Исследование потока количества транспортных событий на железных дорогах Украины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование потока количества транспортных событий на железных дорогах Украины



УДК 519.246:656.2.08

Мойсеенко В.И., Бородай Г.П., Лазарев А.В. Исследование потока количества транспортных событий на железных дорогах Украины // Сб. науч. работ. _ Донецк: ДонИЖТ, 2010. _ Вып. №

Исследован поток количества транспортных событий на железных дорогах Украины. С помощью критерия серий, который основан на медиане выборки, критерия квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) и критерия Крускала-Уоллиса сделан вывод, что исследуемый поток владеет стационарностью и отсутствием последействия на протяжении 2005-2009гг. Кроме этого, этот поток распределен по нормальному закону. Полученные результаты дали возможность спрогнозировать количество транспортных событий на будущее.

Ил. _ 6, табл. _ 6, список лит. _ 9 наим.

UDC 519.246:656.2.08

Mojseenko V.I., Borodaj G.P., Lazarev A.V. Investigation of the flow of traffic events on the railways of Ukraine // Collection of scientific works. _ Donetsk: DonIRT, 2010. _ Digest №.

Investigated the flow of traffic events on the railways of Ukraine. With the help of the runs test, which is based on the median of the sample, the criterion of the squares of successive differences (Abbe criterion) and the Kruskal-Wallis test was concluded that the investigated flow is stationary and has no after-effect during 2005 to 2009. In addition, this flow are normally distributed. The results obtained made it possible to predict the number of transport events in the future.

Ill. _ 6, the table _ 6, the list of lit. _ 9 names/



Введение

Анализ состояния проблемы и постановка задачи

Каждое железнодорожно-транспортная событие (ЗТП) можно и следует рассматривать как своего рода научный эксперимент, который спонтанно осуществился, планомерная постановка которого потребовала бы значительных финансовых, временных и эмоциональных затрат.[1]

Тщательное расследование каждой ЗТП, накопление, следующая обработка и систематизация соответствующих данных позволяют установить закономерности явлений и процессов, которые протекают в исследуемых объектах. Целью такого исследования есть разработка рекомендаций для усовершенствования технологических процессов, устранение недостатков и противоречий в нормативных документах, формулирование задачи оптимизации транспортного процесса и отыскание их нетрадиционных решений [2].

Анализ последних исследований и публикаций

Исследование любых потоков данных выполняется во многих областях науки и техники. Поток количества транспортных событий на железной дороге исследован пока недостаточно. Этот вопрос рассматривается в работах [2, 3]

Отдельные исследования указывают на существование закономерностей изменения численности нарушений по годам в виде уравнения второго порядка [3]:

Месячные реализации, по данным указанных авторов и результатов исследования сходов подвижного состава с рельсов [2] имеют случайный характер и представляют собой реализации x₁, x₂, …... x_n случайного процесса. Исходя из этого сформулирована гипотеза о нормальной закон распределения случайной переменной x_i месячных реализаций [3].

При решении научно-практических задач, связанных с моделированием ЗТП и формированием количественных оценок опасностей сильное важное значение имеют такие свойства случайных переменных, как стационарность, ординарность и отсутствие или наличие последействия

В работе Сокола Э.М. [2] показано, что за период 1994-1995 лет реализации данных по сходам подвижного состава могут рассматриваться как дискретная вероятностная величина с пуасоновским законом распределения. Автор допускает наличие стационарности и отсутствия последействия потока данных, которые являются важными характеристиками при прогнозировании вероятностных величин. Также следует признать, что данные для исследования взяты только по Львовской железной дороге и, возможно, не учитывают тенденцию других железных дорог и Укрзализныци в целом.

Поэтому в [3] на основе выборки количества транспортных событий по Укрзализныци за 1995-2003 года проверены гипотезу о нормальном распределении вероятностной величины количества нарушений в продолжение месяца.

В указанных работах акцентируется внимание на определении законов распределения вероятностных величин. Вопрос исследования потоков данных не приобрели надлежащую научную поддержку. Вследствие этого надлежащим образом не исследовано влияние человеческого фактора и качества управления областью на количество транспортных событий, поэтому эта проблема есть актуальной как в научному, так и в практическом плане.

Формулирование цели статьи. Целью статьи являются определения закономерностей и тенденций обращения потока количества транспортных событий.



Изложение основного материала

Рассмотрим численные характеристики реализаций ЗТП по годам и месяцам имея на внимании данные официальной статистики [4]. Характер поведения количественных показателей отдельных видов нарушений имеет максимум в конце девяностых годов двадцатого столетия со следующим спадом в 2001-2008 годах и стабилизацией на протяжении последних пяти лет, рисунки 1-2.

Рисунок 1 - Изменения численности катастроф и аварий

Рисунок 2 - Общая численность ЗТП и их среднее количество через сутки

Максимум функции наблюдается в 1995 году, а потом с каждым годом количество транспортных событий уменьшается. Таким образом можно сделать вывод, что распределение ЗТП по годам имеет постоянную тенденцию к уменьшению их количества и их реализации не являются случайными

Начиная с 2004 года наблюдается относительно постоянная тенденция характера поведения реализаций численности нарушений по годам. Рассмотрим более подробно период с 2005 по 2009 года. Рассмотрим поведение месячных реализаций нарушений, исследуя развертывание данного процесса на протяжении года. Численные данные, которые приведены в таблицы 1 и характер их поведения (рисунок 3) дают предыдущее основание считать их случайными реализациями.

В связи с этим авторами сформулированное предположение относительно случайного характера этих реализаций ЗТП, кроме того считается, что поток событий в 2005-2009 гг. есть стационарным (однородным), и не имеет последействия (выборка є действительно случайной реализацией независимых случайных величин).

Рисунок 3 - Распределение количества ЗТП по месяцам года



Таблица 1

Распределение количества транспортных событий по месяцам

Год	Месяц
	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
1995	354	365	433	421	448	460	461	430	422	392	506	405
1996	362	392	324	325	306	319	313	341	332	241	276	331
1997	231	217	265	260	262	291	304	253	217	296	239	333
1998	209	164	241	255	226	283	295	251	194	184	205	237
1999	152	155	213	191	214	246	249	247	184	219	368	249
2000	160	164	258	249	167	210	240	218	174	137	242	196
2001	120	95	100	133	262	201	295	210	184	139	149	153
2002	98	92	82	109	147	148	160	148	144	138	153	156
2003	148	97	68	76	110	89	114	125	102	117	102	111
2004	87	97	84	64	72	88	102	102	120	96	73	125
2005	79	75	68	60	84	63	69	109	80	94	89	106
2006	86	58	49	51	61	84	65	91	72	74	95	104
2007	74	83	62	45	53	61	74	71	55	69	115	120
2008	65	77	77	45	53	61	74	70	55	77	99	99
2009	59	76	73	43	48	61	74	68	65	77	83	101

Проверка независимости ряда наблюдений

Перед тем как подвергнуть результаты наблюдений соответствующей статистической обработке, необходимо убедиться, что они действительно образовывают случайную выборку, т.е. есть стохастически независимыми. В нашем случае x₁, …, x_m (m=12) случайные величины, которые определяют число транспортных событий в m=12 месяцах (на протяжении года). Для проверки утверждения о независимости воспользуемся данными таблицы 1. Будем считать наблюдение случайной величины в разные года, как n реализаций x_i n=4,5,6. Для проверки независимости используем 2 критерия:

_ критерий серий, основанный на медиане выборки;

_ критерий квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) [5, 7].



Критерий серий, основанный на медиане выборки [5]

Рассмотрим три периода времени возникновения ЗТП: 2006-2009 гг., 2005-2009 гг., 2004-2009 гг. и для каждого из них применим критерий серий, который основан на медиане выборки.

Первый период с 2006г. по 2009 гг. Количество элементов выборки n = 48, медиана выборки x_med = 71.5

Таблица 2

Распределение количества транспортных событий по месяцам в 2006-2009 гг.

Год	Месяц	Кол. серий
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2006	86	58	49	51	61	84	65	91	71	74	95	104	7
2007	74	83	62	45	53	61	74	72	55	69	115	120	4
2008	65	77	77	45	53	61	74	70	55	77	99	99	6
2009	59	76	73	43	48	61	74	68	65	77	83	101	6

Элементы, для которых x_i > x_med подчеркнуты. Серией является последовательность подряд расположенных подчеркнутых или не подчеркнутых элементов вариационного ряда. Количество серий обозначается ?(n), а длина наиболее длинной серии ?(n). В таблице 2 ?(n) = ?(48) = 23, ?(n) = 5. По критерию серий проверяется одновременное выполнение неровностей [5]

(1)

которые при n = 48 выполняются:

23 > 17.78

5 < 5.5947.

Таким образом, можно сделать вывод, что гипотеза о независимости выборки с 48 элементов таблицы 2 не отвергается.

Рассмотрим второй период с 2005 по 2009гг. Количество элементов выборки n = 60, медиана выборки x_med = 73.5

Таблица 3

Распределение количества ЗТП по месяцам в 2005-2009гг.

Год	Месяц	Кол. серий
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2005	79	75	68	60	84	63	69	109	80	94	89	106	5
2006	86	58	49	51	61	84	65	91	71	74	95	104	6
2007	74	83	62	45	53	61	74	72	55	69	115	120	4
2008	65	77	77	45	53	61	74	70	55	77	99	99	6
2009	59	76	73	43	48	61	74	68	65	77	83	101	6

?(n) = ?(60) = 27, ?(n) = ?(n) = 6. Неравенства (1) при n = 60:

Т.е. критерий независимости выполняется не в полной мере из-за ошибочность второй неравенства. Полученные результаты указывают на то, что численные данные не подтверждают уверенно выдвинутую гипотезу.

Рассмотрим последний период с 2004 по 2009гг. Количество элементов выборки n = 72, медиана выборки x_med = 74

железнодорожный безопасность критерий закономерность



Таблица 4

Распределение количества ЗТП по месяцам в 2004-2009 гг.

Год	Месяц	Кол. серий
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2004	87	97	84	64	72	88	102	102	120	96	73	125	5
2005	79	75	68	60	84	63	69	109	80	94	89	106	4
2006	86	58	49	51	61	84	65	91	71	74	95	104	6
2007	74	83	62	45	53	61	74	72	55	69	115	120	2
2008	65	77	77	45	53	61	74	70	55	77	99	99	4
2009	59	76	73	43	48	61	74	68	65	77	83	101	4

Элементы выборки, которые равняются x_med = 74 вычеркиваются. ?(n) = ?(72) = 25, ?(n) = ?(n) = 7. Неравенства (1) при n = 72:

не выполняются. Таким образом, можно сделать вывод, что гипотеза о независимости не может быть принята и отвергается.

Проведенные расчеты по критерию серий, основанным на медиане выборки, для трех периодов указывают на то, что гипотеза о независимости ряда наблюдений в 2004-2009гг. отвергается, в 2005-2009гг. не подтверждается уверенно, а в 2006-2009гг. не отвергается.

Проверим независимость ряда наблюдений ЗТП по критерию квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) [5, 7]

Выборка, которая исследуется, выбирается из нормальной генеральной совокупности. Это будет доказано позднее. Для проверки стохастической независимости реализаций ЗТП с помощью данного критерия вычисляют величину [5]

где

Если окажется, что , то гипотеза о стохастической независимости результатов измерения отвергается. При этом величина для n>60 исчисляется по формуле [5]

(2)

где u_б - б-квантиль нормального распределения:

u_0.001=3.09,

u_0.01=2.326,

u_0.05=1.645 [8].

Величина при n?60 для трех уровней значимости ?=0,001, ?=0,05, ?=0,01 предоставленные в таблицы 4.9 [7].

Значение q²(n), s'²(n), г(n) исчислялись по помощи PASCAL программ, которые разработаны авторами.

1) Рассмотрим первый период с 2006г. по 2009 гг., когда n=48, тогда

Таким образом можно сделать вывод, что гипотеза о независимости выборки с 48 элементов таблицы 2 принимается (не противоречит результатам эксперимента).

2) Рассмотрим второй период с 2005 по 2009 гг., когда n=60, тогда

Таким образом гипотеза о независимости отвергается, поскольку неравенство выполняется.

