Использование корреляционно-регресионного метода в управлении предприятием

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование корреляционно-регрессионного анализа в управлении предприятием

Введение

В наше время математико-статистические исследования становятся необходимым инструментом для получения более глубоких и полноценных знаний о механизме изучаемых явлений. Существующие между явлениями формы и виды связей весьма разнообразны по своей классификации, но предметом статистики являются только такие из них, которые имеют количественный характер и изучаются с помощью количественных методом. Основным в изучении взаимосвязей явлений, является метод корреляционно-регрессивного анализа. Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности.

Целью моей работы является использование корреляционно-регрессионного анализа в управлении предприятием. В любой действующей фирме, которая планирует прочно «стоять на ногах» часто проводят исследования, решают задачи, определяющие выявления динамики и экономического процесса. Такие задачи чаще всего определяются методами регрессионного и корреляционного анализа. Я считаю, ни в одной сфере, обработка статистических данный не играла бы столь огромной роли, как в экономической среде, имеющей дело с обработкой и анализом огромных массивов информации о социально-экономических явлениях и процессах. Для достоверного отображения объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует вскрытия причинных зависимостей. Под понятием причина понимают совокупность условий, обстоятельств, действие которых приводит к появлению следствия. Причинно-следственные отношения представляют собой связь явлений и процессов, когда изменение одного из них - причины - ведёт к изменению другого - следствия.

Понятие корреляции в принятом нами значении появилось почти в середине XIX века благодаря работам сэра Фрэнсиса Гальтона (двоюродного брата Чаральза Дарвина) и Карла Пирсона. Ф. Гальтон применил для корреляции следующую форму записи: co-relation, откуда становится понятным значение этого выражения - связь, соотношение. Первоначально исследования корреляции проводились в биологии, а позднее распространились на другие области, в том числе на социально-экономическую. Одновременно с корреляцией начала использоваться и регрессия. Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует её форму. Та и другая служат для установления соотношения между явлениями, для определения наличия или отсутствия связи.

В моей работе я попытаюсь проанализировать методы статистических анализов на предприятии и их сущность.

1. Понятие корреляционно-регрессионного метода

1.1 Основные черты корреляционно-регрессионного метода

Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ). Этот метод содержит две составляющие части - корреляционный анализ и регрессионный анализ.

Корреляционный анализ - это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами. Теснота связи количественно выражается величиной коэффициента корреляции. Знак при коэффициенте корреляции характеризует направление связи между признаками. Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

В статистике принято различать следующие варианты зависимостей:

1. Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).

2. Частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

3. Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Относительно формы связи различают:

А) линейную корреляцию - характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками, в случае наличия между ними линейной зависимости.

Б) нелинейную - корреляция, при которой отношение степени изменения одной переменной к степени изменения другой переменной является изменяющейся величиной.

Регрессионный анализ - заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины обусловлено влиянием одной или нескольких величин, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения. Регрессия может быть однофакторной(парной) и многофакторной(множественной).

Относительно формы зависимости различают:

А) линейную регрессию, выражаемую линейной функцией. При этой форме зависимости между исследуемыми переменными объективно существуют линейные соотношения. Выражается уравнением прямой вида:

Б) нелинейную регрессию, выражаемую нелинейной функцией. В этом случае между исследуемыми экономическими явлениями объективно существуют нелинейные соотношения. Выражается уравнением вида:

Парабола -

Гипербола -

По направлению связи различают:

1) прямую регрессию(положительную), возникающую при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины значения зависимой также соответственно увеличиваются или уменьшаются;

2) обратную(отрицательную) регрессию, появляющуюся при условии, что с увеличением или уменьшением независимой величины зависимая соответственно уменьшается или увеличивается.

1.2 Основные задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного метода

Перед рассмотрением основных задач и предпосылок корреляционного и регрессивного анализа, следует знать, что уравнение регрессии, или статистическая модель связи социально-экономических явлений выражаемая функцией _x= f (x₁, x₂,….x_k), является достаточно адекватным реальному моделируемому явлению в случае соблюдения следующих требований:

1) Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной.

2) Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей.

3) Все факторные признаки должны иметь количественное (цифровое) выражение.

