Оптимизационные методы оценки кредитоспособности предприятий

С появлением компьютера и двоичной логики, учёные сосредоточили своё внимание на все, что является точным, строгим и количественным. Тем не менее, качество точности и строгости иногда неудобно. В таких случаях вместо того, чтобы обращаться с числами, машины должны восстановить человеческого знания: то есть моделировать человеческое мышление [128], [129]. Классическое программирование требует чётких и точных определений, положительных или отрицательных ответов, так как оно основано на схемах, подчиняющихся булевой логики и теории множеств. Но эти теории оказываются недостаточными, когда мы хотим применить к трудно формализуемым проблемам.

Многие авторы в области искусственного интеллекта и особенно разработчики экспертных систем понимают сегодня, что неопределённость является не маргинальным явлением: большая часть информации, содержащейся в базе знаний экспертной системы, является неточной, неполной и не совсем ненадежной [131]. Вот почему, Л.А. Заде [130] предлагает другой подход, основанной на возможности количественно оценить качественные понятия: теория нечётких множеств, появилась в 1965 году. На ней основывается нечёткая логика (fuzzy logic). Именно благодаря Л.А. Заде теория нечётких множеств приобрела математическую формализацию.

Для изучения систем, на поведение которых сильное влияние оказывают суждения, восприятия или эмоции человека (гуманистические системы) Л.А. Заде предложил использовать так называемые лингвистические переменные [32], т. е. переменные, значениями которых являются слова или предложения естественного языка. Процесс оценки вероятности банкротства предприятия может быть описан в терминах теории нечётких множеств с использованием лингвистических переменных [46].

Лингвистическая переменная есть конечный набор [44]:

,

Применительно к задаче оценки вероятности банкротства предприятия переменным может быть приписан следующий содержательный смысл: - название переменной (вероятность банкротства p); - множество значений (1.23) лингвистической переменной p.

Множество значений возможности банкротства предприятия может быть, например, следующим:

(1.23)

при этом каждому имени соответствует нечёткое подмножество , определённое на универсальном множестве (), на котором задана переменная p; Таким образом, каждому из четырёх элементов T ставится в соответствие подмножество . - синтаксическое правило, для образования имён новых значений переменной p («высокая», «не очень высокая», «слабая» степень достоверности суждения о вероятности банкротства); - семантическое правило, позволяющая преобразовать имя, образованное процедурой G, в нечёткую переменную (задаёт вид функции принадлежности), ассоциирует имя с его значением, детализирующих возможности банкротства предприятия.

Функция принадлежности - это функция, областью определения которой является носитель , (), а областью значений - единичный интервал [34]. Чем больше значение, тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя нечёткому множеству . В нашем случае в качестве носителя выберем , на котором заданы множества где - вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению , найденного с помощью модели Альтмана. На этом носителе определим функции принадлежности: для значения - , - , - , - , причём первая из них отвечает нечёткому подмножеству , вторая - _, третья - , а четвертая - , где - «возможность банкротства высокая», - «возможность банкротства средняя», - «возможность банкротства небольшая», - «возможность банкротства маленькая».

Существует различные типовые формы для описания функций принадлежности. Наибольшее используемые в литературе являются треугольной, трапецеидальной и гауссова функции принадлежности.

Треугольная форма функции принадлежности определяется наборов чисел , и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

Для трапецеидальной формы функции принадлежности определяется набором :

Функция принадлежности гауссова типа определяется формулой

,



Рисунок 1.1. Треугольная а) и трапецеидальная б) форма кусочно-линейные функции принадлежности.

где параметр c - центр нечёткого множества; - крутизна функции

Рисунок 1.2. Гауссова вид функция принадлежности.

В дальнейшем в данном диссертационном исследовании, в качестве формы функции принадлежности используется трапецеидальная.

Построение меры нечёткости имеет важные практические и теоретические основы [105]. Этому понятию посвящено значительно много научных работ [105], [106], [107], в некоторых, за исключением [126], рассмотрены различные варианты построения мер нечёткости, удовлетворяющие требованиям, которые введены авторами работы [105].

Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости , сводящаяся к измерению меры различия между нечётким множеством и чётким множеством [34]. Мера нечёткости множества определяется как расстояние от этого множества до множества, ближайшего к нему четко заданного множества : Чёткое подмножество , ближайшее к нечёткому с функцией принадлежности , называют подмножество , характеристическая функция которого имеет вид [44]:

В данной диссертационной работе рассматриваются класс кусочно-линейных непрерывных функций принадлежности нечётких множеств, т.е. значительно более простой класс, содержащийся в Q[0,1], а в случае чётких множеств, у функции принадлежности имеется не более двух конечных разрывов на концах множества. Поэтому можем определить расстояние между множествами по формуле:

Применение нечётких моделей в различных областях финансово-экономической деятельности (банкротств, оптимизация портфеля, оценка финансового состояния и др.) приобрело значительно обобщение в работах А.O. Недoсекина [56], [57], [58]. Он формулирует идею в работе [56.], в кoтoрoй указывает, что все экономические показатели измеряются не только количественноo нo и качественноo. Для измерения необходимо определить переменную «лингвистическую» - «Уровень показатели », носителем этой переменой является область определения показателя, а терм-множествo значений состоит из совокупности (набора) нечетких подмножеств от «очень низкий» Уровень до «очень высокий» показатели . Построение системы функций принадлежности носителя необходимo для оценки меры нечеткости показателей , соответствующих нечётким подмножествам. Самым простым способом задания является построение системы трапециевидных нечётких функций (рис. 1.б.).) Если предполагаемое значение каких-либо (показателей) параметров системы неизвестно, тогда как исходные данные можно использовать так называемые трапециевидные функцией принадлежности имеющего следующего вида (рис. 1.б.)) [12]

Эти нечёткие числа моделируются следующим высказыванием: параметры приблизительно равны, а и однозначно находятся в интервале . В общем случае под нечеткими числами понимается нечеткое множество, имеющее выпуклую и нормальную функцию принадлежности.

