Дослідження конкурентного середовища підприємства

В сучасній статистиці під факторним аналізом розуміють сукупність методів, які на основі реально існуючих зв'язків ознак (або об'єктів) дозволяють виявляти латентні узагальнюючі характеристики організаційної структури і механізму розвитку явищ і процесів, що вивчаються.

Поняття латентності у визначенні ключове. Воно означає наявність характеристик, розкритих за допомогою методів факторного аналізу. Спочатку ми маємо справу з набором елементарних ознак Х, їх взаємодія припускає наявність певних причин, особливих умов, тобто існування деяких прихованих факторів. Останні встановлюються в результаті узагальнення елементарних ознак і виступають як інтегровані характеристики, або ознаки, але більш високого рівня. Природно, що корелювати можуть не тільки тривіальні ознаки Хj але і самі спостережувані об'єкти Nj тому пошук латентних факторів теоретично можливий як по ознаковим, так і за об'єктними даними. Розглянемо декілька прикладів.

Припустимо, n спостережуваних об'єктів (автомобілів) оцінюється в двовимірному ознаковому просторі R2 з координатними осями: Х1 - вартість автомобіля і Х2 - тривалість робочого ресурсу мотора. За умови корельованості Х1 і Х2 в системі координат з'являється направлене і достатньо щільне скупчення крапок, формально що відображається новими осями (F1 і F2). Характерна особливість F1 і F2 полягає в тому, що вони проходять через щільні скупчення крапок і у свою чергу корелюють з Х1 і Х2. Максимальне число нових осей Fr буде рівне числу елементарних ознак (рис. 2.2 а, б). Допускаючи лінійну залежність Fr від Хj можемо записати:

F1 =a1 x1 + a2 x2 F2 =a1 x1 + a2 x2 (2.1)

Інтерпретуємо осі Fr: нехай F1 - економічність автомобіля, F2 - його надійність в експлуатації. Думка про F1 і F2 базується на оцінці структури латентних факторів, тобто оцінці терезів Х1 і Х2 в Fr, а саме по значеннях коефіцієнтів аj.

Рисунок 2.2 - Геометричне представлення спостережуваних об'єктів в тривіальному просторі елементарних ознак (а) і латентних факторів (б)

Якщо об'єкти характеризуються достатньо великим числом елементарних ознак (т > 3), то логічне і інше припущення - про існування щільних скупчень крапок (ознак) в просторі і об'єктів. При цьому нові осі узагальнюють вже не ознаки Хj, а об'єкти ni, відповідно і латентні фактори Fr будуть розпізнані по складу спостережуваних об'єктів:

Fr =c1n1 +c2n2 +... cNnN, (2.2)

де сi - вага об'єкту ni у факторі Fr.

Гіпотетично легко представити слідством такого аналізу, скажімо, виявлення класифікуючих факторі: F1- промисловість, F2 - сільське господарство і т.п.

На рис. 2.3 один з прикладів розподілу значень ознак (Х1 - вартість автомобіля, Х2 - тривалість робочого ресурсу мотора, X3 - час набору максимальної швидкості після старту, Х4 - кількість споживаного бензину на 100 км шляху, Х5 - дальність гальмівного шляху) в координатному просторі для двох видів автомобілів: n1 - "Вольво" і n2 - "Фольксваген".

Рисунок 2.3 - Розподіл елементарних ознак в координатному просторі n1 і n2

Залежно від того, який з розглянутих вище тип кореляційного зв'язку - елементарних ознак або спостережуваних об'єктів - досліджується в факторному аналізі, розрізняють R і Q - технічні прийоми обробки даних.

Назва R-техники носить об'ємний аналіз даних по m ознаках, в результаті нього одержують r лінійних комбінацій (груп) ознак

Fr = ѓ (Хj; r=1чm)

Аналіз за даними про близькість (зв'язки) і спостережуваних об'єктів називається Q-технікою і дозволяє визначати r лінійних комбінацій (груп) об'єктів:

F = ѓ (ni); i =1+ N

В наш час на практиці більш 90% задач розв'язується за допомогою R-техніки. [17]

Факторний аналіз має порівняно невелику, але насичену історію. Дослідникам через трудомісткість обчислювальних процедур доводилося витрачати роки не тільки на розробку самих аналітичних методів, але і на демонстрацію їх додатку.

