Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КРЕДИТОСПОСОБНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Бамадио Бурейма

Краснодар - 2015

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Литературный обзор математческих методов применяемых для оценки кредитоспособности предприятий
• 1.1 Анализ существующих моделей (зарубежных и российских) оценки кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий
• 1.2 Среднеквадратичное приближение
• 1.2.1 Метрические и линейные нормированные пространства
• 1.2.2 Норма матриц
• 1.2.3 Наилучшие приближения в линейном нормированном и гильбертовом пространстве
• 1.3 Выпуклые множества
• 1.4 Выпуклые функции
• 1.4.1 Выпуклые функции одной переменной
• 1.4.2 Выпуклые функции многих переменных
• 1.4.3 Сильно выпуклые функции
• 1.5 Метод Ньютона для оптимизации функций
• 1.5.1 Метод Ньютона для нахождения экстремумов
• 1.5.1 О решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах с помощью метода Ньютона
• 1.6 Математический аппарат для оценки меры нечёткость множеств кредитоспособности предприятия
• 1.7 Математические модели искусственных нейронных сетей
• 1.7.1 Функции активации нейронной сети
• 1.7.2Архитектура (типы) нейронных сетей: Многослойный персептрон
• 1.7.3 Алгоритм обратного распространения (back propagation)
• 1.8 Однокритериальные и многокритериальные задачи (принятия решения) оптимизации о возможности выдачи кредита
• 1.8.1 Задачи однокритериальной оптимизации
• 1.8.2 Задачи многокритериальной оптимизации
• Выводы к главе 1
• Глава 2. Разработка математических моделей оценки кредитоспособности предприятий на основе модели Альтмана
• 2.1 Аппарат нечётких множеств, имитационного моделирования, и среднеквадратичное интегральное приближение как инструменты оценки кредитоспособности предприятия, порождаемых различными моделями (пятифакторной моделью Альтмана)
• 2.1.1 Задача интегрального среднеквадратичного приближения множеств Альтмана полиномом достаточно высокой n-й степени
• 2.1.2 Функция принадлежности
• 2.1.3 Меры нечёткости множеств
• 2.1.4 Меры нечёткости множеств
• 2.1.5 Примеры использования модели
• 2.1.6 Имитационное моделирование
• 2.2 Метод Ньютона для нахождения экстремумов функционалов
• 2.2.1 Теорема о сходимости метода Ньютон
• 2.2.2 Тестовые примеры для анализа сходимости модификаций метода Ньютона
• 2.2.3 Влияние параметра регуляризации
• 2.2.4 Минимизация функционала
• 2.3 Выводы к главе 2
• Глава 3. Разработка математической модели принятия решения на основе модели Бивера
• 3.1 Определение значимости показателей и рисков в методике Бивера оценки финансового состояния предприятия с помощью моделей математической оптимизации
• 3.2. Принятия решения кредитором о возможности выдачи кредита предприятию в многокритериальных условиях оптимизации
• 3.3 Модель системы оценки кредитоспособности с помощью нейросетевых технологий с обучающими параметрами Бивера
• 3.4 Реализация программных комплексов для анализа финансового состояния при оценке кредитоспособности предприятия о возможности принятия решения выдавать кредита
• 3.4.1 Программный комплекс (Sini-Don)
• 3.4.2 Программный продукт (PDMSC)
• 3.4.3 Программный продукт (PVRisk)
• 3.5 Выводы к главе 3
• Заключение
• Список литературы
• Приложение
• Введение
• Актуальность и степень разработанности темы. Надёжная оценка кредитоспособности предприятия представляет собой сложную, ответственную и рисковую задачу для кредитующей организации (банка). В настоящее время математические методы и модели оценки кредитоспособности предприятия представляют собой важный инструмент кредитующей организации (банка) и для самого предприятия. Они позволяют кредитующим организациям (банкам) тщательно оценивать способности и возможности финансового состояния исследуемого предприятия перед принятием решения о возможности выдачи кредита. Абсолютно надёжных методов не существует, но распространение получили математические методы оценки Альтмана и Бивера, которые допускают дальнейшее совершенствование и повышение достоверности даваемых ими оценок. Предприятия, перед обращением в банк за кредитом, как правило, сами оценивают финансовое состояние своей деятельности.
• С другой стороны, при выдаче кредита, каждый банк имеет свои собственные методики оценки кредитоспособности и модели принятия решений, ускоряющие работу лица, принимающего решение (ЛПР). Оценка кредитоспособности с применением современного математического аппарата и программных средств недостаточно рассматривалось в научных исследованиях. Следовательно, тему диссертационной работы, сформулированную в рамках вышеуказанной проблемы, и результаты диссертационной работы, направленные на решение поставленных задач, следует признать актуальными и практически значимыми.
• Анализы, построения и разработки математических моделей и методик в области кредитования достаточно представлены в значительных многих исследований разных российских и зарубежных ученых. Выделяются в среди западных учений, таких как Харриган Д., Альтман Э., Бивер В., Голдер М., Смитир Р., Таффлер Р., Лис Р., Спрингейт Г.,Чессер Р., Тишоу Г., Дюран Д., Хикман В., и др. Значительный большой вклад в исследовании понятия и анализа проблемы оценки финансового состояния включая оценки кредитоспособности и прогнозирования банкротства в российской литературе внесли Бердникова Т.Б., Давыдовой Г.В., Грачева А.В., Ендовицкого Д.А., Донцовой Л.В., Беликова А.Ю., Зайцевой О.П., Ендовицкой А.В., Ковалева В.В., Кадыкова Г.Г., Коваленко А.В, Никифоровой Н.А., Савицкой Г.В., Патласова О.Ю., Сайфулина Р.С., Сергиенко О.В., Федотовой М.А., Стояновой Е.С., Фомина П.А., Калайдина Е.Н., Недосекина А.О., Давниса В.В., Булгоковы И.Н. и др. В ряде исследований отмечается, что в области кредитования, при оценке возможности принятия решения не существует идеальных количественных методов анализа проблемы оценки кредитоспособности предприятии. Все существующие методы дают лишь приблизительную оценку и большинство из них опирается только на дискриминантный анализ, что при мощности современного математического аппарата, считается в анализе комплексной системы кредитования недостаточно надёжным, с разных точек. Поэтому специалистам кредитующей организации (банка), иногда, бывает затруднительно оценить достоверную кредитоспособность заёмщика. В связи с этими фактами, необходимы дальнейшие исследования, позволяющие разработать более достоверные методики оценки кредитоспособности изучаемых предприятий на основе различных математических аппаратов, в частности на основе оптимизационных методов.
• Актуальность указанной научной проблемы состоит в недостаточной математической разработанности процедуры оценки кредитоспособности и финансового состояния предприятия-заемщика, методик принятия решения о возможности выдачи кредита. Недостаточная надёжность в практическом применении существующих методик в условиях современной экономики предопределили выбор данной темы.
• Цель работы диссертации: Совершенствование математических моделей Альтмана и Бивера методами математической оптимизации и построение математических моделей, численных алгоритмов и комплексов программ для повышения надёжности оценки кредитоспособности предприятия.
• Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
• 1.В области математического моделирования:
• *Усовершенствована и исследована математическая модель достоверной оценки кредитоспособности предприятия, основанную на известной пятифакторной модели Альтмана, с использованием оптимизации, среднеквадратичного интегрального приближения, теории нечётких множеств и имитационного моделирования;