Необходимо подчеркнуть, что применение аппарата нечетких множеств довольно мало применялось при анализе и разработке определённых оценок кредитоспособности предприятия. В последнее время все больше мировых банков целью повышения эффективности экономической деятельностью пытаются организовать свои финансовые деятельности с помощью исследований современной области науки.

1.7 Математические модели искусственных нейронных сетей

Появление теории искусственных нейронных сетей относится к 1940 г. к работам Уоррен McCulloch и Уолтер Питтс [116]. Под нейронными сетями подразумеваются вычислительные структуры, которые моделируют простые биологические процессы, ассоциируемые с процессами человеческого мозга. Элементарным преобразователем в данных сетях является искусственный нейрон или просто нейрон, названный так по аналогии с биологическим нейроном. Первое приложение на практике искусственных нейронных сетей возникло в конце 1950-х годов с работой Ф. Розенблатта, о персептроне (perceptron) [118].

НИИ были рассмотрены Arminger и Al, Desai и Al, Lee и Al (2002), West (2000), Khashman (2010), Цай и al (2009) и Oreski и al (2012 г.) в решении проблем кредитного скоринга [98], [108]. Большинство исследований показало, что нейронные сети являются более точными, гибкими и крепкими, чем классических статистических методов оценки кредитного риска (кредитоспособности) предприятия [117], [21], [22]. Как отмечают учёные [30], [48]: «области приложения нейрокомпьютинга и его приложений сильно пересекаются со сферами применения математической статистики, теории нечётких множеств и экспертных систем. Связи и параллели нейрокомпьютинга чрезвычайно многообразны и свидетельствуют о его универсальности. Многие исследования, касающиеся применения нейросетей в финансах и бизнесе, выявили их преимущества перед ранее разработанными статистическими методами». Эту же связь подтверждает Уоррен Серл [101], который составил словарь одинаковых терминологий, использующихся в этих двух разделах. Вопросам сравнения двух видов анализа посвящены также работы Кристоффа и Пьера Кувре, Дж. Такера и др. [102]. Подробная типология методов экономического прогнозирования с использованием нейронных сетей и статистических методов рассматривается в работе Ханка Д.Э., Уичерна Д.У., РайтсаА.Дж. [109].

Математически, как показано на рис. 1.3 искусственный нейрон является вычислительным блоком, получающим ряд входных данных (информаций) непосредственно из окружающей среды или из предыдущих нейронов. Когда информация поступает из нейрона, то к ней присваивается вес , который представляет собой способность предыдущего нейрона воздействовать на следующий нейрон. Каждый нейрон имеет один выход, разветвляющийся некоторым числом нейронов. Они расположены по слоям, и в диссертационном исследовании мы рассматриваем только трёхслойные нейронные сети [83].

С точки зрения математики, искусственный нейрон состоит из:

· Набора входных данных .

· Набора веса между нейронами.



Рисунок 1.3: Преставление одного нейрона.

· Функции суммирования ?, которая вычисляет взвешенную сумму (то есть от веса) входных данных:

· Функции активации , которая вычисляет активности / состояния нейрона из этой суммы [83].

1.7.1 Функции активации нейронной сети

Функция активации используется для построения результата взвешенной суммы входов нейрона в выходные значения, такое преобразование осуществляется расчётом состояния нейрона путём введения нелинейности в работу нейрона [103].

Существует несколько функций активации. Наиболее распространённая является сигмоидальная (логистическая) функция. В данном диссертационном исследовании используются сигмоидальные функции.

Функция нелинейная сигмоидальная. Нелинейная сигмоидальная функция часто используется в сети с помощью алгоритма обратного распространения [124]. В отличие от сигмоидальной функции, другие функции дают только двоичный выход, что делает его более трудным для оценки оптимальных весов. Сигмоидальная Функция имеет следующий вид:

,

где x - выходное значение сумматора нейрона, a - некоторая константа, которая определяет «крутизну» функций и выбирается разработчиком сети (на практике значение обычно полагают равным 1).

Рисунок 1.4. График нелинейной сигмоидальной Функции

1.7.2 Архитектура (типы) нейронных сетей: Многослойный персептрон

Архитектура-это очень важное понятие, которое играет важную роль в классификации РНК. В литературе мы часто используем слово «структура» как синоним архитектуры [115], [112]. Каждая архитектура имеет свои собственные организации, которая, с учетом специфики каждого приложения [120], [111].

Архитектура многослойного персептрона представлена в рис. 1.5, где первый слой которого называется входным, последующие - внутренними или скрытыми, последний - выходным. Входной слой образован входными нейронами (input), которые получают данные и распространяют их на входы нейронов скрытого слоя сети (hidden Layer). Выходные нейроны (output Layer), которые образуют выходной слой сети, выдают результаты работы нейронной сети (output). Этот тип нейронных сетей довольно хорошо исследован и описан в научной литературе [74]. Он был предложен в работе Rumelhart, МсСlelland (1986) [119] и подробно обсуждается почти во всех учебниках по нейронным сетям. Каждый элемент сети позволяет построить взвешенную сумму входных величин, пропускает её через передаточную функцию и отправляет полученное значение на выход. Все элементы организованы в послойную топологию с прямой передачей сигнала. Такую сеть можно интерпретировать как модель «вход - выход», в которой веса и пороговые значения (смещения) являются свободными параметрами модели.

Для определения конфигурации предлагаемой нейронной сети и минимизации вычислительных ошибок использован алгоритм обратного распространения (back propagation) [14], который предполагает вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума. Параметры конфигурации предлагаемой сети представлены в таблице 3.3.

