Имитационное исследование, проведенное в данной работе, подтверждает выводы о возможностях модели и дало набор устойчивых статистик. Используя предлагаемую модель, кредитор сможет более обосновано принимать решения об оценке кредитоспособности данного предприятия. Разработанная методика оценки нечёткости может применяться и к другим моделям оценки кредитоспособности предприятия: модели Давыдовы, Зайцева, Сайфуллина, Кадыкова и других с соответствующей необходимой модификацией.

2.2 Метод Ньютона для нахождения экстремумов функционалов

Методы оптимизации и решение систем нелинейных уравнений тесно связаны. Для заданных достаточно гладких отображений и задача



порождает задачу нахождения корней системы уравнений в силу необходимых условий экстремума в нормированных пространствах, где , .

Здесь представлен способ, обобщающий метод решения нелинейных уравнений [51] на отыскание экстремума функций. На текстовых примерах и примерах главы 2.1 диссертации показано, что метод расширяет область сходимости с разных начальных приближений, заведомо не удовлетворяющих достаточным условиям сходимости классического метода Ньютона.

2.2.1 Теорема о сходимости метода Ньютона

Решается актуальная для вычислительной математики задача модификации метода Ньютона для вычисления локализованного экстремума сильно выпуклой функции с целью расширения области сходимости итераций. Благодаря предложенной модификации итерационный процесс должен приводить в область локализации искомого экстремума, в которой выполняются условия сходимости классической процедуры сходимости метода при параметре шага итерации равном единице.

Используя результаты работы [51] можно получить следствие из доказанной там теоремы, при наложении необременительных условий гладкости.

Рассмотрим задачу отыскания экстремума (минимума для определённости) в некоторой выпуклой замкнутой области конечномерного линейного нормированного пространства

, (2.12)

где функция сильно выпукла на выпуклом замкнутом множестве нормированного линейного пространства, что обеспечивает единственность локального минимума [18], [39].

Отметим, что сильно выпуклые функции являются подклассом строго выпуклых функций, для которых этот результат сформулирован [18], [39].

Предположим наличие достаточной гладкости у функции .

Обозначим . В [51] получены условия, при выполнении которых справедлива теорема о сходимости вычислительного процесса Ньютона для решения систем нелинейных уравнений с выбором итерационного параметра. Решение задачи минимизации функции эквивалентно нахождению корня системы нелинейных уравнений или

Алгоритм Ньютона для отыскания экстремума содержит итерационный параметр. Для обеспечения сходимости метода Ньютона предлагается способ выбора итерационного параметра шага.

Для упрощения доказательства теорем у функции предполагается повышенный запас гладкости. Благодаря предложенной модификации итерационный процесс, основанный на методе продолжения, должен приводить в область локализации искомого решения, в которой выполняются достаточные условия сходимости классической процедуры.

Предположим наличие достаточной гладкости у сильно выпуклой функции в задаче (2.12).

а)

б)

Как отмечено задача (2.12) имеет единственное решение (оптимальную точку x_*) и при сформулированных условиях a) - б) существует область , содержащая , с любой точки которой классический () метод Ньютона для задачи (2.12) сходится к корню, однако диаметр области мал.

Достаточные условия сходимости процесса, позволяют выделить в общем случае область c ещё меньшим диаметром , а сходимость итераций с произвольной точки не гарантируется.

Отображения задаются формулами

,

где , первая и вторая производные, L (Rⁿ,Rⁿ) линейное нормированное пространство матриц, В билинейный оператор [37], (см. гл.1). В качестве нормы взята m-норма [26], (см. гл.1):



Используя введённые понятия и обозначения можем доказать теорему, как следствие теоремы [51] о сходимости модифицированного (2.13) - (2.15) метода Ньютона, задаваемого следующими формулами

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Теорема. Если выполняются условия а) б), то процесс (2.13) - (2.15) для задачи (2.12) с любой точки x₀ G за конечное число шагов j=l приводит к начальному приближению , начиная с которого процесс (2.13), (2.14) совпадает с классическим методом Ньютона и сходится к корню .

Доказательство.

Если следовать методу доказательства теоремы [51], то при сформулированных допущениях a) - б) доказательство данной теоремы сводится к указаниям на то, что задача поиска экстремума с заданными допущениями эквивалентна задаче отыскания корней системы нелинейных уравнений

с заданными четырьмя допущениями а)- г) [51].

а), б) , в) , г)

где .

а) Если , то

б) Из принадлежности функции классу трижды непрерывно-дифференцируемых функций и известной теоремы Вейерштрасса для непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве [60], [61], [82] выполняется оценка .

в) Если сильно выпукла на G, то выполняется (и ) на G [18].

г)Так как предполагаем , то

Все четыре условия для функции выполнены, следовательно модифицированный процесс Ньютона (9)-(11) приведёт к области , содержащей , с любой точки которой классический () метод Ньютона сойдётся к минимуму функции ч.т.д.

Таким образом для теоремы-следствия доказаны достаточные условия сходимости модифицированного метода (2.13), (2.15).

Практическое применение предполагает момент остановки алгоритма, который обычно сочетает два признака, того, что процесс достиг заданной точности. Процесс поиска останавливается, когда выполняются приближённо необходимые условия экстремума

.

Следствие сформулировано для сильно выпуклых функций, у которых , однако практически эта величина может быть очень малой, особенно при применении при сведении задачи с ограничениями к безусловной оптимизации после применения метода штрафных функций. Либо сам функционал может не принадлежать классу сильно выпуклых функций и тогда условие не гарантируется во всей области G . Поэтому практически возможно прибегать к регуляризации алгоритма с помощью малого параметра

,

где E - единичная матрица [3].

Тогда решение системы линейных уравнений всегда существует. Кроме того возможен подбор параметров и с целью оптимизации процесса поиска экстремума или с целью обеспечения свойства релаксации итерационного процесса

.

Нужно заметить, что формулами трудно воспользоваться на практике, так как постоянные N, M как правило, в задачах практического содержания, далеко не всегда известны. Тем не менее таковые теоремы позволяют указать на имеющуюся принципиальную возможность устранить одно из самых существенных недостатков метода Ньютона, которое заключается в выборе хорошего начального приближения и предлагают некоторые способы для этого [18], [39].

2.2.2 Тестовые примеры для анализа сходимости модификаций метода Ньютона

Рассмотрим скорость сходимости для предложенных методов оптимизации на конкретных тестовых примерах.

Пример 2.6. [3]. .

Данный пример широко использовался для иллюстрации работы различных алгоритмов в [Базар]. Например классический метод Ньютона сходится за 16 шагов с точностью и

Рис 2.10. График сходимости метода Ньютона

Непосредственное использование формулы следствия нерационально, так как ограничивающие величины трудно оценить, и кроме того осложнение возникает из-за того, что функция не является сильно выпуклой. Условие б) в точке очевидно не выполняется.

, .

Представление о характере сходящегося процесса можно, тем не менее оценить практически, взяв например постоянный шаг вычисленный в начальной точке .

,,

,

, N = .

Рис 2.11. Сходимость метода Ньютона с постоянным шагом

Вычисляем итерационный шаг в точке x₀ и берём его в качестве постоянного Малость шага означает, что процесс приближённо осуществляет непрерывный аналог метода Ньютона

.

Процесс сходиться за 992 шага с точностью , .

2.2.3 Влияние параметра регуляризации

Исследуем влияние параметра регуляризации в процессе (2.13).

Для этого рассмотрим сходимость при различных параметрах указанных в таблице при достигаемой точности . Чем больше параметр регуляризации , тем в большей степени процесс приобретает свойства градиентного метода. При достаточно больших процесс определяется формулой

,

что соответствует простому градиентному методу, с итерационным шагом . В таблице указаны количество итераций для разных случаев.

Таблица 2.6. Количество итераций зависимо от параметров и

	129	293	3512	8592	17234
	64	146	1755	4295	8522
	25	57	701	1716	3407
	15	35	436	1072	2129
	12	27	349	857	1702



О характере траекторий можно составит правильное представление рассмотрев например случаи (1,1), (1,5), (5,1), (5,5), где первая цифра в скобке означает номер строки, вторая- номер столбца.

Из рисунка видно, что с увеличением параметра регуляризации линии спуска все в большей мере становятся перпендикулярными к линиям уровня, но вместе с тем возрастает количество необходимых шагов для достижения заданной точности.

Рис 2.12. Траектории спуска для четырёх случаев 1-4 из таблицы: 1-(1,1), 2-(1,5), 3-(5,5), 4-(5,1). Кривая 5 рассчитана со значениями параметров . Все траектории приводят сначала к линии дна оврага, а затем в точку локального минимума х_* =(2, 1)

Кривая 5 отвечает методу градиентного спуска из за большого параметра регуляризации .



Рис 2.13. Зависимость погрешности от логарифма номера шага при заданной небольшой точности .

Из рисунка видно, что невысокая точность достигается значительно раньше, чем те которые указаны в таблице при и количество шагов определяется параметром (кривые 1 и 2 относятся к ; кривые 3 и 4 относятся к ).

Из проделанного анализа можно сделать вывод, что на первых шагах лучше использовать метод градиента [18], а на заключительных метод Ньютона. Для реализации такого приёма предлагаем следующий процесс

, (2.16)

.(2.17)

Практически подобраны значения , и процесс обладая на первых шагах свойствами градиента, тем не менее, сходиться с точностью за 17 шагов.

Рис 2.13. Траектории спуска. Классический (1) процесс , Ньютона (формулы (2.16) (2.17) 12 итерационных шагов) и (2) процесс при , (формулами (2.16) (2.17) 17 итерационных шагов).

Рис 2.14. Зависимость погрешности от логарифма номера шага при заданной точности .

2.2.4 Минимизация функционала

Параметры для процесса (2.16) (2.17) найденные в предыдущем пункте используем для оптимизации функционалов.

Полином 1-й степени

В двумерном пространстве , полином первой степени (2.3) имеет следующий вид:

,

Тогда задача минимизации

,

Рис 2.15. Линии уровня для значения функции и процессы (1) (2) и (3) минимизации, с начальных приближений (1; -0,25) и (1; 0,05), (1, 1) при этом в конечной оптимальной точке .

Решалась при значениях , с помощью процесса (2.16), (2.17) без ограничений указанных в пункте 2.1 формула (2.4 б))

Линии уровня сильно вытянутые, на первых шагах итерации приводя в область дна оврага, после чего движение осуществляется по дну оврага.

Рис 2.16. Зависимость нормы градиента от номера шага. Количество шагов равно 4.

Благодаря оптимальному выбору коэффициентов выбору , на первом шаге итерационной процесс приводит к малому значению целевой функции.

Проводились аппроксимация множеств Альтмана с помощью полиномов все повышающихся степеней. Для этого минимизировалась целевая функция, полученная методом штрафных функций

,

где , ,

, ,

, ,

,.

Результаты представлены на рисунках 2.1а) - 2.1д). Для улучшения сходимости и уменьшения числа итераций использовался идея продолжения по параметрам. Для каждого нового полинома более высокой степени выбиралось начальное приближение, достигнутое с полиномом более низкой степени. Удовлетворительные результаты получались при степени полинома равном 6. При этой степени убывание функционала практически незаметно (рис.2.2), и полином является строго убывающей функцией.

2.3 Выводы ко второй главе

1. Усовершенствована теория Альтмана путём привнесения в теорию идеи непрерывного наилучшего среднеквадратичного приближения множеств Альтмана с помощью полиномов. Выбрана оптимальная степень полинома обеспечивающая с одной стороны достаточный минимум целевой функции и с другой стороны-монотонность самого полинома. Экспериментально, с помощью численных экспериментов, выбраны оптимальные параметры оптимизационного алгоритма Ньютона: параметр регуляризации и итерационный параметр шага. Возникающая оптимизационная задача решалась разными способами и показано, что достигается высокая точность при решении любым из предложенных способов.

2. Доказана теорема о сходимости метода Ньютона, которая является аналогом приближенного численного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах [51]. Для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций предлагается метод специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге.

3. Модифицированный метод Ньютона с регуляризацией применён к задачам: 1) определения коэффициентов аппроксимирующего полинома достаточно высокой n -й степени в задаче интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана для минимизации функционала полученного с помощью метода внешних штрафов. 2) Показано, что полученные результаты в пределах численной погрешности совпадают с результатами других методов оптимизации, в том числе из стандартных математических пакетов. Имитационное моделирование подтвердило выводы моделей с набором устойчивых статистик.

3. Для реализации предложенных методов был разработан проблемно ориентированный (нацеленный на оценку кредитоспособности предприятий) комплекс программ, позволяющий сочетать встроенные функции и разработанные методы минимизации программной среды MathCAD для моделей оценки кредитоспособности предприятий.

4. Разработанная теория и программы используются на факультете математики и компьютерных наук для обучения бакалавриатов и магистров. Созданы три программных продукта (ЭВМ) и зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам

Глава 3. Разработка математической модели принятия решения на основе модели Бивера

В главе предложена методика определения значимости показателей и рисков при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля. Разработан численный алгоритм модели принятия решения кредитором о возможности выдачи кредита предприятию-заемщику, основанные на свертке критериев многокритериальных задач.

Приведена модель оценки кредитоспособности предприятия, разработанная с помощью нейросетевых технологий на основе известной методики Бивера.

Разработанные модели реализованы в программных математических пакетах STATISTICA NEURAL NETWORKS и MATHCAD 15.

3.1 Определение значимости показателей и рисков в методике Бивера оценки финансового состояния предприятия с помощью моделей математической оптимизации

Разработана методика определения доли коэффициентов Бивера в портфеле, образованном из этих коэффициентов, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля. Предлагаемая методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

Для прогноза банкротства предприятия финансовым аналитиком Уильямом Бивером была предложена система показателей, позволяющая оценить финансовое состояние предприятия с целью диагностики банкротства при оценке его кредитоспособности [99], [88].

Величину существующей угрозы банкротства предприятия можно оценить (приближенно) по пятифакторной модели У. Бивера, основанной на расчете следующих показателей этого предприятия: - чистая прибыль, - амортизация производственных фондов, - заемный капитал, - оборотные активы, - краткосрочные обязательства перед юридическими и физическими лицами, - собственные оборотные средства, - вне-оборотные активы.

На основе значений показателей , вычисляются значения коэффициента Бивера -, коэффициента текущей ликвидности -, коэффициента рентабельность активов - , коэффициента финансовой зависимости, коэффициента собственных оборотных средств в активах - .

На основе значений , определенных У. Бивером для трех видов компаний: благополучных, обанкротившихся в течение года, ставших банкротами с течение пяти лет, делается вывод о возможности банкротства исследуемого предприятия.

Для благополучных предприятий (первая группа) , , , , ; для предприятий за 5 лет до банкротства (вторая группа) , , , , ; для предприятий за 1 год до банкротства (третья группа) , , , , (см. таб. 1). [29].

Портфель является совокупностью различных инструментов, которые собраны для достижения конкретной инвестиционной поставленной цели вкладчика [63]. В данной работе портфель означает совокупность различных показателей. Под доходностью , мы понимаем линейную комбинацию параметров Бивера. Параметры Бивера меняются во времени.

Предположим, что являются случайными величинами, имеющих среднее квадратичное отклонение . Сформируем «портфель» из коэффициентов , т.е. образуем совокупность из показателей Бивера. Пусть - вес или коэффициент значимости (доля коэффициента ) в совокупности (т.е.), , , .

Пусть - линейная комбинация параметров Бивера, отражающая эффективность совокупности параметров .

Согласно выше предположениям, мера риска допустить среднеквадратическую ошибку при оценке кредитоспособности предприятия равна [13], [41], [42]:

, (3.1)

где - ковариация между , , т.е. , .

Задача определения доли (веса) , , различных показателей Бивера сводится к решению однокритериальной задачи оптимизации портфеля:

. (3.2)

Данная задача представляет собой задачу минимизации квадратичной формы от n переменных , удовлетворяющих условиями , , , то есть задачу квадратичного программирования. Решая уравнение (3.2), получим различные значения , . Чем больше значение , тем больше влияет - й показатель Бивера на меру риска, т.е. позволяет допустить среднеквадратическую ошибку при оценке эффективности R (портфеля) из показателей Бивера.

Решение данной задачи выполнено с использованием компьютерной техники на базе математического пакета MathCAD с применением пяти методов математической оптимизации [8]: обобщённым методом Ньютона, аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов. Применение этих методов, позволяет принять более обоснованный анализ при решении поставленной задачи.

Решая уравнение (3.2) разными методами, получим различные значения , . Чем больше значение , тем больше влияет -й показатель Бивера на меру риска, т.е. тем больше позволяет допустить среднеквадратическую ошибку при оценке эффективности совокупности (портфеля) из показателей Бивера.

Пример 3.1. Экспериментальные данные показателей Бивера (см. таб. 3.1), рассчитанные на основе бухгалтерского баланса предприятия ОАО «Ленмолоко» [65], представлены в таб. 3.1.