• *Предложена и исследована новые численные оптимизационные методы определения долей показателей в однокритериальном портфеле Бивера, при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля был бы минимальным;
• *Усовершенствована оптимизационная математическая модель принятия решений о кредитовании в условиях многокритериальной оптимизации портфеля Бивера;
• 2. В области численных методов:
• *Обобщён приближенный численный метод Ньютона для поиска оптимума на классе сильно выпуклых функций путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге; доказана теорема о сходимости предложенного процесса метода Ньютона.
• 3.Разработаны комплексы программ, реализующих численные решения впервые поставленных оптимизационных задач: «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заемщика (Sini-Don)» предназначена для прогноза будущего финансового состояния рассматриваемого предприятия; «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)» предназначена для оценки кредитоспособности предприятий при использовании методики предсказания банкротства предприятия (модели Альтмана) на основе нечётких множеств и математического имитационного моделирования; «Программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisK)» предназначена для определения доли (значимости) показателей Бивера меру рисков в портфеле, образованном этими же коэффициентами, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля (риск) при оценке кредитоспособности исследуемого предприятия.
• Объектом исследования являются методы Альтмана и Бивера оценки кредитоспособности предприятий.
• Предметом исследования является аппарат математического моделирования, теория нечётких множеств, методы оптимизации применённые к оценке кредитоспособности предприятия.
• Методология и методы диссертационного исследования являются фундаментальные разработки российских и зарубежных учёных по методам математического и имитационного моделированию, теории численных методов, теории нечётких множеств, анализу финансового состояния предприятия, нейросетевым технологиям, теории математической оптимизации и теории принятия решений для достижения поставленных задач. Для численных расчетов, в рамках данного исследования, использованы прикладные программные пакеты: Statistica 10 (STATISTICA Automated Neural Networks) и Mathcad 15.
• Научная новизна диссертационного исследования состоит в совершенствовании математических моделей Альтмана и Бивера, при анализе его финансового состояния для принятия обоснованного решения о возможности выдачи кредита. Разработка численных методов и алгоритмов для реализации построенных моделей, соответствующих комплексов программ, обладающих новыми возможностями по сравнению с существующими.
• Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных автором:
• В области математического моделирования:
• 1.Усовершенствована, получившая широкое распространение, математическая пятифакторная модель Альтмана. Усовершенствования коснулись следующего: 1) Дискретные значения вероятностей банкротства в модели Альтмана заменены на непрерывные путём привнесения в модель функции наилучшего интегрального приближения 2) Для оценки степени принадлежности значений вероятностей множествам Альтмана, применяется теория нечётких множеств 3) Для демонстрации возможностей внесённых усовершенствований использовано имитационное моделирование.
• 2.Разработаны новые оптимизационные подходы для минимизации рисков, путём определения долей показателей в однокритериальной модели Бивера. Предложена методика определения значимости показателей и рисков при использовании методики в виде портфеля, позволяющая минимизировать среднеквадратическую ошибку оценки эффективности портфеля.
• 3.Предложены новые оптимизационные подходы для минимизации рисков в многокритериальной модели Бивера, основанных на свертке критериев.
• В области численных методов:
• 4.Для реализации численных оптимизационных методов построены целевые функции на основе метода внешних штрафных функций. Для оптимизации целевых функций используется метод Ньютона.
• 5.Теоретически обобщён известный модифицированный метод Ньютона для решения систем уравнений на класс задач отыскания экстремума путём специального выбора итерационного параметра на каждом итерационном шаге для расширения области сходимости.
• В области создания комплексов программ:
• 6.Разработаны комплексы программ «Программный комплекс для прогноза кредитоспособности предприятия-заёмщика (Sini-Don)», «Программа для принятия решений по оценке кредитоспособности предприятий (PDMSC)», «Программа оценки финансового состояния предприятия (PVRisK)», реализующие новые численные решения, выше указанных проблем для достоверной оценки кредитоспособности предприятия.
• Научная и практическая значимость заключается в возможности применения кредитующими организациями (коммерческими банками) и предприятиями-заемщиками усовершенствованных математических моделей Альтмана и Бивера достоверной оценки кредитоспособности предприятий для повышения обоснованности принятия решения о возможности выдачи кредита. Результаты, представленные в диссертационной работе, могут быть базой для дальнейших научных исследований в области математического моделирования экономических процессов. Изложенный в диссертации материал по применению оптимизационных методов может служить частью спецкурсов по построению математических моделей реальных процессов. Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности и доступен другим пользователям.
• Достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов обоснованы строгой математической постановкой проблемы, применением точных методов современных информационных технологий (математических пакетов программ), правильным использованием численных методов. Результаты расчётов коррелируют с результатами разных вычислительных экспериментов других авторов.
• Основные положения, выносимые на защиту:
• 1.Развитие пятифакторной модели Альтмана для оценки кредитоспособности предприятия
• 2.Новый оптимизационный подход к численной оценке рисков и значимости коэффициентов Бивера
• 3.Новые методы построения и алгоритмы принятия решений о возможности выдачи кредита предприятию, основанные на свертке критериев
• 4.Обобщение модификации метода Ньютона с методом продолжения по параметру на задачи отыскания экстремума для класса сильно выпуклых функций
• 5.Комплексы программ, реализующих результаты математического моделирования.
• Апробация диссертационного исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на следующих конференциях: международной научной конференций «Экономика и менеджмент» (г. Паттайа, Бангкок, 2012 г.); международной научно-практической конференции «Экономическое развитие России в условиях глобальной нестабильности: тенденции и перспективы» (г. Сочи, Краснодар, 2013 г.); международной конференции IV «Современные концепции научных исследований» (г. Москва, 2014 г.); конференции International Research Journal Conference VII ( г. Екатеринбург, 2015 г.).
• Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По теме диссертации опубликовано 17 научных трудах, в том числе 13 статьях из них 7 - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК. 1 - в иностранном журнале с высоким импакт-фактором (на рецензии в журнале). Получены три (3) свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Глава 1. Литературный обзор математических методов, применяемых для оценки кредитоспособности предприятий

При анализе различного рода социально-экономических процессов широко используется методы математического моделирования [1], [39], [49], [45], [73].

При моделировании разных экономических процессов достаточно широко используются методы оптимизации [45], [35].

В данной главе проделан критический обзор существующих моделей (зарубежные и российские) оценки кредитоспособности включая банкротства и финансового состояния предприятий, показаны их достоинства и недостатки. Некоторые недостатки моделей можно устранить применением математического аппарата.

В данной главе также приведены основные теоретические понятия, которые используются в исследованиях поставленной проблемы. Приводимые понятия относятся к различным разделам прикладной математики и экономики, оптимизации, математического моделирования, численных методов, теории нейросетвых технологий, теории принятия решений.

1.1 Анализ существующих моделей (зарубежных и российских) оценки кредитоспособности включая банкротства и финансового предприятий

На различных этапах жизненного цикла, предприятия часто сталкиваются с необходимостью финансирования своей деятельности. Необходимость в финансировании связана с процессами их развития и инвестиционным финансированием. Поэтому они вынуждены обратиться к рынкам капитала и/или использованию банковского финансирования в краткосрочной, среднесрочной или долгосрочной перспективе. Однако большинство предприятий не имеют доступа к рынкам капитала. Поэтому они вынуждены прибегать к кредитам и банковским услугам для финансирования своей деятельности. [104]

Выдача кредита предприятиям всегда несёт определённый риск для кредитующей организации (банка). Поэтому кредитующей организации необходимо иметь полную информацию о степени своего риска, а также необходимо, оценить способность заёмщика вернуть полученные кредиты с представленными процентами. [40].

Оценка кредитоспособности может рассматриваться как одна из важных теоретических и практических научных проблем экономики. Она занимает важное место среди проблем математического моделирования «трудноформализуемых» объектов. Термин «трудноформализуемый» объект, обычно, обозначает систему, взаимодействующую с человеком, где важен «человеческий фактор». Например, такие системы как социальные и экономические системы. Оценка кредитоспособности представляет собой комплексную проблему математического моделирования [85].

Чтобы уменьшить влияние «человеческий фактор» для оценки кредитоспособности предприятия, стремится использовать количественные, объективные оценки, дополненные качественными показателями или суждениями экспертов.

В научной литературе имеется ряд количественных методик, математических моделей диагностики вероятности наступления банкротства коммерческих организаций. Среди этого ряда существуют два основных подхода оценки кредитоспособности предприятия включая вероятности банкротства:

-первый подход основан на финансовых данных и включает ключевые количественные показатели. Такой подход представляет собой дискриминантные регрессионные модели.

-второй относится к прогнозированию банкротства, основанный на статистических изменениях показателей обанкротившихся предприятий и сравнении с данными исследуемых компаний.

В этих основных подходах ключевым является выбор оптимально значимых финансовых показателей, обеспечивающих требуемую достоверность и надёжность оценки кредитоспособности [70].

С целью повышения достоверности надёжности оценки в последнее время многими учёными было разработано значительное количество различных математических моделей, дающих количественные оценки. Среди учёных выделяются некоторые зарубежные, такие как: У. Бивер, Э.Альтман, Р. Таффлер, Д. Фулмер, Г. Тишоу, Ж. Коннан, М. Гольдер, Г. Дж. Ольсон, Стрингейт, Р. Лисс, А. Стрикленд и другие. [99], [93], [80], [81], [110], [114], [122]. В России ученые Р.С. Сайфуллин и Г.Г. Кадыков адаптировали модель «Х-счет» Э. Альтмана к российским реалиям. О.П. Зайцева, Р.С. Сайфуллин и Г.Г. Кадыков разработали новые модели для российских предприятий [33], [10].

В работах М.А. Федоровой [79], В.Е. Гаврилова, Л.Т. Гиляровской и А.А. Вехоревой [23], [24], В.В. Витрянского, С. Зинценко, Н. Лившица, В. Лопача, О. Никитина, Ю. Свита и др. подробно рассматриваются основные критерии и методы оценки кредитоспособности и вероятности банкротства предприятий, а также анализируются количественные и качественные показатели, влияющие на финансовую устойчивость предприятий. [78], [20], [10], [23].

Основными значимыми зарубежными и российскими методами и моделями оценки кредитоспособности, финансового состояния и вероятности банкротства предприятий являются: модель R-счет [89], модели Альтмана [94], модель системы Бивера [99], модель Фулмера [110], метод скоринга Credit-Men Депаляна, модель Спрингейта, модель Z-счета Лисса [ : …], модель Тоффлера-Тисшоу [123], модель Чессера [101], Французская рейтинговая оценка кредитоспособности, метод оценки финансового состояния Ван Хорна, [97], модель Сайфуллина и Кадыкова [89], модель Зайцевой [33], модель учёных Иркутской экономической академии, методика оценки Савицкой [72], модель ученых Московского университета печати, модели ученых Нижегородского Национального исследовательского университета, векторная модель, и другие [40].

Несмотря на наличие многочисленных моделей, существуют разные точки зрения на оптимальное использование количества показателей при оценке кредитоспособности. Например, существуют двухфакторная, четырехфакторная, пятифакторная, девятифакторная модели и т.д. При этом многие ученые согласны с тем, что можно выделить следующие основные модели оценки кредитоспособности предприятия: модель Альтмана, модель Бивера, рейтинговые модели, нейронные сети, оптимизационные модели, [99], [93], [94], [80].

Оптимизационные модели основываются на методах математического программирования, позволяющих уменьшить вероятность ошибки кредитующей организации при принятии решения о возможности выдачи кредита и максимизировать прибыль (ожидаемые доходы) с учетом различных ограничений при представлении кредита [70].

Модель Альтмана. Американский ученый Эдварда Альтмана разработал впервые в 1968 г. Z-модель Альтмана [93], [94], [80]. Данная модель была предназначена для анализа крупнейших предприятий, акции которых котируются на бирже. Модель Альтмана является линейной функцией, зависящей от основных финансовых показателей предприятий.

Наибольшее распространение получил пятифакторный метод Альтмана (-модель), который, применительно к экономике Европы и США, имеет вид [93], [94]:

, (1.1)

где , , , , , , вычисляются на основе расчеты следующих показателей: - собственный оборотный капитал, - сумма активов, - нераспределенная прибыль, - прибыль до уплаты процентов, - рыночная стоимость собственного капитала, - заемный капитал и - объем продаж. Веса при коэффициентах рассчитывались с помощью множественного дискриминантного (MDA) анализа применительно к экономике Европы и США.

· При вероятность банкротства предприятия ,

· при ,

· при ,

· при видно что вероятность банкротства предприятия достаточно мала ( при ) и приблизительно стремится к нулю.

Модель Альтмана имеет ряд достоинств: простата применения при наличии малой информации; способность классифицировать предприятия на четыре класса: 1) «возможность банкротства высокая», 2) «возможность банкротства высокая», 3) «возможность банкротства небольшая» и 4) «возможность банкротства маленькая»; возможность сравнивать значимость показателей [54], [70].

Но при этом, её недостатки заключаются в том, что она не может применяться к любым предприятиям (применяется исключительно для крупных предприятий, чьи акции котируются на бирже). Сопоставление данных, полученных для ряда стран, показывает, что веса в - свёртке и пороговый интервал сильно разнятся не только от страны к стране, но и от года к году в рамках одной страны [12].

Модели Альтмана не обладают устойчивостью к вариациям в исходных данных. Даже если предположить, что статистика, на которую опирается Альтман и его последователи, репрезентативна, то она, как минимум, не обладает важным свойством - статистической однородности выборки событий [54].

Результаты, полученные с её помощью, с трудностью интерпретируются её выводы не всегда надёжны [36], [75], потому что один из наиболее существенных недостатков метода Альтмана является дискретность вероятности банкротства p(z) от величины z и наличие промежутков между множествами Альтмана, в которых нет возможности точно количественно выразить вероятность. В данной работе предлагается усовершенствовать теорию Альтмана, путём привнесения в неё функции среднеквадратичного сглаживания и применение нечётких функций для более точного решения вопроса об отнесении предприятия к одной из 4 групп.

Модель Бивера. Помимо формулы Э. Альтмана применяются другие методы анализа финансового состояния и рейтинговой оценки предприятий. Известный финансовый аналитик У. Бивер предложил систему показателей для оценки финансового состояния предприятия в целях диагностики банкротства [99]. Величину существующей возможности банкротства предприятия можно также приближенно оценить по пятифакторной модели Бивера, основанной на расчёте следующих показателей работы предприятия [99]: - чистая прибыль, - амортизация производственных фондов, - заёмный капитал, - оборотные активы, - краткосрочные обязательства перед юридическими и физическими лицами, - собственные оборотные средства, - внеоборотные активы. На основе значений показателей , вычисляются значения коэффициента Бивера - , коэффициента текущей ликвидности - , коэффициента рентабельности активов - , коэффициента финансовой зависимости - , коэффициента собственных оборотных средств в активах - .