Появи факторного аналізу пов'язують з виходом у світ в 1901 р. статті англійського вченого К. Пірсона "Перехід по лініях і площинах до візуалізованих систем крапок в просторі", в якій була виказана ідея побудови головних осей. В сутності це була ідея методу головних компонент, дозволяючого повно відображати реальний координатний простір в теоретичному просторі, осі якого узагальнюють значення початкових елементарних ознак.

Визначаючими для формування факторного аналізу в самостійний великий розділ статистичної науки сталі роботи британського психолога Ч. Спірмена, більше 40 років свого життя присвятив теоретичним дослідженням. В 1904 р. їм була опублікована фундаментальна стаття "Загальні відомості про об'єктивні рішення і вимірювання".

На основі теоретичних посилок Ч. Спірмена в 40 - 50-е роки з'явилися глибокі розробки американських статистиків і математиків: Л. Гуттмана, Р. Хотеллінга, Л. Терстоуна, До. Хользінгера, С. Рао, англійських: С. Барта, Р. Томсона, Д. Лоулі, А. Максвелла і ін.

В 60-і роки арсенал методів факторного аналізу значно поповнився новими, оптимізуючими рішеннями Р. Кайзера, Р. Йорескога і ін. В 1960 р. виходить працю американського ученого Г. Хармана "Сучасний факторний аналіз" - унікальний по своїй глибині і обхвату різноманітних методів і, що важливе, доступний для ознайомлення найширшому кола читачів.

Поштовхом для розвитку методів факторного аналізу спочатку послужили задачі і проблеми в області психології і майже всі перші роботи з питань факторного аналізу були надруковані в журналах: "Психологія", "Психометріка" і т.п. Пізніше, методи факторного аналізу почали активно застосовуватися в соціологічних дослідженнях, медицині, потім у військовій промисловості, економіці. Сьогодні вже важко назвати області наукових досліджень, де в тій чи іншій мірі ці методи не використовувалися б. Неодмінною умовою розширення сфери їх додатку залишається комп'ютеризація аналітичної практики.[43]

Набір методів факторного аналізу в наш час достатньо великий, налічує десятки різних підходів і прийомів обробки даних. Щоб в дослідженнях орієнтуватися на правильний вибір методів, необхідно представляти їх особливості.

Розділимо всі методи факторного аналізу на декілька класифікаційних груп:

1. Метод головних компонент (Р. Хотеллінг). Взагалі то кажучи, його не відносять до факторного аналізу, хоча він має з ним багато загального. Специфічним є, по-перше, те, що в ході обчислювальних процедур одночасно одержують всі головні компоненти і їх число спочатку рівне числу елементарних ознак; по-друге, постулюється можливість повного розкладання дисперсії елементарних ознак, іншими словами, її повне пояснення через латентні фактори (узагальнені ознаки).

2. Методи факторного аналізу. Дисперсія елементарних ознак тут пояснюється не в повному об'ємі, признається, що частина дисперсії залишається нерозпізнаною як характерність. Фактори звичайно виділяються послідовно: перший, пояснюючий найбільшу частку варіації елементарних ознак, потім другий, пояснюючий меншу, другу після першого латентного фактору частину дисперсії, третій і т.д. Процес виділення факторів може бути перерваний на будь-якому кроці, якщо ухвалено рішення про достатність частки поясненої дисперсії елементарних ознак або з урахуванням інтерпретації латентних факторів.

Методи факторного аналізу доцільно розділити додатково на два класи: спрощені і сучасні апроксимуючі методи.

Прості методи факторного аналізу в основному пов'язані з початковими теоретичними розробками. Вони мають обмежену нагоду у виділенні латентних факторів і апроксимації факторних рішень. В числі цих методів слід назвати:

однофакторну модель Ч. Спірмена. Вона дозволяє виділити тільки один генеральний латентний і один характерний фактор. Для можливо існуючих інших латентних факторів робиться припущення про їх незначущість;

біфакторну модель Р. Хользінгера. Допускає вплив на варіацію елементарних ознак не одного, а декількох латентних факторів (звичайно двох) і одного характерного чинника;

центроідний метод Л. Терстоуна. В ньому кореляції між змінними розглядаються як пучок векторів, а латентний фактор геометрично представляється як врівноважуючий вектор, що проходить через центр цього пучка. Метод дозволяє виділяти декількох латентних і характерні фактори, вперше з'являється можливість співвідносити рішення фактора з початковими даними, тобто в найпростішому вигляді вирішувати задачу апроксимації.

Сучасні апроксимуючі методи часто припускають, що перше, наближене рішення вже знайдено яким-небудь із способів, подальшими кроками це рішення оптимізується. Методи відрізняються складністю обчислень. До цих методів відносяться:

груповий метод Л. Гуггмана і П. Хорста. Рішення базується на заздалегідь відібраних яким-небудь чином групах елементарних ознак;

метод головних факторівв. Р. Томсона. Найбільш близький методу головних компонент. Відмінність полягає в припущенні про існування характерностей;

метод максимальної правдоподібності (Д. Лоулі), мінімальних залишків (Р. Харман), б-факторного аналізу (Г. Кайзер і І. Кеффрі), канонічного факторного аналізу (До. Рао), всі оптимізуючі. Дозволяють послідовно поліпшити заздалегідь знайдені рішення на основі використовування статистичних прийомів оцінювання випадкової величини або статистичних критеріїв, припускають великий об'єм трудомістких обчислень. Найперспективнішим і зручним для роботи в цій групі признається метод максимальної правдоподібності.

Основною задачею, яку вирішують різноманітними методами факторного аналізу, включаючи і метод головних компонент, є стиснення інформації, перехід від безлічі значень по т елементарних ознаках з об'ємом інформації nхm до обмеженої безлічі елементів матриці факторного відображення (mхr) або матриці значень латентних факторів для кожного спостережуваного об'єкту розмірністю nxr, причому звичайне r < m.

Методи факторного аналізу дозволяють також візуалізувати структуру явищ і процесів, що вивчаються, а це значить визначати їх стан і прогнозувати розвиток. Нарешті, дані факторного аналізу дають підстави для ідентифікації об'єкту, тобто рішення задачі розпізнавання образу.

Методи факторного аналізу володіють властивостями, вельми привабливими для їх використовування у складі інших статистичних методів, найбільш часто в кореляційно-регресійному аналізі, кластерному аналізі, багатовимірному шкалюванні та інших. [18]

Компонентний аналіз відноситься до багатовимірних методів зниження розмірності. Він містить один метод - метод головних компонент. В цьому методі лінійні комбінації випадкових величин визначаються характеристичними векторами коваріаційної матриці. Головні компоненти є ортогональною системою координат, в якій дисперсії компонент характеризують їх статистичні властивості.

Тривалий час метод головних компонент (компонентний аналіз) розглядався багатьма авторами як один з різновидів методів факторного аналізу. При цьому під факторним аналізом розумівся спосіб приведення безлічі безпосередньо спостережуваних ознак до меншого числа неявних, але об'єктивно існуючих факторів. В наш час метод головних компонент часто відділяють від факторного аналізу. Вперше він був запропонований в 1901 р. До. Пірсоном, потім розвинений, допрацьований, описаний і обгрунтований в роботах Хотеллінга, Хармана, Рао, Андруковіча, Айвазяна, Мхитаряна.

В країнах СНД метод головних компонент став розповсюдяться з появою ЕОМ унаслідок зручності математичних процедур і наявності стандартних програм, які виявилися можливими застосувати для організації математичного забезпечення алгоритму розрахунку.

