Анализ интервального вариационного ряда "Численность экономически активного населения по субъектам Российской Федерации в 2012 году"

t-тест для одной выборки

Этот тест используется для проверки гипотезы о том, что математическое ожидание случайной величины X, представленной выборкой xS , имеет заданное значение ?. Тест требует, чтобы переданная в него выборка являлась выборкой нормальной случайной величины.

В процессе своей работы тест вычисляет t-статистику

Если величина X распределена нормально, то статистика t будет иметь распределение Стьюдента с N-1 степенями свободы. Это позволяет нам использовать распределение Стьюдента для определения уровня значимости, соответствующего полученному значению t-статистики.

Замечание.

В случае если X не является нормальной случайной величиной, то величина t будет иметь другое, неизвестное распределение, и, строго говоря, t-тест Стьюдента нельзя применять. Однако в соответствии с центральной предельной теоремой при росте размера выборки распределение t будет стремиться к распределению Стьюдента. Таким образом, если размер выборки достаточно велик, то мы можем использовать t-тест, даже если требование нормальности распределения не выполняется. Однако не существует простого способа определить, какое N достаточно велико. В каждом конкретном случае есть своя граница, зависящая от того, насколько исследуемое распределение отклоняется от нормального. Некоторые источники приводят в качестве «достаточно большого N» 30, но даже этот размер выборки может оказаться недостаточен. Альтернативой в этом случае может являться непараметрический тест - критерий знаков или W-критерий Уилкоксона.

При необходимости сравнения только двух групп можно использовать частный случай дисперсионного анализа -- критерий Стьюдента. Если при проведении t-анализа имеются только средние значения, величина стандартного отклонения и численностью групп можно пойти по пути изучения возможности R.

Ниже приведем сравнение статистических показателей рассчитанных различными способами (табл.5.3)

Таблица 5.3

6. Сглаживание эмпирического распределения

Проверка гипотезы о законе распределения

Сравнивая полученные величины теоретических частот f' c эмпирическими (фактическими) частотами f, убеждаемся, что их расхождения могут быть весьма невелики.

В данное распределение близко к нормальному.

Объективная характеристика соответствия теоретических и эмпирических частот может быть получена при помощи специальных статистических показателей, которые называют критериями согласия.

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот применяются критерий согласия Пирсона, критерий согласия Романовского, критерий согласия Колмогорова.

Наиболее распространенным является критерий согласия Пирсона,, который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между f' и f к теоретическим частотам по формуле 6.1:

(6.1)

Вычисленное значение критерия необходимо сравнить с табличным (критическим) значением . Табличное значение определяется по специальной таблице, оно зависит от принятой вероятности Р и числа степеней свободы k (при этом k = m - 3, где m - число групп в ряду распределения для нормального распределения). При расчете критерия согласия Пирсона должно соблюдаться следующее условие: достаточно большим должно быть число наблюдений (n 50), при этом если в некоторых интервалах теоретические частоты < 5, то интервалы объединяют для условия > 5.

Если , то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами распределения могут быть случайными и предположение о близости эмпирического распределения к нормальному не может быть отвергнуто.

Используя статистическую таблицу 1.4 (стр.19) и методические указания произведем расчет и анализ значений критерия согласия Пирсона, объединив некоторые интервалы с частотами < 5 предыдущих интервальных рядов:

Таблица 6.1 Таблица для расчёта сглаживания эмпирического распределения.

рассчитаем в Microsoft Excel по формуле (6.2)

(6.2)

Где x - значение изучаемого признака;

- среднее арифметическое (в нашем случае 755,7558);

- среднее квадратическое (в нашем случае 608,2725)

Аналогично рассчитываем по формуле(6.3):

 6.3)

где N - объем совокупности; h - величина интервала

Если все эмпирические частоты равны соответствующим теоретическим частотам, то ?2 равно нулю. Очевидно, что чем больше отличаются эмпирические и теоретические частоты, тем ?2 больше; если расхождение несущественно, то ?2 должно быть малым. Имеются специальные таблицы критических значений ?2 при 5%-ном и 1%-ном уровнях значимости. Критические значения зависят от числа степеней свободы (d.f. - degrees of freedom) и уровня значимости.