Таблица 3.1. Значения показателей системы У. Бивера предприятия ОАО «Ленмолоко»

Показатели	Значения показателей
	2011 г.	2010 г.	2009 г.	2008 г.	2007 г.
Коэффициент Бивера,	2,186	1,271	0,432	0,315	0,653
Коэффициент текущей ликвидности,	0,238	0,551	2,967	2,486	2,054
Рентабельность активов,	0,902	0,697	0,127	0,112	0,241
Коэффициент финансовой зависимости,	0,413	0,549	0,294	0,357	0,369
Доля собственных оборотных средств в активах,	-0,314	-0,246	0,579	0,531	0,389



Рисунок 3.1. Графики изменения показателей , по годам.

Из рисунка 3.1, видно, что на протяжение всего периода (2007-2011 гг.) изменение показателя меньше, чем других показателей. Его минимальное значение 0,294, а максимальное 0,549.

Рассчитаем среднее арифметическое i-ого показателя Бивера, воспользовавшись формулой:

. (3.3)

Используя данные таб.2.3.2 по формуле (3.3) находим , , , и . Элементы ковариационной матрицы показателей , вычислим по формуле:

.

С помощью специальной разработанной программы приложенной к этой статье в Mathcad, получим следующую ковариационную матрицу :

Решая задачу (3.2) с помощью программной среды Mathcad четырьмя упомянутыми выше способами, находим минимальные значения , :

.

Минимальная дисперсия (минимальные значения меры риска ошибки) равна:

.

Все проводимые разные методы решения выше описанной задачи дают в пакете Mathcad одинаковые значения параметров и минимальные значения целевой функции в пределах высокой точности вычислений.

Выявлено, что коэффициенты значимости ===0.33, имеют одинаковое значение в пределах точности вычислений и это даёт основание считать, что коэффициенты Бивера , и приблизительно одинаково влияют на меру риска допустить среднеквадратичную ошибку при оценке эффективности портфеля. Так как ==0 значительно меньше, чем 0.33, то коэффициенты , и значительно больше влияют на меру риска, чем коэффициенты и . Таким образом, при оценке финансового состояния экспертам нужно уделять большее вниманием коэффициентам , и . Использование одновременно нескольких различных способов решения задачи оптимизации в пакете Mathcad свидетельствует о надёжности полученных решений оптимизационной задачи.

3.2 Принятия решения кредитором о возможности выдачи кредита предприятию в многокритериальных условиях оптимизации

Рассматривается математическая модель алгоритма принятия решения о возможности выдачи кредита предприятию, основанную на свёртке критериев в многокритериальных задачах.

Пусть предприятие обращается к кредитору с просьбой предоставить ему кредит. На момент выдачи кредита оно может принадлежать одной из трех групп: группа 1 - благополучное финансовое состояние предприятия, группа 2 - финансовое состояние предприятия таково, что оно находится в состоянии «за 5 лет до банкротства», группа 3 - «за год до банкротства». Первая группа наименее рисковое состояние максимальный доход для банка, и третья самая рисковое состояние и минимальный доход.

Принадлежность кредитуемого предприятия к одной из трех групп 1, 2, 3 определяется с помощью показателей Бивера : к каждой из этих групп предприятие может принадлежать, если не менее трёх показателей Бивера указывают на принадлежность к этой группе. Система показателей и нормативных значений для трех указанных видов компаний представлена в табл.3.2. [31], [99].

Таблица 3.2. Система показателей У. Бивера

Коэффициенты	Нормативные значения рассчитанных коэффициентов и величин
	Группа 1, благополучные компании	Группа 2, за 5 лет до банкротства	Группа 3, за 1 год до банкротства
Коэффициент Бивера,
Коэффициент текущей ликвидности,
Рентабельность активов,
Коэффициент финансовой зависимости,
Доля собственных оборотных средств в активах,

Современная процедура Бивера принимает решение исходя из данных одного года. Банк может принять решение выдать кредит без ограничений, с ограничением до 5 лет или не выдавать кредит (или с ограничением до года). В этой таблице любой коэффициент принадлежит одной из трёх групп. Чтобы уменьшить риск ошибки принятия решения предлагается новая усовершенствованная количественная процедура, основанная на данных предприятия за несколько N предшествующих лет. Предлагается способ вычисления матрицы вероятности принадлежности к одной из трёх групп коэффициентов Бивера за N лет.

Данные вычисленные коэффициенты системы Бивера за N лет любого предприятия имеют следующий общий вид матрицы К:

	K11	K21	K31	K41	K51
	K12	K22	K32	K42	K52
	……….	……….	……….	……….	……….
К=	……….	……….	……….	……….	……….
	……….	……….	……….	……….	……….
	K1(N-1)	K2(N-1)	K3(N-1)	K4(N-1)	K5(N-1)
	K1N	K2N	K3N	K4N	K5N

где строка матрицы соответствует количеству наблюдаемых N лет, а столбцы - коэффициенты Бивера (на пример элемент K₃₂ - коэффициент K₃ за второй наблюдаемый год).

В этой матрице любой коэффициент в любой год принадлежит одной из трёх групп. Поэтому можно с помощью этой матрицы находить вероятности каждого коэффициента Бивера находиться в одной из трёх групп

, i = 1,...,5 ; j = 1,2,3,

где - количество случаев принадлежности i коэффициента k_i к j-ой группе; N - количество наблюдаемых лет.

Вычисленные значения могут быть представлены в следующий вид матрицы:

P=

где .

Пусть - событие, обозначающее, что -й показатель принадлежит -й группе , , с рассчитанными вероятностями в матрице P.

В основе теории принятия решений полагается, что ЛПР рассматривает множество допускаемых решений, исходя из некоторых состояний среды, которая полностью определяется этими состояниями (состояния среды иногда называются стратегиями) [52]. В нашем случае состояние среды может принадлежать к одному из следующих состояний:

для первой группы ;

для второй группы ;

для третьей группы .

По теории Бивера [31] для принадлежности предприятия к j группе необходимо иметь не более двух отрицаний в каждом состоянии, поэтому общее число состояний в группе определяется формулой

где -число сочетаний из 5 по l

для первой группы ;

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

;

для второй группы -

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

;

для третьей группы -

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

.

Таким образом, среда состоит из 48 состояний : , , , i =1,2,3; m = 1, …, 16.

Вычисляются вероятности каждого из 48 состояний по формуле.

В которой вероятности представлены в матрице P. Например, для первого состояния имеющего два отрицания и принимая допущение о независимости имеем значение



Аналогично рассчитываются все остальные 47 случаев . Представим в виде матрицы рассчитанные вероятности 48 случаев по группе и по количеству состояний (k = 1, …, 16.) в каждой группе (i =1,2,3) .

=	….	….	….
	….	….	….

Перед банком стоит проблема выбора принятия одной из трёх возможных стратегий. Каждая из стратегий позволяет получить банку определённый доход, причём первая из стратегий - наибольший, (если решение о непредставлении кредита будет принято и минимальный, если все же рисковое решение принимается). Чтобы выбрать самую надёжную стратегию с помощью полученных вероятностей рассчитаем математическое ожидание и среднеквадратичное уклонение от ожидаемого дохода при выбранной стратегии.

Предположим банк предполагает иметь доход с предприятия в сумме руб. (Задание величины x приставляет самостоятельную проблему, зависящую от многих обстоятельств, в частности от экономических и законодательских условий). Для вычисления дохода по всем состояниям применяем простую формулу

Данные элементы упорядочены в виде элементов матрицы последствий , содержащую 3 строки и 16 столбцов (матрица последствий ожидаемого дохода X^T ).

Величина a зависит от многих факторов, процента по кредиту, от группы j и т.д. Какова она, на этот вопрос должен дать эксперт и на этой стороне дела мы не останавливаемся. Представим

XT=	….	….	….
	….	….	….

Столбцы в матрице есть точки X_i , i = 1,2,3 в пространстве R¹⁶.

Предположим, что - средний ожидаемый доход, который получит банк за кредит, если ЛПР принимает стратегию , - риск не получить требуемый доход при стратегии , , , где - символ дисперсии. Тогда выше поставленная задача в этом параграфе сводится к двухкритериальной задаче [28]:

(3.5)

Решать подобные задачи (3.5) можно с помощью методики свёртки критериев. В данном случае, мы используем линейную свёртку, которая описана во многих источниках, например [71], [90], [27].

(3.6)

коэффициенты вычисляем по стандартному методу, изложенному в [27], (см. Гл.1), путём решения задачи среднеквадратичного программирования различными методами оптимизации, изложенными в главе 1, 2. В качестве заданных точек X_i, выбор которых необходим в методике [27] естественно выбрать столбцы матрицы X^T .

Таким образом, если является максимальным фактором и указанием лицу принимающего решение о том, что банку рекомендуется придерживаться -ой стратегии, исходя из максимальности средневзвешенного линейного критерия доходности и риска.

3.3 Модель системы оценки кредитоспособности с помощью нейросетевых технологий с обучающими параметрами Бивера

В данном параграфе диссертационного исследования предлагается методика построение оценки кредитоспособности предприятия-заемщика, разработанная с помощью искусственных нейронных сетей на основе показателей системы В. Бивера. Данная модель позволяет (с помощью имеющегося статистических данных), как и модель В. Бивера, классифицировать предприятия на три класса по степени его финансового состояние: первый - это класс с низким уровнем кредитоспособности (возможное существование большой угрозы банкротства), второй - класс среднего уровня кредитоспособности (предприятие низкого уровня банкротства), третий класс - это класс с высоким уровнем (устойчиво-финансовое состояние у предприятия). Значения этих коэффициентов определяют принадлежность рассматриваемого предприятия к одному из трех перечисленных классов: - Бивера; - текущей ликвидности; - рентабельности активов; - финансовой зависимости и - долей собственных оборотных средств в активах.

Программный продукт Statistica Neural Networks использовался при выборе метода обучения искусственной нейронной сети и её архитектуры. Очевидно, что для определения топологии, процедуры тестирования и механизм обучения искусственной нейронной сети необходимо её формирование. Кроме того, для её обучения нужен набор входных данных - выборка предприятий с достоверной бухгалтерской отчетностью.

С помощью обработки статистических данных был сделан вывод: при формировании искусственной нейронной сети в данном случае (количественный анализ кредитоспособности предприятий-заемщика) именно архитектура трёхслойного персептрона и обучающий алгоритм обратного распространения являлись наиболее привлекательными (см. рис. 3.2).

Рисунок 3.2. Архитектура трехслойного персептрона искусственной нейронной сети

На рисунке 3.2. представлен общий вид архитектуры трехслойного персептрона искусственной нейронной сети, в которой первый слой представляет входной, последующие вступают в качество скрытых или внутренних, последний является выходным. Нейрон является вычислительным блоком, получающим ряд входных данных (информацию) непосредственно из предыдущих нейронов. Когда информация поступает из нейрона (input), то ей присваивается вес W, представляющий способность предыдущего нейрона воздействовать на следующий нейрон (hidden Layer). Следовательно, выходной нейрон (output Layer) выдает выходной слой результатом работы сети.

Представлены конфигурационные параметры предлагаемой сети в следующей таблице (см. таб. 3.3).

Таблица 3.3: Параметры трёхслойной нейронной сети

Общие параметры	Параметры скрытого слоя	Параметры выходного
Количество узлов во входном слое: 5	Коэффициент обучения:0,25	Коэффициент обучения: 0,01
Число узлов в скрытом слое: 10	Коэффициент инерции: 0,6	Коэффициент инерции: 0
Число узлов в выходном слое: 1	Затухание: 0	Затухание: 0
Алгоритм обучения: Обратное распространение
Функция активации: Сигмоидальная

При построении предложенной нейронной сети используются указанные параметры в таблице 3.3. В процессе обучения, точность вычисления параметров нейронной сети определяет её высокую способность к обучению. В качестве параметров входного слоя сети используются в данном случае коэффициенты , , выше описанные, его единственное значение совпадает с значениями показателей финансовой состоятельности предприятия. Активационной функцией была является сигмоидальная функция [14]:

,

где является выходным сумматора значения нейрона, - константа, определяющая «крутизну» функций и выбирается экспертам (на практике часто полагают выбирать ).

