Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный аграрный университет им. К.Д. Глинки»

Кафедра информационного обеспечения и моделирования агроэкономических систем

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине

«Моделирование социально-экономических систем и процессов»

На тему: «Разработка экономико-математической модели по оптимизации отраслевой структуры производства»

Выполнила:

студентка заочница Э-4

Байрамова О. Г. 08409

Проверил:

Воронеж 2011

Содержание

1. Решение экономико-математических задач методами линейного программирования (ЛП)

1.1 Математическая формулировка задачи линейного программирования

- основная задача линейного программирования;

- приведение системы неравенств к основной задаче ЛП

1.2 Геометрическая интерпретация и решение задачи линейного программирования в случае двух переменных

- математические основы решения задачи графическим способом;

- этапы решения задач графическим способом;

1.3 Алгоритм симплексного метода решения задач ЛП

- формирование первого опорного плана;

- структура симплексной таблицы;

- исследование опорного плана на оптимальность;

2. Порядок разработки экономико-математической модели оптимизации отраслевой структуры производства

2.1 Экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства

3. Решение задач линейного программирования с помощью Microsoft Excel

3.1 Пример решения задачи линейного программирования

3.2 Анализ результатов решения задачи на основе стандартных отчетов Microsoft Excel

Список литературы

Приложение

Введение

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.

Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

Основной целью написания курсовой работы является всесторонний анализ применения линейного программирования для решения экономических задач.

1. Решение экономико-математических задач методами линейного программирования (ЛП)

1.1 Линейное программирование

Линейное программирование -математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем математического программирования. Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования.

Математическое программирование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Математическое программирование -- раздел науки об исследовании операций , охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи Математическое программирование находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования. Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий. Математическая формулировка задачи Математическое программирование: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве X = {x: g_i(x) ? 0, h_i(x) = 0, I = 1, 2, ..., k}, где g_i(x) и h_i(x) -- также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X -- допустимым множеством, решение х* задачи Математическое программирование -- оптимальной точкой (вектором). В Математическое программирование принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция j(x) и ограничения g_i(x) и h_i (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции при линейных ограничениях , i = 1, 2, …, m, либо все величины c_j, a_ij, b_i, либо часть из них случайны. Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи -- задачи, для которых указанное свойство не выполняется. В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна -- Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть , X = {x: g_i(x) ? 0, i = 1, 2, ..., k}, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*₁, у*₂, ..., у*_k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа Последнее означает, что L(x*, y) ? L(x*, y*) ? L(x, у*) для любых х и всех у ? 0. Если ограничения g_i(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве. Если функции j(x) и g_i(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку , j = 1, 2, …, n; ; ; i = 1, 2, …, k; , y_i ? 0, i = 1, 2, …, k. Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. На основе теоремы Куна -- Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа. В Математическое программирование одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке x^k I X выбирается направление спуска s^k, то есть одно из направлений, по которому функция j(x) убывает, и вычисляется x^k+1 = p(x^k + a_ks^k), где p(x^k + a_ks^k) означает проекцию точки x^k + a_ks^k на множество X: , число a_k > 0 выбирается при этом так, чтобы j(x^{k +1}) < j(x^k). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда s^k = --grad j(x^k). В Математическое программирование доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {х^k}, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии. Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач Математическое программирование является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи Математическое программирование, связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта. Важным направлением исследования в Математическое программирование являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач -- задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач -- так называемому процессу регуляризации.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Математическая формулировка задачи линейного программирования

Нужно максимизировать

при условиях при i = 0, 1, 2, . . . , m .

Иногда на x_i также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.

1.2 Формулировка задачи

Даны линейная функция

Z=С₁х₁+С₂х₂+...+С_Nx_N (1.1)

и система линейных ограничений

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_iNХ_N = b_i (1.2) . . . . . . . . . . . . . . .

a_M1x₁ + a_M2x₂ + ... + a_MNХ_N = b_M

x_j 0 (j = 1, 2, ... ,n) (1.3)

экономика математическая задача линейное программирование

где а_ij, b_j и С_j - заданные постоянные величины.

Найти такие неотрицательные значения х₁, х₂, ..., х_n, которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1) минимальное значение.

Общая задача имеет несколько форм записи.

Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях А₁х₁ + А₂x₂ + ... + А_Nx_N = А_о, X₀ (1.4)

где С = (с₁, с₂, ..., с_N); Х = (х₁, х₂, ..., х_N); СХ - скалярное произведение; векторы A₁ = A₂ = ,..., A_N состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А₀Х₀, где С = (с₁, с₂, ..., с_N) - матрица-cтрока; А = (а_ij) - матрица системы; Х =(x_ij)- матрица-столбец, А₀ = (а_i) матрица-столбец

Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С_jх_j при ограничениях

0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х₁, х₂, ..., х_N), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3).

0пределение 2. План Х = (х₁, х₂, ..., х_N) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, ..., N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х , являются линейно независимыми.

Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М.

0пределение 3. Опорный план называется невырожденным, если он содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.

0пределение 4. Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции.

В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с нахождением минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное значение исходной линейной функции.

1.3 Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования

Кратко напомним некоторые фундаментальные определения и теоремы линейной алгебры и выпуклого анализа, которые широко применяются при решении проблем как линейного, так и нелинейного программирования.

Фундаментальным понятием линейной алгебры является линейное (вещественное) пространство. Под ним подразумевается множество некоторых элементов (именуемых векторами или точками), для которых заданы операции сложения и умножения на вещественное число (скаляр), причем элементы, являющиеся результатом выполнения операций, также в соответствии с определением должны принадлежать исходному пространству.

Частными случаями линейных пространств являются вещественная прямая, плоскость, геометрическое трехмерное пространство.

Вектор л₁a¹ + л₂a² + …+ л_ma^m называется линейной комбинацией векторов а¹ а²,..., а^m с коэффициентами л₁, л_2, л_m,

Система векторов линейного пространства а¹ а²,..., а^m называется линейно зависимой, если существуют такие числа л₁, л_2, л_m не равные одновременно нулю, что их линейная комбинация л₁a¹ + л₂a² + …+ л_ma^m равняется нулевому вектору (вектору, все компоненты которого равны нулю). В противном случае систему а¹, а²,..., а^m называют линейно независимой, т. е. линейная комбинация данных векторов может быть равна нулевому вектору только при нулевых коэффициентах л₁, л_2, …, л_m

Максимально возможное количество векторов, которые могут образовывать линейно независимую систему в данном линейном пространстве, называют размерностью пространства, а любую систему линейно независимых векторов в количестве, равном размерности, -- базисом пространства.

Линейное пространство обычно обозначают как Rⁿ, где n -- его размерность.

Любое подмножество данного линейного пространства, которое само обладает свойствами линейного пространства, называется линейным подпространством. Множество Н, получаемое сдвигом некоторого линейного подпространства L € Rⁿ на вектор a € Rⁿ: H=L+a, называется аффинным множеством (пространством). Если фундаментальным свойством любого линейного пространства или подпространства является принадлежность ему нулевого вектора, то для аффинного множества это не всегда так. На плоскости примером подпространства является прямая, проходящая через начало координат, а аффинного множества -- любая прямая на плоскости. Характеристическим свойством аффинного множества является принадлежность ему любой прямой, соединяющей две любые его точки. Размерность аффинного множества совпадает с размерностью того линейного подпространства, сдвигом которого оно получено.

Если рассматривается некоторое линейное пространство Rⁿ, то принадлежащие ему аффинные множества размерности 1 называются прямыми, а размерности (n-1)--гиперплоскостями. Так, обычная плоскость является гиперплоскостью для трехмерного геометрического пространства R³, а прямая -- гиперплоскостью для плоскости R². Всякая гиперплоскость делит линейное пространство на два полупространства.

Множество V векторов (точек) линейного пространства Rⁿ называется выпуклым, если оно содержит отрезок прямой, соединяющей две его любые точки, или, другими словами, из того, что a €V и b€V , следует, что х = (1- л) х а+ л х b € V , где 0 ? л ? 1.

Линейная комбинация векторов а¹, а²... а^m называется выпуклой, если л_i ?0, i €1:m и

Множество, содержащее все возможные выпуклые комбинации точек некоторого множества М, называют выпуклой оболочкой данного множества. Можно показать, что выпуклая оболочка множества М является наименьшим выпуклым множеством, содержащим М.

Выпуклая оболочка конечного множества точек называется выпуклым многогранником, а непустое пересечение конечного числа замкнутых полупространств -- многогранным выпуклым множеством. В отличие от выпуклого многогранника последнее может быть неограниченным.

Точка v выпуклого множества V называется его угловой (крайней) точкой, если она не является внутренней точкой ни для какого отрезка, концы которого принадлежат множеству V. Угловые точки выпуклого многогранника являются его вершинами, а сам он -- выпуклой оболочкой своих вершин.

Множество К называется конусом с вершиной в точке x₀, если x₀ € К , и из того, что некоторая точка х принадлежит К ( х € К ), следует, что в К содержится и луч, начинающийся в х₀ и проходящий через х, т. е.

или

Выпуклая оболочка конечного множества лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке.

1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом

1.4.1 Математический аппарат

Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = 3.