Число степеней свободы рассчитывается так: если эмпирический ряд распределения имеет k категорий, то k эмпирических частот f1, f2, …, fk должны быть связаны следующим соотношением:

Если параметры теоретического распределения известны, то только k - 1 частот могут принимать произвольные значения, т. Е. свободно варьировать, а последняя частота может быть найдена из указанного соотношения. Поэтому говорят, что система из k частот благодаря наличию одной связи теряет одну «степень свободы» и имеет только k -- 1 степеней свободы. Кроме того, если при нахождении теоретических частот р параметров теоретического распределения неизвестны, то они должны быть найдены по данным эмпирического ряда. Это накладывает на эмпирические частоты еще р связей, благодаря чему система теряет еще р степеней свободы. Таким образом, число свободно варьируемых частот (а значит, и число степеней свободы) становится равным:

d.f. = (k - 1) - р = k - (р + 1).

Полученное значение критерия ?2 сравнивается с табличным при числе степеней свободы, равном числу групп (с условием Ф. Йейтса), за минусом трех - по числу фиксированных параметров в формуле нормального закона распределения и с учетом равенства сумм теоретических и фактических частот.

Сумма теоретических частот нормального распределения меньше суммы фактических частот, так как нормальный закон не ограничен рамками фактических минимума и максимума.

Ясно, что гипотеза о соответствии распределения хозяйств по урожайности нормальному закону не может быть отклонена.

Какое практическое значение может иметь произведенная проверка гипотезы? Во-первых, соответствие нормальному закону позволяет прогнозировать, какое число хозяйств (или доля совокупности) попадает в тот или иной интервал значений признака. Во-вторых, нормальное распределение возникает при действии на вариацию изучаемого показателя множества независимых факторов. Из этого следует, что нельзя существенно снизить вариацию урожайности, воздействуя только на один-два управляемых фактора, скажем удобрения или энергозатраты.

С помощью критерия ?2 можно проверять не только гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальным законом, но и с любым другим известным законом распределения - равномерным распределением, распределением Пуассона и т. Д. Например, суд рассматривает жалобу посетителей казино на то, что, по их мнению, игральная кость, которой там пользуются, фальшива, некоторые числа очков, якобы, выпадают чаще, чем другие, и этим пользуются крупье, обирающие игроков.

Суд назначает экспертизу игральной кости: эксперт делает 600 бросков и записывает число выпавших единиц, двоек, троек и т. Д.

Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим, т. Е. равномерным: в правильной кости вероятность выпадения каждого числа очков должна быть равна 1/6, при 600 бросках это даст по 100 выпадений каждого числа очков. С помощью критерия ?2 проверяется нулевая гипотеза о том, что различия эмпирического и теоретического распределений случайны, т. Е. не являются систематическим результатом фальсификации формы кости или положения центра тяжести в ней; H0 : fфакт = fтеор

Используя методические указания и программу STATISTICA, произведем сглаживание эмпирического распределения путём последовательного построения нормального, логнормального и прямоугольного типов распределения.

В результате получим следующие таблицы (Таб.6.2 - Таб.6.4)

Проверка гипотезы о нормальном распределении переменной Var1.

Проверка гипотезы о прямоугольном распределении переменной Var1

Проверка гипотезы о логарифмически нормальном распределении переменной Var1.

Проиллюстрируем полученные данные, сгладив эмпирическое распределение переменной Var1 нормальным распределением а соответствии с рисунками (Рис.6.1. - Рис.6.3.)

Таблица 6.2

Таблица 6.3

Таблица 6.4.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Заключение

В рассмотренной таблице интервального вариационного ряда «Численность экономически активного населения по субъектам Российской Федерации в 2012 году» определена среднестатистическая численность населения в субъектах России, при этом выбросами оказались Москва и Московская область.

Наибольшая часть населения России проживает в субъектах Федерации с численностью от 275 до 540 тыс. чел.

Мода таблицы составляет 439 тыс. чел., медиана 568 тыс. чел., при этом мода в таблице возникла по причине наличия в составе России 2 регионов с одинаковым количеством жителей (в противно случае таблица была бы полимодальной).

Среднее арифметическое составляет 755,7558 тыс. чел., что дополнительно свидетельствует о факте проживания основного населения России в относительно небольших по численности субъектах Федерации.

Проведенная характеристика форм распределения с расчетом коэффициентов асимметрии и эксцесса показал, что имеет место нормальное распределение с правосторонней асимметрией.

Это же было проверено критериями согласия Пирсона.

Список использованной литературы

1. Боровиков В.П., STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: для профессионалов / В.П. Боровиков. - 2-е изд. - СПб. : - 2011. - 688 с.

2. Венецкий И.Г., Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. Справочник / И.Г. Венецкий, В.И. Венецкая. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Статистика, 1979 - 477 с.

3. Ефимова М.Р., Общая теория статистики: учеб. / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru