Математичні моделі операційного менеджменту будівельного підприємства

 (2.3.1)

що отримав назву основного функціонального рівняння динамічного програмування, або основного рекурентного рівняння Белмана.

Із рівняння може бути отримана функція , якщо відомо функція . Аналогічно можна отримати , якщо відомо і т. д., поки не буде визначена величина , що представляє за визначенням максимальне значення показника ефективності процесу в цілому:

(2.3.2)

Розрішуючи рівняння для визначення умовного максимуму показника ефективності за кроків, починаючи з k-го, ми визначаємо відповідне оптимальне управління, при якому цей максимум досягається. Це управління також залежить від; будемо позначати його через і називати умовним оптимальним керуванням на k-му кроці. Основне значення рівняння , в якому реалізована ідея динамічного програмування, полягає в тому, що рішення вихідної задачі визначення максимуму функції змінних зводиться до вирішення послідовності n завдань, що задаються співвідношеннями, кожне з яких є завданням максимізації функції однієї змінної.

В результаті послідовного вирішення п приватних завдань на умовний максимум визначають дві послідовності функцій: - умовні максимуми і відповідні їм - умовні оптимальні управління. Зазначені послідовності функцій в дискретних задачах отримують в табличній формі, а в безперервних моделях - аналітично. Після виконання першого етапу (умовної оптимізації) приступають до другого етапу - безумовної оптимізації.

Якщо початковий стан задано, то безпосередньо визначають максимум цільової функції , а потім - шукане безумовне оптимальне управління по ланцюжку .

Якщо задано безліч початкових станів, то додатково вирішують ще одне завдання на максимум , звідки знаходять, а потім по ланцюжку - безумовне оптимальне управління.

В розглянутих рекурентних співвідношеннях наказують починати обчислення з останнього етапу і потім пересуватися назад до етапу 1. Такий метод обчислень відомий як алгоритм зворотного прогонки. Якщо розрахунки здійснюються в природному порядку проходження етапів, то такий метод обчислень відомий як алгоритм прямий прогонки.

Пріведем рекурентні співвідношення для цього випадку. Рівняння станів для прямого ходу зручно записувати у вигляді .

Введемо в розгляд умовні максимуми показника ефективності за k кроків, від 1-го до k-го включно, - величину. Повторивши наведені міркування, прийдемо до наступних систем рівнянь Беллмана:

(2.3.3)

В результаті рішення цих рівнянь отримаємо послідовності .Далі визначимо безумовне оптимальне управління по ланцюжку .

3 КОМПЛЕКС МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ОПЕРАЦІЙНОГО МЕНЕДЖМЕНТУ КП «АБУ»

3.1 Модель оптимального виробництва, збуту і зберігання продукції КП «АБУ»

Поудову моделі планування виробництва, збуту і зберігання продукції проведемо відповідно до алгоритму моделювання задач динамічного програмування в середовищі табличного процесора MS Excel. Для цього необхідно організувати на листі MS Excel таблиці вихідних даних.

- Вибір способу розподілу процесу управління на кроки.

Процес планування виробництва,збуту і зберігання продукції протягом n місяців дозволяє розглядати його як n-кроковий процес, тобто за номер k-го кроку виберемо номер k- го місяця

- Вибір параметрів, що характеризують стан системи на початку k-го кроку і перемінних управління на k-ом кроці.

Z - початковий стан системи - рівень запасу готової продукції на початок k-го місяця.

- кінцевий стан системи - рівень запасу готової продукції на кінець k

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

-го місяця.

- умовно - оптимальне управління на k-том кроці - обсяг продукції, виробленої в k-й місяць для забезпечення мінімально можливих витрат на виробництво, збут і зберігання продукції.

- Формулювання принципу Беллмана і складання цільової функції.

Принцип оптимальності Беллмана для поставленої задачі звучить так: оптимальний план виробництва для будь - якого місяця повинен мати ту властивість, що яким би не був запас готової продукції в попередні місяці, план для наступних місяців повинен бути оптимальним з точки зору мінімізації витрат на виробництво і збереження готової продукції.

Оскільки що необхідно знайти план виробництва продукції на n місяців, мінімізуючий загальні витрати на її виробництво і зберігання, то цільова функція запишеться у вигляді суми:

- Складання функціонального рівняння Беллмана.

Функціональне рівняння Беллмана дозволяє знайти умовно оптимальні значення цільової функції на попередньому кроці. Нехай - мінімальні витрати на виробництво і збереження продукції за k-й місяць, за умови, що рівень запасів на початок місяця складає z. Обчислювальний процес будемо виконувати за схемою зворотного ходу, за умови, що сумарні витрати в наступні місяці повинні бути мінімальні. Таким чином, рекурентне співвідношення Беллмана має вигляд:

де U - множина значень таких, що:

- фірма може виготовити не більш ніж А одиниць продукції;

- запас готової продукції не може перевищувати місткість складу В одиниць продукції.

