Слово корреляция ввел в употребление в статистику английский биолог и статистик Френсис Гальтон в конце в. Тогда оно писалось как «corelation» (соответствие), но не просто «связь» (relation), а «как бы связь», т.е. связь, но не привычной в то время функциональной форме. В науке вообще, а именно в палеонтологии, термин «корреляция» применил ещё раньше, в конце в., знаменитый французский палеонтолог (специалист по ископаемые останками животных и растений прошлых эпох) Жорж Кювель. Он ввел даже «закон корреляции» частей и органов животных.

Корреляционная связь существует там, где взаимосвязанные явления характеризуются только случайными величинами. Наличие корреляционных связей присуще многим общественным явлениям.

Цель данной работы ознакомится с понятием корреляционно-регрессионного анализа, рассмотреть понятия, характеризующие его, узнать где и как можно применять метод корреляционно- регрессионного анализа.

1. Теоретическая часть

Современная наука исходит из взаимосвязи всех явлений природы и общества. Объем продукции предприятия связан с численностью работников, мощностью двигателей, стоимостью производственных фондов и ещё многими признаками.

Невозможно управлять явлениями, предсказывать их развитие без изменения характера, силы и других особенностей связей, поэтому методы исследования, измерения связей составляют чрезвычайно важную часть методологии научного исследования, в том числе и статистического.

Различают два вида связи между различными явлениями и их признаками: функциональную и жестко детерминированную, с одной стороны, и статистическую или стохастически детерминированную - с другой. Строго определить различия этих типов связи можно тогда, когда они получают математическую формулировку.

Если с изменением значения одной из переменных вторая изменяется строго определенным образом, т.е. значению одной переменной обязательно соответствует одно или несколько точно заданных значений другой переменой, связь между ними является функциональной.

Стохастически детерминированная связь не имеет ограничений и условий, присущих функциональной связи. Если с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями, но её среднее значение или иные статистические (массовые) характеристики изменяются по определенному закону - связь является статистической. Иными словами, при статистической связи разным значениям одной переменной соответствует разные распределения значений другой переменой.

В настоящее время наука не знает более широкого определения связи. Все связи, которые могут быть измерены и выражены численно, подходят под определение «статистические связи», в том числе и функциональные. Последние представляют собой частный случай статистических связей, когда значения одной переменной соответствуют «распределения» значений второй, состоящие из одного или нескольких значений и имеющие вероятность, равную единице. Конечно, качественное различие действительно вероятных распределений и отдельных значений, имеющих вероятность единицы (достоверных), настолько велико, что хотя функциональные связи и подходят в широком смысле под определение статистической связи, все же с полным основанием можно говорить о двух типах связей.

Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака x закономерным образом изменяется среднее значение признака y; в то время как в каждом отдельном случае значение признака y (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений.

Если же с изменением значения признака x среднее значение признака y не изменяется закономерным образом, но закономерно изменяется другая статистическая характеристика (показатели вариации, ассиметрии, эксцесса и т.п.), то связь является не корреляционной, хотя и статистической.

Корреляционная связь между признаками может возникать разными путями. Важнейший путь - причинная зависимость результативного признака (его вариации) от вариации факторного признака. Совершенно иная интерпретация необходима при изучении корреляционной связи между двумя следствиями общей причины. Данную корреляцию нельзя интерпретировать как связь причины и следствия. Третий путь возникновения корреляции - взаимосвязь признаков, каждый из которых и причина и следствие.

Совершенно иная интерпретация необходима при изучении корреляционной связи между двумя следствиями общей причины.

Третий путь возникновения корреляции - взаимосвязь признаков, каждый из которых и причина, и следствие.

1.2 Система статистических показателей, характеризующих корреляционно-регрессионный анализ

В соответствии с сущностью корреляционной связи её изучение имеет две цели:

1. Измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной (зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков);

2. измерение тесноты связи двух (или большего числа) признаков между собой.

