Особливості систем одночасних рівнянь

Размещено на http://www. аllbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1. Системи одночасних рівнянь

1.1 Основні положення

1.2 Приклади систем одночасних рівнянь

1.3 Структурна форма економетричної моделі

1.4 Повна економетрична модель

1.5 Приведена форма економетричної моделі

1.6 Поняття ідентифікації (ототожнення) системи рівнянь

Розділ 2. Практична частина

2.1 Побудова лінійної багатофакторної економіко-математичної моделі залежності фактору Y від факторів Xi

2.2 Аналіз на наявність мультиколінеарності згідно алгоритму Фаррара-Глобера

2.3 Оцінка достовірності моделі за критерієм Фішера та достовірності коефіцієнтів моделі за критерієм Стьюдента

2.4 Перевірка гіпотези про наявність гетероскедастичності

2.5 Знаходження прогнозу у точці Хпр

Висновки

Література

Додатки

одночасний рівняння алгоритм

Вступ

Багато економічних взаємозв'язків допускають моделювання одним рівнянням. Однак деякі економічні процеси моделюються не одним, а кількома рівняннями. Співвідношення між економічними показниками можуть мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв'язки між змінними описуються регресійними рівняннями, а детерміновані визначаються тотожностями й не містять невідомих параметрів.

У системах рівнянь через наявність прямих і зворотних зв'язків залежна змінна одного рівняння може бути незалежною змінною в інших рівняннях . Змінні, що стоять у лівій частині рівнянь, називаються ендогенними, причому їх кількість не перевищує загальної кількості всіх рівнянь. Інші змінні, що входять до моделі, називаються екзогенними. Наприклад, повна кейнсіанська модель доходу складається з двох співвідношень:

де Ct - витрати на споживання; Yt -- дохід; a₀, a₁ -- невідомі параметри; u_t - залишки моделі; Z_t - неспоживчі витрати (інвестиції).

Перше співвідношення - це регресійна функція споживання, а друге - тотожність доходу. Величина доходу Yt для першого рівнян-ня є незалежною змінною, для другого - залежною, а величина Ct - навпаки: у першому рівнянні вона є залежною змінною, у другому -незалежною. Для системи загалом змінні Yt і Ct є ендогенними, а змінна Zt - екзогенною.

Для систем одночасних рівнянь усі змінні, що можуть бути визначені із системи рівнянь, називаються ендогенними, причому їх кількість не перевищує загальної кількості рівнянь.

Для систем одночасних рівнянь усі змінні, які задаються за межами моделі або є заздалегідь відомими, називаються відповідно екзогенними або предетермінованими.

У розглянутій кейнсіанській моделі доходу величини Ct і Yt є ендогенними змінними, що визначаються всередині моделі. Змінна Zt задається (визначається) поза моделлю, отже, вона є екзогенною.

Із першого співвідношення цієї моделі видно, що змінна Ct залежить від доходу Yt і від залишків ut, а з другого співвідношення очевидна залежність доходу Yt від споживчих Ct і неспоживчих витрат Zt. Неважко помітити, що обидві змінні Ct і Yt можуть бути виражені через Zt і залишки ut.

Мета курсової роботи :

- розкрити поняття одночасного рівняння;

- визначення особливостей систем одночасних рівнянь;

- розглянути приклади;

- розглянути структурну та приведену форми системи рівнянь;

- розглянути методи оцінювання параметрів моделі.

Розділ 1. Системи одночасних рівнянь

1.1 Основні положення

Вимірювання тісноти зв'язку між змінними, побудови ізольованих рівнянь регресії недостатньо для пояснення функціонування складних економічних систем. Зміна однієї змінної не може відбуватися при абсолютній незмінності інших. Її зміна потягне за собою зміни у всій системі взаємопов'язаних ознак. Таким чином окремо взяте рівняння регресії не може характеризувати справжнє вплив окремих ознак на варіацію результуючої змінної. Тому в економічних дослідженнях важливе місце зайняла проблема опису структури зв'язків між системою змінних.[7]

Система одночасних рівнянь - це система економетричних рівнянь, що містить взаємозалежні змінні, які включені в одне з рівнянь моделі в якості результативної ознаки, а в інші рівняння - як факторної ознаки. Прикладом системи одночасних рівнянь може бути наступна гіпотетична модель:

Де е1 е2 -- випадкові помилки.

Ендогенні змінні - це взаємозалежні змінні, які визначаються всередині моделі (системи).

Як правило, кожне рівняння моделі визначає одну ендогенну змінну, що стоїть в лівій частині рівняння.

Таким чином, число рівнянь в системі дорівнює числу ендогенних змінних.

Екзогенні змінні або предетерміновані - це усі змінні, які задаються за межами моделі або є заздалегідь відомими.

У наведеній вище системі одночасних рівнянь Y1 і Y2 є ендогенними, a X1 і X2 - екзогенними змінними

Попереднє визначення перемінні - це екзогенні та лагові (за попередні проміжки або моменти часу) ендогенні змінні системи.

1.2 Приклади систем одночасних рівнянь

1. Повна кейнсіанська модель доходу складається з двох співвідношень:

де Ct - витрати на споживання; Yt -- дохід; a, -- невідомі параметри; u_t - залишки моделі; I_t - неспоживчі витрати (інвестиції).

Перше співвідношення - це регресійна функція споживання, а друге - тотожність доходу. Величина доходу Yt для першого рівняння є незалежною змінною, для другого - залежною, а величина Ct - навпаки: у першому рівнянні вона є залежною змінною, у другому -незалежною. Для системи загалом змінні Yt і Ct є ендогенними, а змінна It - екзогенною.

У розглянутій кейнсіанській моделі доходу величини Ct і Yt є ендогенними змінними, що визначаються всередині моделі. Змінна Zt задається (визначається) поза моделлю, отже, вона є екзогенною.