Коэффициенты определённы У. Бивером для трех видов компаний: благополучных, обанкротившихся в течение года, ставших банкротами с течение пяти лет. На основе значений , делается вывод о возможности банкротства исследуемого данного предприятия. В модели Бивера не рассматриваются весовые коэффициенты, что не определяет значимости коэффициентов и не даёт возможность определить какой из них влияет в больше степени на возможное банкротство [100].

Для благополучных компаний (первая группа) , , , , ; для компаний за 5 лет до банкротства (вторая группа) , , , , ; для компаний за 1 год до банкротства (третья группа) , , , , [99].

Достоинством пятифакторной модели Бивера является использование наиболее значимых показателей активов предприятия и выявлении сроков наступления банкротства предприятия. Но при этом, она имеет следующие недостатки: отсутствие весовых коэффициентов, характеризующих значимости показателей Бивера, с трудностью интерпретируются её итоговые результаты при исследовании [70]. Портфель - это совокупность различных инвестиционных инструментов, которые собраны воедино для достижения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В данной работе портфель означает совокупность различных показателей. Под доходностью , мы понимаем линейную комбинацию параметров Бивера. Параметры Бивера меняются во времени.

Предположим, что являются случайными величинами во времени, имеющих среднее квадратичное отклонение . Сформируем «портфель» из коэффициентов . Пусть - вес или коэффициент значимости (доля коэффициента ) в линейная комбинация параметров Бивера , «эффективность портфеля» , где , , .

До сих пор не отсутствуют работы, в которых рассматривался бы вопрос о значимости коэффициентов с помощью оценки при которых риск допустить среднеквадратическую ошибку в оценке эффективности портфеля, был бы минимальным. Данная методика позволяет эксперту получить дополнительную информацию о кредитоспособности исследуемого предприятия и сделать более обоснованный вывод о его финансовом состоянии.

Таким образом, выявленные недостатки ставят вопрос о необходимости построения новых или усовершенствования существующих моделей оценки кредитоспособности с достаточной степенью достоверности на основе современных условий с простой интерпретацией и по мере возможности с меньшими недостатками. Многочисленные модели оценки кредитоспособности предприятий подтверждают важность разработки достоверной оценки финансового состояния исследуемого предприятия.

В связи с этим в данном диссертационном исследовании в дальнейшем необходимо усовершенствовать существующие математические модели оценки кредитоспособности и прогнозирования возможной вероятности банкротства предприятий для принятия решения о возможности выдачи кредита с помощью математического аппарата. Оценка кредитоспособности предприятия при анализе его финансового состояния и вероятности банкротства является актуальной, практически значимой и важной научной проблемой в современных условиях, главы 2-3 данной диссертации посвящены её решению.

1.2 Среднеквадратичное приближение

Для того чтобы сгладить дискретные функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось среднеквадратичное интегральное приближение многочленом разных степеней.

Известно, что последовательность интерполяционных многочленов по равноотстоящим узлам не обязательно сходится к функции, если даже функция бесконечно дифференцируема. Для приближаемой функций с помощью подходящего расположения узлов удаётся снизить степень полинома. [11]. Структура функций Альтмана такова, что удобнее использовать приближение функции не с помощью интерполяции, а с построением наилучшего среднеквадратичного приближения в нормированном линейном пространстве. Рассмотрим основные понятия и сведения при построении наилучшего приближения [11]. Задачи приближения и оптимизации ставятся в линейных нормированных пространствах.

1.2.1 Метрические и линейные нормированные пространства

К наиболее широким понятиям математики относятся «множество» и «отображение». Понятие «множество», «набор», «совокупность», «семейство», «система», «класс» в нестрогой теории множеств считаются синонимами.

Термин «оператор» тождествен термину «отображение». Термины «операция», «функция», «функционал», «мера» - частные случаи понятия «отображение» [50].

Термины «структура», «пространство» при аксиоматическом построении математических теорий также приобрёл в настоящее время основополагающую значимость. К математическим структурам принадлежат теоретико-множественные структуры (упорядоченные и частично упорядоченные множества); абстрактно-алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца, тела, поля, алгебры, решетки); дифференциальные структуры (внешние дифференциальные формы, расслоенные пространства) [43], [37], [76], [91], [16], [17], [50].

Под структурой понимается конечный набор, состоящий из множеств носителя (основное множество), числового поля (вспомогательное множество) и отображение, заданных на элементах носителя и числах поля. Если в качестве носителя взято множество комплексных чисел, то оно играет роль и основного, и вспомогательного множества. Термин «структура» тождественен понятию «пространство» [50].

Чтобы задать пространство, необходимо прежде всего задать множество-носителя со своими элементами (точками), обозначаемых латинскими и греческими буквами

В качестве носителя могут выступать множества элементов действительных (или комплексных): чисел; векторов, ; Матриц, ; Последовательностей, ; Функций ;

В качестве элементов носителя могут выступать также множества: действительной оси, плоскости, трёхмерного (и многомерного) пространства, перестановки, движения; абстрактные множества.

Определение. Метрическое пространство есть структура, образующая тройку , где отображение есть неотрицательная действительная функция двух аргументов для любых x и y из M и удовлетворяющая трём аксиомам.

1- - неотрицательность ; , при .

2- - симметричность;

3- - аксиома рефлексивности.

где - это расстояния между элементами .

В метрическом пространстве задаётся метрика и формируется понятие о близости двух элементов из множества носителя.

Определение. Действительное линейное (векторное) пространство есть структура , где отображение - аддитивная операция сложения элементов, принадлежащих , а отображение - операция умножения числа на элемент из .

Операция означает, что для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый через , причем выполняются следующие аксиомы.

- коммутативное свойство.

- ассоциативное свойство.

В существует особый элемент, обозначаемый через такой, что для любого выполняется .

для любого существует , такой, что .

Элемент называется противоположным к и обозначается через .

Операция означает, что для любого элемента и любого числа определен элемент , обозначаемый через и выполняется аксиомы:

, .

.

.

.

Элемент (точки) линейных пространства называется также векторами. Аксиомами 1 - 4 задаётся группа (аддитивная), называемая модулем и представляющая собой структуру .

Если операция в структуре не подчиняется никакими аксиомам, то такую структуру называют группоидом. Эта структура предельно бедна; в ней нет ни одной аксиоме ассоциативности, то структура называется моноидом (полугруппа).

В структуре с помощью отображения и аксиомами 1-8 задаётся свойство линейности.

Итак, линейное пространство является групповым модулем, в структуру которого добавлена еще одна операция - умножения элементов носителя на число с 4 аксиомами. Если вместо операции задать наряду с еще одну групповую операцию умножения элементов с 4 аксиомами и постулировать аксиому дистрибутивности, то возникает структуру , называемая полем.

Определение. Линейное нормированное пространство есть структура , в которой отображение удовлетворяет следующие аксиомами:

1. причём тогда и только тогда, когда .

2. , .

3. , .

И так в всего 11 аксиом.

Например, если в структуру поля вещественных чисел , где - действительные числа, добавить модуль , , обладающий всеми тремя свойствами нормы, то поле вещественных чисел становится нормированным пространством

Распространены два способа введения нормы: либо путём явного задания интервального вида однородно-выпуклого функционала [17], [50], либо путём задания скалярного произведение [17], [50].

Пусть , тогда вид функционала можно задать бесчисленным количеством способов, меняя величину :

1. , .

2. , .

3. ,

………………..

q. .

…………….

?. .

Второй распространённый способ приём задания состоит в том, что в структуру пространства вводится ещё одного отображение (функция двух аргументов, обычно обозначаемое через и называемое скалярным произведением).

Определение. Евклидово пространство есть структура в которой скалярное произведение содержит норму и удовлетворяет аксиомам:

1. ;

2. ;

3. .

4. , причём тогда и только тогда, когда

В евклидовом пространстве норма порождается формулой

.

Из свойств 1 - 4 скалярного произведения следует, что выполняются все аксиомы нормы. Если скалярное произведение в виде , то норма будет вычисляться по формуле

Норму пространства невозможно задать с помощью скалярного произведения [17], [50].

В пространствах со скалярным произведением появляются такие качества, которые отсутствуют в линейных нормированных пространствах (ортогональность элементов, равенство параллелограмма, теорема Пифагора, тожество Аполлония, неравенство Птолемея [76]. Введение скалярного произведения даёт способы более эффективного решения задач аппроксимации.

Определение. Бесконечная последовательность элементов в линейном нормированном пространстве называется сходящейся по норме (просто сходящейся или имеющей предел в ), если существует такой элемент , что для любого найдется номер , зависящий от такой , что при выполняется

Определение. Последовательность элементов в называется фундаментальной, если для любого существует номер , зависящий от , что любого и выполняются (Треногин Колмогоров, Канторович , с 48)

Определение. Банаховым пространством называется такая структура, , в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме.

Определение. Гильбертовым пространством называется такая структура в которой любая фундаментальная последовательность сходится по норме, порождённой скалярным произведением.

1.2.2 Норма матриц

Линейные операторы в конечномерных пространствах представляют из себя конечной размерности матрицы. Множество матриц определённого типа образуют носитель линейного пространства и при выборе нормы, становится линейным нормированным пространством.

Определение. Под нормой матрицы понимается действительное число , удовлетворяющее условиям:

а) , причем тогда и только тогда, когда ;

б) ( - число) и, в частности, ;

в) ;

г)

норма называется канонической, если дополнительно выполняются следующие условия:

д) если , то , причём для скалярной матрицы имеем |;

е) из неравенства (A и В - матрицы) следует неравенство

. В частности, .

В дальнейшем для матрицы произвольного типа рассматривают главным образом три легко вычисляемые нормы [26]:

1. (m-норма);

2. (l-норма);

3. (-норма).

1.2.3 Наилучшие приближения в линейном нормированном и гильбертовом пространстве

Здесь представлена задача построения наилучшего приближения на абстрактном языке. Пусть является элементом линейного нормированного пространства . Необходимо найти наилучшее приближение этого элемента заданной линейной комбинацией независимых элементов [11]. Это означает что нужно найти элемент такой, что

(1.2)

Можно представить (1.2) следующим образом [11]:

.

Если существует такой элемент, то он является наилучшим приближением.

Теорема. Элемент наилучшего приближения в линейном нормированном пространстве существует.

Доказательство. Вследствие из неравенства треугольника (следствие соотношений)

Функция

является непрерывной функцией, зависящей от аргументов при любом . - евклидова норма . Функция непрерывна на и следовательно в некоторой её точке достигает свой нижней грани по сфере, причем , так как равенство противоречит линейной независимости элементов . Для любого справедлива оценка

.

Пусть . Функция непрерывна на шаре ; следовательно, в некоторой точке шара она достигает своей нижней грани . Вне этого шара выполняются отношения

.

Таким образом, вне этого шара

При всех возможных . Теорема доказана.

Элемент наилучшего приближения, вообще говоря, может быть несколько.

Пространство называется строго нормированным, если из условия

,

Следует , .

В случае строго нормированного линейного пространства элемент наилучшего приближения единственен.

В гильбертовом пространстве элемент наилучшего приближения существует и единствен, и задача его нахождения сводится к решению задачи системы линейных уравнений или решения оптимизационной задачи [11].

Для получения целевой функции реализуют минимум следующего выражения

Для нахождения точки минимума можно использовать оптимизационные методы или получить систему линейных уравнений. В точке минимума должны выполняться условия [11]. Имеем

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов , соответствующих элементу наилучшего приближения [11].

, (4)

Определение. Пусть функция ограничена снизу на множестве . Тогда число называют нижней гранью на , если 1) при всех ; 2) для любого сколь угодно малого числа найдётся точка , для которой . Если функция неограничена снизу на , то в качестве нижней грани на принимается . Нижнюю грань на обозначает через [37].

Если , то, очевидно, нижняя грань на совпадает с наименьшим значением этой переменой на , т.е. . Почеркнём, что всегда существует [37].

1.3 Выпуклые множества

Теория выпуклых множеств и выпуклых функций играет фундаментальную роль в теории и методах решения экстремальных задач.

Определение. Множество называется выпуклым, если для любых , и точка принадлежит при всех , . Иначе говоря, множество и выпукло, если отрезок , соединяющий любые две точки , из , целиком лежит в . [18]

Все пространство , очевидно, образует выпуклое множество. Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, удобно считать выпуклыми. Тогда из определения 1.3. непосредственно следует, что пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. [18]

1.4 Выпуклые функции

Рассмотрим основные понятия выпуклых функций, играющих важную роль в теории экстремальных задач.

1.4.1 Выпуклые функции одной переменной

Определение. Функция , определённая на отрезке , называется выпуклой на этом отрезке, если



при всех и всех , [18]

Когда пробегает отрезок , точки , на плоскости переменных пробегают хорду АВ, соединяющую точки и на графике функции . Поэтому неравенство (1) имеет простой геометрический смысл: график выпуклой функции на любом отрезке , находится не выше хорды, соединяющей точки графика и . Примерами функций, выпуклых на любом отрезке, могут служить функции , , [18], [39]

1.4.2 Выпуклые функции многих переменных

Рассмотрим некоторые определения и свойства выпуклых функций многих переменных.

Определение. Функция , определённая на выпуклом множестве , называется выпуклой на этом множестве, если

(1.3)

при всех и всех , .

Определение. Если в (1.3) при равенство возможно только при и , то функция называется строго выпуклой на [18].

Теорема. Пусть - выпуклое множество, а функция определена и выпукла на . Тогда всякая точка локального минимума одновременно является точкой глобального минимума на , причём множество выпукло.



Если строго выпукла на , то содержит не более одной точки минимума. [18].

Теорема. Пусть - выпуклое множество из , , пусть функция . Тогда для выпуклости на необходимо и достаточно, чтобы

(1.4)

При всех и всех [18].

Замечание. Условие (1.4) представляет собой условие не отрицательности квадратичной формы

на . Имеется следующий простой алгебраический критерий не отрицательности квадратичной формы [18] для того чтобы квадратичная форма при всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были неотрицательны. Напоминаем, что главными минорами матрицы называются всевозможные определители



где , [18].

1.4.3 Сильно выпуклые функции

Непрерывная выпуклая функция на выпуклом замкнутом множестве может не достигать своей нижней грани на этом множестве. Например, если , , , но при всех . Однако можно выделить подкласс выпуклых функций, для которых подобная ситуация невозможна [18].

Определение. Функция , определённая на выпуклом множестве , называется сильно выпуклой на , если существует постоянная такая, что

при всех и всех , . Постоянную называют постоянной сильной выпуклости функции на множестве [18].

Замечание. Очевидно, сильно выпуклая на функция будет выпуклой и даже строго выпуклой на . Примером сильно выпуклой функции на всем пространстве может служить функция [18]

,

Теорема. Пусть - выпуклое множество, . Тогда для сильной выпуклости на необходимо и достаточно существования константы такой, что

(1.5)

При всех и всех , принадлежащих под-пространству, параллельному аффинной оболочке множества (если , то (9) выполняется при всех ) [18].

В случае функции многих переменных при из условия (1.5) следует положительная определённость квадратичной формы на при всех . Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры

, ,

были положительны.

1.5 Метод Ньютона для оптимизации функций

Среди основных проблем вычислительной математики можно отметить задачи минимизации (максимизации) функций многих переменных (задачи оптимизации). Поиск минимума часто проводится при некоторых дополнительных ограничениях - условная оптимизация. Для численного решения таких задач используются итерационные методы [2], [18].

1.5.1 Метод Ньютона для нахождения экстремумов

Пусть - числовая ось, - некоторое множество из , - функция, определённая на множестве и принимающая во всех точках конечные значения. Примерами множеств из являются: отрезок , интервал , полуинтервалы , , где - заданные числа. Будем рассматривать задачу минимизации функции на множестве .

Определение 1. Точку называют точкой минимума функции на множестве , если для всех ; величину называют наименьшим или минимальным значением на и обозначают . Множество всех точек минимума на будем обозначать через

В зависимости от свойств множества и функции множество может содержать одну, несколько или даже бесконечно много точек, а также возможны случая, когда пусто. В тех случаях, когда , естественным обобщением понятия наименьшего значения функции является понятие нижней грани функции [18].

Определение. Последовательность называется минимизирующей для функции на множестве , если

.

Теорема. Пусть - замкнутое ограниченное множество из , функция непрерывна на . Тогда ограничена снизу на , множество точек минимума на не пусто, замкнуто и любая минимизирующая Последовательность сходится к [18].

Определение. Точка называется точкой локального минимума функция на множество со значением , если существует число такое, что для всех . Если при некотором равенство для возможно только при называют точкой строго локального минимума.

Заметим, что верхняя грань и минимизировать последовательность всегда существуют, а минимальное значение может не существовать. Если выполнены условия теоремы 1, то , , и любая минимизирующая последовательность сходится .

В задачах минимизации также можно различать задачи двух типов: в задачах первого типа ищется величина , а в задачах второго типа и какая-либо точка , где , - выпуклое замкнутое множество из (например, ).

Пусть - некоторое начальное приближение. Если известно -е приближение , то приращение функции в точке можно представить в виде

(1.6)

Возьмём квадратичную часть этого приращения

, (1.7)

и определим вспомогательное приближение из условий=

,(1.8)

Следующее -е приближение будем искать в виде

, (1.9)

В зависимости от способа выбора величины в (4) можно получить различные варианты метода (1.7) - (1.9), называемого методом Ньютона. Укажем несколько наиболее употребительных способов выбора .

1) В (1.9) можно принять

, (1.10)

В этом случае, как следует из (1.9), , , т.е. условие (1.8) сразу определяет следующее -е приближение. Иначе говоря,

, , (1.11)

В частности, когда , в точке минимума функции ее производная обращается в пуль, т.е.

(1.12)

Это значит, что на каждой итерации метода (1.7) - (1.10) или (1.11) нужно решать линейную алгебраическую систему уравнений (1.12) относительно неизвестной разности . Если матрица этой системы - невырожденная, то из (1.12) имеем

, (1.12)

Широко известный метод Ньютона для решения системы уравнений

, ,

представляет собой итерационный процесс [18].

, (1.13)

Где - матрица, -я строка которой равна .

Теорема: Пусть - сильно выпукла на , и. кроме того

, , .(1.14)

Пусть начальное приближение выбрано таким, что

(1.15)

где - постоянная, а - некоторая константа . Тогда последовательности , определяемая условиями (1.12), существует, сходится к точке минимума на , причем справедлива оценка

, (1.16)

Как видно из оценки (14) и как показывает практика, метод Ньютона (1.12) сходится очень быстро. Однако у него есть существенный недостаток: для него сходимости начальная точка должна выбираться достаточно близкой к искомой точке . Это требование в теореме 1 выражено условием (1.15), означающим, что .

Сравнение формул (1.12) и (1.13) показывает, что метод (1.12) решения задачи (1.6) в случае представляет собой известный метод Ньютона для решения уравнения (то есть равносильно решения системы линейного уравнения).

1.5.2 О решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах с помощью метода Ньютона

Необходимые условия экстремума функции позволяет вместо экстремумов находить точки, в которых градиент функции равен нулю.

В [51] представлен способ выбора итерационного параметра в методе Ньютона, для расширения его области сходимости при решении систем нелинейных уравнений в линейных нормированных пространствах.

Пусть в некоторой области G конечномерного линейного нормированного пространства задана функция . Рассмотрим систему нелинейных уравнений

(1.17)

Пусть дано такое, что множество принадлежит . Предположим, что уравнение (1.17) имеет единственное решение . Потребуем, чтобы в и в отображение f удовлетворяло следующим условиям для всех

а) ; б) в) г)

Отображения задаются формулами

Здесь - класс дважды дифференцируемых функций, , первая и вторая производные, линейное нормированное пространство матриц, билинейный оператор. В качестве нормы взята m-норма:

Известно, что при сформулированных условиях a) - г) существует область , содержащая , с любой точки которой метод Ньютона

(1.18)

сходится к корню, однако диаметр области мал; достаточные условия сходимости процесса (1.18), сформулированные в «Основах вычислительной математики», Б.П. Демидович, И.А. Марон [26], позволяют выделить в общем случае область c еще меньшим диаметром diam diam diam D₀, а сходимость итераций с произвольной точки не гарантируется.

Определим следующий итерационный процесс:

(1.19)

(1.20)

Теорема. Если выполняются условия а) г), то процесс (1.19), (1.20) для системы (1.17) с любой точки x₀ D₀ за конечное число шагов j=l приводит к начальному приближению , начиная с которого процесс (1.19), (1.20) совпадает с методом Ньютона (1.18) и сходится к корню .

Доказательство. Пусть в точке х_j, j=l, l=0,1,…, выполняется условие Все точки, для которых выполняется это условие, образуют множество, которое обозначим через и докажем, что Учитывая условие из (1.20), получаем и формула (1.19) на шаге j = l совпадает с формулой (1.18). Убедимся, что Запишем формулу Тейлора

(1.21)

где

, .

В силу условия б) определения нормы - m и леммы 2 (Б.П. Демидович, И.А. Марон «Основы вычислительной математики») [26], согласно которой

получим оценку, подставив выражение для в (1.21):

(1.22)

Так как , то имеет место , которое совместно с (1.22) приводит к соотношению _j+1 < _j < 1. Это означает, что . Из (1.6.6) также следует, что члены последовательности убывают быстрее, чем члены геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/4 и откуда . Последовательность {x_j} фундаментальна:

поэтому . В силу непрерывности f(x) имеем Следовательно, есть корень. Так как , то совпадает с . Из произвольности точки следует, что .

Пусть теперь , j = 0. В силу (1.19) (1.21) имеем



откуда вытекает оценка

Эта оценка показывает, что выполняется условие релаксации и поэтому все x_j, j 0 принадлежат D₀. Из оценки и условия г) следует, что последовательность убывает быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем

,

Следовательно, при некотором значении j = l знаменатель в (1.20) станет меньше единицы, а это означает, что Теорема доказана.

1.6 Математический аппарат для оценки меры нечёткость множеств кредитоспособности предприятия