Вторая задача специфична для статистических связей, а первая разработана для функциональных связей и является общей. Основным методом решения задачи нахождения параметров уравнение связи является метод наименьших квадратов, разработанный К.Ф. Гауссом. Он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактически измеренных значений зависимой переменной y от ее значений, вычисленных по уравнению связи с факторным признаком (многими признаками) x.

Для изменения тесноты связи применяется несколько показателей. При парной связи теснота связи изменяется прежде всего корреляционным отношением, которое означается греческой группой з. Квадрат корреляционного отношения - это отношение межгрупповой дисперсии результативного признака, которая выражает влияние различий группировочного факторного признака на среднею величину результативного признака, к общей дисперсии результативного признака, выражающей влияние на него всех причин и условий. Квадрат корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации:

(1)

число групп по факторному признаку;

- число единиц совокупности;

- индивидуальные значения результативного признака;

- его средние групповые значения;

- его общее среднее значение;

- частота в j-й группе.

Формула (1) применяется при расчете показателя тесноты связи по аналитической группировке. При вычислении корреляционного отношения по уровню связи (уравнению парной или множественной регрессии) применяется формула (2):

(2),

где - индивидуальные значения y по уравнению связи.

Сумма квадратов в числителе - это объясненная связью с фактором x (факторами) дисперсия результативного признака y. Она вычисляется по индивидуальным данным, полученным для каждой единицы совокупности на основе уравнения регрессии.

Если уравнение выбрано неверно или сделана ошибка при расчете его параметров, то сумма квадратов в числителе может оказаться большей, чем в знаменателе, и отношение утратит тот смысл, которое оно должно иметь, а именно каково доля общей вариации результативного признака, объясняемая на основе выбранного уравнения в связи с его факторным признаком (признаками). Чтобы избежать ошибочного результата, лучше вычислять корреляционное отношение по другой формуле (3), не столь наглядно выявляющей сущность показателя, но зато полностью гарантирующей от возможного искажения:

(3)

В числителе формулы (3) стоит сумма квадратов отклонений фактических значений признака от его индивидуальных расчетных значений, т.е. доля вариации этого признака, не объясняемая за счет входящих в уравнение связи признаков-факторов. Эта сумма не может стать раной нулю, если связь не является функциональной. При неверной формуле уравнения связи или ошибке в расчетах возрастают расхождения фактических и расчетных значений, и корреляционное отношение снижается, как логически и должно быть.

В основе перехода от формулы (2) к формуле (3) лежит известное правило разложения сумм квадратов отклонений при группировке совокупности:

Dобщ = Dмежгр + Dвнутригр

Согласно этому правилу можно вместо межгрупповой (факторной) дисперсии использовать разность:

Dобщ - Dвнутригр

что дает:

При расчете не по группировке, а по уравнению корреляционной связи (уравнению регрессии) мы используем формулу (3). В этом случае правило разложения суммы квадратов отклонений результативного признака записывается как:

Dобщ = Dобъяснена + Dост

Важнейшее положение, которое следует теперь усвоить любому, желающему правильно применять метод корреляционно-регрессионного анализа, состоит интерпретации формул (2) и (3). Это положение гласит:

Уравнение корреляционной связи измеряет зависимость между вариацией результативного признака и вариацией факторного признака (признаков). Меры тесноты связи измеряют долю вариации результативного признака, которая связана с вариацией факторного признака (признаков).

Интерпретировать корреляционные показатели строго следует лишь в терминах вариации (различий в пространстве) отклонений от средней величины. Если же задача исследования состоит в измерении связи не между вариацией двух признаков в совокупности, а между изменениями признаков объекта во времени, то метод корреляционно-регрессионного анализа требует значительного изменения.

Итак, строго говоря, метод корреляционно-регрессионного анализа не может объяснить роли факторных признаков в создании результативного признака. Это очень серьезное ограничение метода, о котором не следует забывать.

1.3 Применение метода корреляционно-регрессионного анализа в статистике

Коренное отличие метода корреляционно-регрессионного анализа от аналитической группировки состоит в том, что корреляционно-регрессионный анализ позволяет разделить влияние комплекса факторных признаков, анализировать различные стороны сложной системы взаимосвязей. Если метод комбинированной аналитической группировки, как правило, не дает возможность анализировать более 3 факторов, то корреляционный метод при объеме совокупности около ста единиц позволяет вести анализ системы с 8-10 факторами и разделить их влияние.

