Теория вероятности

Вероятность появления события. Непрерывная случайная величина и функция распределения. Дисперсия непрерывной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение. Формула полной вероятности, математическое ожидание. Интегральная теорема Лапласа.

Рубрика Экономика и экономическая теория
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 09.02.2012
Размер файла 149,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория вероятностей

Вариант №1

6. С первого автомата на сборку поступает 20 %, со второго - 30 %, с третьего - 50 % деталей. Первый автомат даёт в среднем 0,2 % брака, второй - 0,3 %, третий - 0,1 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

Решение:

Обозначим через А событие: поступившая на сборку деталь бракованная. Можно теперь сделать три предположения:

В1 - деталь произведена первым автоматом;

В2 - деталь произведена вторым автоматом;

В3 - деталь произведена третьим автоматом.

Тогда соответствующие вероятности будут:

Р(В1) = 0,2;

Р(В2) = 0,3;

Р(В3) = 0,5.

Условная вероятность того, что деталь будет бракованная, если она произведена первым автоматом: РВ1(А) = Р1 = 0,2.

Аналогично: РВ2(А) = 0,3 и РВ3(А) = 0,1.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной (общий процент брака) находим по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1В1(А) + Р(В2В2(А) + Р(В3В3(А) =

= 0,2х0,2 + 0,3х0,3 + 0,5х0,1 = 0,04 + 0,09 +0,06 = 0,19.

7. Вероятность выигрыша по лотерейному билету будет р = 0,3. Имеется 4 билета. Определить вероятности всех возможных исходов для владельца этих билетов: а) ни один билет не выиграет; б) выиграет один билет; в) два билета выиграют; г) 3 билета выиграют; д) 4 билета выиграют.

Решение:

По формуле Бернулли: вероятность того, что в серии из n = 4 билетов, выиграет ровно k билетов (безразлично в какой последовательности)

Pn(k) = pk qn - k = pk qn - k, где q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7.

Следовательно:

k = 0, Р(0) = 1 х 0.30 х 0,74 = 1 х 1 х 0,2401 = 0,2401;

k = 1, Р(1) = х 0,3 х 0,73 = 4 х 0,3 х 0,343 = 0,4116;

k = 2, Р(2) = х 0,32 х 0,72 = 6 х 0,09 х 0,49 = 0,2646;

k = 3, Р(3) = х 0,33 х 0,7 = 4 х 0,09 х 0,7 = 0,252;

k = 4, Р(4) = х 0,34 х 0,70 = 1 х 0,0081 х 1 = 0,0081.

8. При некотором технологическом процессе вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Определить наиболее вероятное число годных деталей в партии из 135 штук.

Решение:

Наивероятнейшее число k0 благоприятных исходов определяем по формуле:

np - q k0 np + р,

135 х 0,8 - 0,2 k0 135 х 0,8 + 0,8;

107,8 k0 135,8;

В нашем случае np - q дробное, значит существует одно наивероятнейшее число k0. Так как np = 135 х 0,8 = 108 - целое, то искомое наивероятнейшее число:

случайный величина распределение вероятность

k0 = np = 108 штук.

9. При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна р = 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных шестерён 50 будут бракованными?.

Решение:

Найдём математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х - числа появления события А (наугад выбранные шестерни) в 400 независимых испытаниях:

М(Х) = np = 0.1 x 400 = 40;

D(X) = npq = 0.1 x 400 x (1 - 0.1) = 36.

Найдём максимальную разность между заданным числом появлений события (50 штук) и математическим ожиданием:

? = 50 - 40 = 10.

Воспользуемся неравенством Чебышева в форме:

Р(/Х - М(Х)/ ?) 1 - D(X)/?2.

После подстановок:

Р(/Х - 40/ 10) 1 - 36/100 = 0,64 - это и есть искомая вероятность.

10. Вероятность появления события на время испытаний р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях.

Решение:

По условию р = 0,8; q = 0.2; k1 = 75; k2 = 90.

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Pn(k1; k2) = Ф(х'') - Ф(х') = Ф[ - Ф[].

Подставляя данные задачи, получим

Р(75; 90) = Ф] - Ф[ = Ф(2,5) - Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

11. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х,

Найти:

1) значение вероятности р3, соответствующую значению х3;

2) M(X); D(X); ?(X);

3) функцию распределения F(x) и построить её график;

4)Построить многоугольник распределения случайной величины Х.

Решение:

Х

1

3

6

8

Р

0,2

0,1

Р3

0,3

Общая вероятность ?Р = 1, тогда 0,2 + 0,1 + р3 + 0,3 = 1

Р3 = 1 - 0,2 - 0,1 - 0,3 = 0,4.

Получаем распределение:

Х

1

3

6

8

Р

0,2

0,1

0,4

0,3

1. Математическое ожидание:

М(Х) = ?рi xi = 1 x 0.2 + 3 x 0.1 + 6 x 0.4 + 8 x 0.3 = 0.2 + 0.3 + 2.4 + 2.4 = 5.3

2. Дисперсия:

D(X) = M(X2) - (M(X))2.