3) Рассмотрим последний период с 2004 по 2009 гг., когда n=72. За формулой (2) вычисляем

Дальше находим

Таким образом гипотеза о независимости отвергается, поскольку неравенство равно как в п. 2 выполняется.

Проведенные расчеты по критерию Аббе позволяют сделать вывод о том, что в периоде 2006-2009гг. гипотеза о независимости выборки принимается; в периоде 2005-2009гг. гипотеза отвергается; в периоде 2004-2009гг. гипотеза отвергается.



В дальнейшем переходим к проверке стационарности потока реализации нарушений безопасности

У стационарного потока случайные величины x₁, …, x_m (m=12) имеют один и тот же закон распределения. Для проверки этого утверждения используется выборка из таблицы 1. Гипотеза о стационарности потока (однородность выборки) проверяется с помощью критерия Крускала-Уоллиса [6], основанного на статистике

(3)

В данном случае k - количество совокупностей есть количество лет наблюдений k = 5, 6, 7; n _t - число наблюдений в избирателе из совокупности t; n _t =12; - среднее значение рангов для совокупности t. доказано, что статистика (3) распределенная приблизительно как с k-1 степенями свободы.

С помощью разработанных авторами PASCAL программ происходит построение вариационного ряда, сортировка выборки, назначение рангов и вычисление статистики Крускала-Уоллиса для k = 5, 6, 7 лет:

а) рассмотрим первый период k = 5, 2005-2009гг. N = 5*12=60. Результаты работы программы Kr_59.PAS приведенные в таблицы 5.



Таблица 5

Результаты работы программы Kr_59.PAS

Реализация	Количество ЗТП, xi	Ранг, ri	Реализация	Количество ЗТП, xi	Ранг, ri	Реализация	Количество ЗТП, xi	Ранг, ri
20712	120	1.0	20910	77	21.5	20909	65	40.0
20711	115	2.0	20810	77	21.5	20506	63	42.0
20508	109	3.0	20802	77	21.5	20703	62	43.0
20512	106	4.0	20902	76	24.0	20605	61	45.5
20612	104	5.0	20502	75	25.0	20906	61	45.5
20912	101	6.0	20807	74	28.0	20706	61	45.5
20812	99	7.5	20907	74	28.0	20806	61	45.5
20811	99	7.5	20610	74	28.0	20504	60	48.0
20510	94	9.0	20707	74	28.0	20901	59	49.0
20608	91	10.0	20701	74	28.0	20602	58	50.0
20511	89	11.0	20903	73	31.0	20809	55	51.5
20601	86	12.0	20609	72	32.0	20709	55	51.5
20611	85	13.0	20708	71	33.0	20805	53	53.5
20505	84	14.5	20808	70	34.0	20705	53	53.5
20606	84	14.5	20710	69	35.5	20604	51	55.0
20911	83	16.5	20507	69	35.5	20603	49	56.0
20702	83	16.5	20503	68	37.0	20905	48	57.0
20509	80	18.0	20908	66	38.0	20804	45	58.5
20501	79	19.0	20801	65	40.0	20704	45	58.5
20803	77	21.5	20607	65	40.0	20904	43	60.0
KW=3.9109 sr=1830 rt2=97.7 rt[1]=266.0 rt[2]=361.0 rt[3]=396.0 rt[4]=390.5 rt[5]=416.5

Вычисленное по выборке значение критерия Крускала-Уолліса (3) KW=3.9109. Число степеней свободы k-1=4. Поскольку KW=3.9109 значительно меньше взятых из таблицы значений критерия ч², а именно значений:

это предположение о стационарности выборки есть правильным;

б) рассмотрим следующий период k=6, 2004-2009гг., N=6*12=72. С помощью программы Kr_49.PAS получим: KW=11.7718, сумма рангов sr=2628, rt2=423.7, суммы рангов за 2004-2009гг. rt[i]=249.5, 361.5, 471.0, 508.5, 502.5, 535.0, i=1,…,6... Число степеней свободы k-1=5. Поскольку KW=11.7718, а ч²_5,0.1=9.24 ч²_5,0.05=11.1 ч²_5,0.01=15.1, то гипотеза принимается для уровня значимости б=0.01 и отвергается для ?=0.1 и ?=0.05;

