Акционерные общества области по среднесписочной численности работающих на 1 января 1999 г. распределялись следующим образом (табл. 1).

Таблица 1

Рассчитайте: а) среднее линейное отклонение; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации; д) моду; е) медиану; ж) квартили.

Для расчетов составим вспомогательную таблицу 2.

Таблица 2

Прежде всего, необходимо определить среднюю численность работающих в целом по всей совокупности акционерных обществ. Расчеты средней проведем на основе следующего исходного соотношения (логической формулы):

Получить общую численность работающих в акционерных обществах области можно умножением численности по каждой группе на количество АО в данной группе. Для расчетов используем формулу средней арифметической взвешенной:

чел.

Таким образом, среднесписочная численность работающих в целом по акционерным обществам области на 1 января 1999 года составила 888 чел.

а) Среднее линейное отклонение вычислим по следующей формуле:

чел.

Отклонение по сравнению со средней величиной признака незначительно, что свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении среднесписочной численности работающих однородна, а средняя - типична.

б) Рассчитаем дисперсию признака по формуле взвешенной дисперсии:

.

.

в) Извлекая из дисперсии корень второй степени:

,

получаем среднее квадратичное отклонение среднесписочной численности работающих. Отклонение по сравнению со средней величиной признака незначительно, что свидетельствует о том, что данная совокупность однородна, а средняя - типична.

г) Рассчитаем коэффициент вариации по формуле:

%.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %. Следовательно, в нашем случае основываясь на коэффициенте вариации, можно отметить, что по среднесписочной численности работающих совокупность акционерных обществ является однородной.

д-е) Так как данный вариационный ряд является интервальным, то расчет моды и медианы проведем по следующим формулам:

,

где х₀ - нижняя граница модального интервала;

i - величина модального интервала;

- частота модального интервала;

_-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

₊₁ - частота интервала, следующего за модальным.

,

где х₀ - нижняя граница медианного интервала;

i - величина медианного интервала;

S_Ме-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме - частота медианного интервала.

Интервал с границами «800-1000» в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту (42). Подставляя значения в формулу, получим:

чел.

Для установления медианного интервала определим накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половины суммы накопленных частот, т.е. 85 АО. Исходя из таблицы, медианным будет также интервал с границами «800-1000». Тогда медиана составит:

чел.

ж) Квартили по интервальному вариационному ряду рассчитываются по формулам:

,

где х_Q1 - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

х_Q3 - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

i - величина интервала;

S_Q1-1 - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S_Q3-1 - то же для верхнего квартиля;

f_Q1 - частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f_Q3 - частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Следовательно, нижний квартиль (должен превышать 170*0,25 = 42,5 АО) находится в интервале «600-800», накопленная частота которого равна 70 АО. Верхний квартиль (должен превышать 170*0,75 = 127,5 АО) лежит в интервале «1000-1200» с накопленной частотой 140 АО. С учетом этого получим:

Задача 2

В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки собственно-случайной бесповторной и повторной выборок при 1 %, 5, 10 и 20%-ом отборе?

Средние ошибки выборки рассчитываются по следующим формулам:

- бесповторный отбор:

;

- повторная выборка:

.

Необходимо рассчитать соотношения

Подставляя значения в формулы, получим:

· для бесповторного отбора

. Сокращаем неизвестные величины

Таким образом, ошибка собственно-случайной бесповторной 1 % выборки при увеличении численности выборки до 5% при прочих равных условиях сократится в 2,04 раза.

Подобным образом проведем расчеты для остальных значений % выборки.

- при 10% отборе:

. Сокращаем неизвестные величины ;

- при 20% отборе:

. Сокращаем неизвестные величины .

· для повторной выборки

- при 5% отборе:

. Сокращаем неизвестные величины

Таким образом, ошибка повторной 1 % выборки при увеличении численности выборки до 5% при прочих равных условиях сократится в 2 раза.

Подобным образом проведем расчеты для остальных значений % выборки.

- при 10% отборе:

. Сокращаем неизвестные величины ;

- при 20% отборе:

. Сокращаем неизвестные величины .

Задача 3

Используя данные таблицы 3 по крупнейшим банкам Японии, определите вид корреляционной зависимости между суммарными активами и объемом вложений акционеров. Постройте линейное уравнение регрессии, вычислите параметры и рассчитайте коэффициент корреляции и корреляционное отношение. Сравните величину коэффициента корреляции и корреляционного отношения. Сформулируйте выводы.

Таблица 3

Определим вид корреляционной зависимости между суммарными активами и объемом вложений акционеров графическим методом, т.е. построим график, отражающий зависимость указанных признаков:

Составим уравнение регрессии, характеризующее прямолинейную зависимость:

у(х) = а_о + а₁х

Параметры а_о и а₁ найдем с помощью системы нормальных уравнений:

х - факторный признак;

у - результативный признак.

Для расчетов составим вспомогательную таблицу 4.

Таблица 4

а_о = 13,37 - 369,27а₁

199585,49а₁ = 7258,91

а₁= 0,036

а_о= 0,076

Тогда уравнение регрессии примет вид: у(х) = 0,076 + 0,036*х

Найдем у(х) и занесем в таблицу 4. Это будут выравненные (теоретические) значения.

Тесноту связи исследуемых признаков определим, используя коэффициент корреляции по формулам:

или 88,3 % (связь сильная).Таким образом, исчисленный коэффициент корреляции показывает, что связь между суммарными активами и объемом вложений акционеров сильная, т.е. при увеличении одного признака равнозначно возрастает второй, при уменьшении одного - сокращается другой.