Наиболее наглядна эта интерпретация для случая n = 2, т.е. для случая двух переменных x₁ и x₂. Пусть нам задана задача линейного программирования в стандартной форме

Возьмём на плоскости декартову систему координат и каждой паре чисел (x₁,x₂)поставим в соответствие точку на этой плоскости.

Обратим прежде всего внимание на ограничения x₁ ?0 и x₂ ? 0. Они из всей плоскости вырезают лишь её первую четверть (см. рис. 1). Рассмотрим теперь, какие области соответствуют неравенствам вида a₁ x₁ + a₂ x₂ ? b. Сначала рассмотрим область, соответствующую равенству a₁ x₁ + a₂ x₂ = b. Как Вы, конечно, знаете, это прямая линия. Строить её проще всего по двум точкам.

Пусть b ? 0. Если взять x₁ = 0, то получится x₂ = b/a₂. Если взять x₂ = 0, то получится x₁ = b/a₁. Таким образом, на прямой лежат две точки (0, b/a₂) и (b/a₁, 0). Дальше через эти две точки можно по линейке провести прямую линию (рисунок 2).

Если же b=0, то на прямой лежит точка (0,0). Чтобы найти другую точку, можно взять любое отличное от нуля значение x₁ и вычислить соответствующее ему значение x₂.

Эта построенная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости. В одной её части a₁x₁ + a₂x₂ < b, а в другой наоборот a₁x₁ + a₂x₂ > b. Узнать, в какой полуплоскости, какой знак имеет место проще всего посмотрев, какому неравенству удовлетворяет какая-то точка плоскости, например, начало координат, т.е. точка (0,0).

1.4.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

max f(X) = с₁х₁ + с₂х₂ + ... + с_пх_п (*)

при ограничениях

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n ? b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n ? b₂

……………………………..

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnх_n ? b_m

х_j ? 0, j = 1, 2, …, n.

Рассмотрим эту задачу на плоскости, т.е. при п = 2. Пусть система неравенств (**), (***) совместна (имеет хотя бы одно решение):

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ ? b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ ? b₂

…………..

а_m1х₁ + а_m2х₂ ? b_m

x₁ ? 0; х₂ ? 0.

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а_i1х₁ + а_i2х₂ ? b_i i = 1, m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми x₁ = 0; х₂ = 0.. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых составляют решение данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Если в системе ограничений (**) - (***) n = 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого а_i1х₁ + а_i2х₂ + а_i3х₁ ? b_i, а условия неотрицательности -- полупространства с граничными плоскостями соответственно x_i = 0 (i = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений.

Пусть в системе (**) - (***) п > 3, тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью а_i1х₁ + а_i2х₂ + … + а_inх_n ? b_i i = 1, т , а условия неотрицательности -- полупространства с граничными гиперплоскостями x_j = 0, j = 1, n.

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

1.4.2 Этапы решения графического метода задач линейного программирования

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

Этап 1.

Сначала на координатной плоскости x₁Ox₂ строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:

Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут получится.

1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 1а).

2. Неосновной случай ? получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 1б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение х₁ + х ₂ ? 3. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.

Наконец, возможен случай, когда неравенства (1.6) противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

Рассмотрим теорию на конкретном примере:

Найти допустимую область задачи линейного программирования, определяемую ограничениями

Решение:

1. Рассмотрим прямую -x₁+x₂ = 1. При x₁ = 0, x₂ = 0, а при x₂= 0, x₁= -1. Таким образом, эта прямая проходит через точки (0,1) и (-1,0). Беря x₁ = x₂ = 0, получим, что -0+0<1 и поэтому интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.а.

2. Рассмотрим прямую . При , а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как (4.б).

3. Наконец, рассмотрим прямую . Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.в.

Сводя все вместе и добавляя условия х₁ ? 0,х₂ ? 0 получим рисунок 5, где выделена область, в которой выполняются одновременно все ограничения (1.32). Обратим внимание на то, что получившаяся область имеет вид выпуклого многоугольника.

Этап 2.

Вернёмся теперь к исходной задаче линейного программирования. В ней, кроме системы неравенств, есть еще целевая функция с₁х₁+с₂х₂ =>max.

Рассмотрим прямую с₁х₁+с₂х₂ = L. Будем увеличивать L. Что будет происходить с нашей прямой?

Легко догадаться, что прямая будет двигаться параллельно самой себе в том направлении, которое дается вектором (с₁,с₂), так как это ? вектор нормали к нашей прямой и одновременно вектор градиента функции

f(х₁,х₂) = с₁х₁+с₂х₂ .

1.3 Симплекс метод - метод линейного программирования, который реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного итеративного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге.

Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: (X₁, ..., X_n), где требуется минимизация линейной целевой функции при m линейных ограничениях типа равенств. Среди переменных задачи выбирается начальный базис из m переменных, для определенности (X₁, ..., X_m), которые должны иметь неотрицательные значения, когда остальные (n-m) свободные переменные равны 0. Целевая функция и ограничения равенства преобразуются к диагональной форме относительно базисных переменных, переменных, где каждая базисная переменная входит только в одно уравнение с коэффициентом 1.

Данная формальная модель задачи линейного программирования обычно задается в форме, так называемой симплекс-таблицы, удобной для выполнения операций симплекс-метода:

Симплекс-таблица

	1	X1	X2	...	Xm	Xm+1	...	Xn
X0	A0,0	0	0	...	0	A0,m+1	...	A0,n
X1	A1,0	1	0	...	0	A1,m+1	...	A1,n
X2	A2,0	0	1	...	0	A2,m+1	...	A2,n
...	...	...	...	...	...	...	...	...
Xm	Am,0	0	0	...	1	Am,m+1	...	Am,n

Верхняя строка симплекс-таблицы представляет целевую функцию задачи. Каждая строка симплекс-таблицы, кроме первой, соответствует определенному ограничению-равенству задачи. Свободные члены ограничений составляют крайний левый столбец таблицы. Слева от таблицы записаны текущие базисные переменные (X₁, ..., X_m). Сверху от таблицы приведен набор всех переменных задачи, где X_m+1, ..., X_n - свободные переменные задачи.

На начальном шаге алгоритма симплекс-метода должно быть выбрано базисное допустимое решение (X₁, ..., X_m) >= 0 при X_j = 0 (j = m+1, ..., n), следовательно, все свободные члены ограничений A_i,0 >= 0 (i = 1, ..., m). Когда это условие выполнено, симплекс-таблица называется прямо-допустимой, так как в этом случае базисные переменные, равные A_i,0, определяют допустимое решение прямой задачи линейного программирования. Если все коэффициенты целевой функции A_0,j >= 0 (j = 1, ..., m), то симплекс-таблица называется двойственно-допустимой, поскольку соответствующее решение является допустимым для двойственной задачи линейного программирования.

Если симплекс-таблица является одновременно прямо и двойственно допустимой, т.е. одновременно все A_i,0 >= 0 и A_0,j >= 0, то решение оптимально.

Действительно, поскольку допустимыми являются лишь неотрицательные значения управляемых параметров, то изменение целевой функции за счет вариации свободных переменных, через которые она выражена, возможно только в сторону увеличения, т.e. будет ухудшаться. Если среди ее коэффициентов имеются A_0,j < 0, то значение целевой функции еще можно уменьшить (т.e. улучшить), увеличивая значение любой свободной переменной X_j с отрицательным коэффициентом A_0,j при побочном уменьшении базисных переменных, чтобы оставались справедливы ограничения задачи. Теоретически можно использовать любую свободную переменную X_j с A_0,j < 0, но на практике обычно действуют в соответствии со стратегией наискорейшего спуска, выбирая минимальный элемент A_0,p < 0 из всех отрицательных A_0,j <&nbsp0:

A_0,p = min A_0,j < 0.

^j

Столбец p симплекс-таблицы, соответствующий выбранному коэффициенту A_0,p < 0, называется ведущим столбцом. Свободная переменная ведущего столбца должна быть введена в базис вместо одной из текущих базисных переменных. Очевидно, из базиса следует исключить такую переменную X_q, которая раньше других обращается в нуль при увеличении переменной X_p ведущего столбца.

Её индекс легко определить, если среди положительных элементов ведущего столбца p найти элемент, минимизирующий отношение (A_i,0 / A_i,p):

A_q,0 A_i,0

------ = min ------ , i = 1,...,m.

A_q,p i A_i,p

Элемент A_q,p называется ведущим элементом, cтрока q симплекс-таблицы, содержащая ведущий элемент, называется, соответственно, ведущей строкой. Переменная ведущей строки X_q заменяется в базисе переменной ведущего столбца X_p и становится свободной переменной с значением 0, в то время как новая базисная переменная X_p достигнет максимально возможного значения, равного: max X_p = ( A_q,0 / A_q,p).

После указанного взаимообразного обмена переменными X_p и X_q между наборами свободных и базисных переменных нужно модифицировать исходную каноническую модель задачи путем приведения ее к диагональной форме относительно нового множества базисных переменных. Для указанного преобразования можно формально использовать процедуру исключения Гаусса, которая, как известно, состоит из двух элементарных операций, применяемых к системе алгебраических уравнений ( в данном случае ограничений - равенств):

· умножение уравнения E₁(X) = 0 на константу K₁ и замена уравнения E₁(X) = 0 уравнением K₁*E₁(X) = 0;

· сложение уравнений E₁(X) = 0 и E₂(X) = 0 c последующей заменой уравнения E₂(X) = 0 уравнением E₁(X) + E₂(X) = 0.