в) в конце концов третий период k=7, 2003-2009, N=7*12=84. С помощью программы Kr_39.PAS получили KW=24.6543, сумма рангов sr=3570, rt2=215.5, суммы рангов в 2003-2009гг.: rt[i]=351.0, 479.5, 598.0, 628.0, 630.5, 667.5, i=1,…,7... Поскольку KW=24.0543 значительно больше ч²_6,0.1=10.6 ч²_6,0.05=12.6 ч²_6,0.01=16.8, то гипотеза о стационарности отвергается.

Таким образом по результатам вычислений по критерию Крускала-Уолліса виборки 2005-2009гг и 2004-2009гг являются стационарными, а в виборки 2003-2009гг. гипотеза о стационарности отвергается.

Возникает вопрос о том, какой вид имеет закон распределения случайной величины x₁, …, x_m (m=12) когда есть k=5 совокупностей реализаций этой случайной величины. Интервал изменения этой случайной величины (43;120) разбиваем на 8 промежутков равной длины ?=10 и вычисляем число элементов виборки, которые попали в i-и промежуток i=1,..,8 (с помощью таблицы 5) и помещаем их в таблицу 6.

Таблица 6

Вычисление количества элементов в i-интервале

Интервал	41;50	51;60	61;70	71;80	81;90	91;100	101;110	111;120
Количество элементов	n1=5	n2=8	n3=14	n4=16	n5=7	n6=4	n7=4	n8=2

По данным таблицы 6 строим гистограму.

Гистограма (рисунок 4) напоминает график нормального закона. Естественно возникает предположение о том, что случайная величина, которая исследуется, распределенная по нормальному закону .

С помощью разработанной авторами PASCAL программы, начальными данными которой есть границы промежутков разбивки из таблицы 6 и числа n_i - количество элементов в i-му промежутка (i=1,…,8) по критерию ч² проверена гипотеза о нормальном распределении виборки 2005-2009гг. Число степеней свободы

k=8_ 1_ 2=5

Получено

ч²_виб=4.47, s=17.48.

Рисунок 4 - Гистограма распределения случайной величины ЗТП

Таким образом, поскольку ч²_виб значительно меньше ч²_5,0.1=9.24 ч²_5,0.05=11.1 ч²_5,0.01=15.1, то считаем, что гипотеза о нормальном законе выполняется.

В связи с вышеизложенным можно рассмотреть вопрос прогнозирования количества ЗТП

Это можно сделать двумя путями, а именно:

_ параболическая аппроксимация количества транспортных событий;

_ кусково-линейная аппроксимация кривой количества ЗТП.

Сначала рассмотрим параболическую аппроксимацию количества ЗТП. Начальными данными является количество ЗТП по месяцам каждого года с 2005 по 2009 года. Кривую количества транспортных событий (рисунок 5) получено методом наименьших квадратов с помощью пакету MathCad.

Примененная кусков-полиномиальная аппроксимация кривой с помощью полиномов второй степени, т.е. парабол на 5 отрезках года

Полученная кривая может быть использована для прогнозирования количества транспортных событий в любом месяце.

Рисунок 5 - Характеристика изменения количества транспортных событий в 2005 _ 2009 г.

Рассмотрим прогнозирование количества ЗТП К_ЗТП и оценим погрешность прогноза. Поскольку понятие доверительной области определяется лишь для прямых регрессии, то применим кусков-линейную аппроксимацию кривой количества ЗТП и построим для каждой с прямых доверительные области (рисунок 6). Наибольший размер доверительной области будет характеризовать погрешность.

Прямые регрессии и границы доверительных областей вычислены с помощью разработанной авторами PASCAL программы.