Рисунок 1.5. Архитектура трехслойного персептрона нейронной сети

1.7.3 Алгоритм обратного распространения (back propagation)

Алгоритм обучения обратного распространения заключается, в первую очередь перенаправить вперёд входные данные до тех пор, пока вход вычисляется по сети, а второй этап - это сравнить рассчитанный выход с фактическим выходом [119].

Веса модифицируются так, чтобы в следующей итерации, ошибка минимизирована между вычисленной выходной величиной и фактическим выходом. Процесс повторяется до тех пор, пока полученная ошибка являлась не незначительными (не существенным).

С точки зрения математически, можно иллюстрировать Алгоритм обучения обратного распространения следующим образом:

Пусть имеется n набор входных данных со следующими желаемыми выходами и выходами сети .

Тогда сумма вход n-ого угла к j-ому слою равна:

,

Тогда выход этого угла будет:

,

где - связи между k-им нейроном j-1-ого слоя и i-им нейроном j-ого слоя.

- входная сумма к -го нейрона для р-го наблюдения j-го слоя.

- фиктивный вес к -го нейрона j-го слоя.

Тогда можно представит общую допустимую ошибку во всех улов, следующую формулу:

,

Где - допустимая ошибка k-го выходного узла.

Для того, чтобы минимизировать , предполагается вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума.

Обновление весов выходного слоя описывается с помощью следующих уравнений:

,

,

,

,

,

Таким образом, обновление весов могут быть описаны как следующие уравнения:

,

.

При использовании нейронных сетей возникают некоторые трудности. Большинство из исследований в этой области посвящено классификации или прогнозу с наличием достаточно больших статистических наборов данных [14]. Нейронные сети являются новым надёжным инструментом по работе кредитования предприятия. Поэтому в диссертационной работе, мы рассматриваем упрощённый метод прогноза значения коэффициентов Бивера, а затем на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия с помощью алгоритма обратного функционирования нейронной сети. Приведенные результаты вычислительных экспериментов сетей (см. гл. 3), подтверждают хорошее согласие результатов, полученных с помощью модели Бивера и указывают наиболее значимые коэффициенты в этой модели.

1.8 Однокритериальные и многокритериальные задачи (принятия решения) оптимизации о возможности выдачи кредита

1.8.1 Задачи однокритериальной оптимизации

В настоящее время в научной литературе существует много научных систем, в частности из области экономической деятельности, моделируя которые приходится к различным формам задач математической оптимизации. Рассмотрим сначала задачу однокритериальной задачи оптимизации принятия решения. Подобная задача имеет следующий вид [53]:

, , (1.24)

где представляет собой допустимое множество, на котором целевая функция максимизирует либо минимизируется от значения .

Определение. элемент называется решением скалярной задачи оптимизации (1.24), если для всех [71].

Таким образом принять решение сводится к решению некоторой задачи, то есть найти экстремум целевой функции, при некоторых ограничениях. Методы математической статистики и теории вероятностей и помогают принимать решения в условиях неопределённости. ЛПР должен опираться на математическую теорию принятия решений, позволяющую оценить риск возможных потерь или оптимизировать возможный выигрыш (получаемый доход). Таким образом, можно формулировать такую задачу оптимизации

,

со следующими ограничениями

, ,

, .

В частном случае, если все перечисленные функции - линейны, то задача представляет собой задачу линейного программирования [18].

Для решения такой однокритериальной задачи существуют целые ряди методов, предназначенных также для проблемы (задачи) математического программирования.

1.8.2 Задачи многокритериальной оптимизации

Пусть рассматривается задача многокритериальной оптимизации вида: функция , , определены на , . - -мерное вещественное пространство, и отражают соответственно в . Требуется найти

, (1)(1.25)

Существует ряд наборов методов решения задачи многокритериальной оптимизации. Такие как: метод отбора, метод прямоугольников, метод скаляризации, метод главного критерия, метод уступок, метод последовательной оптимизации, метод линейной свертки, метод по Парето и Слейтеру и т.д [52].

В данном диссертационной работе используется самый распространённый метод, то есть метод свертки критериев, а именно метод линейной свертки. Он часто встречается в научных литературах как самый простой и используемый способ сведения многокритериальной задачи оптимизации к однокритериальной, позволяющий заменить векторный критерий оптимальности на скалярный . Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов в один [90]:

.(1.26)

Весовые коэффициенты , могут при этом рассматриваться как показатели относительной значимости отдельных критериальных функционалов . Чем большее значение мы придаём критерию , тем больший вклад в сумму (1.26) он должен давать и, следовательно, тем большее значение должно быть выбрано.

Однако при рассмотрении существенно различных характерных частных критериев экспертам иногда сложно указать этих коэффициентов . Связи с этим, рассматриваем в дальнейшем методику выбора , на следующих соображениях [27].

Предположим, что критерии из (1.25) не ранжированы в начале. Пусть точки , ,..., заданы. Вычислим значения , , и построим функцию линейной комбинации , , в которой , , предлагается выбирать (приближенно) путем решения следующей задачи квадратичного программирования [27]:

;(1.27)

; (1.28)

, . (1.29)

Для решения этой задачи численным методом можно использовать различные технические инструментальные аппараты, например, приложения Microsolf Excel.

Предположим, что на этот раз критерии представлены в (1.25), , , ранжированы следующим образом:

, (1.29)

где , , означает что, не менее предпочтителен, чем . Однако уровень предпочтительности, по отношению к неизвестна (не указана). В данном случае согласно (1.30), очевидно, , , должны удовлетворять, кроме (1.28), (1.29), дополнительному условию

. (1.31)

Таким образом решение данной многокритериальной задачи (1.26) можно привести, не прибегая к помощи специализированных экспертов, к решению одной из следующего набора задач: (1.27) - (1.29), (1.31), (1.30) или (1.27) - (1.29), (1.30) [27].