Развивающиеся на базе корреляционно-регрессионного анализа многомерные методы (метод главных компонентов, факторный анализ) позволяют синтезировать влияние признаков (первичных факторов), выделяя из них непосредственно не учитываемые глубинные факторы (компоненты). Например, изучая корреляцию ряда признаков интенсификации сельскохозяйственного производства, таких, как фондообеспеченность, затраты труда на единицу площади, энергообеспеченность, внесение удобрений на единицу площади, плотность поголовья скота, можно синтезировать общую часть их влияния на уровень продукции с единицы площади или на производительность труда, получив обобщенный фактор «интенсификация производства», непосредственно не измеримый, не отражаемый единым показателем.

Правильное применение и интерпретация результатов корреляционно-регрессионного анализа возможны лишь при понимании всех специфических черт, достоинств и ограничений метода.

Необходимо сказать и о других задачах применения корреляционно-регрессионного метода, имеющих не формально математический, а содержательный характер.

1. Задача выделения важнейших факторов, влияющих на результативный признак (т.е. на вариацию его значений в совокупности). Эта задача решается в основном на базе мер тесноты связи факторов с результативным признаком.

2. Задача оценки хозяйственной деятельности по эффективности использования имеющихся факторов производства.

3. Задача прогнозирования возможных значений результативного признака при задаваемых значениях факторных признаков.

4. Задача подготовки данных, необходимых в качестве исходных для решения оптимизационных задач.

При решении каждой из названных задач нужно учитывать особенности и ограничения корреляционно-регрессионного метода. Всякий раз необходимо специально обосновать возможность причинной интерпретации уравнения как объясняющего связь между вариацией фактора и результата. Трудно обеспечить раздельную оценку влияния каждого из факторов. В этом отношении корреляционные методы глубоко противоречивы. С одной стороны, их идеал - измерение чистого влияния каждого фактора. С другой стороны, такое измерение возможно при отсутствии связи между факторами и случайной вариации признаков. А тогда связь является функциональной, и корреляционные методы анализа излишни. В реальных системах связь всегда имеет статистический характер, и тогда идеал методов корреляции становится недостижимым. Но это не значит, что эти методы не нужны.

Данное противоречие означает простоту недостижимость абсолютной истины в познании реальны связей. Приближенный характер любых результатов корреляционно-регрессионного анализа не является поводом для отрицания их полезности. Всякая научная истина - относительна. Забывать об этом и абсолютизировать параметры регрессионных уравнений, меры корреляции было бы ошибкой, так же как и отказаться от использования этих мер.

2. Расчетная часть

Имеются следующие выборочные данные за отчётный период по предприятиям одной из финансово-промышленных групп (выборка 10%-ная, механическая):

Таблица 1 - Исходные данные

корреляционный регрессионный распределение статистический

Задание 1

По исходным данным:

1.Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку фондовооруженность труда, образовав пять групп с равными интервалами.

2.Графическим методом и путём расчётов определите значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3.Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания.

4.Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Решение:

1.Построение интервального ряда распределения предприятий по признаку фондовооруженность труда.

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение банков по объему кредитных вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

,

при заданных k = 5, x_max = 440,6 тыс руб/чел., x_min =380,8 тыс руб/чел.

При h = 21,96 тыс руб/чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2 - Определение границы интервалов рядов распределения.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Объем кредитных вложений представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3

Таблица 3 - Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения банков по объему кредитных вложений.

Таблица 4 - Распределение предприятий по фондовооруженности труда.

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле

.

Таблица 5 - Структура предприятий по фондовооруженности труда

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по фондовооруженности труда не является равномерным: преобладают предприятия с фондовооруженностью от 374,72 млн руб/чел. до 396,68 млн руб./чел(это 8 предприятий, доля которых составляет 70%); и 396,68 млн руб./чел до 418,64 (это 6 предприятий, доля которых составляет 90%).

