Методика построения уравнения регрессии и корреляции

Контрольная работа №2

Задача №1

Для изучения связи между активами-нетто и объемом капитала по 30 коммерческим банкам (согласно Вашему варианту):

а) изобразите связь между изучаемыми признаками графически построением поля корреляции;

б) постройте уравнение регрессии. Параметры уравнения определите методом наименьших квадратов. Рассчитайте теоретические значения объема кредитных вложений и нанесите их на построенный график.

Решение:

Рисунок 1

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии зависимости чистых активов и капитала коммерческих банков.

Таблица 1.1

№ банка	Капитал, млн.руб. (X)	Чистые активы, млн.руб. (Y)	X?	Y?	X*Y	Yx
1	2	3	4	5	6	7
1	1,46	1,68	2,13	2,82	2,45	232,1
2	1,51	2,81	2,28	7,9	4,24	240,4
3	2,63	21,84	6,92	476,9	57,44	422,0
4	1,72	7,38	2,96	54,46	12,7	264,8
5	1,50	9,82	2,25	96,43	14,73	240,1
6	1,64	4,26	2,69	18,15	6,99	258,2
7	1,36	4,61	1,85	21,25	6,27	228,4
8	1,21	3,32	1,46	11,02	4,02	219,6
9	1,49	2,33	2,22	5,43	3,47	234,9
10	1,35	3,08	1,82	9,49	4,16	227,6
11	1,61	15,14	2,59	229,2	24,37	254,8
12	1,78	7,12	3,17	50,7	12,67	266,1
13	1,42	1,68	2,01	2,82	2,38	229,7
14	1,41	4,60	1,99	21,16	6,49	229,2
15	1,46	2,20	2,13	4,84	3,21	232,1
16	3,65	20,21	13,32	408,4	73,77	587,4
17	1,57	7,74	2,46	59,9	12,15	252,1
18	1,10	2,72	1,21	7,4	2,99	173,8
19	0,94	1,59	0,88	2,53	1,49	151,9
20	3,89	22,37	15,13	500,42	87,02	598,4
21	0,78	1,42	0,61	2,02	1,11	121,9
22	2,74	12,61	7,51	159,01	34,55	439,8
23	0,87	10,26	0,76	105,27	8,93	136,6
24	1,08	6,12	1,17	37,45	6,61	169,9
25	1,08	5,27	1,17	27,8	5,69	169,9
26	2,90	7,33	8,41	53,73	21,26	465,8
1	2	3	4	5	6	7
27	1,13	6,30	1,28	39,69	7,12	178,7
28	0.94	22,67	0,88	513,93	21,31	151,9
29	1.92	3,42	3,69	11,7	6,57	306,8
ИТОГО	48,14	221,9	96,95	2941,81	456,16	7684,9

Система нормальных уравнений для нахождения параметров парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

а0 = (221,9 - 48,14а1)/29

48,14*((221,9 - 48,14а1)/29)+ 96,95а1 = 456,16

368,354 - 79,912а1 + 96,95а1 = 456,16

17,037а1 = 87,806

а1 = 5,154

а0 = (221,9 - 48,14*5,154)/29 = -0,9

Yx = а0 + а1*х = 5,154х - 0,9

Задача №2

По данным задачи 1 вычислите показатели тесноты связи между изучаемыми признаками. В случае линейной связи для оценки тесноты связи необходимо применить формулу линейного коэффициента корреляции, при нелинейной связи - теоретического корреляционного отношения.

Сделайте выводы о тесноте и направлении связи между изучаемыми признаками.

Решение

Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

?х = vх? - (х)?

?у = vу? - (у)?

х? = ? х?/29 = 96,95/29 = 3,34

(х)? = (? х/29)? = (48,14/29)? = 2,756

у? = ? у?/29 = 2941,81/29 = 101,441

(у)? = (? у/29)? = (221,9/29) ? = 58,549

X = ? х/29 = 48,14/29 = 1,66

Y = ? у/29 = 221,9/29 = 7,65

XY = ?х*у/29 = 456,16/29 = 15,73

?х =v3,34 - 2,756 = 0,764

?у = v101,441 - 58,549 = 6,55

Задача №3

По данным любого статистического ежегодника или периодической печати выполните следующее:

1. Выберите интервальный ряд динамики, состоящий из 8-10 уровней.

2. Изобразите графически динамику ряда с помощью статистической кривой.

3. По данным выбранного ряда вычислите абсолютные и относительные показатели динамики. Результаты расчетов изложите в табличной форме.

4. Вычислите средние показатели динамики.

Решение

1. Выберем интервальный ряд динамики, состоящий из восьми уровней и отразим его в таблице 3.1

Таблица 3.1. Среднемесячное потребление горячей воды в течение 8-ми месяцев, куб.м.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8
куб.м.	10,5	9,8	7,4	9,6	10,9	9,2	13,7	11,3

Рассмотрим динамический ряд потребления горячей воды в таблице 3.2

Таблица 3.2. Динамика потребления горячей воды за 8 месяцев

Месяц	Потребление, куб.м.(уi)	Абсолютные приросты, куб.м.	Темпы роста, %	Темпы прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, куб.м.
		цепные	базисные	цепные	базисные	цепные	базисные
1	10,5	-	-	-	100	-	-	-
2	9,8	-0,7	-0,7	93,3	93,3	-6,7	-6,7	0,105
3	7,4	-2,4	-3,1	75,5	70,5	-24,5	-29,5	0,098
4	9,6	2,2	-0,9	129,7	91,4	29,7	-8,6	0,074
5	10,9	1,3	0,4	113,5	103,8	13,5	3,8	0,096
6	9,2	-1,7	-1,3	84,4	87,6	-15,6	-12,4	0,109
7	13,7	4,5	3,2	148,9	130,5	48,9	30,5	0,092
8	11,3	-2,4	0,8	82,5	107,6	-17,5	7,6	0,137
Итого	82,4	0,8	-	-	-	-	-	-

2. Изобразим графически динамику ряда с помощью статистической кривой.