В практике кредитования встречается такая многокритериальная задача, основанная на модели Бивера. Пусть предприятие обращается к кредитору с просьбой предоставить ему кредит. На момент выдачи кредита оно может принадлежать одной из трёх групп: группа 1 - благополучное финансовое состояние предприятия, группа 2 - финансовое состояние предприятия таково, что оно находится в состоянии «за 5 лет до банкротства», группа 3 - «за год до банкротства». Принадлежность кредитуемого предприятия к одной из трёх групп 1, 2, 3 определяется с помощью показателей Бивера , : к каждой из этих групп предприятие может принадлежать, если не менее трёх показателей Бивера указывают на принадлежность к этой группе [31], [99].

Процедура оценки основывается на допущении Бивера, что если не меньше 3 из возможных 5 коэффициентов относятся к группе j, то это даёт основание отнести предприятие к группе j. Сама процедура Бивера принимает решение на данных одного года. Чтобы увеличить степень надёжности принятия решения, предлагается новая усовершенствованная количественная процедура. Не на данных одного года, а основанная на данных предприятия за несколько n предшествующих лет. Предлагается способ вычисления матрицы вероятности принадлежности к одной из трёх групп коэффициентов Бивер за n лет.

В диссертации предлагается усовершенствовать существующую модель с помощью состояние системы показателей оценивать следующим образом, где и имеется всего 48 состояний

В основе теории принятия решений полагается, что ЛПР рассматривает множество допускаемых решений, исходя из некоторых состояний среды, которая определяется этими состояниями полностью [52]. Однако в литературе отсутствуют методы принятие решений

Выводы к первой главе

В данной главе проанализировано существующие модели (зарубежных и российских) оценки важной проблемы (кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий). Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствовать с использованием математических методов. Описаны основные понятия необходимые для разработки математического аппарата для качественной и достоверной оценки кредитоспособности предприятия и принятия решения о возможности выдачи кредита.

1. Отмечено, что результаты, полученные с помощью метода Альтмана с трудностью интерпретируются её выводы не всегда надёжны, потому что один из наиболее существенных недостатков метода Альтмана является дискретность вероятности банкротства p(z) от величины z и наличие промежутков между множествами Альтмана, в которых нет возможности точно количественно выразить вероятность. В данной работе предлагается усовершенствовать теорию Альтмана, путём привнесения в неё функции среднеквадратичного сглаживания и применение нечётких функций для более точного решения вопроса об отнесении предприятия к одной из 4 групп.

2. До сих пор отсутствуют работы по применению теории Бивера, в которых рассматривался бы вопрос о значимости коэффициентов с помощью оценки при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля, был бы минимальным. Данная методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

3. В литературе известен метод выбора итерационного параметра для расширения сходимости метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в нормированных пространствах. Необходимые условия экстремума позволяют расширить данный метод на минимизацию сильно выпуклых функций

4. Дано изложение и даны определения существующих понятий пространств на основе фундаментального понятия - структура, ведённая Бурбаки Н. Это позволяет более чётко видеть иерархию существующих пространств: метрического, линейного, линейного нормированного, евклидового, Гильбертова, Банахова и применять оптимальные численные методы в подходящей структуре.

5. Рассмотрено определение искусственных нейронных сетей и архитектура многослойного персептрона. Описан процесс функционирование алгоритма обратного функционирования нейронной, которого предполагает вычисление градиента поверхности ошибок. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности из заданной точки в точку минимума.

Оценка кредитоспособности, включая принятие решения предприятию о возможности выдачи кредита, являются в современных условиях актуальной научной и важной практической проблемой кредитующей организации, решению которой посвящены главы 2-3 диссертационного исследования.

Глава 2. Разработка математических моделей оценки кредитоспособности предприятий на основе модели Альтмана

В данной главе предложена модель, использующая аппарат теории нечётких множеств совместно с пятифакторной моделью Альтмана для оценки кредитоспособности предприятия. Модель Альтмана усовершенствована в двух отношениях: применяется среднеквадратичное интегральное приближение для точного вычисления количественной оценки кредитоспособности (вероятности банкротства) и применения аппарата нечётких множеств для упорядочения множеств по степени доверия полученной вероятности. Проведено имитационное моделирование процедуры оценки кредитоспособности и показаны возможности предложенной модели. Приведены несколько реальных примеров применения методики. Модель носит теоретический характер, выводы сделаны в рамках разработанной математической модели.

Методика определения значимости показателей и рисов при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля приведена в данной главе с помощью моделей математической оптимизации.

Для поиска экстремумов возникающих функционалов применялись разные методы: методы математических пакетов, методы штрафных функций в сочетании с градиентными методами и модифицированным методом Ньютона. В тестовых примерах использовались также и аналитические методы для отладки численных методов.

2.1. Аппарат нечётких множеств, имитационного моделирования, и среднеквадратичное интегральное приближение как инструменты оценки кредитоспособности предприятия, порождаемых различными моделями (пятифакторной моделью Альтмана)

Теория нечётких множеств и имитационное моделирование зарекомендовались себя на практике при анализе рисков банкротства и разработке методики оценки кредитоспособности предприятий. Эффективный процесс оценки кредитоспособности предприятия позволяет, с одной стороны, снизить уровень кредитных рисков банка, а с другой, создать более необходимые условия для качественного обслуживания клиентов банка, предъявляющих спрос на кредитные продукты. В последнее время все большую популярность среди математических подходов, для воспроизведения исследуемых процессов или явлений приобретает имитационное моделирование [86], которое поможет не только достоверно оценить кредитоспособность предприятия-заемщика, но и дать обоснование наиболее рационального решения (ЛПР). Для иллюстраций в дальнейшем этого параграфа, мы оперируем на пятифакторную модель Альтмана (- модель).