Рівень запасів на кінець періоду повинен бути рівним нулеві і на n+1-ом кроці нічого не виробляється і не зберігається, тому функціональне рівняння Беллмана для останнього кроку приймає вигляд:

або:

Формула стану на k- том кроці

- Умовна оптимізація процесу

Умовна оптимізація проводиться послідовно для кроків з використанням оптимізаційних таблиць.

Таблиця 3.1.1 - оптимізаційна таблиця для k-го кроку

Значення - кількості продукції, що вироблена у k-тому місяці, визначаються з формули стану, тобто:

3.2 Модель оптимальної політики відновлення устаткування КП «АБУ»

Потрібно розробити на n років оптимальну політику заміни устаткування віку не старше t років, виходячи з умови максимізації очікуваного прибутку в плановому перуоді при наступних умовах:

- На аналізованому устаткуванні щорічно виробляється продукція загальною вартістю r(t);

- Устаткування вимагає щорічних експлуатаційних витрат u(t);

- Ліквідаційна вартість устаткування S(r).

У будь - який рік устаткування можна зберегти або продати по ліквідаційній вартості та купити нове за ціною Р, включаючи витрати на установку і запуск в експлуатацію.

Таблиця 2.3.1 - Вихідні дані: модель оптимальної політики відновлення устаткування

Алгоритм побудови моделі

Побудову моделі заміни устаткування проведемо відповідно до алгоритму моделювання задач динамічного програмування в середовищі табличного процесора MS Excel. Для цього необхідно організувати на листі MS Excel таблицю вихідних даних.

- Вибір способу розподілу процесу управління на кроки.

Внутрішня властивість процесу заміни устаткування дозволяє розглядати його як n-кроковий процес за тривалістю планованого періоду. За номер k-го кроку виберемо номер року планового періоду.

- Вибір параметрів, що характеризують стан системи на початку kго кроку ы перемынних управлыння на лму кроці.

t - початковий стан системи - вік устаткування на початку k-го кроку.

Умовно - оптимальне управління на k-му кроці - це або політика збереження устаткування, або - його заміна новим обладнанням для забезпечення максимально можливого загального прибутку в плановому періоді.

- Формулювання принципу Беллмана.

Принцип оптимальності Беллмана для поставленої задачі звучить так: оптимальна політика відновлення устаткування для будь якого планового періоду повинна мати ту властивість, що якою би не була політика у відношенні устаткування до даного моменту часу майбутня політика повинна бути оптимальна з точки зору максимізації загального прибутку.

- Складання функціонального рівняння Беллмана.

Обчислювальний процес будемо виконувати за схемою зворотного ходу, тобто оптимізацію почнемо з кінця планованого періоду.

Нехай на початок останнього року є устаткування віку t років. По розсуду менеджера може бути прийнято одне з наступних рішень:

- Зберігати устаткування;

- Продати його і купити нове.

Якщо устаткування зберегти, то за останній рік прибуток становитиме:

де r(t) - вартість продукції, зробленої за рік;

u(t) - річні експлуатаційні витрати.

Якщо устаткування продати по ліквідаційній вартості і купити нове, то прибуток під кінець року складе:

де S(t) ліквідаційні вартість устаткування;

Р - ціна нового обладнання;

r(0) - вартість продукції, зробленої новим обладнанням за рік;

u(0) - витрати, зв'язані з експлуатацією нового обладнання протягом року.

Оскільки планується діяльність в останньому році планового періоду, то відповідно до концепції динамічного програмування варто діяти так, щоб максимальний прибуток був отриманий в останній рік.

Заміняти устаткування буде вигідно лише в тому випадку, якщо дохід від експлуатації нового обладнання більше чим від старого, тобто якщо:

Нехай - максимально - можливий прибуток , що одержується на k- тому кроці, якщо рахувати від кінця,за умови, що спочатку k-го кроку є устаткування віку tроків і ми дотримуємо оптимальної політики.

k=n. Відповідно до концепції динамічного програмування необхідно діяти так, щоб останній рік сам по собі приносив максимально можливий прибуток. Функціональне рівняння для останнього кроку має вигляд:

k=n-1. Якщо до початку передостаннього кроку є устаткування tрокыв ы прийняте рышення зберегти його, то до кынйя цього кроку буде отриманий прибуток r(t)-u(t). За рік устаткування постаріє, і на початок останнього кроку буде мати вік (r+1) років.

Якщо у відношенні цього устаткування на останньому кроці дотримувати оптимальної політики, то додатково буде отримано прибуток . Таким чином, загальний прибуток за два останніх кроки, якщо устаткування прийнято зберегти, складе:

Якщо на початку передостаннього кроку прийняте рішення устаткування замінити, то витрати, зв'язані з продажем і придбанням нового обладнання складуть а прибуток від роботи на новому обладнанні

Під кінець року нове обладнання постаріє, і буде мати вік й рік, отже, оптимальна оптимальна політика в останньому році принесе прибуток . Таким чином, загальний прибуток за останні два кроки якщо устаткування прийнято замінити, складе:

Функціональне рівняння для передостаннього кроку має вигляд:

Міркуючи аналогічним чином, одержимо функціональне рівняння Беллмана для k-го кроку:

- Умовна оптимізація процесу.

Умовна оптимізація проводиться послідовно для кроків n, n1, n-2з використанням оптимізаційної таблиці. Відповідно до рівнянь послідновно визначаються значення умовно - оптимальних і перемінних управління.

Таблиця 2.3.2 - Оптимізаційна таблиця(загальний вид)

У розглянутій задачі послідовно оптимізуємо кроки

У результаті умовної оптимізації отримана таблиця 2.3.3. Щою у таблиці розрізняти в результаті, якої політики був отриманий максимальний прибуток, відхилимо заливанням осередку таблиці відповідним різним політикам.

Таблиця 2.3.3 - Оптимізаційна таблиця

- Безумовна оптимізація процесу.

Припустимо, що спочатку планового періоду є устаткування віку 4-х років і потрібно виробити оптимальну політику відновлення цього устаткування.

У таблиці 2.3.3 наи перетинанні рядка і стовпця t=4 читаємо значення максимального прибутку, рівне 80 грн, од. Знайдемо оптимальну політику, що забезпечує цей прибуток. Значення записане в області політик збереження. Це означає, що для досягнення в плановому періоді з 10 років максимального прибутку в 82 грн.од треба в першому році устаткування зберегти.

Протягом 1-го року устаткування постаріє на один рік, так що під кінець року його вік складе 5 років. Тепер необхідно діяти оптимально в періоді, що залишився, з 9 років з устаткуванням віку 5 років. На переинанні рядка і стовпця t=5 читаємо значення максимального прибутку, рівне 74 гр.од. Знайдемо оптимальну політику, яка забезпечує цей прибуток. Значення записане в області політик заміни устаткування. Замінивши устаткування і проробивши на ньому черговий рік, ми за 8 років до закінчення планового періоду будемо мати устаткування віку 1 рік. Тепер при наявності устаткування віку 1 рік потрібно діяти оптимально протягом 8 років. Продовжуючи міркувати таким же чином, послідовно знаходимо в області політик збереження,що означає, що й у 3-ем, і в 4-ом, і в 5-ом,і в 6-ом роках наявне устаткування треба зберігати. Діючи і далі оптимально, виявляємо, що знаходиться в області політик заміни устаткування. Отже, устаткування на 7-ом року рекомендується замінити новим. Далі знаходимо в області політик збереження. Значить на 8-ом, 9-ом, 10-ом кроках планового періоду устаткування замінятися не буде.

Розглянутий процес формування оптимальної політики відновлення устаткування можна зобразити символічно таким чином:

Таблиця 2.3.3 складена для десятилітнього планового періоду. Однак хід міркувань не зміниться, якщо буде потрібно скласти політику для планового періоду меншої тривалості.

ВИСНОВКИ

Різноманіття реальних ситуацій викликало необхідність розробки різних моделей управління запасами. Найважливішою характеристикою моделей управління запасами є попит.

Причини, які спонукають підприємства до зменшення запасів:

-.плата.за.фізичне.зберігання.запасів;

- відволікання грошових коштів, вкладених в них втрати від природних втрат;

- моральний знос.

Заміняти устаткування буде вигідно лише в тому випадку, якщо дохід від експлуатації нового обладнання більше чим від старого.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ:

1. Лахтионова Л. А. - Фінансовий аналіз суб'єктів господарювання: Монографія. - К.: КНЕУ, 2001. - 387

2. Белінський П.І. Менеджмент виробництва та операцій: Підручник. - К.: Центр навчальної літератури, 2005. - 624 с.

3..Василенко В.О., Ткаченко Т.І. Виробничий (операційний) менеджмент: Навчальний посібник. /за ред. В.О. Василенка. - К.: ЦУЛ, 2003. - 532 с.

4. Гэлловей Лес. Операционный менеджмент. Принципы и практика. - СПб, 2001. - 287 с.

5. Дилфорт Д. Производственный и операционный менеджмент. - Минск, 1995.

6. Козловский В.А., Маркина Т.В., Макаров В.М. Производственный и операционный менеджмент. Учебник. - СПб: «Специальная литература», 1998. -366 с.

Размещено на Allbest.ru