Коэффициенты корреляции r характеризуют точность линейной аппроксимации по четырем участкам. Наиболее низкий коэффициент корреляции на третьем участке r = _0.4622, где наблюдается наибольший разброс значений количества ЗТП, а наибольший r = 0.8571 на четвертом участке, где разброс значений наименьший (рисунок 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6 - Кусков-линейная аппроксимация кривой количества ЗТП и доверительные области для четырех участков:

1 _ верхняя доверительная граница;

2 _ кусков-линейная аппроксимация;

3 _ нижняя доверительная граница;

4 _ значение границ доверительной области, вычисленные за (4);

5 _ реализации количества ЗТП в 2005-2009 гг.

Вычислим границы области надежности 1-е (доверительной области) для прямой регрессии y = в₀+в₁x, что есть такими [9]:

,(4)

где в_0, в₁ - коэффициенты прямой регрессии,

- среднее значение величины x,

S_x² - дисперсия величины x,

Se2 - остаточная дисперсия,

t_е(n-2) - значение критерия Стьюдента для соответствующего числа точек n.

Границы доверительной области представляют собой гиперболы, расположенные симметрично относительно прямой регрессии (рисунок 6). Вычисления сделаны для уровня значимости е = 0.05 и надежности 1 _ е = 0.95. Доверительные области для четырех участков изображенные на рисунке 6. С вероятностью p = 0.95 прямые соответствующего участка находятся между гиперболами.

Относительная погрешность прогноза не превышает отношения длины доверительного интервала для крайней точки участка к ординате прямой в этой точке. Так, в январе относительная погрешность д = (77-69)/77 = 0,103, т.е. 10.3%; в апреле целесообразно вычислить погрешность как среднюю погрешностей по левую сторону и по правую сторону



,

т.е. 15.5%. Наибольшая относительная погрешность наблюдается в сентябре

,

т.е. 18.4%, а наименьшая в декабре

д = (107-99)/107 = 0.074, т.е. 7.4%.

Таким образом, относительная погрешность прогнозирования не превышает 18.4%.

Вывод

Таким образом, за результатом вычислений критериев: серий, который основан на медиане выборки, квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) и критерия Крускала-Уоллиса можно сделать вывод, который выборка ЗТП в 2006-2009гг. есть стационарной и независимой, выборка за 2005-2009 гг. есть стационарной и «частично независимой», а выборка за 2004-2009гг. _ стационарной, но зависимой. Можно приближенно считать выборку 2005-2009гг. стационарной и независимой. Гипотеза о нормальном законе распределения выборки 2005-2009гг выполняется.

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что поток количества ЗТП владеет стационарностью и отсутствием последействия на протяжении 2005-2009гг. и распределенный по нормальному закону. Это дает основания прогнозировать количество ЗТП на будущее. Дальнейшим направлением работы являются исследования поведения нарушений по отдельным областям железнодорожного транспорта и, в частности, устройств и систем железнодорожной автоматики.



Список литературы

1. Сокол Э.Н. Судебная железнодорожно-транспортная экспертиза: настоящее и будущее // Железнодорожный Транспорт Украины. - 1997. - №2-3. - С. 67-72.

2. Сокол Э.Н. Сходы с рельсов и столкновения подвижного состава (Судебная экспертиза. Элементы теории и практики). Монография. 2 издание, дополненное. - К.: Транспорт Украины, 2004. - 368 с.

3. Мойсеєнко В.И., Головко О.В. Анализ и программирование стана безопасности движения поездов // Зб. наук. работ. - Донецк: Донизд, 2005. - Вип.. №4. - С.5-12.

4. Анализ состояния безопасности движения на железных дорогах Украины в 2009 году / [Укрзализныця. Главное управление безопасности движения и экологии]. - К.: Транспорт Украины, 2010. - 98 с.

5. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. - Г.: Финансы и статистика, 1983. - 471 с.

6. Джонсон Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. / Н. Джонсон, Ф. Лион. - Г.: Мир, 1980. - 610 с.

7. Большев Л.Н. Таблицы математической статистики. / Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. - Г.: Наука, 1968. - 473 с.

8. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. / [Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др.]; под ред. А.В. Ефимова - М.: Наука, 1984. - 585 с.

9. Эконометрика: учебн. [для студ. высш. уч. завед.] / [Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др.]; под ред. И.И. Елисеевой. - Г.: Финансы и статистика, 2003. - 344 с.

Размещено на Allbest.ru