На основе разработанной модели, предложенной для решения поставленной задачи, могут быть построены другие методики оценки кредитоспособности предприятия, использующие результаты теории нечетких множеств и имитационных моделирований и основанные на хорошо зарекомендовавших себя в прикладные исследования методиках.

Наибольшее распространение получила пятифакторная модель Альтмана (-модель), позволяющая оценить возможность банкротства предприятия, которая, применительно к экономике США, имеет вид [93], [94]:

,(2.1)

где - отношение собственного оборотного капитала к сумме активов, - отношение нераспределенной прибыли к сумме активов, - отношение прибыли до уплаты процентов к сумме активов, - отношение рыночной стоимости собственного капитала к заемному капиталу, - отношение объема продаж к сумме активов. Веса при коэффициентах , рассчитывались на основе множественного дискриминантного анализа (MDA-анализ) применительно к экономике США.

Применения модели Альтмана к российской экономике существуют, как пример можно упоминать проведённые исследования в работе [67]. Они подтвердили успешные приемлемости использования этой модели в российских условиях оценки кредитоспособности отраслевых предприятий. Ученые из ряда стран, проверяющие применение на практике модель, подтверждают ее надежность универсальность, адаптируя весовые коэффициенты в модели для своих стран и отраслей. Для более успешного применения данной модели в некоторых стран в том числе Мали, в общем смысла, необходимо корректировать весовые коэффициенты с учетом реальности экономики этих стран [40] [31].

Модель Альтмана вводит функцию p(z), которая равна вероятности банкротства. Вероятность банкротства рассчитывается согласно эмпирически установленной зависимости

,(2.2)

Согласно (2.2) при вероятность банкротства предприятия достаточно мала ( при ) и считается приблизительно равной нулю. При дальнейшем изложении проблемы примем . На рис.2.1 представлен график функции p(z) модели Альтмана (2.1). Определим две функции , .

После этого решим задачу интегрального среднеквадратичного приближения [5] множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n -й степени, представленной следующим образом [5]:

(2.3)

на отрезке . Коэффициенты находились из минимизационной задачи в n - мерном пространстве Rⁿ коэффициентов полинома,

(2.4а)

где , , при некоторых дополнительных естественных ограничениях

, , (2.4.б)

смысл которых будет ясен из постановки задачи в пункте 2.1.1.

2.1.1 Задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n-й степени

Рассмотрим непрерывный аналог модели Альтмана, усовершенствованный методом среднеквадратичного приближения (2.3) в функциональном пространстве L₂ интегрируемых с квадратом функций и сравним результаты применения полиномов разных степеней [5].

a. Полином третьей (3-й) степени

В трехмерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

,(2.5)

С помощью специальной разработанной программы в математическом пакете MATHCAD коэффициенты полинома (2.5) находились из минимизационной задачи в трехмерном пространстве

,

где , , при дополнительных естественных ограничениях, диктуемых видом функций Альтмана

, ,

, ,

,.

У отрезка, на котором производится аппроксимация, правая крайняя точка выбрана . Выбор этой точки до некоторой степени произволен, однако прямые l₁, l₂ ограничивающие область, в которой содержатся прямоугольники, пересекаются на оси z в одной точке с координатой . Минимизационная задача решалась с помощью математического пакета MathCAD и разработанной программы минимизации рис.2.1 а).

b. Полином пятой (5-й) степени

В шестимерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

, (2.6)



Рис. 2.1.a) График функций , и полинома .

Из минимизационной задачи в шестимерном пространстве R⁶ находятся коэффициенты полинома (2.6)

,

где , , при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

,.

Минимизационная задача решалась с помощью математического пакета MathCAD , рис.2.1. b).

Рисунок 2.1.б) График функций , и полинома

c. Полином шестой (6-й) степени

Полином, представлен в (2.3) в семимерном пространстве будет иметь следующий вид:

, (2.7)

Решение задачи (2.7) для нахождения коэффициентов полинома производится с помощью её минимизации в .

Минимизируемая функция:

,

при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

,.

Решение:

рис.2.1c).

Рисунок 2.1.в) График функций , и полинома .

d. Полином седьмой (7-й) степени

Полином (2.3) в восьмимерном пространстве имеет следующий вид:

,(2.8)

Решая задачу (2.1.8) с применением минимизационной задачи с помощью математического макета MathCAD, находятся коэффициенты

в .

где , при дополнительных естественных ограничениях

, ,

, ,

, .

Получили решение

, рис.2.1d).

e. Полином девятой (9-й) степени

В десятимерном пространстве , полином (2.3) имеет следующий вид:

, (2.9)



Рисунок 2.1.г) График функций , и полинома .

Коэффициенты полинома (2.9) находились из минимизационной задачи в девятимерном пространстве коэффициентов полинома

,

где , , при дополнительных ограничениях. При больших степенях полиномов, можно задать большее количество конкретных условий, для более точной аппроксимации. Например, зададим условия прохождения аппроксимационного полинома через центры прямоугольников.

, ;

, z1=1;

, z2=2.4;

, z3=2.9;

, z4=3.5;

, z4=3.5.

Получено решение на рис.2.1 е)

Рисунок 2.1.д) График функций , и полинома .

Из рис.2.1 видно, что полиномы при n=6 и n=7 пересекают все четыре области. В случае малых или больших n имеются некоторые особенности: n=3 в виде недостаточной гладкости, кривая не отслеживает особенностей функций Альтмана; n=5 имеется максимум и при некоторых различных z имеются одинаковые значения p; n=9 получается результаты не лучше, чем при n=6.