Корреляционное отношение может вычисляться по формуле:

.

Подставляя значения, получим:

.

Таким образом, на основе теоретического корреляционного отношения следует заключить, что исследуемые признаки не зависят друг от друга.

Задача 4

Распределение 1000 семей по уровню душевого дохода за месяц характеризуется следующими данными (табл. 5).

Таблица 5

Проверьте, согласуется ли распределение семей по среднедушевому доходу с нормальным распределением.

Распределение 1000 семей по уровню душевого дохода за месяц характеризуется следующими данными (табл. 6).

Таблица 6

Проверьте, согласуется ли распределение семей по среднедушевому доходу с нормальным распределением.

Проведем исследование распределение семей по среднедушевому доходу на соответствие с нормальным распределением, используя критерий Пирсона. Рассчитаем по данному статистическому ряду оценки параметров и у, пользуясь формулами:

,

где n - объем выборки;

k - число интервалов группировки.

- середина j-го интервала.

Для расчетов составим таблицу 7.

Таблица 7

Рассчитаем среднее значение признака:

.

Значение параметра у с учетом рассчитанных значений составит:

.

Для определения, можно ли считать случайную величину Х нормально распределенной, рассчитаем Критерий согласия Пирсона по формуле:

,

где n_Э и n_Т - эмпирические и теоретические частоты соответственно.

Для расчета частот нормального распределения n_Т необходимо использовать формулу плотности вероятности:

.

Первый множитель такой функции - величина постоянная для данного распределения. В нашем случае:

,

где k - размер интервала = 100, во втором множителе выражение обозначим через t, тогда получим:

Полученную функцию от t обозначим f(t):

В математической статистике существуют специальные таблицы для любых значений f(t), отраженные в учебных пособиях по статистике, математической статистике, эконометрике.

Таким образом,

очень легко рассчитать, определив для каждого значения варианта z_i величину

и найдя по таблицам соответствующие f(t). Умножая f(t) на постоянный для всех частот множитель , получаем теоретические частоты нормального распределения n_Т.

Подставляя рассчитанные и фактические частоты нормального распределения в формулу критерия согласия Пирсона, получим:

С помощью величины по специальным таблицам определяется вероятность Р(). Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы г = n - 1. По нашим данным при г = 1000-1 = 999 Р() = 43,773, следовательно, < _табл , т.е. случайную величину Х нельзя считать нормально распределенной.

Задача 5

Объем реализации овощей на рынках города в натуральном выражении в октябре, по сравнению с сентябрем, возрос на 18,6 %, при этом индекс цен на овощную продукцию составил 92,4 %. Определите изменение товарооборота.

Изменение товарооборота вычислим как значение общего индекса товарооборота, используя взаимосвязь индексов физического объема и цен:

Ipq = Ip* Iq,

где Ip - общий индекс цен,

Iq - общий индекс физического объема товарооборота.

По нашим данным индекс цен составил 92,4 %, или 0,924; а индекс физического объема (100+18,6 =) 118,6 %, или 1,186.

Подставляя значения в формулу, получим:

Ipq = 0,924*1,186 = 1,096 или 109,6 %.

Таким образом, товарооборот возрос в октябре, по сравнению с сентябрем, на 9,6 % при том, что цены были снижены на 7,6 %, а физический объем товарооборота увеличился на 18,6 %.

корреляционный товарооборот суммарный регрессия

Задача 6

Для изучения общей тенденции данных об отправлении грузов морским транспортом по месяцам за тринадцать лет (табл. 7) произведите: 1) преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни; б) в годовые уровни; 2) сглаживание квартальных уровней отправления грузов с помощью скользящей средней. Изобразите графически фактические и сглаженные уровни ряда динамики. Сделайте выводы о характере общей тенденции данных об отправлении грузов морским транспортом в регионе.

Таблица 7 Объем перевозок морским транспортом в условных единицах

Преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени в квартальные уровни проведем, рассчитав сумму объема перевозок за каждые 3 последовательных месяца. Результаты представим в таблице 8.

Таблица 8 Объем перевозок морским транспортом по кварталам в условных единицах

Подобным образом проведем группировку в годовые уровня, сложив уровни 12 месяцев за каждый отдельный год или квартальные уровни данного года. Результаты представим в таблице 9.

Таблица 9 Объем перевозок морским транспортом за 13 лет в условных единицах

Проведем аналитическое выравнивание ряда методом скользящей средней, которая определяется по формуле:

,

где - средний уровень ряда;

m - число уровней, входящих в интервал сглаживания (m = 2p+1);

y_t - текущий уровень ряда динамики;

i - порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

р - при нечетном m равно: р = (m - 1) / 2.

Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Чтобы ликвидировать сдвиг, полученный при такой группировке, применяется способ центрирования, которое заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних дня отнесения полученного уровня к определенной дате.

Для выполнения необходимых расчетов составим таблицу 10.

Таблица 10

Проведем расчет скользящей средней на примере первых четырех уровней.

- скользящая сумма за 4 квартала: 23,4 + 26,5 + 29,8 + 30,6 = 110,3 у.е.;

- скользящая средняя за 4 квартала (нецентрированная): 110,3 / 4 = 27,575 у.е.

- скользящая средняя за 4 квартала (центрированная): (27,575 + 28,725) / 2 = =28,15 у.е.

Подобным образом рассчитываем остальные показатели и заносим в таблицу 10.

Таким образом, анализ динамики объем перевозок морским транспортом за 13 лет показал, что уровень перевозок возрос в среднем с 28,15 до 50,2 у.е. за квартал.

Список использованной литературы