Исключения Гаусса позволяют привести систему уравнений к диагональной форме относительно желаемого множества переменных. В данном случае исключение Гаусса применяется так, чтобы все элементы симплекс-таблицы в ведущем столбце, кроме ведущего элемента A_q,p, стали нулевыми, а ведущий элемент стал равным единице:

A_i,p = 0, если i не равно q

и

A_i,p = 1, если i = q.

Указанные шаги симплекс-метода повторяются, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой. Если положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными A_i,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение.

Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой перебор базисных допустимых решений.

Ограничения задачи вырезают на плоскости некоторый многоугольник. Пусть при некотором L прямая с₁х₁+с₂х₂ = L пересекает допустимую область. Это пересечение дает какие-то значения переменных (х₁,х₂), которые являются планами.

Увеличивая L мы начнем двигать нашу прямую и её пересечение с допустимой областью будет изменяться (см. рис. 7). В конце концов эта прямая выйдет на границу допустимой области ? как правило, это будет одна из вершин многоугольника. Дальнейшее увеличение L приведёт к тому, что пересечение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L с допустимой областью будет пустым. Поэтому то положение прямой с₁х₁+с₂х₂ = L, при котором она вышла на граничную точку допустимой области, и даст решение задачи, а соответствующее значение L и будет оптимальным значением целевой функции.

2. ПОРЯДОК РАЗРАБОТКИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО ОПТИМИЗАЦИИ ОТРАСЛЕВОЙ СТРУКТУРЫ ПРОИЗВОДСТВА

2.1 Экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства

Постановка задачи

Большинство современных сельскохозяйственных предприятий развивает совокупность отраслей, рациональное сочетание которых в значительной степени определяет эффективность всей производственно-финансовой деятельности хозяйствующего субъекта. Очевидно, что есть отрасли более эффективные, чем другие. Но отдать доминирующий приоритет самым эффективным отраслям невозможно иногда в силу агротехнических или зооветеринарных, иногда в силу организационно-экономических требований. Именно поэтому проблема поиска оптимального сочетания развиваемых в предприятии отраслей действительно актуальна.

Постановку данной задачи сформулируем следующим образом: исходя из наличия ресурсов необходимо найти такое сочетание отраслей, которое обеспечило бы получение максимальной суммы чистого дохода при условии соблюдения всех агротехнических и зооветеринарных требований, выполнения договорных обязательств по реализации продукции, гарантированного обеспечения отраслей животноводства кормами.

Входная информация.

Для разработки экономико-математической модели данной задачи необходимо иметь следующую информацию:

· площадь пашни, имеющуюся у предприятия;

· перечень сельскохозяйственных культур, которые планируется возделывать;

· урожайность основной и побочной продукции, нормы высева семян (по культурам, по которым используются семена собственного производства), нормативы отходов;

· производственные затраты и затраты труда в расчете на 1 га посева;

· агротехнические требования по насыщению севооборотов отдельными культурами и группами культур;

· поголовье имеющихся у предприятия сельскохозяйственных животных;

· структуру стада, продуктивность скота, затраты корма на единицу продукции;

· рационы кормления скота;

· питательность кормов, включенных в рационы кормления;

· выход продукции в расчете на 1 структурную голову;

· производственные затраты в расчете на 1 структурную голову без учета стоимости кормов;

· цену приобретения покупных кормов;

· цену реализации реализуемой продукции.

Основными источниками получения информации являются фактические данные, получаемые в хозяйствах, справочная литература, информация о нормативной или фактической питательности кормов. Подготовку входной информации и построение экономико-математической модели рассмотрим на конкретном примере.

Условия задачи и подготовка входной информации.

В ООО «Простор» имеется 5 800 га пашни. Продуктивные сенокосы и пастбища отсутствуют. Планируется возделывать следующие сельскохозяйственные культуры: озимую пшеницу, ячмень, сою, горчицу, сахарную свеклу, подсолнечник, кукурузу на силос и зеленый корм, однолетние травы, многолетние травы. В соответствии с потребностями отрасли животноводства травы будут выращиваться на сено, сенаж и зеленый корм.