Показано, что наиболее благоприятным значением степени полинома является n = 6 или 7. Более низкие степени имеют малые значения второй производной и поэтому недостаточно гладко располагаются на координатной системе с функциями f₁(x) и f₂(x). Более высокие - дают меньшие значения целевой функции, но происходит это за счёт того, что концевые области отрезка плохо аппроксимируются. Вопрос о точном выборе степени полинома остаётся проблемой противоречивой, хотя можно уже сказать, что эта проблема не носит принципиального характера, так как вне зависимости от степени полинома (если она достаточно высока) результаты будут близкими. Но требование фундаментальной, теоретически точной оценки в условиях противоречивых требований, нуждается ещё в дополнительных исследований.

Рис.2.2. График зависимости значения функционала от степени полинома с указанными в тексте ограничениями.

Из рис. 2.2. видно, что значения оптимизационного функционала образуют, в пределах численной погрешности, сходящуюся убывающую последовательность от степени полинома, поэтому, как только скорость сходимости становится малой, то дальнейшее повышение степени полинома становится бессмысленным т.е. с n=4 значения функционала практически не меняется. С другой стороны, из рис. 2.1 видно, что сам полином будет монотонной функцией и его значения не выходят из пределов [0, 1] только начиная с n=6. Поэтому в модели выбрано значение n=6.

В модели (2.1) параметры k_i и вычисляемый по ним параметр z не могут быть измерены точно. Следовательно, модель (2.1) порождает нечёткие множества, которым принадлежат значения величины p, а значения функций принадлежности этих множеств совпадают с вероятностями банкротства предприятия. Модель Альтмана, позволяет в первом приближении разделить предприятия на четыре класса с вероятностью банкротства , . - «вероятность банкротства велика», - «вероятность банкротства средняя», - «вероятность банкротства не велика», - предприятия «вероятность банкротства маленькая». В рассматриваемом примере .

Для нечётких множеств задаётся функция принадлежности , (рассмотренная ниже в пункте 2.1.2).

Если величина вероятности p, найденная по модели Альтмана (2.1) с применение L₆(z) попадает в одно из множеств , то значение функции принадлежности будет равняться . Эта ситуация показана на рисунке 2.3. В этом случае, вероятности банкротства приписывается полученное значение . Если , то .

Рисунок 2.3. Значения функции принадлежности при .

Множества заданы своими функциями распределения четко.

Построением функции L₆(z) достигается возможность получить значение р в областях, которые лежат вне множеств Альтмана, однако в таких случаях возникает необходимость отнести получаемое значение к одному из близлежащих множеств Альтмана, для чего и предлагается воспользоваться теорией нечётких множеств, строя наиболее простые кусочно-линейные непрерывные функция принадлежности [44]. Когда величина вероятности p, найденная по модели Альтмана (2.1) с применением L₆(z) не попадает ни в одно из множеств , то значение функции принадлежности будет находиться с помощью представленной ниже (в пункте 2.1.3) методики с помощью аппарата нечётких множеств. В настоящее время нечеткие множества активно используются на практике при анализе рисков банкротства предприятий [44].

2.1.2 Функция принадлежности

Функция принадлежности - это функция, областью определения которой является носитель , (), а областью значений - единичный интервал [34]. Чем больше значение , тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя нечеткому множеству . В нашем случае в качестве носителя выберем , на котором заданы множества A_i где - вероятность банкротства предприятия, соответствующая значению , найденного с помощью уравнения (2.1). На этом носителе определим функции принадлежности: для значения - , - , - , - , причём первая из них отвечает нечёткому подмножеству , вторая - _, третья - , а четвертая - , где - «возможность банкротства высокая», - «возможность банкротства средняя», - «возможность банкротства небольшая», - «возможность банкротства маленькая».

Вычисления значения z по модели Альтмана (2.1) и вычисления p по формуле L₆(z) не всегда даёт возможность отнести вычисленное значение p в одно из множеств A_i, то есть к одному из случаев , , , . Например, если , то p можно отнести и к множеству A₁ , и к множеству A₂.

В этой связи, вводим нечёткие множества которые задаются функциями предпочтения , позволяющая определить меру нечеткости множества , в данном случае, меру нечёткости вычисленной вероятности .

Функции принадлежности подмножеств , , , имеют вид:

(2.10)

Тогда, сами множества запишем с помощью традиционных для теории множеств обозначений (используется знак интеграла) [44]:



Рисунок 2.4. Графики функций принадлежности нечётких подмножеств а) -, б) -, в) - , г).-, отвечающих множествам Альтмана (рисунок 2.3).

Если все графики a) - г) изобразить на в одной системе координат, то абсциссы точек пересечения функции и , будут равны , , и они отвечают определению (2.11) ближайших чётких множеств (см. п.2.1.5).

2.1.3 Меры нечёткости множеств

После вычисления z, p(z), выбора и вычисления меры принадлежности оценим множества с точки зрения степени нечёткости, то есть введём полное упорядочение множеств по степени их нечёткости. Для определения степени нечёткости множества используется мера его нечёткости , сводящаяся к измерению меры различия между нечётким множеством и чётким множеством [34], [44]. Мера нечёткости множества определяется как расстояние от этого множества до множества, ближайшего к нему четко заданного множества : Чёткое подмножество , ближайшее к нечёткому с функцией принадлежности , называют подмножество , характеристическая функция которого имеет вид:

(2.11)

С помощью полученных чётких множеств :; ; , строится, функция принятия решения .

Функция принятия решения - зависимость индекса I = {1,2,3,4} указывающего на чёткое ближайшее подмножество множества , в зависимости от полученной вероятности с применением многочлена . Она имеет вид, показанный на рисунке 2.5. Функции принятия решения однозначно указывает на одно из чётких подмножеств и, следовательно, порождающее его нечёткое множество . Она также однозначно определяет множество Альтмана A_i так как . Зная p и функцию-меру для вычисляется числовое значение (которое очевидно примет значения ) принадлежности (нечёткости) величины p , соответствующему нечёткому множеству .