Із першого співвідношення цієї моделі видно, що змінна Ct залежить від доходу Yt і від залишків ut, а з другого співвідношення очевидна залежність доходу Yt від споживчих Ct і неспоживчих витрат Zt. Неважко помітити, що обидві змінні Ct і Yt можуть бути виражені через Zt і залишки ut.

Модель зображуе закриту економіку без державного втручання.
З моделі можна знайти значення Yt для будь-якого моменту часу.

Перші 2 доданки показують що сукупний рівень доходів залежить від постійної складової обсягу споживання і від обсягу інвестицій.
Якщо обсяг інвестицій зросте на 1, то сукупний дохід збільшиться на 1 / (1-в). Це мультиплікатор.

1. Модель “попит - пропозиція”.

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь, що використовується при моделюванні попиту та пропозиції в ринковій економіці, має вигляд

Припускається, що обсяг попиту qD і обсяг пропозиції qS певного товару в момент часу t є лінійними регресійними функціями від ціни цього товару pt у цей самий момент часу. Останнє співвідношення в цій моделі - функція рівноваги - є тотожністю.

Наявність випадкових відхилень ut і ut у даній моделі пов'язана передусім з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (прибутку споживачів, цін на супутні товари, цін на ресурси, податків тощо).

Зміна одного з цих факторів може відбитися на моделі. Наприклад, зростання прибутку споживачів може зсунути лінію попиту вгору (рис.) Це приприведе до зміни рівноважної ціни та рівноважної кількості.

[9]

Модель “попит - пропозиція” можна вдосконалити. Наприклад, якщо до функції попиту додати прибуток споживачів yt, дістанемо систему

2. Модель рівноваги на ринку товарів (модель IS).

Однією з можливих нестохастичних форм моделі IS (рівноваги на ринку товарів) є така модель:

де ct, yt, фt, it, gt, rt, y (d) t -- відповідно значення в момент часу t споживання (ct), національного доходу (yt), обсягу податків (фt), бажаного обсягу чистих інвестицій (it), процентної ставки (rt ), розміщеного прибутку (y(d)t), державних витрат (gt), у даному разі gt=gt= const.

Щоб отримати в явному вигляді співвідношення між процентною ставкою й рівнем прибутку при якому ринок товарів перебуває у стані рівноваги. Підставивши отримане співвідношення, дістанемо



3. Модель рівноваги на ринку грошей (модель LM).

Рівновага на ринку грошей задається таким співвідношення між процентною ставкою та рівнем доходу, при якому попит на гроші дорівнює їх пропозиції. Наведемо одну із нестохастичних форм такої моделі:

Співвідношення можна записати у вигляді

Співвідношення відоме як рівняння LM. Спільну модель IS-LM зображено на рис.

[9]

Точка перетину ліній IS і LM визначає співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому обидва ринки перебувають у стані рівноваги. Ця точка визначається як розв'язок системи рівнянь.[11]

1.3 Структурна форма економетричної моделі

Структурна форма економетричної моделі описує одно- та багатосторонні стохастичні причинні співвідношення між економічними величинами в їх безпосередньому вигляді. Вона містить усю суттєву інформацію про залежності між економічними явищами та процесами. Кожне співвідношення такої системи (рівняння чи тотожність) має певну економічну інтерпретацію. Структурні рівняння системи описують окремо економічні явища з урахуванням економічних, технологічних, демографічних, соціологічних та інших факторів, що спричинюють змінювання залежних змінних. Характерною особливістю структурних рівнянь є їх певна автономність щодо визначених змінних, оскільки зміна останніх в одному структурному рівнянні не обов'язково зумовлює зміну залежних змінних в інших рівняннях.

Для адекватного відображення реальної дійсності та повного охоплення економічних показників одночасними співвідношеннями в системах застосовують також тотожності - детерміновані залежності економічних величин. Тотожності не містять випадкових складових, а параметри їх заздалегідь відомі (найчастіше вони дорівнюють одиниці), тому вони не підлягають оцінюванню. Отже, справедливим буде таке означення.[7]

Економетрична модель, що відображає структуру зв'язків між змінними, називається структурною формою моделі. У загальному випадку структурна форма моделі має вигляд

де yt - вектор залежних (ендогенних ) змінних; xt - вектор незалежних (екзогенних ) змінних; ut -- вектор залишків, t = 1,2,..., T.

1.4 Повна економетрична модель

Економетрична модель називається повною, якщо:

а) вона охоплює змінні, що суттєво впливають на спільно залежні змінні, а вектор залишків має випадковий характер;

б) містить стільки рівнянь, скільки в ній є спільно залежних змінних, тобто кожна залежна змінна пояснюється окремим рівнянням;

в) система рівнянь має однозначний розв'язок відносно спільно залежних змінних, тобто матриця A в моделі (8.14) невироджена (має відмінний від нуля визначник): detA?0.

Повна модель застосовується у випадках, коли необхідно кількісно описати економічне явище чи процес або спрогнозувати їх розвиток.[3]

1.5 Приведена форма економетричної модел

Якщо економетрична модель застосовується не для аналізу системи, а для передбачення чи оцінювання параметрів, структурна форма моделі неприйнятна. Алгебраїчними перетвореннями систему структурних рівнянь зводять до форми, у якій кожне рівняння містить лише одну ендогенну змінну, яка є функцією від екзогенних змінних. Така форма рівнянь називається приведеною.[1]

Приведену форму рівнянь можна назвати скороченою. Це пов'язано з тим, що при певних перетвореннях багато окремих економічних залежностей можуть бути виключені з розгляду, а отже, загальна кількість рівнянь може скоротитися.