Метод головних компонент володіє певними перевагами перед іншими методами факторного аналізу. Він не вимагає, наприклад, ніяких гіпотез про змінні, є лінійним і аддитивним.

З числа методів, що дозволяють узагальнювати значення елементарних ознак, метод головних компонент виділяється простою логічною конструкцією і в той же час на його прикладі стають зрозумілими загальна ідея і цільові установки численних методів факторного аналізу.

Метод головних компонент дає можливість по т - числу початкових ознак виділити т головних компонент, або узагальнених ознак. Простір головних компонент ортогональний. Математична модель головних компонент базується на логічному допущенні, що значення безлічі взаємозв'язаних ознак породжують деякий загальний результат. Припустивши лінійну форму зв'язку ознак Xj, запишемо в матричній формі рівняння залежності результату F від X: F = ХВ, де В - вектор параметричних значень лінійного рівняння зв'язку. Умовою виконання такої рівності є відповідність дисперсій, тобто D (X) = D (ХВ). Оскільки X - випадкова багатовимірна величина, її дисперсійна оцінка - це коваріаційна матриця S. Постійна величина У виноситься за знак дисперсії і зводиться в квадрат, одержуємо: D(F)=B'SB. Пошук головних компонент зводиться до задачі послідовного виділення першої головної компоненти F1, яка володіє максимальною дисперсією, другою головною компоненти, має другу за величиною дисперсію, і т.д. Подібна задача має рішення за умови введення обмежень. Припустимо, що При В'В = 1 максимізували B'SB, використовуючи метод множників Лагранжа:

і , (2.4)

звідки

(2.5)

Отже, одержимо і характеристичне рівняння для пошуку буде: .

З безлічі значень характеристичних чисел щодо першої, найбільшої знаходимо вектор B1 значень для першої головної компоненти F1 для другого за величиною характеристичного числа - вектор значень другої компоненти В2 і т.д. до и для при m - початковому числі аналізованих ознак. Тут В - вектори величин, що представляють координати головних компонент Fr в просторі ознак Rx,, вони ж характеристики сили зв'язку головної компоненти і j-ї ознаки Xj.

Якщо початкову матрицю даних X заздалегідь стандартизувати, то матриця ковариаций S перейде в матрицю парних кореляцій R, і вектор В буде власним вектором за стандартизованими даними U. Вирішальне рівняння в матричній формі приймає вигляд:

(2.6)

В спрощеному вигляді, для двовимірної випадкової величини, процедуру виділення головних компонент можна показати геометрично (рис. 2.4. а, б, в).

На рисунку 2.4 видно, що задача виділення головних компонент зводиться до поетапного рішення класичних питань аналітичної геометрії: зміні масштабу простору, повороту координатної системи, координатному відображенню векторів в старій системі координат і нової, після повороту. Рис. 2.3 (в) дозволяє бачити можливість відображення Z і F, і навпаки, F і Z, що записано дещо вищий у вигляді функціональних лінійних рівнянь зв'язку (1) і (2). Спочатку число головних компонент рівне числу початкових елементарних ознак m.[44]

а) Спочатку є деякий емпіричний розподіл даних в двовимірному признаковому просторі з центром

б) Центруванням і стандартизацією даних початковий простір ознак стискається і система координат переноситься в центр розподілу даних

в) Рішенням матричного рівняння знаходять параметри еліпса, що описує емпіричний розподіл об'єктів в нормованому признаковому просторі Rz, відповідно встановлюється положення головних компонент, узагальнюючих варіацію ознак Z1 і Z2

Рисунок 2.4 - Геометрична інтерпретація алгоритму методу головних компонент

Результати вживання методу головних компонент представляються даними матриці відображення А. Підсумковий запис залежності значень початкових ознак від значень головних компонент:

Z=AF' або (2.7)

або залежність значень головних компонент від значень елементарних ознак

, або (2.8)

В рівняннях (2.7) і (2.8) прийняті позначення:

Zij - значення j стандартизованої змінної по i-му об'єкту нагляду;

- r-та головна компоненту Fr по i-му об'єкту нагляду;

ajr- ваговий коефіцієнт r-ї головної компоненти для j-ї змінної, оцінка приватного коефіцієнта кореляції для Fr і Xj (елементи j-й рядка матриці А);

- вагові коефіцієнти (характеристики сили зв'язку) m элементраних ознак для r-ї головної компоненти. Рівняння (2.8) щодо F (головних компонент) є похідними від (2.7)

Рішення задачі методом головних компонент зводиться до поетапного перетворення матриці початкових даних Х (рис 2.5):

Рисунок 2.5 - Поетапне перетворення матриці початкових даних Х

Де Х - матриця початкових даних, розмірністю n*m;

n - число об'єктів нагляду;

m - число елементарних аналітичних ознак;

Z - матриця стандартизованих значень ознак, елементи матриці обчислюють по формулі:

(2.9)

R - матриця парних кореляцій:

(2.10)

Якщо попередня стандартизація не проводилася, то на даному кроці одержують матрицю , елементи матриці Х для розрахунку S будуть центрованими величинами: .

- діагональна матриця власних (характеристичних) чисел:

Безліч значень знаходять рішенням характеристичного рівняння - це характеристики варіації, точніше, показники дисперсії кожної головної компоненти. Сумарне значення дорівнює сумі дисперсій елементарних ознак Хj. За умови стандартизації початкових даних, коли рівно числу елементарних ознак m.

Рішення характеристичного рівняння відносно , коли число ознак m достатньо велике і матриця R великої розмірності, викликає труднощі при розрахунку визначника . Вони успішно долаються із застосуванням різноманітних математичних методів матричної алгебри. Найбільш ефективний і легко піддається алгоритмізації серед них метод, що базується на рекуррентных співвідношеннях Фадєєва. Якщо А - деяка симетрична матриця розмірністю m*m, то її визначник знаходиться по сліду матриць, похідних з А формула (2.11):

(2.11)

На заключному етапі розрахунків Pm і є визначник матриці А (Pm=|A|). Для перевірки обчислень може використовуватися умова: Bm=0.

Після обчислень рекурентних співвідношень записується характеристичний багаточлен:

(2.12)

Значення знаходять після того, як характеристичний багаточлен прирівнюють нулю, одержують характеристичне рівняння і вирішують його щодо характеристичних коренів .

V - матриця нормованих власних (характеристичних) векторів. Число векторів Vj спочатку рівне m, тобто . Одержують Vj перетворенням ненормованих власних векторів U:

(2.13)

де |Uj| - норма вектора U, тобто:

(2.14)

Необхідність повторного, після отримання матриці R, нормування простору тепер уже узагальнених ознак RF пояснюється механічною появою в ході попередніх розрахунків результатів, що спотворюють нормований простір.

У свою чергу власні вектори Uj знаходять з матричного рівняння:

(2.15)

Реально це означає рішення m систем лінійних рівнянь для кожного при .

В загальному вигляді система рівнянь має формула (2.16):

(2.16)

Приведена вище система об'єднує однорідні лінійні рівняння, і оскільки число її рівнянь дорівнює числу невідомих Umj, має нескінченну безліч рішень. Конкретні значення власних векторів при цьому можна знайти, задаючи довільно принаймні величину однієї компоненти кожного вектора і звичайно, щоб не ускладнювати розрахунків, її прирівнюють одиниці.

А - матриця відображення чинника, її елементи aij - вагові коефіцієнти. Спочатку А має розмірність m*m - по числу елементарних ознак Xj, потім в аналізі залишається r найзначущих компонент . Обчислюють матрицю А за відомими даними матриці власних чисел і нормованих власних векторів V по формулі:

(2.17)

Матриця F в загальному вигляді записується так:

F - матриця значень головних компонент розмірністю r*n, або, або .[17]

2.3 Таксономічний аналіз для зменшення факторного простору при оцінці конкурентного середовища