4) Наличие достаточно большого объёма исследуемой выборочной совокупности.

5) Причинно-следственные связи между явлениями и процессами следует описывать линейной или приводимой к линейной формами зависимости.

6) Отсутствие количественных ограничений на параметры моделей связи.

7) Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой продукции.

Соблюдение данных требований позволит нам построить статистическую модель связи, наилучшим образом исследуя моделируемые социально-экономические явления и процессы.

В статистике показатели социально-экономических явлений, могут быть связаны либо корреляционной зависимостью, либо быть независимыми. Корреляционная зависимость является частным случаем стохастической зависимости, при которой изменение значений факторных признаков влечёт за собой изменение среднего значения результативного признака и исследуется с помощью корреляционного и регрессионного анализов.

Корреляционный анализ изучает взаимосвязи показателей и позволяет решить следующие задачи:

1) Оценка тесноты связи между показателями с помощью парных, частных и множественных коэффициентов корреляции.

2) Оценка уравнения регрессии.

Основной предпосылкой корреляционного анализа является необходимость подчинения совокупности значений всех факторных (x₁, x₂,…x_k) и результативного (У) признаков k-мерному нормальному закону распределения или близость к нему.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (У) от факторных (x₁, x₂,….x_k).

Основной предпосылкой регрессионного анализа является то, что только результативный признак подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки могут иметь произвольный закон распределения.

Она из проблем построения уравнения регрессии - это её размерность, т.е. определение числа факторных признаков включаемых в модель, их число должно быть оптимальным. Сокращение размерности модели, за счёт исключения второстепенных несущественных факторов позволяет получить модель, быстрее и качественнее реализуемую. Но построение модели малой по размерам, может привести к тому, что она будет не достаточно полно описывать исследуемое явление или процесс.

Построение корреляционно-регрессионных моделей, какими бы сложными они не были, не показывает все причинно-следственные связи. Основой их адекватности является предварительный качественный анализ, основанный на учёте специфики и особенностей сущности исследуемых социально-экономических явлений и процессов.

1.3 Методы корреляционного и регрессионного анализа

Существует множество самых различных методов расчёта, я постараюсь описать некоторые из них. Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями и процессами: а) функциональная и б) стохастическая. Примеры функциональной зависимости можно привести из области физических явлений. Например, в физике известен закон свободного падения. В условиях безвоздушного пространства скорость падения является произведением ускорения свободного падения на время падения. Закон Ома указывает функциональную связь между электрическим сопротивлением, силой тока и напряжением. В экономике примером может служить зависимость производительности труда от объёма произведённой продукции и затрат рабочего времени.

Совсем по-другому обстоит дело в закономерностях, проявляющихся только в массовом процессе, только при большом числе единиц совокупности. Такие закономерности называются стохастическими (вероятностными).

В моей работе уже упоминалось о методе корреляционного анализа - линейном коэффициенте корреляции. Рассмотрим этот метод более обширней. Линейный коэффициент корреляции разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон в 90-х годах XIX века и рассчитывается по формуле:



Где Х - факторный признак У - результативный

Коэффициент корреляции изменяется по модулю от -1 до 1.

1 - идеальная положительная связь Все точки данных располагаются строго на прямой линии, направленной вверх и в право.

Близко к 1 - сильная положительная взаимосвязь. Точки данных плотно сгруппированы вокруг прямой линии, направленной вверх и вправо.

Близко к 0 (положительно) - отсутствие взаимосвязи. Случайное облако точек данных. Не имеет чёткой направленности ни вверх, ни вниз при движении вправо.

Близко к 0 (отрицательно) - незначительная отрицательная взаимосвязь. Точки данных образуют случайное облако с незначительной ориентацией вниз и вправо.

Близко к -1 - сильная отрицательная взаимосвязь. Точки данных плотно сгруппированы вокруг прямой линии, направленной вниз и вправо.

-1 - Идеальная взаимосвязь, все точки располагаются строго на прямой.

Не определено - точки данных располагаются строго на горизонтали или на вертикальной линии.

Статистической наукой разработаны методы, с помощью которых можно измерить связь между явлениями, не используя при этом количественные значения признака, а значит, и параметры распределения. Такие методы получили название непараметрические:

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

,

где .

 - суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

 - суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются)

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла:

 - число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Каждому показателю X и Y присваивается ранг. На основе полученных рангов рассчитываются их разности  и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.

C - число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

H - число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

Рассмотрим парную регрессию на основе метода наименьших квадратов.

Парная регрессия позволяет получить аналитические выражения связи между двумя признаками, результативным и факторным.

Что бы построить уравнение регрессии нужно:

1) Выявить тип уравнения, который определяет существенную зависимость, возможно с помощью графического метода.

2) Построить систему уравнений по методу наименьшего квадрата

3) Через эту систему найти параметры уравнения регрессий a₀ и a₁

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии:

=a₀+a_1x

S=

- параметр отражающих количественную характеристику факторов, не включённых в данную модель.

- коэффициент регрессии. Показывает как изменяется результативный признак, при изменении факторного признака на единицу измерения.

2. Построение моделей и использование их на практике

Результаты деятельности промышленных предприятий (все данные вымышленные)

Таблица 1

Номер предприятия	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Среднесписочная численность служащих, чел.	Затраты на сырьё, материалы, тыс. руб.	Фонд заработной платы (без учета выплат в различные фонды), тыс. р	Объем товарной продукции, тыс. р.
1	130	22	3500	5973	13246
2	146	30	3800	3737	14871
3	156	26	3900	1489	16278
4	178	31	4400	3222	14322
5	184	36	4500	5450	11129
6	119	30	3100	2838	12780
7	127	22	3200	3682	13400
8	203	45	4600	3214	10431
9	170	38	4300	2864	11399
10	146	30	3600	1870	7641
11	161	38	4000	2565	18036
12	174	41	4200	2940	9819
13	150	27	3700	1189	7463
14	142	28	3400	2021	6560
15	153	31	3300	1524	7841
16	215	37	4700	5379	16696
Всего	2554	512	62200	49957	191912

Относительные показатели

Относительные показатели представляют собой результат деления одного абсолютного показателя на другой, и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений.

Расчет относительных показателей представлен в таблице 1.

Среднемесячная заработная плата рабочего предприятия

Среднемесячная заработная плата рабочего по всей совокупности предприятий рассчитывается по формуле:

СЗП = , где

ФЗП - фонд заработной платы;

СЧР - среднесписочная численность рабочих

СЧР= СЧ _{работающих} - СЧ _{служащих}

СЧР = 2554 - 512 = 2042

СПЗ _общ = = 1,63 тыс. р./мес.

Среднемесячная заработная плата по каждому предприятию:

СЗП = = 4,61 тыс. р./мес.

Материалоемкость

М =

М₁ = = 0,26

Аналогично рассчитывается материалоемкость по всем предприятиям.

Таблица 2

Номер предприятия	Среднесписочная численность рабочих, чел.	Среднемесячная заработная плата рабочего	Материалоёмкость
1	108	4,61	0,26
2	116	2,68	0,26
3	130	0,95	0,24
4	147	1,83	0,31
5	148	3,07	0,40
6	89	2,66	0,24
7	105	2,92	0,24
8	158	1,70	0,44
9	132	1,81	0,38
10	116	1,34	0,47
11	123	1,74	0,22
12	133	1,84	0,43
13	123	0,81	0,50
14	114	1,48	0,52
15	122	1,04	0,42
16	178	2,52	0,28
Всего	2042	32,99	5,61

Средние показатели

Средняя величина - это обобщающая характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку. Данные для расчетов взяты из таблицы 2.

Среднесписочная численность рабочих

Среднесписочная численность рабочих является невзвешенной средней величиной, которая рассчитывается по формуле:

= , где

x_i - значение осредняемой величины при i-м измерении, то есть среднесписочная численность рабочих на i-м предприятии

n - число значений признака

Среднемесячная заработная плата рабочего

Среднемесячная заработная плата рабочего является взвешенной средней величиной, которая рассчитывается по формуле:

= , где

x_i - значение осредняемой величины при i-м измерении, то есть среднемесячная заработная плата рабочего на i-м предприятии

- среднесписочная численность рабочих на i-м предприятии

Средняя материалоемкость

Материалоемкость показывает, сколько материальных затрат необходимо произвести или фактически приходится на производство единицы продукции. Материалоемкость рассчитывается по формуле средней агрегатной величины:

= , где

- затраты на сырье и материалы на i-м предприятии

- объем товарной продукции

=

Определение тесноты взаимосвязи между показателями с помощью коэффициента ранговой корреляции.

Определим тесноту связи между показателями: фонд заработной платы, среднесписочная численность рабочих, используя коэффициент ранговой корреляции. Этот коэффициент представляет собой показатель, характеризующий статистическую связь двух признаков, измеряемых в порядковой шкале. Для признаков, измеренных в порядковых шкалах, наиболее известным является коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

d_i ² - квадрат разности рангов

Таблица 3

Номер предприятия	Среднесписочная численность работающих, чел. (X)	Фонд заработной платы (без учета выплат в различные фонды), тыс. Р(Y)	Ранг Х	Ранг У	di^2	Rx	Ry	Q	P
1	108	3222	3	11	64	1	3	2	13
2	116	3737	5,5	13	56,25	2	16	14	0
3	130	1870	10	4	36	3	11	9	5
4	147	5379	13	14	1	4	2	1	11
5	148	2864	14	8	36	5,5	13	9	2
6	89	1524	1	3	4	5,5	9	6	4
7	105	5973	2	16	196	7	12	7	2
8	158	2565	15	6	81	8,5	15	8	0
9	132	2838	11	7	16	8,5	5	2	5
10	116	2940	5,5	9	12,25	10	4	1	5
11	123	5450	8,5	15	42,25	11	7	2	3
12	133	3214	12	10	4	12	10	3	1
13	123	2021	8,5	5	12,25	13	14	3	0
14	114	1489	4	2	4	14	8	2	0
15	122	3682	7	12	25	15	6	1	0
16	178	1189	16	1	225	16	1	0	0
Всего	2042	49957			815			70	51

Из полученного значения можно сделать вывод, что взаимосвязи практически нет. Точки данных образуют случайное облако с незначительной ориентацией вниз и вправо. Иначе говоря среднесписочная численность рабочих не влияет на увеличение фонда заработной платы из-за внешних или внутренних различных явлений и факторов.

Определение тесноты парной связи и формы для всей статистической совокупности.

При изучении связи социально-экономических явлений применяются линейные и различные нелинейные зависимости. Для определения тесноты парной связи используют линейный коэффициент корреляции. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя корреляционными признаками, в случае наличия между ними линейной зависимости.

Х - факторный признак

У - результативный признак

Таблица 4. промежуточные расчёты

Номер предприятия	Количество изделий (х)	затраты, тыс. руб. (у)	X*Y	X^2	Y^2
1	22	3,5	77	484	12,25
2	30	3,8	114	900	14,44
3	26	3,9	101,4	676	15,21
4	31	4,4	136,4	961	19,36
5	36	4,5	162	1296	20,25
6	30	3,1	93	900	9,61
7	22	3,2	70,4	484	10,24
8	45	4,6	207	2025	21,16
9	38	4,3	163,4	1444	18,49
10	30	3,6	108	900	12,96
11	38	4	152	1444	16
12	41	4,2	172,2	1681	17,64
13	27	3,7	99,9	729	13,69
14	28	3,4	95,2	784	11,56
15	31	3,3	102,3	961	10,89
16	37	4,7	173,9	1369	22,09
Всего	512	62,2	2028,1	17038	245,84

Добавим столбец о количестве выпускаемых изделий. Предположим, что предприятия выпускают самолёты для государства.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

Так как коэффициент положительный, следовательно, связь прямая. Можно сделать вывод, что с увеличением выпуска продукции, затраты увеличиваются, а с уменьшением - уменьшаются.

Аналогично можно рассчитать отношение Фонда заработанной платы к среднесписочной численности рабочих или показатель электровооружённости и производительности труда.

График уравнений линейной регрессии для данных статистической совокупности

Найдём параметры уравнения линейной регрессии:

=a₀+a_1x

S=



- параметр отражающих количественную характеристику факторов, не включённых в данную модель.

- коэффициент регрессии. Показывает как изменяется результативный признак, при изменении факторного признака на единицу измерения.

Добавим данных в нашу таблицу.

Таблица 5

Номер предприятия	Чистый доход, млрд. (y)	Объём вложений акционеров, млрд. (x)
1	0,1	8,8
2	1,3	9,4
3	0,1	10
4	2,6	10,6
5	0,1	11
6	0,3	11,9
7	4,6	12,7
8	2,5	12,8
9	1,7	13
10	3,2	12,4
11	0,9	12
12	1,7	11,6
13	3,3	12,9
14	2,8	13,1
15	2,3	13,4
16	4,4	14
Итого	31,9	189,6

Аналогично рассчитывает остальные показатели.

Таблица промежуточных расчётов

Номер предприятия	Чистый доход, млрд.	Объём вложений акционеров, млрд.	x^2	xy	Y _x
1	0,1	8,8	77,44	0,88	0,008
2	1,3	9,4	88,36	12,22	0,404
3	0,1	10	100	1	0,8
4	2,6	10,6	112,36	27,56	1,196
5	0,1	11	121	1,1	1,46
6	0,3	11,9	141,61	3,57	2,054
7	4,6	12,7	161,29	58,42	2,582
8	2,5	12,8	163,84	32	2,648
9	1,7	13	169	22,1	2,78
10	3,2	12,4	153,76	39,68	2,384
11	0,9	12	144	10,8	2,12
12	1,7	11,6	134,56	19,72	1,856
13	3,3	12,9	166,41	42,57	2,714
14	2,8	13,1	171,61	36,68	2,846
15	2,3	13,4	179,56	30,82	3,044
16	4,4	14	196	61,6	3,44
Итого	31,9	189,6	2280,8	400,72

График уравнения регрессии.

Я построил график именно таким типом, что бы лучше показать что регрессия линейная. Из полученных значений можно сделать вывод, что при увеличении акционерных доходов на 1 млрд., чистый доход увеличится на 66 млрд.

Диаграмма рассеяния

- позволяет увидеть структуру данных, наглядно демонстрирует взаимосвязь явлений, представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам. По оси Х располагается переменная, являющаяся «причиной» т.е. фактор, по оси У - следствие (результат).



Заключение

Наиболее сложным этапом, завершающим корреляционно-регрессионный анализ, является интерпретация полученных результатов, т.е. перевод их с языка статистики и математики на язык экономики. Целью моей работы являлось использование корреляционно-регрессионного анализа в управлении предприятием.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т.е. с изучения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на другой. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния факторного признака на результативный. Если факторный признак имеет плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак со знаком минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается. Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону снижения положительные значения имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии.

Корреляционный и регрессионный анализ позволяет определить зависимость между факторами, а так же проследить влияние задействованных факторов. Эти показатели имеют широкое применение в обработке статистических данных для достижения наилучших показателей.

В соответствии с заданием мы рассмотрели:

1) Понятие корреляционно-регрессионного метода, его основные черты и задачи;

2) Построили модель предприятия и на примерах увидели, что могут выявить показатели и какие выводы можно сделать, исходя из них.

На основании изложенного можно сделать выводы:

Корреляционно-регрессионный анализ - это измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения(формы) связи. Основными методами которого являются линейный коэффициент корреляции, коэффициент ранговой корреляции Кендала, Спирмена и парная регрессия.

Список литературы

корреляционный регрессионный теснота кендалл

1. Р.А. Шмойлова «Теория статистики», 3 издание; Москва «финансы и статистика» 2001;

2. Э. Фёрстер, Б. Рёнц «Методы корреляционного и регрессионного анализа»; Москва «финансы и статистика» 1983;

3. Елисеева И.И. «Общая теория статистики»: учебник. - 5-е издание, 2004. - 656 с.;

4. Инванов Ю.Н., Хоменко Т.А., Рябушкин Б.Т. и др. Экономическая статистика. - М., 1998. - 350 с.;

5. Экономическая статистика: текст лекций. Богородская Н.А. СПбГААП.СПб., 1996 г.;

6. Общая теория статистики. Под ред. А.А Спирина. Москва. «Финансы и статистика». 1998 г.

7. А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987.;

8. А.Н. Кленин, К.К. Шевченко «Математическая статистика для экономистов-статистиков»/ М., 1990.

Размещено на Allbest.ru