Внаслідок таких перетворень приведена форма рівнянь, на відміну від структурної, не має ні безпосередньої, ні будь-якої економічної інтерпретації. Рівняння у приведеній формі дають змогу передбачити, як зміниться значення ендогенної змінної, якщо змінюватимуться значення екзогенних змінних, однак на підставі цих рівнянь неможливо пояснити, як і чому це відбувається. Саме через це приведену форму рівнянь називають також прогнозною.

Отже, коли виникає питання про консультації чи практичні по-ради, системи рівнянь у приведеній формі особливо корисні, оскільки дають змогу формальну модель звести до мінімальної кількості співвідношень. Звичайно, приведена модель матиме цінність, якщо правильною є початкова структурна модель.

Зокрема, якщо економетрична модель повна, то її залежні змінні можна представити в явному вигляді як функції від спільно незалежних змінних, розв'язавши її відносно вектора залежних змінних yt. Це можливо, оскільки за означенням матриця A такої моделі є не виродженою; після множення системи (8.14) на її обернену матрицю отримаємо

При таких перетвореннях параметри приведеної форми стають функціями від параметрів вихідних структурних рівнянь і залишки такої моделі, очевидно, є лінійною комбінацією залишків структурної моделі.[8]

Увівши позначення vt = A -1ut , R = A -1B, отримаємо спрощений вигляд моделі:

У такій системі кожна залежна змінна визначається через незалежні змінні моделі, тобто система (8.16) є приведеною формою економетричної моделі.1.6. Поняття ідентифікації (ототожнення) системи рівнянь

Маючи дві форми системи одночасних рівнянь, необхідно визначити, яка з них краще підходить для оцінювання параметрів моделі. Передусім необхідно дослідити можливості застосування звичайного МНК до окремих рівнянь системи.

Для отримання незміщених і обгрунтованих оцінок параметрів регресійного рівняння за звичайним МНК необхідно виконати ряд передумов: залишки моделі мають бути випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням, зі сталими дисперсіями, некорельованими між собою та незалежними відносно ендогенних змінних моделі.

Нехай залишки моделі ut є випадковими, з нульовим математичним сподіванням, некорельовані між собою, мають однакові дисперсії для всіх спостережень, тобто задовольняють перші дві передумови застосування МНК. Перевіримо передумову відносно незалежності ендогенних змінних і залишків моделі, тобто переконаємося, що cov(Yt,ut) = 0 для будь-яких відхилень.[13]

Підставивши значення Q з першого рівняння моделі в друге, отримаємо співвідношення

розв'язавши яке відносно Yt, матимемо

Зазначимо, що коефіцієнт -- в останньому співвідношенні * 1-а1 У

є грошовим мультиплікатором, що визначає, на яку величину зростає

сукупний прибуток зі збільшенням обсягу інвестицій на одиницю.

Наявність коефіцієнта -- при ut свідчить про залежність між змінною Yt і залишками моделі. Дійсно, з маємо

В останньому співвідношенні враховано те, що М(ut) = 0, а також те, що змінна є екзогенною (незалежною) для даної моделі. Тоді різниця між становить

Отже,

Тут ми скористалися твердженням економічної теорії про те, що гранична схильність до споживання at перебуває в межах 0<а1 <1.

Отже, залишки моделі корелюють із залежною змінною, тому застосування звичайного МНК дасть зміщені та необгрунтовані оцінки параметрів моделі. В останньому можна переконатися, проаналізувавши оцінку ах параметра а^ рівняння (8.1), отриману за МНК.[14]

Щоб забезпечити необхідну якість оцінок параметрів (незміщеність, ефективність і обґрунтованість), намагаються на підставі оцінених параметрів скороченої (приведеної) форми системи рівнянь отримати оцінки параметрів структурної форми. Однак тут виникає проблема однозначних залежностей між параметрами: при поверненні від скороченої форми моделі до структурної (обернені перетворення) можна отримати єдине значення шуканого параметра чи кілька різних значень або взагалі не мати змоги отримати жодного.

Щоб передбачити можливі варіанти розв'язання задачі оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь, необхідно попередньо дослідити модель, а саме перевірити ідентифікованість системи. Під проблемою ідентифікації розуміють можливість чисельної оцінки параметрів структурних рівнянь за оцінками коефіцієнтів приведених рівнянь.

Економетрична модель, задана системою одночасних рівнянь, називається точно (строго) ідентифікованою (ототожненою), якщо однозначно можна отримати оцінки її параметрів на основі оцінених параметрів приведеної моделі.

Надідентифікованою (переототожненою) називається така модель, що для деяких її параметрів можна отримати кілька кількісних значень на підставі параметрів приведеної форми.

Крім того, модель може бути неідентифікованою (неототожненою). Це трапляється в тому разі, якщо кількість невідомих параметрів набагато перевищує кількість рівнянь, через які їх треба оцінити.

Отже, перехід від структурної до приведеної форми системи рівнянь хоча й дає змогу усунути проблему корельованості пояснюючої змінної та випадкового відхилення, однак призводить до іншої не менш серйозної проблеми -- проблеми ідентифікоеаності.

Щоб зрозуміти проблему ідентифікованості, необхідно усвідомити суть принципових розбіжностей між структурними та приведеними

рівняннями. Наприклад, у моделі “попит - пропозиція”

оцінки коефіцієнтів поведінкових рівнянь визначають функції попиту та пропозиції. Оцінюючи коефіцієнти приведених рівнянь, ми визначаємо точку перетину кривих попиту та пропозиції, тобто рівноважну ціну товару та його рівноважну кількість. Очевидно, обчисливши ці значення, неможливо відновити функції попиту та пропозиції, тому що через одну точку на площині можна провести нескінченно багато ліній.[12]

Побудуємо приведені рівняння для цієї моделі. Використавши умову рівноваги, отримаємо

Останнє рівняння, розв'язане відносно pt, має вигляд

випадкова складова.

