Виявлення основної тенденції (тренду) ряду є одним з головних методів аналізу та узагальнення динамічних рядів. Лінія тренду динамічного ряду вказує на змінення досліджуваного явища в часі, без короткочасних відхилень, спричинених різними факторами. У статистичній практиці основну тенденцію розвитку явищ в часі знаходять за методами збільшень інтервалів, ковзної середньої та аналітичного згладжування.

Одним з найпростіших способів обробки ряду для виявлення закономірності зміни його рядів є збільшення інтервалів часу.

Суть цього методу полягає в тому, що дані динамічного ряду поєднують у групи за періодами, обчислюють середній показник за деякий період - 3 роки, 5 років тощо. Такій обробці доцільно піддавати динамічний ряд з більш-менш систематичними коливаннями рівня, що дає змогу точніше з'ясовувати загальну тенденцію розвитку явища.

Важливим способом виявлення загальної тенденції ряду динаміки є згладжування за допомогою ковзної середньої.

Тут також вдаються до збільшення періодів, але шляхом послідовних зміщень на одну дату при збереженні постійного інтервалу періоду.

Згладжування способом ковзної середньої можна здійснювати також і за парним числом членів ряду. Однак таке згладжування дещо складніше, оскільки середню можна віднести тільки до середини між двома датами, котрі лежать у середині інтервалу. Для того щоб ліквідувати такий зсув, застосовують способи перетворення рівнів або центрування.

За способом перетворення рівнів рівень першого інтервалу ділять на два і його половина входить до суми, за якою обчислюють ковзну середню. Потім беруть усі наступні рівні в повному обсязі і до них додають половину рівня, який входить за межі згладжування.

Спосіб центрування полягає в тому, що з кожної пари загладжуваних ковзних середніх розраховують середню арифметичну просту.

У разі застосування методу ковзної середньої важливим є вибір періоду, або інтервалу згладжування, який має відповідати періоду коливань у даному ряду динаміки. Якщо, наприклад, періодичність коливань встановлена - 3 місяці, то беруть тричленну ковзну середню, в 6 місяців - шестичленну рухому середню тощо.

Найефективнішим є складний спосіб виявлення основної тенденції - аналітичне згладжування.

В цьому разі рівні ряду динаміки розглядають як функцію часу, а задача згладжування зводиться до знаходження такого вигляду функції, ординати точок якої були б найближчі до значень фактичного динамічного ряду.

На практиці найпоширенішими формулами, які описують тенденцію розвитку явищ, є: пряма, показникові функція, парабола другого і третього порядків, гіпербола, логістична функція, експонента, ряд Фур'є та деякі інші.

Згладжування за прямою використовують у тих випадках, коли абсолютні прирости більш-менш сталі, тобто коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії або наближуються до неї.

Рівняння згладженої прямої динамічного ряду має вигляд:

Y_t = a + bt, (3.1)

де a і b - параметри прямої (початковий рівень і приріст щороку);

t - час.

Для знаходження параметрів a і b потрібно розв'язати за способом найменших квадратів систему нормальних рівнянь:

?Y = na + b?t, (3.2)

?Yt = a?t + b?t², (3.3)

де Y - фактичні рівні динамічного ряду;

n - число членів ряду динаміки.

Дану систему нормальних рівнянь можна легко спростити, якщо відлік часу брати з середини ряду таким чином, аби сума часу дорівнювала нулю:

?t = 0.

При непарному числі рівнів серединну точку приймають за нуль, тоді попередні періоди позначаються відповідно - 1, - 2, - 3 і т.д., а наступні за серединним періодом - відповідно +1, +2, +3 і т.д.

При парному числі рівнів динамічного ряду два серединних моменти часу позначають - 1 і +1, решту - двома інтервалами, тобто попередні періоди до середини як - 3,-5,-7 і т.д., а наступні - відповідно +3, +5, +7 і т.д.

У разі відліку часу від середини ряду, коли ?t = 0, система рівнянь для знаходження параметрів a і b має такий вигляд:

?Y = na_{, (}3.4)

?Yt = b?t². (3.5)

Звідки:

a = ?Y/ n, (3.6)

b = ?Yt/ ?t². (3.7)

Зведені дані аналітичного згладжування ряду динаміки подамо у вигляді таблиці (табл.3.1):

Таблиця 3.1. Зведені дані аналітичного згладжування ряду динаміки рівнянням прямої

Використовуючи розрахункові підсумки, дістанемо:

a = ?y / n =171694/5=34338.8;

b = ?yt / ?t² =80394/10=8039.4.

Звідси рівняння прямої матиме такий вигляд (3.1):

Y = 34338,8 + 8039,4t.

В даному рівнянні a = 34338,8, що характеризує середній рівень чисельності ВРП. Значення b = 8039,4 - середній абсолютний приріст ВРП щороку.

Послідовно підставивши в рівняння Y =34338,8 + 8039,4t значення (-2, - 1, 0, +1, +2), дістанемо згладжений (теоретичний) ряд динаміки ВРП, абстрагований від випадкових коливань, який характеризується систематичним зменшенням.

Результати проведеного аналітичного згладжування ряду динаміки ВРП за 2005 - 2009 рр. і фактичні дані покажемо на графіку (рис.3.1).

Рис.3.1 Динаміка чисельності усиновлених дітей

Зробимо прогноз на 2010 рік, тобто визначимо яким буде ВРП у 2010 році. Для цього використаємо рівняння прямої (3.1):

Y2011 = 34338,8 + 8039,4 * 3 =58457.

Для оцінки адекватності трендового рівняння реальному процесу використовується стандартна похибка і коефіцієнт детермінації:

S_e=, (3.8)

де n - кількість років;

m - кількість параметрів.

R² =1 - . (3.9)

Зробимо розрахунок стандартної похибки і коефіцієнта детермінації і отримані дані подамо у таблиці (табл.3.2).

Таблиця 3.2. Розрахунок стандартної похибки і коефіцієнта детермінації

S_e== 1575,52

R²=1-= 0,99.

1575,52/34338,8*100%=5%

За даними таблиці стандартна похибка 1575,52, що відносно до середнього рівня становить 5%.

Високе значення коефіцієнта детермінації 0,99 свідчить про адекватність лінійного тренду характеру динаміки ВРП в Запорізькій області за 2005-2009 роки.

Методом екстраполяції визначається точковий прогноз показника, довірчі його межі залежать від похибки прогнозу S_p та імовірності висновку t, тобто:

Y_t+v = + t*S_p, (3.10)

де t - квантиль довіри.

Знайдемо похибку прогнозу:

, (3.11)

де - стандартна похибка;

v - період упередження (=1).

Розраховуємо помилку прогнозу:

Звідси довірчий інтервал чисельності усиновлених дітей з імовірністю 0,99 дорівнює:

Y_t+v = 58457 ± (2,02 * 2284,5) = 58457 ± 2284,5;

58457 - 2284,5? Y2010 ? 58457+ 2284,5;

56172,5? Y2010 ? 60741,5.

Ми гарантуємо, що наш прогноз не вийде за межі отриманого інтервалу, а саме 56172,5? Y2010 ? 60741,5.

Висновки