Исходя из запланированного уровня урожайности и на основании рассчитанных технологических карт были определены размеры затрат материально-денежных средств и затраты труда в расчете на 1 га посева сельскохозяйственных культур. Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1. Информация об урожайности, затратах материально-денежных средств и затратах труда в расчете на 1 га посева сельскохозяйственных культур

Сельскохозяйственные культуры	Планируемая урожайность, ц/га	Материально-денежные затраты в расчете на 1 га, тыс.руб.
	основной продукции	побочной продукции
Озимая пшеница	38	57	10,1
Ячмень	34	34	8,5
Соя	15	11	8,9
Горчица	15	11	7,9
Сахарная свекла	400	160	44,9
Подсолнечник	18		7,2
Кукуруза на силос	297		10,8
Кукуруза на зеленый корм	287		10,2
Однолетние травы на сено	29		5,6
Однолетние травы на сенаж	48		5,4
Однолетние травы на зеленый корм	144		5,2
Многолетние травы на сено	48		6,7
Многолетние травы на сенаж	78		6,5
Многолетние травы на зеленый корм	238		6,2
Озимые на зеленый корм	105		4,6
Пар			2,7

Хозяйством заключены договора на реализацию 23 000 ц озимой пшеницы, 12 000 ц ячменя, 195 000 ц сахарной свеклы и 20 000 ц молока.

Исходя из агротехнических требований заданы следующие границы насыщения севооборота отдельными культурами и группами культур.

Таблица 2. Пределы насыщения севооборота отдельными культурами и группами культур

Сельскохозяйственные культуры	Нижняя граница	Верхняя граница
	%	га	%	га
Всего пашни	100,0%	5 800	100,0%	5 800
Зерновые и зернобобовые	50,0%	2 900	60,0%	3 480
Озимые	20,0%	1 160	30,0%	1 740
Соя и горчица	0,0%	0	20,0%	1 160
Сахарная свекла	0,0%	0	15,0%	870
Подсолнечник	0,0%	0	12,5%	725
Пар	5,0%	290	10,0%	580

В хозяйстве развивается молочное скотоводство. Оборот стада предусматривает реализацию всего сверхремонтного молодняка в 20-ти дневном возрасте населению и предприятиям, специализирующимся на выращивании, доращивании и откорме крупного рогатого скота.

При описании животноводческих отраслей для упрощения расчетов, связанных с подготовкой исходной информации, в качестве единицы измерения используются структурные головы. За структурную голову в молочном скотоводстве принимаются фуражная корова.

Информация о среднегодовом поголовье крупного рогатого скота, полученная на основе составленного оборота стада исходя из фактического поголовья фуражных коров, приведена в таблице 3.

Таблица 3. Информация о среднегодовом поголовье крупного рогатого скота

Половозрастные группы	Поголовье, гол	Структура стада, %
Коровы	425	77.4
Нетели	25	4,6
Телочки до 20 дней	7	1,3
Бычки до 20 дней	7	1,3
Телочки с 20 дней до 6 месяцев	25	4,6
Телки с 6 месяцев до 1 года	25	4,6
Телки с 1 года до 18 месяцев	25	4,6
Выбракованный скот на откорме	10	1,8
Всего крупного рогатого скота	549	100,0

Посредством расчета оборота стада была получена следующая информация. Валовое производство прироста по стаду крупного рогатого скота составило 276,0 ц (или 276,0/425=0,65 ц в расчете на 1 структурную голову). Реализация прироста крупного рогатого скота составляет 452 ц (или 452,0/425=1,06 ц в расчете на 1 структурную голову). Превышение объемов реализации над объемами производства прироста связано с тем, что в расчет прироста не входит вес приплода и коров, который они набирают, находясь в основном стаде. Надой на 1 фуражную корову планируется на уровне 5110 кг. Исходя из рыночной конъюнктуры планируются следующие цены реализации продукции животноводства: молоко - 920, прирост КРС - 5 800 руб. за 1 ц. В этом случае стоимость товарной продукции в расчете на 1 структурную голову составит: 51,10·920 + 1,06·5800 = 53.160 тыс. руб.

Исходя из фактических рационов кормления по каждой половозрастной группе и количества кормодней пребывания была определена годовая потребность в кормах и структура рациона кормления в расчете на 1 структурную голову (таблица 4).

Таблица 4. Расчет потребности в кормах на 1 структурную голову КРС

Корма и кормовые добавки	Годовая потребность в кормах
	всего	на 1 структурную голову, ц.к.ед.
	Ц	ц.к.ед
	основное стадо	молодняк и скот на откорме	основное стадо	молодняк и скот на откорме	на молоко	на прирост	всего
Комбикорм	2920	354	3212	389	7,56	0,92	8,47
Пшеница	1216		1557		3,66		3,66
Ячмень	1216		1398		3,29		3,29
Сено	6448	249	3095	120	7,28	0,28	7,56
Солома		164		41		0,10	0,10
Сенаж	19 025	2237	6 088	716	14,32	1,68	16,01
Силос	23 844	1663	4 769	333	11,22	0,78	12,00
Зеленые корма		2316		510		1,20	1,20
Патока	1824		1 386		3,26		3,26
Премикс	158	20	79	10	0,19	0,02	0,21
Молоко		125		43		0,10	0,10
Обрат		365		48		0,11	0,11
ЗЦМ		28		67		0,16	0,16
Всего			21 584	2275	50,79	5,35	56,14

Исходя из зооветеринарных требований в 1 ц корма, направляемого на производство молока, должно содержаться не менее 0,101 кг, а в 1 ц корма, направляемого на производство прироста, - 0,107 кг переваримого протеина.