Підставляючи знайдене значення pt у початкові рівняння, отримаємо

випадковий член.

Рівняння утворять систему приведених рівнянь. Однак система структурних рівнянь має чотири невідомих коефіцієнти. З курсу алгебри відомо, що для однозначного визначення k невідомих необхідно мати щонайменше k (незалежних) рівнянь. Отже, ми не зможемо однозначно визначити чотири коефіцієнти, маючи лише систему з двох рівнянь:

Неважко помітити, що, відкинувши випадкові залишки у приведених рівняннях, можна встановити значення pt = л0 та qt = X,, яке фактично визначає точку перетину кривих попиту та пропозиції (точку ринкової рівноваги). Але через одну точку можна провести як завгодно багато ліній (рис. . Тому для визначення конкретних прямих необхідна додаткова інформація, яку можна от-римати за рахунок екзогенних змінних, що входять до структурних рівнянь.

[3]

Наприклад, нехай до функції попиту додано ще одну пояснюючу (екзогенну) змінну yt - прибуток споживачів. Тоді модель “попит -пропозиція” матиме вигляд:

Таке доповнення до моделі дає деяку додаткову інформацію про поведінку споживача. Згідно з економічною теорією, для нормальних товарів a₂> 0 .

Прирівнявши обсяг попиту і обсяг пропозиції, матимемо

Прирівнявши ціну попиту та ціну пропозиції в точці рівноваги, отримаємо

Рівняння є приведеними. Застосувавши МНК, неважко знайти оцінки їх параметрів Х0, Ъ, Х2, Х3. Однак цього недостатньо для того, щоб оцінити п'ять параметрів а0, а1, а2, М1 початкової системи структурних рівнянь. Ми можемо визначити параметри р₀ і р₁ функції пропозиції системи:

Але а₀, а₁, а₂ визначити однозначно не можна. Отже, потрібно деяке довизначення. Зауважимо, що введенням пояснюючої змінної у функцію попиту (перше рівняння системи ми визначили функцію пропозиції (друге рівняння цієї самої моделі).

Якщо у функцію пропозиції ввести пояснюючу змінну (наприклад, заздалегідь визначену змінну), виключивши при цьому з функції попиту змінну, що визначає прибуток, можна отримати конкретну функцію попиту при невизначеній функції пропозиції. Цей висновок обґрунтовується за аналогією з попередньо описаною схемою та рекомендується як вправа для самостійної роботи.[12]

Зазначимо, що якщо в кожне зі структурних рівнянь моделі “по-пит - пропозиція” поряд із ціною товару буде введено по одній по-яснюючій (екзогенно визначеній) змінній (наприклад, yt у функцію попиту й pt-1 у функцію пропозиції), то коефіцієнти структурних рівнянь можуть бути оцінені однозначно. У цьому разі модель буде однозначно визначеною, тобто ідентифікованою.

Розглянемо модель “попит - пропозиція” з кількістю екзогенних змінних, що перевищує кількість структурних рівнянь:

де змінна st - обсяг заощаджень до моменту часу t.

З умови ринкової рівноваги нескладно отримати такі приведені рівняння:

Для оцінки семи структурних коефіцієнтів а₀, а₁, а₂, а₃, р₀, p₁, р₂ у цьому разі отримано вісім рівнянь. Як наслідок, однозначне визначення структурних коефіцієнтів неможливе через суперечливість співвідношень. Наприклад, з (8.26) випливає неможливість визначення f1. Але це можливо лише за умови X6X2=X5IX1, що нереально, оскільки коефіцієнт p1, який міститься в усіх рівняннях для оцінки приведених коефіцієнтів, також недосконалий. У цьому разі маємо ситуацію пере-визначеності або надідентифікованості, тобто “занадто багато” інформації (обмежень) для визначення лінії доходу. Через суперечливість інформації неможливо отримати шуканий розв'язок.

У ситуації неідентифікованості “занадто мало” інформації, а тому існує кілька різних ліній, що задовольняють обмеження моделі.

Необхідні й достатні умови ідентифікованості

Щоб швидше формально визначити ідентифікованість структурних рівнянь, застосовують такі необхідні й достатні умови. Нехай система одночасних рівнянь містить N рівнянь відносно N ендогенних змінних, а також M екзогенних або заздалегідь визначених змінних. Крім того, для деякого рівняння кількість ендогенних і екзогенних змінних у перевірці на ідентифікованість дорівнює відповідно n і m. Змінні, що не входять у дане рівняння, але входять в інші рівняння системи, назвемо виключеними змінними (з даного рівняння). їх кількість дорівнює N-n для ендогенних і M-m для екзогенних змінних.

Перша необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо воно виключає принаймні N-1 змінну (ендогенну чи екзогенну), що присутня в моделі:

Друга необхідна умова. Рівняння ідентифіковане, якщо кількість виключених з нього екзогенних змінних не менше кількості ендогенних змінних у цьому рівнянні, зменшеної на одиницю: M-m>n-1.

Знаки рівності в обох необхідних умовах відповідають точній ідентифікованості рівняння.

Наведемо приклади використання зазначених умов для визначення ідентифікованості структурних рівнянь.

У простій моделі “попит - пропозиція”

N = 2, M = 0. Для кожного з рівнянь n = 2, m = 0. Отже, перша необхідна умова, а саме(N - n) + (M - m) ? N - 1, не виконується для обох рівнянь, тому що в цьому разі (N - n) + (M - m) = 0 < N-1 = 1. Це означає, що вони обидва неідентифіковані.