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов.

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где х_Мo - нижняя граница модального интервала,

h -величина модального интервала,

f_Mo - частота модального интервала,

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным

Вывод: Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная фондовооруженность характеризуется средней величиной 369,84 тыс руб/чел.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

где х_Ме- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

f_Ме - частота медианного интервала,

S_Mе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Вывод: В рассматриваемой совокупности предприятий половина имеет фондовооруженность не более 380,21 млн руб./чел, а другая половина - не менее 380,21 млн руб./чел.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, V_у на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( - середина j-го интервала).

Таблица 6 - Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней арифметической взвешенной:

(5)

Расчет дисперсии:

(6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

Расчет коэффициента вариации:

(7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средняя фондовооруженность составляет 382,77 тыс руб./чел, отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 25,19 млн руб./чел (или 6,58%), наиболее характерные значения объема кредитных вложений находятся в пределах от 357,59 млн руб/чел. до 407,95 млн руб/чел. (диапазон ).

Значение V_у = 6,58% не превышает 33%, следовательно, вариация фондовооруженности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=382,77млн руб./чел, Мо=369,84млн руб./чел, Ме=380,21млн руб/чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий.

Мо<Me< - правосторонняя ассиметрия.

Правосторонняя ассиметрия означает, что наиболее часто встречается значение признака, который меньше среднего значения.

Таким образом, найденное среднее значение фондовооруженности является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

, (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1.Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками фондовооруженность труда и производительность труда, используя метод аналитической группировки.

2.Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

4. Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Решение

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Фондовооруженность труда (X), результативным - признак Производительность труда (Y).

1.Установление наличия и характера связи между признаками Фондовооруженность и Производительность труда методом аналитической группировки.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - Фондовооруженность труда и результативным признаком Y - Производительность труда.

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.

Таблица 7 - Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением фондовооруженности от группы к группе систематически возрастает и средняя прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

 (11)

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 8.

Таблица 8 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака - производительности труда, которая возникает под влиянием всех возможных факторов: и факторного признака - фондовооруженности, по которому построена группировка, и других, не учтенных при построении группировки признаков.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 9 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 9 - Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака - производительности труда, которая возникает только под влиянием факторного признака - фондовооруженности труда.

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 90,4%

Вывод: 90,4% вариации производительности труда обусловлено вариацией объема фондовооруженности труда, а 9,6% - влиянием прочих неучтенных факторов

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 10):

Таблица 10 - Шкала Чэддока

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между фондовооруженностью и производительностью труда весьма тесная.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их не случайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m: k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследования обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =90,4%, полученной при =46350,54, =41902,8178:

F_расч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

Вывод: поскольку F_расчF_табл, то величина коэффициента детерминации =90,4% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Фондовооруженность труда и Производительность труда правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности предприятий.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1. Ошибку выборки среднего уровня фондовооружённости труда и границы, в которых будет находиться средний уровень фондовооружённости труда для генеральной совокупности предприятий.

2. Ошибку выборки доли предприятий с уровнем фондовооружённости труда 380,6 тыс. руб./чел. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

1. Определение ошибки выборки для среднего уровня фондовооруженности труда и границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

, (15)

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

, (16)

По условию демонстрационного примера выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 11:

Таблица 11

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

300-38,0646300+38,0646,

261,9354 тыс руб/чел. 338,0646 тыс руб./чел

Вывод: На основании проведенного выборочного обследования предприятий региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности средняя фондовооруженность находится в пределах от 261,9354 тыс руб/чел. до 338,0646 тыс руб./чел.

2. Определение ошибки выборки доли предприятий с уровнем фондовооружённости труда 380,6 тыс. руб./чел. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение фондовооруженностью труда 380,6 тыс. руб./чел

Число банков с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=13

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий с фондовооруженностью 380,6 тыс. руб./чел и выше будет находиться в пределах от 26,13 до 60,53%

Задание 4

Имеются следующие условные данные по предприятиям финансово-промышленной группы, выпускающим однородную продукцию:

Таблица 12- Исходные данные.

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии, отражающее взаимосвязь между фондовооружённостью и производительностью труда работников. Дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии построенного уравнения.

2. Определить линейный коэффициент корреляции для построенной модели связи и сделать выводы.

Решение:

1. Построение линейного уравнение парной регрессии, отражающего взаимосвязь между фондовооружённостью и производительностью труда работников.

Вычислим фондовооруженность и производительность труда. Данные представим в таблице 13

Таблица 13- Определение фондовооруженности и производительности труда.

Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

y_x=a+bx (21)

Для определения a и b воспользуемся методом наименьших квадратов.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ?(y_i - y^*_i)² > min (22)

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y (23)

a?x + b?x² = ?y*x

Вычислим x² и y*x. Построим вспомогательную таблицу 14

Таблица 14 - Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения регрессии.

Для наших данных система уравнений имеет вид

20a + 1.44 b = 8,42

1,44 a + 0,11 b = 0,62

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

b = 8,34, a = -0,18

Уравнение регрессии:

y = 8,34 x - 0,18

Так же мы можем получить уравнение регрессии в среде Excel.

Для этого выполняем команду: Сервис =>Анализ данных =>Регрессия =>OK;

В результате получаем таблицу 15 - Дисперсионный анализ.

Таблица 15 - Дисперсионный анализ

Мы получили коэффициенты уравнения регрессии, которое будет иметь вид y = 8,34 x - 0,18

Вывод: Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 8.34 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 млн руб/чел фондовооруженности, производительность труда повышается в среднем на 8.34 млн.руб/чел.

2. Определение линейного коэффициента корреляции построенной модели.

Для того чтоб вычислить коэффициент корреляции определим параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Для оценки коэффициента корреляции воспользуемся шкалой Чэддока (табл.10)

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между фондовооруженностью и производительностью труда весьма тесная.

3. Аналитическая часть

Постановка задачи.

Оценить эффективность использования основных производственных фондов.

Основные фонды - это средства труда, многократно участвующие в производственном процессе, сохраняя при этом свою натуральную форму, постепенно изнашиваясь, переносят свою стоимость по частям на вновь создаваемую продукцию. К ним относят фонды со сроком службы более одного года и стоимостью более 100 минимальных месячных заработных плат. Основные фонды подразделяются на непроизводственные и производственные фонды. Производственные фонды участвуют в процессе изготовления продукции или оказания услуг (станки, машины, приборы, передаточные устройства и т.д.). Непроизводственные основные фонды не участвуют в процессе создания продукции (жилые дома, детские сады, стадионы, поликлиники, санатории и т.д.).

Основные фонды учитываются в натуральном и денежном выражении. Учет фондов в натуральном выражении позволяет определить производственные мощность и возможности предприятия, срок службы подвижного состава, оценить техническое состояние фондов, а также найти пути повышения эффективности их использования. Основные фонды в стоимостном выражении представляют собой основные средства. Учитывают их по первоначальной (балансовой) стоимости, т.е. по сумме затрат на их изготовление, транспортировку, монтаж и другие виды работ, связанные с вводом основных фондов в эксплуатацию.

По данным о стоимости основных производственных фондов предприятия за два года (табл. 16) определим:

-Фондоотдачу ОПФ

-Фондоёмкость

-Производительность труда

-Фондовооруженность труда

- Абсолютное и относительное изменение объема реализованной продукции за счет изменения численности работников и производительности труда работников

- Абсолютное и относительное изменение объема реализованной продукции за счет изменения стоимости основных фондов и фондоотдачи

Таблица 16- Данные о стоимости основных производственных фондов ООО «Северсталь»

Во время выполнения данной работы был изучен корреляционно-регрессионный анализ в статистике, проведены соответствующие исследования, приобретены новые знания и на их основе были проведены расчеты соответствующих заданий по теме.

В общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит не только в количественной оценке их наличия, направления и силы связи, но и в определении формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный. Для его решения применяют методы корреляционного и регрессионного анализа.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых, должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных нам зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).

Литература