Закон распределения для Х2

Х2

1

9

36

64

Р

0,2

0,1

0,4

0,3

Тогда М(Х2) = ?рi = 1 х 0,2 + 9 х 0,1 + 36 х 0,4 + 64 х 0,3 = 0,2 + 0,9 + 14,4 + 19,2 = 34,7.

D(X) = 34.7 - 5.32 = 34.7 - 28.09 = 6.61

3. Среднее квадратическое отклонение:

?(Х) = = = 2.571

4. Функция распределения:

Х

1

3

6

8

F(x)

0.2

0.2+0.1=0.3

0.3+0.4=0.7

0.7+0.3=1.0

Построим график:

13. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0002. Вычислить вероятность того, что контролёр, проверяющий качество 5 000 изделий, обнаружит среди них k = 4 бракованных.

Решение:

Вероятность изготовления бракованного изделия мала, p = 0.0002, а число изделий в партии велико, n = 5000, поэтому случайное число бракованных изделий имеет приближённо распределение Пуассона.

Pn (k) = ?k e-? / k!

Найдём ? = np = 5000 x 0.0002 = 1

P5000(4) = 14 e-1 / 4! = 0.3679/24 = 0.0153

14. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

F(X) =

Найти:

1)функцию плотности вероятности;

2) M(X); D(X); ?(X);

3) вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение принадлежащее интервалу (1/4; 3/4).

Построить графики функций F(X) , f(X).

Решение:

1.Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

f(x) = F'(x) =

2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможное значение которой принадлежит в заданном случае интервалу (0; 1):

М(Х) = = 2 = =.

Дисперсия непрерывной случайной величины:

D(X) = = - [M(x)]2.

D(X) = 2 - = - = - = = = 0.055(5).

Среднее квадратическое отклонение:

?(Х) = = = 0.2357.

3. Bероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (1/4; 3/4), определяется как:

P(1/4 x 3/4) = = 2 = = ? - ? = ?.

Графики функции распределения и плотности:

15. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону f(x) = 0.02e-0.02t (t 0). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 часов.

Решение:

Показательным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

0, при х 0,

f(x) =

? е-?х, при х 0.

Элемент проработает безотказно в течение 50 часов предполагает работу этого элемента в интервале времени от 0 до 50, поэтому искомая вероятность:

Р(0 х 50) = 0,02 е-0,02t dt = 0.02 / (- 0.02) x [e-50 x 0.02 - e0] = -1 [0.3679 - 1] = 0.6321

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Периоды экономического роста и спада. Вероятность экономического спада. Определение вероятности роста рынка акций в зависимости от экономической ситуации. Составление ряда распределения. Дисперсия, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

    контрольная работа [85,8 K], добавлен 01.11.2014

  • Технико-экономические показатели групп заводов; ряды распределения. Относительные величины интенсивности, цепные и базисные индексы товарооборота. Расчет средней величины, моды и медианы. Среднее квадратическое отклонение; дисперсия, коэффициент вариации.

    контрольная работа [88,8 K], добавлен 06.10.2013

  • Составление закона распределения случайной величины X—числа студентов, успешно сдавших экзамен. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины. Таблица накопленных частот для сгруппированной выборки.

    курсовая работа [1,8 M], добавлен 11.01.2015

  • Показатели признака вариации в ряду. Среднее квадратическое отклонение, линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации. Нижняя граница модального интервала и его величина. Медиана дискретного вариационного ряда. Определение моды и медианы.

    лабораторная работа [30,8 K], добавлен 21.12.2012

  • Законы распределения случайных величин. Закон распределения Пуассона. Свойства плотности вероятности. Критериальные случайные величины. Свойство коэффициента корреляции. Закон больших чисел и его следствия. Предельные теоремы теории вероятностей.

    курс лекций [774,3 K], добавлен 11.03.2011

  • Составление аналитической группировки с целью выявления зависимости уровня рождаемости от уровня доходов. Данные по региону о грузообороте транспорта, хозяйствах района. Размах вариации, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Темп роста и прироста.

    контрольная работа [52,0 K], добавлен 02.11.2013

  • Средняя фондоотдача на основании показателей о производственной деятельности. Средняя жилая площадь на члена домохозяйств: среднее линейное и квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Межгрупповая и средняя из групповых дисперсий задержки вылетов.

    контрольная работа [70,9 K], добавлен 15.01.2011

  • Комбинаторный метод вычисления вероятностей. Понятие случайных величин. Характеристики положения и рассеивания. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке.

    учебное пособие [554,6 K], добавлен 15.06.2015

  • Основы построения регрессионных моделей: метод наименьших квадратов; двухмерная линейная концепция корреляционного и регрессионного анализа. Показатели статистической обработки информации: дисперсия, математическое ожидание и стандартное отклонение.

    контрольная работа [80,8 K], добавлен 27.11.2012

  • Основные показатели, характеризующие рабочих фирмы. Аналитическая группировка для оценки связи уровня образования со стажем работы, уровнями выработки и заработной платы. Среднее квадратическое отклонение размера вклада в районном отделении Сбербанка.

    контрольная работа [113,2 K], добавлен 25.10.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.