2. У моделі (8.21) до функції попиту додано екзогенну змінну yt (прибуток споживачів):

N = 2, M = 1. Для кожного з рівнянь n = 2. Для першого рівняння m=1, для другого m=0. Тоді для першого рівняння (N -n) + (M -m) = 0<1 = N-1. А це означає, що перша необхідна умова не виконується і дане рівняння неідентифіковане. Для другого рівняння цієї системи (N-n) + (M-m) = 1 = N-1, тобто дане рівняння точно ідентифіковане. Отже, функція пропозиції може бути визначена однозначно. 3. У моделі

N = 2, M = 2. Для кожного рівняння n = 2, m = 1. У цьому разі для кожного з рівнянь виконується умова (N -n) + (M -m) = 1 = N-1. Отже, обидва рівняння цієї системи точно ідентифіковані.[14]

3. У моделі “попит - пропозиція”, де враховано три екзогенні змінні:

N = 2 , M = 3. Для кожного рівняння системи n = 2. Кількість виключених змінних у першому рівнянні m = 2. Тоді перше рівняння точно ідентифіковане, тому що для нього (N-n) + (M-m) = 1 = N-1. Для другого рівняння m=1. Отже, для нього

(N-n) + (M-m) = 2>1 = N-1. Це рівняння є перевизначеним.

Для однозначної оцінки коефіцієнтів функції пропозиції в цьому разі необхідно використовувати інші спеціальні методи оцінювання параметрів.

Необхідна і достатня умова ідентифікованості.

У моделі, що містить N рівнянь відносно N ендогенних змінних, умова ідентифікованості виконується тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з виключених з даних рівнянь змінних, але таких, що містяться в інших рівняннях системи, дорівнює N -1.

Розділ 2. Практична частина

2.1 Побудувати лінійну багатофакторну економіко-математичну модель залежності фактору Y від факторів X_i

Ідентифікуємо дані:

Y - (залежний фактор);

Х -(незалежний фактор).

, (1.1)

де а₀, а₁ - коефіцієнти лінійної моделі, е - випадкова складова

Для того, щоб обчислити параметри лінійної регресії, в MS Excel передбачена вбудована функція ЛИНЕЙН (Таблиця 1.1), яка обчислює основні параметри регресії (коефіцієнти регресії, стандартні похибки коефіцієнтів, коефіцієнт детермінації, стандартну похибку, критерій Фішера, сума квадратів різниць між фактичним та середнім значенням фактора Y та суму квадратів залишків). Всі інші параметри можуть бути обчислені згідно означень.

Застосувавши функцію ЛИНЕЙН, одержимо:

Таблиця 1.1

-0,40901	0,11914413	0,0584917	18,68591
0,206876	0,35336699	0,0882437	11,40585
0,897981	0,49395774	#Н/Д	#Н/Д
17,60429	6	#Н/Д	#Н/Д
12,88603	1,46396551	#Н/Д	#Н/Д

В результаті обчислень отримано:

Таблиця 1.2

a0=	18,6859		Sa0=	11,406		R2=	0,89798
a1=	0,05849		Sa1=	0,0882		E=	0,49396
a2=	-0,11914		Sa2=	0,3534		F=	17,6043
a3=	-0,40901		Sa3=	0,2069		n-k=	6
						k-1=	3

a₀; a₁; a₂; a₃ -коефіцієнти регресії;

Sa₀; Sa₁; Sa₂; Sa₃ - стандартні похибки коефіцієнтів;

R²- коефіцієнт детермінації;

Е - стандартна похибка;

F - критерій Фішера;

n-k - число ступенів вільності;

Стандартна похибка моделі Е=0,49395774. У відсотках до Yc похибка становить приблизно 0,4%<15%. Отже модель якісна.

(1.1)

Критерій Фішера застосовується для перевірки рівності дисперсій двох вибірок. Його відносять до критеріїв розсіювання.При перевірці гіпотези положення (гіпотези про рівність середніх значень у двох вибірках) з використанням критерію Стьюдента має сенс заздалегідь перевірити гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо вона правильна, то для порівняння середніх можна скористатися більш потужним критерієм.У регресійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість лінійних регресійних моделей. Зокрема, він використовується в крокової регресії для перевірки доцільності включення або виключення незалежних змінних (ознак) у регресійну модель.У дисперсійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість факторів і їх взаємодії.Критерій Фішера заснований на додаткових припущеннях про незалежність і нормальності вибірок даних. Перед його застосуванням рекомендується виконати перевірку нормальності.

2.2 Проведення аналізу на наявність мультиколінеарності за допомогою методу Фаррара-Глобера

На основі статистичних даних факторів Y та Х (Таблиця 2.1) провести аналіз на наявність мультиколінеарності згідно алгоритму Фаррара-Глобера.

№ п/п	Y	Х1	Х2	Х3
1	16,75	81,6	10,2	13,6
2	17,25	85	9,69	12,75
3	17,5	83,3	9,52	11,05
4	18,75	88,4	8,5	10,2
5	18	86,7	8,67	10,54
6	19,25	90,1	8,84	9,86
7	19,5	88,4	9,35	9,35
8	20	93,5	8,5	8,5
9	19,5	96,9	8,5	7,65
10	20,5	98,6	6,8	7,99

Проводимо дослідження на мультиколінеарність згідно алгоритму Фаррара-Глобера:

1. Стандартизація (нормалізація) змінних.

Нормалізуємо пояснюючі змінні. Для цього, знайдемо спочатку за допомогою статистичної функції СРЗНАЧ їх середні значення та за допомогою статистичної функції СТАНДОТКЛОН стандартні відхилення значення.

Далі скористаємося вбудованою функцією НОРМАЛИЗАЦИЯ. Для цього виділяємо 10 рядків та 3 стовпці. Виконуємо наступні команди: Вставка/Функция/Статистические/НОРМАЛИЗАЦИЯ:



В поле Х вводимо одночасно всі значення пояснюючих змінних Х₁, Х₂, Х₃ із таблиці 2.1.

