекомендований Міністерством освіти і науки України. Але необхідно раціонально розробити поурочний план та підібрати відповідні задачі.

Аналіз результатів апробації експериментальної методики дає підставу стверджувати, що її реалізація в загальноосвітній школі допоможе вчителям при викладанні початків теорії ймовірностей в одинадцятих класах з поглибленим вивченням математики та дасть змогу підвищити рівень навчання.

Література

1. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. - М., 1986.

2. Бевз Г.П. Методика викладання математики. - К., 1968.

3. Василевский А.Б. Обучение решению задач по математике. - Минск, 1988.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М., Высшая школа, 2002.

5. Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Калужнин Л.А., Столяр А.А. Современные основы школьного курса математики. - М., 1980.

6. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. - М., 1993.

7. Власенко А.І. Методика викладання математики. Загальні питання. - К., 1974.

8. Глеман М., Тамаш В. Вероятность в играх и развлечениях: Элементы теории вероятностей в курсе средней школы. / Перевод с фр. А.К. Звонкина - М., Просвещение, 1979.

9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М., 1988.

10. Гнеденко Б.В, Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. - М., 1952.

11. Гусак А.А. Высшая математика. Том 2. - Минск, 1984.

12. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. - Л., 1967.

13. Есаулов А.Ф. Психология решения задач. - М., 1972.

14. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики. - К., 1997.

15. Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики. Практикум. - К., 1989.

16. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінская С.Ю. Теорія ймовірностей і математична статистика з елементами інформаційної технології. - К., 1995.

17. Жалдак М.І., Міхалін Г.О. Елементи стохастики з комп'ютерною підтримкою. Посібник для вчителів. // Математика. - К., 2002. - №22 - 23.

18. Жалдак М.І., Рамський Ю.С. Інформатика. Навчальний посібник. - К., Вища школа, 1991.

19. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. - М., 1967.

20. Кобзарь Б.С., Кумарина Г.Ф., Кусый Ю.А. и др. Дидактика современной школы. - К., 1987.

21. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. - М., 1991.

22. Колмогоров А.М. та ін. Алгебра і початки аналізу. Навчальний посібник для 9 класу середньої школи. - К., 1977.

23. Колмогоров А.М. Основные понятия теории вероятностей. - М., 1974.

24. Концепція середньої загальноосвітньої школи України. - К., 1990.

25. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. - М., 1985.

26. Левитас Г.Г. Современный урок математики - методы преподавания. - М., 1989.