Таким образом, предложенная модель финансового состояния предприятия, позволяет достоверно оценить его возможную кредитоспособность, является многослойным персептроном (MLP), в котором параметры входного сигнала преобразуются в выходных, проходя через несколько скрытых (внутренних) слоев (hidden Layer). Обучающий набор данных сети поступает из базы информации предприятии, с её помощью определяются следующие коэффициенты: - Бивера, - текущей ликвидности, - рентабельности активов, - финансовой зависимости и - коэффициент долей собственных оборотных средств в активах. С помощью анализа этих коэффициентов построенная модель позволяет определить финансовое состояние исследуемого предприятия.

Пример 3.1. Приведем пример на основе конкретного предприятия применения описанной модели. Используя бухгалтерские (статистические) данные баланса предприятия ОАО «Ленмолоко» [65] за 12 лет (2000-11 г.), вычислим «в ручную» показатели Бивера (см. таблицу. 2.8) и будем их использовать для сравнения с такими же коэффициентами, вычисленными с помощью предложенной нейронной сети.

Таблица 3.4. Значения показателей Бивера и финансовое состояния предприятия ОАО «Ленмолоко»

Показатель	Коэффициент Бивера, k1	Коэффициент текущей ликвидности, k2	Рентабельность активов, k3	Коэффициент финансовой зависимости, k4	Доля собственных оборотных средств в активах, k5	Состояния банкротства предприятия
2000 г.	1,46	0,36	0,06	0,36	1,56	5 лет до банкротства
2001 г.	0,95	1,64	0,20	0,76	0,80	благополучное
2002 г.	2,05	1,25	0,05	0,45	0,90	5 лет до банкротства
2003 г.	1,25	0,06	0,09	0,60	0,64	Благополучное
2004 г.	0,50	0,10	0,10	0,40	0,04	5 лет до банкротства
2005 г.	0,11	0,99	0,03	0,36	0,06	5 лет до банкротства
2006 г.	0,60	0,89	0,02	0,40	0,02	5 лет до банкротства
2007 г.	0,65	2,05	0,24	0,37	0,39	5 лет до банкротства
2008 г.	0,31	2,49	0,11	0,36	0,53	Благополучное
2009 г.	0,43	2,97	0,13	0,29	0,58	Благополучное
2010 г.	1,27	0,55	0,70	0,55	- 0,25	пять лет до банкротства
2011 г.	2,19	0,24	0,90	0,41	- 0,31	Благополучное

Обратим внимание, что в течение всего периода рассматриваемого предприятие находится чаше в состояние «5 лет до банкротства», т.е. его финансовое состояния не стабильно. Из десяти построенных различных моделей нейронных сетей выбираем наилучшую (см. таб. 3.5).

Таблица 3.5. Различные модели нейронной сети, описывающей финансовое состояние предприятия ОАО «Ленмолоко»

Проанализировав выше приставленные данные в таб. 3.5, можно сделать следующий вывод: из 10-и построенных моделей сети десятая модель является наилучшей, поскольку её значения обучающей и контрольной производительностей больше, чем у остальных моделей. Из многослойного персептрона модели - 5-5-2, найдем матрицу ошибки (см. таб. 3.6). Она указывает число правильно и неправильно проведенных классификаций финансового состояния рассматриваемого предприятия ОАО «Ленмолоко»

Таблица 3.6. Матрица ошибки многослойного персептрона - 5-5-2 модели сети, описывающей финансовое состояние предприятия ОАО «Ленмолоко»

В матричной ошибке каждого класса приводится количество наблюдений, отнесенных нейронной сетью к определенными классам. В рассматриваемом случае предложенная модель разбила наблюдения на десять обучающей выборки (см. таб. 2.10) по двум классам («благополучно» и «5 лет до банкротства»). Согласно таб. 2.10 80% наблюдений (состояния предприятия) классифицировано верно, а 20% классифицировано ошибочно. Это указывает на то, что сеть хорошо (качественно) обучилась. Нейронная сеть позволяет так же определить важнейшие входные показатели сети. В табл. 3.7 приведена степень значимости каждого показателя в данной сети. Это позволят эксперту обратить внимание на более важные показатели, позволяющие правильно оценить кредитоспособность рассматриваемого предприятия.

Таблица 3.7. Анализ чувствительности MLP (многослойный персептрон - 5-5-2) модели показателей предприятия ОАО «Ленмолоко»

Из таблицы 3.7 следует, что коэффициент финансовой зависимости является наиболее значимым при определении кредитоспособности предприятия ОАО «Ленмолоко», так как его величина чувствительности выше, чем у остальных коэффициентов (чувствительность каждого коэффициента дает представление о его влиянии на выход нейронной сети) .

По результатам обучения нейронной сети проводилось сравнение целевого (target) и выходного (Output) значений обученной модели сети с помощью тестовой (Validation) и обучающей (Train) подвыборок. В результате была сгенерирована таблица 3.8.

Таблица 3.8. Прогноз выходного параметра MLP (многослойный персептрон - 5-5-2) модели финансового состояния предприятия ОАО «Ленмолоко»

Из таблицы 3.8 следует, что выводы о финансовом состоянии предприятия (по годам), сделанные с помощью предлагаемой модели незначительно отличаются от выводов, представленных в таблице 3.9. Это подтверждает качественный прогноз финансового состояния ОАО «Ленмолоко», полученный с помощью нейронной сети.

С помощью обученной нейронной сети были вычислены показатели Бивера. Для 2011 г. они равны: , , , , (см. таб. 3.9)

Таблица 3.9. Прогноз значений выходного параметра MLP модели (многослойный персептрон - 5-5-2)

Используя значения коэффициентов , , был сделан вывод о финансовом состояния предприятия в 2011 году (см. таб. 3.9): предприятие ОАО «Ленмолоко» находится в состоянии «пять лет до банкротства» (что полностью согласуется с выводами из таб. 3.4).

Сравнение результатов, полученных с помощью нейросетевого анализа с оценками, полученными по методике У. Бивера, позволяет заключить: с помощью предложенной модели можно получить достаточно надежное заключение о кредитоспособности предприятия.

3.4 Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита.

STATISTICA предлагает широкий спектр инструментов статистического анализа, управления и представления данных. От импорта базы данных или таблиц, полученных из исследований и опросов, с которыми можно установить описательную статистику, просчитать вероятности, провести типологии с помощью средств интеллектуального многофакторного анализа [84]. Кроме того, в пакете STATISTICA входит множество инструментов для моделирования и широкого круга инструментов диаграммами. В составе прикладных программ пакета STATISTICA входит программа Neural Network (Искусственные нейронные сети), предназначен для моделирования и прогнозирования связей между данными или комплексными функциями.

Искусственные нейронные сети, широко известный под аббревиатурой ИНС [15] (искусственная нейронная сеть) являются нелинейными математическими моделями типа «черный ящик», способные устанавливать отношения между системой входов и выходов. Эффективность их работы в области нелинейного моделирования было доказано в нескольких областях техники и науки. Можно с помощью пакета определить сети частично, подключенные в некоторых конкретных сетях предыдущего слоя. Тем не менее, в большинстве приложений, сетей полностью подключены являются предпочтительными, и это тип сети, который предлагается в STATISTICA Нейронные Сети Автоматизированных.

Как и большинство статистических моделей, нейронные сети способны выполнять различные типы задач, в том числе регрессии, классификации и прогноза на основе входных набора значений [84].

MathCAD [69], [92] - это математический и технический редактор, позволяющий провести разнообразные научные и инженерные расчеты, от элементарной арифметики до реализации сложных задач численными методами. Благодаря легкому применению, структурированием функций и методов в библиотеке, наглядности математических действий, а также аппарату представления результатов, MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением для решения технических задач. Также MathCAD является программным обеспечением для решения, анализа и совместного использования наиболее важных инженерных и технических задач. Он предлагает удобный интерфейс, выполняет мгновенный пересчет и базируется на открытой архитектуре, которая поддерживает .NET и собственный формат XML [69], [92].

3.4.1 Программный комплекс (Sini-Don)

Данная программа под названием «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)» предназначена для прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия. Она позволяет кредитующей организацией (ЛПР) на основе имеющегося бухгалтерского (статистического) данных, выделить три класса кредитоспособности предприятия. Но, в отличие от известных (обычных) методик, она позволяет получить не только атрибутивную оценку прогноза финансового состояния заемщика, но и ускорить принятие решения о возможности выдачи данному предприятию требуемого кредита. С помощью (РИД) можно выделить три класса кредитоспособности предприятия.

Рис.3.3. Диалоговое окно ввода значения параметров для прогноза финансового состояния исследуемого предприятия

С помощью бухгалтерского баланса предприятия ОАО «Ленмолоко» [65] за последние двенадцать лет (2000 - 2011 г.) составлены входные данные показателей Бивера (см. таб. 3.4).

С помощью обученной нейронной сети были вычислены показатели Бивера. Они равны: , , , , .



Рис. 3.4. Прогноз финансового состояния выходного параметра модели сети

3.4.2 Программный продукт (PDMSC)

Программа «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)» предназначена для оценки кредитоспособности предприятий при использовании методики предсказания банкротства предприятия (модели Альтмана) на основе нечётких множеств и математического имитационного моделирования. Она позволяет по заданным значениям модели Альтмана провести ранжирование рассматриваемых нечетких подмножеств, порождающих данной моделью и вычисляет меру принадлежности отнесения предприятия к полученному упорядоченному нечеткому множеству по степени нечеткости (доверия). В отличие от известных методик, она позволяет принимать обоснованное решение об оценке кредитоспособности предприятия и ускорить принятие решения о возможности выдачи требуемого кредита.

Как видно на рисунке 3.5. в качестве носителя выбрано , на котором заданы множества где представляет возможную вероятность банкротства исследуемого предприятия, соответственно с значением , найденного с помощью уравнения Альтмана. На этом носителе определяется функция принадлежности.



Рис. 3.5. - Функции принадлежности и графики четырёх нечетких множеств

Следовательно - , - , - , - , причем первая соответствует нечеткому подмножеству («возможность банкротства высокая»; вторая - «возможность банкротства средняя»; третья - «возможность банкротства небольшая»; а четвертая - «возможность банкротства маленькая». Для нечётких множеств Xi задаётся функция предпочтения , позволяющая определить меру нечеткости множества , в данном случае, меру нечеткости вычисленной вероятности .

В пространстве Q[0,1] кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число разрывов, можно определить расстояние между множествами A и A₀, как среднеквадратичное расстояние между функциями принадлежности (см. ) [44].



Рис.3.6 - Диалоговое окно вывода значения параметров, позволяющих определить к какому множеству отнести исследуемое предприятие

В модели исходные параметры , образуют входы системы (входные переменные), позволяющие получить значение параметра z-Альтмана. Система может переходить из одного состояния в другое под действием случайных входных переменных . Величина z будет случайной, так как зависит от случайных показателей . Величины задаются случайным образом в пакете MathCAD. Функция вырабатывает случайные входные переменные системы, затем последовательно с помощью модели Альтмана, аппроксимирующей функции L₆, функции принятия решения I(p) и алгоритма вычисления предпочтения получаем номер множества i, того которое принадлежит ряду множеств упорядоченных по мере нечёткости .

Рис. 3.7

3.4.3 Программный продукт (PVRisk)

Программа «Программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisK)» предназначена для определения доли (значимости) показателей Бивера меру рисков в портфеле, образованном этими же коэффициентами, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля (риск) при оценке кредитоспособности исследуемого предприятия. Она реализована с применением четырёх методов оптимизации: аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов. Кроме того, она позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии при оценке кредитоспособности.

Рис. 3.8. - Входная матрица портфеля, состоящая из показателей Бивера

Она может быть положена в основу анализа и оценки банковскими структурами кредитоспособностей предприятий-заемщиков и также может быть использована в учебном процессе при чтении курсов по экономико-математическому моделированию и теории математической оптимизации. Данная программа вводным потоком (показатели исследуемого предприятия) выводит минимальный риск, допекавшийся при оценке кредитоспособности.

Сформируем «портфель» из коэффициентов , т.е. образуем совокупность из показателей Бивера. Пусть - вес или коэффициент значимости (доля коэффициента ) в совокупности (т.е.), , , .

Рис. 3.9. - Диалоговое окно вычисления значения значимости показателей и рисков предприятия.

С помощью программной среды Mathcad четырьмя способами оптимизации (аналитическим методом, с помощью встроенной функции минимизации и блока Given, методом штрафных функций и методом градиентов), находим минимальные значения , и минимальную дисперсию (минимальные значения меры риска ошибки).

3.5.Выводы к третьей главе

1. Определены доли показателей в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным.

2. Построена количественная математическая модель принятия решения о возможности выдачи кредита предприятию, основанная на свёртке критериев в многокритериальных задачах. Данная математическая модели принятия решения является двухкритериальной задачей: 1-й критерий является необходимостью максимизировать средний получаемый доход, 2-й - необходимость минимизировать риск не получить предполагаемый доход за предоставление кредита. Данная описанная задача решается с помощью линейной свертки критериев, где весовые коэффициенты выбираются не экспертами, а на основе разработанного алгоритма. Использование на практике указанной методики позволяет лицу, принимающему решение ускорить принятия решения при выдаче требуемого кредита предприятию-заемщику и взвешенные решения о его выдаче.

3. Приведённый метод исследования задачи оценки кредитоспособности предприятия, разработанная с помощью нейросетевых технологий на основе предложенной методики в работе Арутюняна, Коваленко, Уртенова (2014) [56] при этом для обучения сети используются показатели Бивера. Используя алгоритм обратного функционирования нейронной сети, прогнозируются (на несколько лет вперёд) значения коэффициентов У. Бивера, а затем на основе значений этих коэффициентов, прогнозируется финансовое состояние исследуемого предприятия.

3. Описаны программные комплексы, реализующие в рамках данной диссертации для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита.

Заключение

Разработка математических методов моделей достоверной оценки кредитоспособности, включая принятие решения о возможности выдачи кредита предприятию, являются в современных условиях актуальной научной и важной практической проблемой кредитующей организации и даже предприятиям. В связи с этими, в диссертационном исследовании были изложены следующие полученные результаты:

1. Проанализированы существующие модели оценки кредитоспособности предприятий. Выявлены преимущества и недостатки известных моделей и сделан вывод о необходимости их усовершенствовать с использованием оптимизационных математических методов. В литературном обзоре описаны основные понятия необходимые для разработки математического аппарата для качественной и достоверной оценки кредитоспособности предприятия и принятия решения о возможности выдачи кредита.

2. Усовершенствована теория Альтмана путём привнесения в теорию идеи непрерывного наилучшего среднеквадратичного приближения множеств Альтмана с помощью алгебраических полиномов. Определены коэффициенты аппроксимирующих полиномов достаточно высокой 1 - 9-й степени в задаче интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана для минимизации функционала полученного с помощью метода внешних штрафов. Выбрана оптимальная степень полинома - 6, обеспечивающая с одной стороны достаточный минимум целевой функции и с другой стороны-монотонность самого полинома. Имитационное моделирование подтвердило выводы моделей с набором устойчивых статистик.

3. Доказана теорема о сходимости метода Ньютона, которая является аналогом приближенного численного метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах. Для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций предлагается метод специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге.

4. Экспериментально, с помощью численных экспериментов, выбраны оптимальные параметры оптимизационного алгоритма Ньютона: параметр регуляризации и итерационный параметр шага. Возникающая оптимизационная задача решалась разными способами и показано, что достигается высокая точность при решении любым из предложенных способов.

5. Определены доли показателей в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным. Показано, что полученные результаты в пределах численной погрешности совпадают с результатами других методов оптимизации, в том числе из стандартных математических пакетов. 6. Для реализации предложенных методов был разработан проблемно ориентированный (нацеленный на оценку кредитоспособности предприятий) комплекс программ, позволяющий сочетать встроенные функции и разработанные методы минимизации программной среды MathCAD для моделей оценки кредитоспособности предприятий.

7. Построена количественная математическая модель принятия решения на основе теории Бивера о возможности выдачи кредита предприятию, основанная на свёртке критериев в многокритериальных задачах. Данная математическая модели принятия решения является двухкритериальной задачей: 1-й критерий является необходимостью максимизировать средний получаемый доход, 2-й - необходимость минимизировать риск не получить предполагаемый доход за предоставление кредита. Данная описанная задача решается с помощью линейной свёртки критериев, где весовые коэффициенты выбираются не экспертами, а на основе алгоритма. Использование на практике указанной методики позволяет лицу, принимающему решение ускорить принятия решения при выдаче требуемого кредита предприятию-заемщику и взвешенные решения о его выдаче.