В поле Среднее вводимо середні значення пояснюючих змінних Х₁, Х₂, Х₃ із таблиці 2.2.

В поле Стандартное_откл вводимо значення стандартних відхилень пояснюючих змінних Х₁, Х₂, Х₃ із таблиці 2.2.

№	X1	X2	X3
середнє значення	89,25	8,857	10,149
стандартні відхилення	5,624	0,933	1,943

2. Знаходження кореляційної матриці r.

Знайдемо кореляційну матрицю r, для чого скористаємося вбудованою функцією КОРРЕЛ. Отримаємо наступну матрицю парних коефіцієнтів (Таблиця 2.3) кореляції:

Таблиця 2.3

1	-0,8662312	-0,91226574
-0,8662312	1	0,787135837
-0,912265738	0,787135837	1

Знайдемо множинний коефіцієнт кореляції, для чого скористаємося формулою:

, (2.1)

де: t - табличне значення критерію Стьюдента на рівні значимості та степенями вільності .

Отже, . Таким чином, оскільки, всі , то це говорить про досить тісний зв'язок між факторами.

3. Визначення критерію Пірсона.

Для відповіді на питання: чи є цей зв'язок наслідком мультиколінеарності чи ні скористаємося спочатку критерієм ч². Для цього обчислимо визначник матриці r:

.

Обчислимо критерій Пірсона за формулою:

(2.2)

Будемо мати:

22,741.

Знайдемо . Для цього використаємо вбудовану функцію ХИ2ОБР. Отримаємо,

7,81473.

Так як , то в масиві пояснюючих змінних існує мультиколінеарність.

4. Визначення матриці .

Визначимо матрицю С, обернену до матриці парних коефіцієнтів кореляції (скористаємося вбудованою функцією МОБР) і отримаємо:

	9,0849	3,5381	5,5029
C=	3,5381	4,0066	0,0740
	5,5029	0,0740	5,9619

5. Обчислення F-критеріїв.

Обчислимо значення F-критеріїв для кожної пояснюючої змінної за формулою:

,

де с_іі - діагональні елементи матрисі С.

Будемо мати:

F1=	16,1699
F2=	6,0133
F3=	9,9237

Обчислимо табличне значення критерію Фішера та порівняємо його зі знайденими F-критеріями:

F_таб= 0,0517 .

Так як F₁>F_таб, F₂>F_таб, F₃>F_таб, то це значить, що кожна з пояснюючих змінних мультиколінеарна з іншими.

Знайдемо частинні коефіцієнти детермінації для кожної змінної. Для чого скористаємося формулою:

R2(x1)=	0,8899
R2(x2)=	0,7504
R2(x3)=	0,8323

6. Визначення частинних коефіцієнтів кореляції.

Визначимо частинні коефіцієнти кореляції, які показують на тісноту зв'язку між змінними х_і та х_j при умові, що всі інші змінні не впливають на цей зв'язок. Для цього скористаємося формулою:

r12=	-0,5864
r13=	0,7477
r23=	0,0151

так як r12<rкр, то між змінними х1 (фондовіддача) і х2 (продуктивність праці) не існує тісного зв'язку, якщо не враховувати вплив питомих інвестицій;

- так як r13>rкр, то між змінними х1 (фондовіддача) та х3 (питомі інвестиції) існує тісний зв'язок, якщо не враховувати вплив продуктивності праці;

- так як r23<rкр, то між змінними х2 (продуктивність праці) і х3 (питомі інвестиції) не існує тісного зв'язку, якщо не враховувати вплив фондовіддачі.

7. Обчислення t-критеріїв.

Знайдемо, чи зв'язані мультиколінеарно фактори х₁ і х₂, х₁ і х₃ та х₂ і х₃ відповідно. Для цього обчислимо t-критерії за формулою:

t12=	-1,7735
t13=	2,7583
t23=	0,0371

Обчислимо t_таб=2,447 і порівняємо цей критерій зі знайденими раніше значеннями t-критеріїв.

Так як t12<tтаб, то між змінними х1 і х2 не існує мультиколінеарого зв'язку; так як t13>tтаб, то між змінними x1 і х3 є мультиколінеарний зв'язок; так як t23<tтаб, то між змінними х2 і х3 також не існує мультиколінеарного зв'язку.

Для включення факторів у модель потрібно, щоб вони були слабо зв'язані між собою, та зв'язані з результуючим фактором. Оскільки між факторами х1 і х3 виявлено мультиколінеарний зв'язок, то краще у шукану модель фактори х1 та х3 разом не включати. Таким чином, розглянемо дві моделі:

Y=a0+a1X1+a2X2

№	Y	Х1	Х2	№	Y	Х2	Х3
1	16,75	81,6	10,2	1	16,75	10,2	13,6
2	17,25	85	9,69	2	17,25	9,69	12,75
3	17,5	83,3	9,52	3	17,5	9,52	11,05
4	18,75	88,4	8,5	4	18,75	8,5	10,2
5	18	86,7	8,67	5	18	8,67	10,54
6	19,25	90,1	8,84	6	19,25	8,84	9,86
7	19,5	88,4	9,35	7	19,5	9,35	9,35
8	20	93,5	8,5	8	20	8,5	8,5
9	19,5	96,9	8,5	9	19,5	8,5	7,65
10	20,5	98,6	6,8	10	20,5	6,8	7,99

Обчислимо їх характеристики та виберемо “кращу” з них. Застосуємо до обох моделей функцію ЛИНЕЙН. Отримаємо:

1)для першої моделі:

-0,1086	0,1889	2,7985
0,4204	0,0697	9,6305
0,8315	0,5877	#Н/Д
17,2739	7,0000	#Н/Д
11,9323	2,4177	#Н/Д

2)для другої моделі:

-0,5115	-0,2565	26,1635
0,1318	0,2745	1,6137
0,8905	0,4738	#Н/Д
28,4667	7,0000	#Н/Д
12,7788	1,5712	#Н/Д

З отриманих характеристик моделі видно, що друга модель має дещо кращі параметри ніж перша модель. Дані наведені у таблиці:

Вид моделі	E	R2	F	Fтаб
Y=a0+a1X1+a2X2	0,5877	0,8315	17,2739	0,0517
	0,4738	0,8905	28,4667	0,0517

Перевіримо статистичну значущість коефіцієнтів обох моделей:

ta0=	0,2906
ta1=	2,7102
ta2=	-0,2583
ta0=	16,2133
ta1=	-0,9344
ta2=	-3,8826

t_таб= 2,447.

Всі моделі відображають статистичні дані однаково, але друга модель більш якісна за показниками R2, E, F.

2.3 Оцінка достовірності моделі за критерієм Фішера та достовірності коефіцієнтів моделі за критерієм Стьюдента

Для обчислення табличного значення критерію Фішера скористаємося вбудованою в MS Excel функцією FРАСПОБР, де:

Вероятность =0,05;

Степени_свободы1 =k-1=4;

Степени_свободы2 =n-k=6.

Одержимо табличне значення критерію Фішера:

Fтаб=	4,53368
F=	17,6043

Розрахункове значення.

F_роз отримаємо з таблиці де використовується функція ЛИНЕЙН.

Так як F_роз>F_таб, то отримана економетрична модель достовірна, або така, що відповідає статистичним даним. Згідно критерію Фішера, отримана модель достовірна.

Оцінимо згідно t-критерію Стьюдента значущість коефіцієнтів моделі а₁ та а₀.

За означенням t-критерії для коефіцієнтів а₁ ; а₀; а₂; а₃.

= 0,66284;

= 1,63827;

-0,3372;

1,9771.

Порівняємо одержані t-критерії для коефіцієнтів моделі з табличним значенням критерію Стьюдента. Для обчислення табличного значення можна скористатися вбудованою функцією СТЬЮДРАСПОБР на рівні значимості 0,95 та числом ступенів вільності n-k=6:

tтаб=	2,44691
t(a0)=	1,63827
t(a1)=	0,66284
t(a2)=	-0,3372
t(a3)=	-1,9771

Так як t_a1; t_a2; t_a3; t_a0<t_таб, то отримане значення коефіцієнтів а₀ ; a₁; а₂; а₃ статистично не відрізняється від 0. Це значить, що отримана оцінка коефіцієнтів а₀ ; a₁; а₂; а₃ є не точною, або зміщеною, що свідчить, можливо, про недостатню кількість спостережень (n=10).

Згідно критерію коефіцієнти а₀ ; a₁; а₂; а₃ статистично не відрізняється від 0.

Розглянемо коефіцієнт детермінації R² та коефіцієнт кореляції r.

З масиву даних, одержаних в результаті обчислень за допомогою функції ЛИНЕЙН, одержимо R²= 0,897981, або 89,798% вибіркових даних описуються знайденою регресією.

Коефіцієнт кореляції r знайдемо використовуючи вбудовану функцію КОРРЕЛ (массив1; массив2), де массив1 - це фактичні значення вихідного масиву Х, массив2 - фактичні значення вихідного масиву Y. Отримаємо

	1	-0,8662312	-0,91226574
r =	-0,8662312	1	0,787135837
	-0,912265738	0,787135837	1

Значення коефіцієнту кореляції не близькі до 1, що свідчить про не достатньо тісний зв'язок між факторами Х та Y (Додаток А).

2.4 Перевірка гіпотези про наявність гетероскедастичності

Щоб перевірити відсутня чи присутня гетероскедастичність скористаємося параметричним тестом Гольфельда-Квандта:

1. Упорядковуємо значення змінної Х у порядку зростання (Данные/Сортировка).

2. Відкидаємо k спостережень, які знаходяться в центрі. Експерименти, що проводили Гольдфельдом і Квантом показали, що для вибірок, коли n>30, оптимальна кількість спостережень k, не врахованих у тесті, приблизно задовольняє співвідношення:

В нашому випадку:

Оскільки k<30, k=0

3. Будуємо дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома сукупностями спостережень (n-k)/2 при умові, що (n-k)/2 не перевищує кількість змінних m.

Одержимо дві підвибірки - перша з найменшими значеннями Х, друга - з найбільшими значеннями Х. Для кожної з них побудуємо лінійну регресію та розрахуємо параметри 1МНК. Вихідні дані та їх перетворення наведені в таблиці 2.4 та таблиці 2.5.

Підвибірка І

№	Y	X1	X2	X3	Yp	е1і=Yi-Yрi	е12
1	16,75	81,6	10,2	13,6	16,620	0,130	0,017
2	17,25	85	9,69	12,75	17,394	-0,144	0,021
3	17,5	83,3	9,52	11,05	17,521	-0,021	0,000
5	18	86,7	8,67	10,54	18,171	-0,171	0,029
4	18,75	88,4	8,5	10,2	18,545	0,205	0,042
?	88,25	425	46,58	58,14	88,250	0,000	0,110

Підвибірка ІІ

№	Y	X1	X2	X3	Yp	е1і=Yi-Yрi	е12
6	19,25	90,1	8,84	9,86	19,25587	-0,0058707	3,4465E-05
7	19,5	88,4	9,35	9,35	19,59158	-0,0915833	0,0083875
9	19,5	96,9	8,5	7,65	19,5728	-0,072797	0,0052994
8	20	93,5	8,5	8,5	19,78278	0,2172168	0,04718313
10	20,5	98,6	6,8	7,99	20,54697	-0,0469658	0,00220579
?	98,75	467,5	41,99	43,35	98,75	-2,1316E-14	0,063110282