Рисунок 2. Динамика ряда в виде статистической кривой

3. По данным выбранного ряда вычислим абсолютные и относительные показатели динамики.

Средний абсолютный прирост:

,

или

Средний темп роста:

,

или

Средний темп прироста:

Средний уровень интервального ряда определяется по формуле средней арифметической:

Средний уровень моментального ряда определяется по формуле:

Согласно произведенным вычислениям можно сделать следующие выводы:

Наибольшее потребление горячей воды было в 7-ом месяце, а наименьшее в 3-ем месяце. Среднее потребление горячей воды 10,3 куб.м.

Задача №4

По данным задачи 3 произведите сглаживание изучаемого ряда динамики с помощью скользящей средней и аналитического выравнивания. Расчетные уровни нанесите на построенный ранее график.

Сделайте выводы о характере тенденции рассмотренного ряда динамики.

Решение

1. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень от определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго и т.д.

Расчет скользящей средней по данным о потреблении горячей воды за восемь месяцев приведен в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Сглаживание потребления горячей воды за восемь месяцев методом скользящей средней

Месяцы	Потребление горячей воды, куб.м.	Скользящая	средняя
		трехмесячная	пятимесячная
1	10,5
2	9,8	(10,5+9,8+7,4)/3=9,2
3	7,4	(9,8+7,4+9,6)/3=8,9	(10,5+9,8+7,4+9,6+10,9)/5=9,6
4	9,6	(7,4+9,6+10,9)/3=9,3	(9,8+7,4+9,6+10,9+9,2)/5=9,4
5	10,9	(9,6+10,9+9,2)/3=9,9	(7,4+9,6+10,9+9,2+13,7)/5=10,2
6	9,2	(10,9+9,2+13,7)/3=11,3	(9,6+10,9+9,2+13,7+11,3)/5=10,9
7	13,7	(9,2+13,7+11,3)/3=11,4
8	11,3

2. Аналитическое выравнивание ряда динамики уровни ряда представляются как функции времени:

При использовании уравнения прямой

Параметры вычисляются по следующим формулам:

Таблица 4.2. Выравнивание по прямой ряда динамики потребления горячей воды отражено в таблице 4.2

Месяцы	Потребление горячей воды, куб.м. (уi)	t	t?	yit	yt	(yi-yti) ?
1	10,5	-4	16	-42,0	8,98	2,31
2	9,8	-3	9	-29,4	9,31	0,24
3	7,4	-2	4	-14,8	9,64	5,02
4	9,6	-1	1	-9,6	9,97	0,14
5	10,9	1	1	10,9	10,63	0,07
6	9,2	2	4	18,4	10,96	3,1
7	13,7	3	9	41,1	11,29	5,8
8	11,3	4	16	45,2	11,62	0,1
Сумма	82,4	0	60	19,8	82,4	16,78

а0 = 82,4/8 = 10,3 куб.м.

а1 = 19,8/60 = 0,33 куб.м.

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид:

Yt = 10,3 + 0,33t

Полученное уравнение показывает что, несмотря на колебания в отдельные месяцы, наблюдается тенденция увеличения потребления горячей воды.

Потребление горячей воды в среднем возрастало на 0,33 куб.м. в месяц.

Рисунок 3. Динамика ряда потребления горячей воды с фактическими и выровненными данными

Задача №5.

По данным варианта следующее:

1) индивидуальные и общие (агрегатные) индексы цен;

2) индексы цен в среднегармонической форме;

3) сводные индексы физического объема проданных товаров;

4) сводные индексы товарооборота двумя способами;

а) по формуле индекса товарооборота в текущих ценах;

б) на основе ранее рассчитанных индексов цен и физического объема товарооборота.

Таблица 5.1

№ п/п	Продукт	Базисный период	Отчетный период	Расчетные графы
		Кол-во реализованных единиц, шт., q0	Цена за единицу, Руб., P0	Q, шт., q1	P1, руб, P1	P1*q1	P0*q1	P1*q1 i	P0*q0
1	Б	175	120	180	135	24300	21600	21504	21000
2	В	400	50	360	42	15120	18000	18000	20000
3	Г	150	115	89	126	11214	10235	10195	17250
?	3	-	-	-	-	50634	49835	49699	58250

1. Индивидуальные и общие индексы цен рассчитываются по формуле:

,

где - соответственно цены отчетного и базисного периодов.

(+12,5%)

(-16%)

(+9,6%)

Общий (сводный) индекс цен имеет следующий вид:

,

где q₁ - количество проданных товаров в отчетном периоде.

Цены в отчетном периоде по сравнению с базисным возросли на 1,6%.

2. Среднегармонический индекс тождествен агрегатному и вычисляется по следующей формуле:

3. Сводные индексы физического объема проданных товаров:

Физический объем проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным снизился на 14,4%.

4. Сводные индексы товарооборота:

а) по формуле индекса товарооборота в текущих ценах:

б) на основе ранее рассчитанных индексов цен и физического объема товарооборота:

I_pq = I_p I_q = 1,016*0,856 = 0,869

Товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным сократился на 13,1%.