Материально-денежные затраты в расчете на 1 структурную голову (без стоимости кормов) составляют 23,4 тыс. руб. Материально-денежные затраты включаются в модель без учета стоимости кормов для того, чтобы избежать двойного счета, поскольку затраты на производство кормов и их приобретение определяются уже в ходе решения экономико-математической задачи.

Молоко на корм собственного производства потребляется по складывающейся себестоимости, а остальные корма и кормовые добавки приобретаются по следующим ценам: комбикорм - 7,20; обрат - 1,00; заменитель цельного молока (ЗЦМ) - 33,60; патока - 1,50; премикс - 5,50 руб. за 1 кг.

Для разработки экономико-математической модели необходимо провести дополнительные расчеты. Первая расчетная таблица связана с обоснованием распределения продукции в расчете на 1 га посева отдельных сельскохозяйственных культур.

Таблица 5. Распределение продукции в расчете на 1 га посева сельскохозяйственных культур

Сельскохозяйственные культуры	Выход продукции с 1 га, ц	Отходы, ц	Семена со страховым фондом, ц	На корм скоту, ц	Товарная продукция
	основной	побочной			основной	побочной	в натуральном выражении, ц	в денежном выражении, тыс.руб.
Озимая пшеница товарная	38	57,0	0,76	2,50	0,76		34,74	16,68
Озимая пшеница фуражная	38	57,0	0,76	2,50	35,50
Ячмень товарный	34	34,0	0,68	3,30	0,68	34,00	30,02	12,31
Ячмень фуражный	34	34,0	0,68	3,30	30,70	34,00
Соя	15	11,3	0,30		0,30	11,25	14,70	17,64
Горчица	15	11,3	0,30				14,70	19,26
Сахарная свекла	400	160,0					400,00	44,00
Подсолнечник	18		0,36				17,64	16,76
Кукуруза на силос	297		74,25		222,75
Кукуруза на зеленый корм	287				287,00
Однолетние травы на сено	29				29,00
Однолетние травы на сенаж	48				48,00
Однолетние травы на зеленый корм	144				144,00
Многолетние травы на сено	48				48,00
Многолетние травы на сенаж	78				78,00
Многолетние травы на зеленый корм	238				238,00
Озимые на зеленый корм	104				104,00

Данные о выходе продукции с 1 га посева берутся из таблицы 1.

Норматив отходов по группе зерновых и зернобобовых, горчице и подсолнечнику устанавливается на уровне 2% от урожайности в физическом весе. Норматив угара силосной массы берется на уровне 25% от урожайности кукурузы на силос.

Семена озимой пшеницы и ячменя производятся непосредственно в хозяйстве. Формирование семенного фонда по данным сельскохозяйственным культурам происходит исходя из следующих норм высева семян: озимая пшеница - 2,5 ц на 1 га, ячмень - 3,0 ц на 1 га. При этом по ячменю предусматривается создание страхового фонда семян в размере 10% семенного фонда

Объем продукции, направляемой на корм скоту, по озимой пшенице и ячменю товарным определяется на уровне отходов, а по этим же культурам, посеянным на фуражные цели, - как разница между урожайностью и нормой высева семян с учетом страхового фонда. Выход готового силоса в расчете на 1 га посева кукурузы на силос рассчитывается с учетом угара силосной массы при хранении этого корма. Из побочной продукции на корм скоту предполагается использовать солому ячменя и сои.

Выход товарной продукции в натуральном выражении с 1 га посева определяется по товарным культурам как разница между урожайностью, количеством отходов и нормой высева семян с учетом страхового фонда.

Исходя из рыночной конъюнктуры планируются следующие цены реализации производимой продукции: озимая пшеница - 480, ячмень - 410, соя - 1 200, горчица - 1 310, сахарная свекла - 115, подсолнечник - 950 руб. за 1 ц.

На основании данных таблицы 24 и питательности кормов заполняется таблица 25.

Для равномерного обеспечения отрасли животноводства зелеными кормами необходимо провести планирование зеленого конвейера (табл. 26).