В результаті обчислень, отримаємо:

-0,26189	0,10072522	0,1772764	4,6883562
0,410386	1,53618347	0,246388	30,915201
0,952865	0,33104236	#Н/Д	#Н/Д
6,738542	1	#Н/Д	#Н/Д
2,215411	0,10958904	#Н/Д	#Н/Д
-0,78592	-0,98846608	-0,2582412	59,010633
0,464911	0,36807126	0,1507947	20,653914
0,93689	0,2512176	#Н/Д	#Н/Д
4,948426	1	#Н/Д	#Н/Д
0,93689	0,06311028	#Н/Д	#Н/Д

За отриманими результатами, розрахуємо критерій R*:

R* =	0,576

Звідси:

Fтаб=	4,757

Так як R*< Fтаб, то отримана нами модель не гетероскедастична.

Таким чином, на основі параметричного тесту Гольдфельда-Квандта ми отримали, що в побудованій економетричній моделі не виявлено гетероскедастичності. Це значить, що користуватися 1МНК для оцінки параметрів моделі можна.

2.5 Знаходження прогнозу у точці Хпр

Використовуючи дані, отримані після використання функції ЛИНЕЙН під час створення багатофакторної економіко-математичної моделі, розраховуємо прогнозне значення Y:

У пр =	-8,969

Висновок

Об'єктом статистичного вивчення в економічних та соціальних науках є складні системи. Опис економічних процесів за допомогою одного рівняння регресії явно недостатньо в силу різноманітного переплетення причин і наслідків. Моделі із одного рівняння описують кількісні зв'язки, наприклад процентні ставки по депозитах можуть залежати від величини ВНП, рівня інфляції, грошового обігу. Але моделі з одним рівнянням не відображають взаємозв'язків між пояснюючими змінними або їх зв'язків з іншими змінними. Крім того, такі моделі пояснюють зв'язку тільки в одному напрямку, відсутній зворотний зв'язок. Для більш адекватного відображення багатосторонніх реальних взаємовідносин між явищами можна використовувати систему співвідношень.

Отже, окремо взяте рівняння множинної регресії не може характеризувати справжній вплив окремих ознак на варіацію результуючої змінної. Саме тому в економічних, біометричних соціологічних дослідженнях важливе місце зайняла проблема опису структури зв'язків між змінними системою так званих одночасних рівнянь або структурних рівнянь.

У таких рівняннях відпадає необхідність та навіть можливість відділяти залежні змінні від незалежних, замість них стан системи в будь-який момент часу описується набором змінних, серед яких є як ендогенні, так і екзогенні (зовнішні по відношенню до даної системи). Між змінними існують функціональні та статистичні зв'язки. До першого типу відносяться тотожності, що випливають з змістовного сенсу змінних. До другого типу відносяться поведінкові зв'язку, які є вираженням закономірностей, що діють в системі. Ці закономірності носять статистичний характер: присутні випадкові збурення, похибка, невраховані фактори, тому для їх опису також використовуються регресійні рівняння.

Отже під системою економетричних рівнянь зазвичай розуміється система одночасних, спільних рівнянь. Її застосування має ряд складностей, які пов'язані з помилками специфікації моделі. З причини великої кількості факторів, що впливають на економічні змінні, дослідник, як правило, не впевнений в точності передбачуваної моделі для опису економічних процесів.

Менеджеру і економісту не слід ставати фахівцем зі складання і розв'язання систем економетричних рівнянь, навіть за допомогою тих чи інших програмних систем, але він повинен бути обізнаний про можливості цього напрямку економетрики, щоб у разі виробничої необхідності кваліфіковано сформулювати завдання для фахівців-економетриком.

Список використаної літератури

1. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множінної регресії та економетрії: У 2 т. - К: Нічлава, 1998-1999.

2. Джонстон Дж. Економетричні методи. - М.: Статистика, 1980. - 444 с.

3. Доугерті К. Введення в економетрику: Пер. з англ. -, 1997. - 402 с.

4. Дрейпер П., Сміт Г. Прикладний регресійний аналіз. - М.: Фінанси і статистика, 1986. - Т. 1 - 365 с; Т. 2 - 379 с.

5. Ємельянов А. С. Економетрія та прогнозування. - М.: Економіка, 1985. - С. 82-89.

6. Єлейко В. Основи економетрії. - Львів: "Марка Лтд", 1995. - 191с.

7. Кейн Е. Економічна статистика і економетрія. Введення в кількісний економічний аналіз. - М.: Статистика, 1977. - 254с.

8. Корольов О.А. Економетрія: Навч. посіб. - К: Європейський ун-т, 2002. - 660 с.

9. Ланге О. Введення в економетрію. - М.: Прогрес, 1964. - 360 с.

10. Лук'яненко I.Г., Краснікова Л.І.. Економетрика: Підручник. - К.: Т-во "Знання", КОО, 1998. - 494 з

11. Магнус Я.Р., Катишев П.К., Пересецького А.А. Економетрика: Навч. курс. - М.: Справа, 1997. - 248 с.

12. Маленво Е. Статистичні методи економетрії. - М.: Статистика, 1975. - 423 с.

13. Наконечний С.I., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Навч. посіб. - К: КНЕУ, 1997. - 352 с.

14. Тінтнер Г. Введення в економетрію. - М.: Статистика, 1965. - 368 с.

15. Толбатов Ю.А. Економетрика: Підруч. для студ. екон. спец. вищ. навч. закл. - К.: Четверта хвиля, 1997. - 320 с.

16. Фішер Ф. Проблема ідентифікації в економетрії, 1978. - 224 с.

Размещено на аllbest.ru