Чёткие подмножества , , , ближайшие соответственно к нечётко заданным , , и , будут иметь вид:



Рисунок 2.5. Функция принятия решения: a) аналитический вид функции принятия решения ; б) график функции принятия решения на чётких множествах.

Функция принятия решения с полиномом решения получает ясный экономический смысл: величина p указывает на вероятность банкротства и, следовательно, финансовое состояние исследуемого предприятия. Числовое значение индекса I(p) позволяет узнать по какой из формул (рисунок 2.5) вычислить числовое значение меры , которое показывает, с какой мерой доверия величина p принадлежит к соответствующему множеству Альтмана A_i (рисунок 2.3 и 2.4).

Чёткие множества позволяют упорядочить по степени нечёткости и получить дополнительный критерий доверия к получаемым о финансовой состоятельности предприятия.

В пространстве Q[0,1] кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число разрывов, можно определить расстояние между множествами и , как среднеквадратичное расстояние между функциями принадлежности [43], [34], [44]. В данной диссертационной работе рассматриваются класс кусочно-линейных непрерывных функций принадлежности нечётких множеств, т.е. значительно более простой класс, содержащийся в Q[0,1], а в случае чётких множеств, у функции принадлежности имеется не более двух конечных разрывов на концах множества. Поэтому можем определить расстояние между множествами по формуле

.

Найдём меры нечёткости определённых выше подмножеств , , , , вычисляя меры нечеткости по метрике Евклида:

.

Из этих вычислений следует, что подмножество является более нечётким по сравнению с подмножествами , и . Совершенно аналогично: - более нечетко задано по сравнению с и .; множество - более нечетко задано по сравнению с .

Пусть означает, что более нечетко задано, чем . Тогда ,, можно по признаку нечёткости, упорядочить следующим образом: . Чем правее множество, в ряду тем достовернее суждение о вероятности банкротства, к нему относящееся. Следовательно, из всей совокупности наиболее нечётко заданным является - «возможность банкротства средняя», а наиболее чётко задано - «возможность банкротства мала». Это означает, что доверие к суждению о возможном банкротстве предприятия увеличивается слева направо в ряду .

2.1.4 Примеры использования модели

Рассмотрим конкретный пример применения модели Альтмана с применением разработанных полиномов n-й степени , , как метода оценки вероятности банкротства при оценке кредитоспособности.

Пример 2.1.. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Ленмолоко» [65] за 2010-й г., вычислим значения коэффициентов k_i и величины -Альтмана (2.1) с применением разработанных n-й полиномов степени , (см. таб. 2.1).

Таблица 2.1. Значения показателей - Альтмана, полинома и функции принадлежности ОАО «Ленмолоко»

2010 г.	z	Функции полинома и функции принадлежности	Множество
	2.46	=0.423	I(p=L3)=2
		=0.373	I(p=L5)=2
		=0.385	I(p=L6)=2
		=0.406	I(p=L7)=2
		=0.405	I(p=L9)=2

С применением среднеквадратического приближения полинома й степени , , полученные результаты показывают, что именно расчеты полинома 6 или 7 степени достаточно хорошо аппроксимируют функцию Альтмана без излишних условий налагаемых на аппроксимирующую функцию L_n(z). Аппроксимирующие полиномы степени меньшей пяти не дают возможности однозначно оценить область, в которую попадают значения вероятности p при различных z.

Пример 2.2. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Концерн Росэнергоатом» за три года (2009 - 2011 и 2013 гг.) [64], вычислим значения коэффициентов k_i и величины -Альтмана (1) (см. таб. 2.2).

Таблица 2.2. Значения показателей - Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Концерн Росэнергоатом»

Показатели						z	вероятность банкротства
2009 г.	0.10	0.05	0.05	5.83	0.31	4.18
2010 г.	0,11	0.12	0.04	10.59	0.28	7.06
2011 г.	0.06	0.11	0.00	5.28	0.21	3.62
-	-	-	-	-	-	-	-
2013 г.	0.07	0.16	0.01	5.77	0.19	3.99

Из таблицы видно, что из трёх лет (2009 - 2011 г.), исследуемое предприятие относится только к (возможность банкротства маленькая). В ряду наиболее четко заданным является именно - «возможность банкротства маленькая», поэтому малость величины p вероятности банкротства с наибольшей возможной, в рамках данной модели, достоверностью. Это означает что, что предприятию не грозило банкротство и прогноз его кредитоспособности надёжен с максимально возможной степенью надёжности.

Пример 2.3: Рассчитаем различные коэффициенты Альтмана при использовании статистических бухгалтерского баланса данных предприятия ОАО «Теплосеть» [66] за три года (2009 - 2011 г.). Полученные результаты представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. Значения показателей - Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Теплосеть»

Показатели						z	вероятность банкротства
2009г.	2.60	0.10	0.07	0.38	2.60	4.32
2010г.	1.60	0.11	0.10	0.35	1.60	3.19
2011г.	0.90	0.85	0.60	0.33	0.90	5.03
-	-	-	-	-	-	-	-
2013 г.	0.66	0.14	0.16	0.77	2.24	4.22

За весь период рассмотрения (то есть 2009 - 2011 и 2013 гг.) значение параметра Альтмана оказалось . Это означает, что оно относится к множеству (возможность банкротства маленькая), следовательно, мера нечеткости относящейся к этому же подмножеству по разработанной модели наименее нечетко задано по сравнению с другими и данное суждение наиболее достоверно (), как и в предыдущем случае.

Пример 2.4. Используя бухгалтерский баланс предприятия ОАО «Ленмолоко» [63] за три года (2009 - 2011 г.), вычислим значения коэффициентов k_i и величины - Альтмана (1) (см. таб. 2.4).

Таблица 2.4. Значения показателей - Альтмана и вероятность банкротства предприятия ОАО «Ленмолоко»

Показатели						z	вероятность банкротства
2009 г.	0.01	0.04	0.07	1.42	0.96	2.12
2010 г.	0.23	0.10	0.15	0.82	1.04	2.46
2011 г.	0.73	0.21	0.38	2.40	2.31	6.16

Из таблицы видно, что из трёх лет, исследуемое предприятие два раза относится к (возможность банкротства средняя) и один раз к (возможность банкротства маленькая), причём первые два вывода за 2009 и 2010 г. заслуживают меньшего доверия, чем последний третий случай, относящийся к 2011г., так как располагаются слева в упорядоченном ряду , тогда как множество является наиболее чётким. Можно сделать вывод о том, что проделанные расчёты показали, что предприятию не грозит банкротство, причём и в данном случае с достаточной степенью достоверности. К сожалению сведения о предприятии за последующие года отсутствуют.

2.1.5 Имитационное моделирование

В модели исходные параметры , образуют входы системы (входные переменные), позволяющие получить значение параметра z-Альтмана. Система может переходить из одного состояния в другое под действием случайных входных переменных . Величина z будет случайной, так как зависит от случайных показателей . Величины задаются случайным образом в пакета MathCAD. Функция вырабатывает случайные входные переменные системы, затем последовательно с помощью модели Альтмана, аппроксимирующей функции L₆, функции принятия решения I(p) и алгоритма вычисления предпочтения получаем номер множества i, того которое принадлежит ряду множеств упорядоченных по мере нечёткости

Имитационное моделирование позволяет имитировать во времени различные ситуации как для одного испытания, так и заданного их количества. Результаты испытаний будут определяться случайным имитационным характером выбора входных параметров. По выбранным имитационным параметрам можно получить устойчивую статистику. Модель Альтмана с применением вычислительной функции позволяет действительные реальные значения входных параметров предприятий заменить на случайные значения имитационной модели.

Рисунок 2.5. Схема последовательности вычислений при оценки кредитоспособности предприятия. По входным исходным данным k_i последовательно находятся z, p, i, для упорядоченных множеств .

Разыгрывалась имитация случайной величины z, которая отвечает некоторому набору случайных величин . Параметр z задавался случайным образом с применением функции порождающей случайно равномерно распределённую величину на отрезке [0, 3,5] области определения функции . Каждому входному значению случайного скаляра находилась вероятность и с помощью функции принадлежности I(p) находился индекс и следовательно множество к которому принадлежит предприятие, причем вычисляется мера принадлежности отнесения предприятия к полученному множеству в системе упорядоченных по степени нечёткости (доверия) .

Пример 2.5. Пусть генерируются случайные входные переменные с помощью функции random. Например, конкретная единичная реализация случайной равномерно распределённой величины на промежутке [0, 3.5] оказалась равной . С помощью модели Альтмана и аппроксимирующей функции получим . На основе полученного значения данной функции, выбирается индекс i с помощью функция принятия решения . Функция принятия решения позволяет выбрать в данном случае индекс , отвечающий множеству то есть рассматриваемый случай относится к (возможность банкротства средняя). Мера предпочтения множества занимает в упорядочении множеств первое место справа, причем вычисляется доверительная мера принадлежности отнесения предприятия к полученному множеству в системе упорядоченных по степени нечёткости.

Было проведено m = 1-1000 имитаций случайной величины z, результаты работы модели, приведены в табл. 2.5 ниже. Во второй колонке даны математические ожидания, в третьей - среднеквадратичные уклонения величин z, p, i, .

Таблица 2.5. Математические ожидания и среднеквадратичное уклонение величин z, p, i, .

	M
z	1.741	1.025
p	0.599	0.33
i	1.815	1.071
	0.91	0.147

На рис.2.6-9 представлены результаты имитационного моделирования разных величин:

Рисунок 2.6. Имитационная реализация случайного процесса z(m).

На рисунке 2.6, видно, что случайные величины z находятся в интервале .

Рисунок 2.7. Имитационная реализация случайного процесса р(m).

Рисунок 2.8. Имитационная реализация случайного процесса i(m) номера нечёткого множества.

Рисунок 2.9. Имитационная реализация случайного процесса (m).

Имитированные случайные значений z не достигают достоверного p=1 значение рис.2.7, из за свойств функции у которой . Что касается рисунка 2.8, то математическое ожидание равно , в силу асимметричных свойств функции выбора и с достаточно большим среднеквадратичным уклонением = 1.071. Рисунок 2.9 показывает уровень предпочтения к интервалу Альтмана и в имитированных случаях функция принятия решении > 0.5 рис.2.1.3. Математическое ожидание нечёткости близко к единице M() = 0.91 с маленькой среднеквадратичным уклонением , что свидетельствует высокой степени доверия к полученным значениям вероятностей банкротства. Результаты проведённого исследования показывают возможность применения методики к рассмотренным случаям вычисления вероятности банкротства предприятий.

Описанная выше математическая модель дополняет модель Альтмана процедурой непрерывного вычисления вероятности банкротств предприятий с помощью полинома высокой степени, полученного методом интегрального среднеквадратичного приближения, а также в модель введена процедура вычисления значений функции принадлежности нечётких множеств, что позволяет указать какое из подмножеств является более четко или нечётко заданным. Введена функция принятия решения I(p) и определяется её экономический смысл. Даётся схема последовательности вычислений при оценке кредитоспособности предприятия. По входным исходным данным k_i последовательно находятся z, p, i, для упорядоченных множеств .