Таблица 7. Схема зеленого конвейера

Источники зеленого корма	Выход с 1 га, ц.к.ед.	Сроки использования зеленых кормов, ц к.ед. с 1га
		2-я половина мая	1-я половина июня	2-я половина июня	июль	август	Сентябрь
А	1	2	3	4	5	6	7
Кукуруза 1 срока сева	60,3					60,3
Кукуруза 2 срока сева	60,3						60,3
Многолетние травы на зеленый корм	52,4		31,4		20,9
Однолетние травы 1 срока сева	25,9			25,9
Однолетние травы 2 срока сева	25,9				25,9
Озимые на зеленый корм	20,8	20,8

По многолетним травам планируется провести два укоса. На первый укос приходится 60% их урожайности, на второй - 40%.

Определение потребности в кормах в расчете на 1 структурную голову с учетом страхового фонда приведено в таблице 27 при проектируемом уровне затрат корма на производство 1 ц молока и прироста КРС соответственно 1,06 и 8,24 ц.к.ед.

В связи с тем, что потребность в молоке на корм будет удовлетворяться за счет молока собственного производства, необходимо провести корректировку суммы выручки от реализации продукции животноводства в расчете на 1 структурную голову. Исходя из данных таблицы 4 в расчете на 1 структурную голову требуется 0,11 ц молока, что в физическом весе составит: 0,11 ц к.ед. / 0,34 ц к.ед. = 0,32 ц. То есть в расчете на 1 структурную голову будет реализовано продукции не на 53,57 тыс. руб., а на 294,40 руб. меньше (0,32 ц*920 руб. = 294,40 руб.), или 53,27 тыс. руб.

Построение экономико-математической модели

Система переменных данной экономико-математической задачи представлена основными и вспомогательной переменными. За основные переменные принимаются:

- площадь посева j-ой сельскохозяйственной культуры;

- поголовье j-го вида сельскохозяйственных животных;

- объем приобретения j-го вида корма или кормовой добавки;

x1	-	Озимая пшеница товарная
x2	-	Озимая пшеница фуражная
x3	-	Ячмень товарный
x4	-	Ячмень фуражный
x5	-	Соя
x6	-	Горчица
x7	-	Сахарная свекла
x8	-	Подсолнечник

Подобные документы

• Разработка математической модели по формированию производственной программы предприятия

  Роль экономико-математических методов в оптимизации экономических решений. Этапы построения математической модели и решение общей задачи симплекс-методом. Составление экономико-математической модели предприятия по производству хлебобулочных изделий.
  
  курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.07.2015
  

• Запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования

  Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.
  
  дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014
  

• Решение задач о планировании перевозок

  Разработка экономико-математической модели и решение задачи линейного программирования с использованием математических методов. Транспортная задача в матричной постановке и ее свойства. Построение исходного допустимого плана. Критерий оптимальности.
  
  курсовая работа [111,1 K], добавлен 16.01.2011
  

• Экономико-математические методы и прикладные модели

  Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
  
  курсовая работа [30,5 K], добавлен 14.04.2004
  

• Оптимизация производственно-отраслевой структуры сельскохозяйственного предприятия в Ордена Трудового Красного Знамени племзавод-колхозе имени 50-летия СССР

  Математическое моделирование в сельском хозяйстве. Планирование оптимальной производственно-отраслевой структуры предприятия. Описание числовой экономико-математической модели. Экономическая интерпретация оптимальной производственно-отраслевой структуры.
  
  курсовая работа [107,7 K], добавлен 19.01.2016
  

• Исследование операций в экономике

  Графическое решение задач линейного программирования. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Возможности практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении экономических задач.
  
  курсовая работа [105,5 K], добавлен 02.10.2014
  

• Экономико-математическое моделирование

  Построение экономико-математической модели оптимизации производства с учетом условия целочисленности. Расчет с помощью надстроек "Поиск решения" в Microsoft Excel оптимального распределения поставок угля. Экономическая интерпретация полученного решения.
  
  контрольная работа [2,5 M], добавлен 23.04.2015
  

• Экономико-математическая модель оптимизации кормопроизводства

  Производственно-экономическая характеристика хозяйства. Динамика и структура основных и оборотных фондов. Трудовой потенциал предприятия. Специализация, интенсификация производства. Разработка экономико-математической модели оптимизации кормопроизводства.
  
  курсовая работа [44,8 K], добавлен 31.01.2012
  

• Сущность и использование транспортных задач

  Методы линейного программирования; теория транспортной задачи, ее сущность и решение на примере ООО "Дубровчанка+": характеристика предприятия, организационная структура и статистические данные. Построение и решение экономико-математической модели.
  
  курсовая работа [652,5 K], добавлен 04.02.2011
  

• Экономико-математические методы и прикладные модели

  Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
  
  контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам