Математические методы в логистике

Составление плана производства изделий, обеспечивающих максимальную прибыль от реализации. План перевозок, при котором затраты на перевозку грузов будут минимальными. Расчет емкости подсобных помещений магазина, необходимой для полной обработки товара.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 29.05.2015
Размер файла 344,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

(270285) 148. Для производства двух видов изделий и используется три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия оборудование первого типа используется 1 час, оборудование второго типа - 3 часа, оборудование третьего типа - 5 часов. Для производства единицы изделия оборудование первого типа используется 2 часа, оборудование второго типа - 3 часа, оборудование третьего типа - 1 час. На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 32 часа, второго типа не более чем 60 часов, третьего типа не более чем 80 часов. Прибыль от реализации готового изделия составит 4 денежные единицы, а изделия - 2 денежные единицы. Составить план производства изделий и , обеспечивающий максимальную прибыль от реализации. Решить задачу симплексным методом, дать геометрическое истолкование.

Решение

Занесем исходные данные в распределительную таблицу 1.1.

Табл. 1.1

Тип оборудования

Число часов использования оборудования, для производства продукции

максимальное количество часов работы оборудования

первый

1

2

32

второй

3

3

60

третий

5

1

80

Прибыль

4

2

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим , - число единиц изделий соответственно A и В, запланированных к производству. Для их изготовления (см. табл. 1.1) потребуется

часов работы оборудования первого типа,

часов работы оборудования второго типа,

часов работы оборудования третьего типа.

Так как на изготовление всех типов изделий предприятие может использовать оборудование первого, второго и третьего типа не более чем 32, 60 и 80 часов соответственно, то связь между использование оборудования и его мощностями выразиться системой неравенств

(1.1)

По смыслу задачи переменные

, . (1.2)

Суммарная прибыль составит руб. от реализации изделия A, руб. - от реализации изделия B, т.е.

. (1.3)

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска изделий A и В, удовлетворяющий системе (1.1) и условию (1.2), при котором функция (1.3) принимает максимальное значение.

I. Решим задачу с помощью симплексных таблиц.

Расширенная система задачи имеет вид

Линейную функцию представим в виде .

Заполняем первую симплексную таблицу (табл. 1.2), в которой переменные , , основные. Последняя строка заполняется коэффициентами линейной функции с противоположным знаком.

Табл. 1.2

Базис

Свободный член

Переменные

Оценочные отношения

32

1

2

1

0

0

32

20

1

1

0

1

0

20

80

5

1

0

0

1

16

0

-4

-2

0

0

0

Проверяем критерий оптимальности. В последней строке имеются отрицательные коэффициенты. Выбираем из них наибольший по модулю (-4); первый столбец разрешающий, переменная перейдет в основные. Находим оценочные отношения (см. последний столбец табл. 1.1). Определяем . Третья строка является разрешающей. На пересечение разрешающей строки и столбца стоит разрешающий элемент .

Строим таблицу 1.3. В новом базисе основные переменные , , . Третья строка получается делением на разрешающий элемент . Остальные элементы заполняем по правилу двух первендикуляров.

Первая строка: ; ; ; ; ; .

Вторая строка: ; ; ; ; ; .

Индексная строка: ; ; ; ; ; .

Получим вторую симплексную таблицу (табл. 1.3).

Табл. 1.3

Базис

Свободный член

Переменные

Оценочные отношения

16

0

1,8

1

0

-0,2

8,88888889

4

0

0,8

0

1

-0,2

5

16

1

0,2

0

0

0,2

80

64

0

-1,2

0

0

0,8

Критерий оптимальности вновь не выполнен: в последней строке есть один отрицательный элемент (-1,2). Теперь второй столбец разрешающий; переменная переходит в основные; ; вторая строка разрешающая, - разрешающий элемент.

Строим таблицу 1.4. В новом базисе основные переменные , , . Вторая строка получается делением на разрешающий элемент . Остальные элементы заполняем по правилу двух перпендикуляров.

Табл. 1.4

Базис

Свободный член

Переменные

Оценочные отношения

7

0

0

1

-2,25

0,25

5

0

1

0

1,25

-0,25

15

1

0

0

-0,25

0,25

70

0

0

0

1,5

0,5

Критерий оптимальности выполнен, значит, , оптимальное базисное решение .

Учитывая экономический смысл исходных и дополнительных переменных, получаем, что в оптимальном плане производства должны присутствовать: 15 ед. - изделий изделия типа A и 5 ед. - изделия типа B. При этом будет получена максимальная прибыль - 70 ден. ед.

II Решим задачу (1.1)-(1.3) графическим методом.

1) Строим область допустимых решений задачи (ОДР). Для этого выписываем уравнения прямых линий, соответствующих трем неравенствам системы (1.1) ограничений задачи:

а) . Прямая, которую представляет данное уравнение, проходит через точки: (0;16) и (16;8). Строим на плоскости прямоугольную систему координат. Данная прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости. Полуплоскость, координаты точек которой удовлетворяют первому ограничению - неравенству, определяем методом пробной точки. Для этого берем любую точку на плоскости, не лежащую на прямой (например, точку (0;0)). - верно. Т.к., пробная точка располагается ниже и левее прямой, то любая точка, взятая в нижней левой полуплоскости, удовлетворяет первому ограничению - неравенству (штриховка "в сторону пробной точки).

Аналогично строим уравнение второй прямой.

б) .

Эта прямая проходит через точки (5;15) и (15;5). Штриховка "в сторону пробной точки".

в) .

Эта прямая проходит через точки (15;5) и (12;20). Штриховка "в сторону пробной точки".

В данной задаче ОДР - выпуклый пятиугольник АВСDE.

Рис. 1

2) Строим градиент K=(4;2) целевой функции ; это вектор, начало которого находиться в центре системы координат, а конец в точке (4;2).

3) Строим линию уровня целевой функции, опуская перпендикуляр из любой точки внутри ОДР на направление градиента.

4) Перемещаем линию уровня целевой функции параллельно самой себе в направление градиента (тип экстремума - максимум) до тех пор, пока она не пересечет самую крайнею из всех угловых точек ОДР - эта точка D, является точкой максимума целевой функции.

Координаты точки D(15;5) дают компоненты оптимального плана задачи:

.

Максимальное значение целевой функции (1.3) равно

.

Ответ: оптимальный план производства: 15 ед. изделий вида A, 5 ед. изделий вида B. Максимальная прибыль - 70 ден. ед.

Задача 2

(270285) 158. Имеются три пункта отправления , , однородного груза и пять пунктов , , , , его назначения. На пунктах , , груз находиться в количестве 90, 30, 110 единиц соответственно. В пункты , , , , требуется доставить соответственно 10, 60, 50, 40, 70 единиц груза. Тарифы на перевозку груза между пунктами отправления и назначения приведены в матрице :

.

Составить план перевозок, при котором общие затраты на перевозку грузов будут минимальными.

Решение

1. Проверяем сбалансированность модели ТЗ. Суммарный запас однородного груза на трех ПО составляет единиц; суммарная потребность пяти ПН составляет единиц. Таким образом, модель ТЗ является сбалансированной (закрытой).

2. Заносим исходные данные в распределительную таблицу.

Табл. 2.1

Пункты назначения

Запасы

Пункты оправления

9

1

1

7

6

90

6

4

7

8

9

30

2

9

3

5

3

110

Потребности

10

60

50

40

70

3. Строим опорный план методом "минимального элемента". Находим количество груза, которое следует отправить по данному маршруту. Находим клетку с минимальным тарифом; это клетка (1;2), в которую заносим максимально возможное количество груза

ед.

Затем мысленно вычеркиваем (закрываем) столбец. Из оставшихся клеток таблицы находим клетку с минимальным тарифом; это - клетка (1;3), в которую вновь вносим максимально возможное количество груза

ед.

Закрываем строку . Из оставшихся клеток наименьший тариф имеет клетка (3;1), в которую заносим

ед.

Закрываем столбец . Из оставшихся клеток наименьший тариф имеет клетка (3;3), в которую заносим

ед.

Закрываем столбец . Далее наименьший тариф имеет клетка (3;5):

ед.

Закрываем столбец . Из двух оставшихся клеток (2;4) и (3;4) наименьший тариф имеет (3;4):

ед;

В таблице остался последнее направление, по которому не определено количество перевозимого груза:

ед.

Начальный опорный план построен:

Посчитаем стоимость перегонов вагонов по этому плану.

(ден. ед.)

4. Проверяем начальный опорный план на вырожденность. Для этого считаем число загруженных клеток таблицы; оно равно 7. Согласно требованиям, предъявляемым к опорному плану, число загруженных клеток должно быть равно 5+3-1=7(число строк + число столбцов -1). Таким образом, заключаем, что начальный опорный не вырожден.

5. Строим систему уравнений для определения потенциалов поставщиков и потребителей, используя только загруженные клетки таблицы:

Табл. 2.2

Пункты назначения

Запасы

Пункты оправления

9

1

1

7

6

90

0

6

4

7

8

9

30

5

2

9

3

5

3

110

2

Потребности

10

60

50

40

70

0

1

1

3

1

При этом потенциал полагаем равным нулю. В результате решения системы уравнений методом последовательного исключения неизвестных находим значения потенциалов:

6. Находим косвенные тарифы незагруженных клеток таблицы

7. Находим оценки незагруженных клеток таблицы:

Имеется одна положительная оценка, которая показывает, что начальный опорный план не оптимален и может быть улучшен.

8. Считаем не загруженную клетку (2;2) таблицы перспективной и строим цикл с началом в этой клетке; все остальные узлы цикла должны проходить только через загруженные клетки таблицы.

Рис. 2

Размечаем клетки цикла знаками "плюс" и "минус"; знак "плюс" ставим в перспективной клетке, затем знаки "плюс" и "минус" в узлах клетки чередуются.

Из клеток со знаком "минус" выбираем наименьшее количество груза :

, которое будем перемещать по циклу.

Перемещаем по циклу груз , добавляя его к грузу клеток со знаком "плюс" и вычитая его из груза клеток со знаком "минус".

Рис. 3

В результате получим новый опорный план :

Табл. 2.3

Находим общую стоимость перевозок по данному опорному плану:

(ден. ед.)

Сравнение с предыдущей стоимостью показывает, что для нового плана суммарная стоимость перевозок уменьшилась на 40 ден. ед.

9. Убеждаемся, что новый опорный план не вырожден: 7=3+5-1; исследуем его на оптимальность. Система уравнений для определения потенциалов:

Потенциалы поставщиков и потребителей равны:

Косвенные тарифы свободных клеток таблицы:

Оценки свободных клеток таблицы:

Поскольку все оценки свободных клеток отрицательны, то новый опорный план является оптимальным планом перевозок:

,

при котором общие затраты на перевозку грузов будут минимальными - 630 ден. ед.

Ответ: оптимальный план перевозок:

Пункты назначения

Пункт отправления

0

40

50

0

0

0

20

0

10

0

10

0

0

30

70

Минимальная стоимость перевозок - 630 ден. ед.

Задача 3

(270285) 208. В зависимости от величины процентных ежеквартальных ставок банк может находиться в одном из трех состояний , , в соответствии с заданной матрицей перехода

, .

В конце года банк находился в одном из состояний , .

Найти вероятности состояний , , банка через год.

Решение

По условию: .

К концу первого квартала:

.

К концу второго квартала:

.

К концу третьего квартала:

.

К концу четвертого квартала, т.е. к концу года:

.

Ответ: .

Задача 4

(270285) 218. Магазин получает овощи из теплиц. Автомобили с грузом прибывают с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный 3 () автомобилями. В магазине работают 3 () фасовщиков, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение часов. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов. Проверить, удовлетворяет ли заданная емкость 3 подсобных помещений требуемой вероятности полной обработки товара, а в случае неудовлетворения - найти емкость , необходимую для выполнения требуемой вероятности .

Решение

Данный магазин - СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди. прибыль затрата товар реализация

Определим интенсивность загрузки фасовщиков: ; авт. в день., где 12 - это 12 часов (продолжительность рабочего для).

1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок) по формуле :

.

2) Вероятность отказа в обслуживании найдем по формуле

:

.

3) Вероятность обслуживания:

.

Так как , то заданная емкость () подсобных помещений удовлетворяет требуемой вероятности полной обработки товара.

Найдем остальные параметры СМО.

4) Абсолютная пропускная способность:

авт. в день.

5) Среднее число занятых обслуживание каналов (фасовщиков):

.

6) Среднее число заявок в очереди:

.

7) Среднее время ожидания обслуживания:

дн.

8) Среднее число машин в магазине (среднее число заявок в системе):

авт.

9) Среднее время пребывания машины в магазине:

дн.

Ответ: Емкости подсобных помещений магазина вмещает достаточно овощей, при этом вероятность полной обработки товара равна .

Задача 5

(270285) 228. В мастерской по ремонту холодильников работает 4 мастера. В среднем в течение дня поступает в ремонт 12 холодильников и при семичасовом рабочем дне каждый из мастеров ремонтирует 2 холодильника. Требуется:

1. Проверить исходные данные на адекватность условиям математической модели системы массового обслуживания.

2. В случае неадекватности принять решение по управлению системой массового обслуживания с целью приведения ее в соответствие с условиями применения описывающей математической модели.

3. Рассчитать характеристики эффективности системы массового обслуживания:

1) вероятность того, что все мастера свободны от ремонта холодильников,

2) вероятность того, что все мастера заняты ремонтом,

3) среднее время ремонта одного холодильника,

4) среднее время ожидания ремонта для каждого холодильника,

5) среднюю длину очереди.

Решение

1. Проверим исходные данные на адекватность условиям математической модели системы массового обслуживания.

По условию: , ,

Приведенная интенсивность потока заявок - .

Так как , то не существует стационарный режим. Очередь будет неограниченно возрастать. Т.о., исходные данные не являются адекватными условиями применения математической модели системы массового обслуживания.

2. Примем решение по управлению системой массового обслуживания с целью приведения ее в соответствие с условиями применения описывающей математической модели. Чтобы существовал стационарный режим, и мы могли найти предельные вероятности должно выполняться условие:

.

На интенсивность - входящего потока заявок (холодильников) мы повлиять не можем. Достаточно либо увеличить количество мастеров , либо увеличить производительность труда каждого из мастеров, внедряя более производительные технологии.

Определим минимальное количество мастеров , при котором очередь не будет расти до бесконечности:

.

Условие выполнено.

3. Рассчитать характеристики эффективности системы массового обслуживания при , , , .

1) вероятность того, что все мастера свободны от ремонта холодильников, вычислим по формуле .

Получаем .

2) вероятность того, что все мастера заняты ремонтом, вычислим по формуле .

Получаем .

3) среднее время ремонта одного холодильника, вычислим по формуле

(раб. дня) или так как в нашей СМО рабочий день равен 7 часам, то (часа).

4) среднее время ожидания ремонта для каждого холодильника - это среднее время нахождение заявки в системы, вычисляется по формуле Литтла , где .

Т.о., получим (раб. дня) (часа).

5) среднюю длину очереди.

.

Ответ: 3. 1) ; 2) ; 3) часа; 4) часа; 5) .

Задача 6

(270285) 238. Рабочий обслуживает 4 станка. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равно 12 минут. Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.

Решение

Имеем одноканальную СМО с ограниченной очередью.

Обслуживающим каналов является рабочий: .

Возможные состояния СМО:

рабочий свободен, т.е. все станки работают - обслуживания не требуют;

рабочий занят, очереди нет, т.е. один станок обслуживается, а остальные обслуживания не требуют;

рабочий занят, в очереди одна заявка, один станок обслуживается, один ждет обслуживания;

рабочий занят, в очереди две заявки, один станок обслуживается, два ждут обслуживания;

рабочий занят, в очереди три заявки, один станок обслуживается, три ждут обслуживания.

Размеченный граф состояний имеет вид:

Длина очереди: .

, .

Так как число состояний системы, конечно, то существуют предельные вероятности. Найдем их.

- вероятность того, что рабочий свободен;

- вероятность того, что рабочий занят;

- вероятность того, что рабочий занят, в очереди одна заявка;

- вероятность того, что рабочий занят, в очереди две заявки;

- вероятность того, что рабочий занят, в очереди три заявки.

.

1) Найдем среднее число заявок в очереди по формуле математического ожидания: число требований в очереди в каждом состоянии надо умножить на предельную вероятность этого состояния и полученное произведение суммировать:

станка.

2) Найдем коэффициент простоя станка по формуле:

.

4 - это число станков.

3) Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает с , т.к. .

Ответ: 1) 0,22 станка; 2) 0,154; 3) 0,6062.

Литература

1. Г. И. Просветов Математические методы в логистике: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. М.: Издательство "Альфа-Пресс", 2012. - 304 с.

2. Исследование операций в экономике: учеб. пособие / под ред. проф. Н. Ш. Кремера - М.: Издательство Юрайт, 2010. - 430 с.

3. Урубков А.Р., Федотов И.В, Методы и модели оптимизации управленческих решений: учеб. пособие. - М.: Издательский дом "Дело" РАНХиГС, 2012. - 240с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Определение оптимального числа контролеров-кассиров в магазине, при котором суммарные потери фирмы будут минимальными. Составление плана заказов на товары для обеспечения оптимального соотношения между их продажей. Построение сетевого графика продаж.

    контрольная работа [126,2 K], добавлен 16.01.2012

  • Построение математических моделей по определению плана выпуска изделий, обеспечивающего максимальную прибыль, с помощью графического и симплексного метода. Построение моделей по решению транспортных задач при применении метода минимальной стоимости.

    задача [169,2 K], добавлен 06.01.2012

  • Определение общего дохода от реализации продукции и общих транспортных издержек. Расчет теневых цен. Нахождение маршрута с наименьшей отрицательной теневой ценой. Составление плана производства двух видов продукции, обеспечивающего максимальную прибыль.

    контрольная работа [161,9 K], добавлен 18.05.2015

  • Определение оптимальных объемов производства по видам изделий за плановый период и построение их математической модели, обеспечивающей максимальную прибыль предприятию. Решение задачи по минимизации затрат на перевозку товаров средствами модели MS Excel.

    курсовая работа [3,4 M], добавлен 26.05.2013

  • Понятие "транспортная задача", ее типы. Отыскание оптимального плана перевозок однородного груза, при котором запросы цехов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок. Решения прямой и двойственной задачи линейного программирования.

    контрольная работа [81,9 K], добавлен 14.09.2010

  • Составление плана перевозок зерна с учетом данных о потребности в нем и его запасах. Минимизация затрат на реализацию плана перевозок. Методы "северо-западного угла" и "минимального элемента". Новый улучшенный опорный план по методу потенциалов.

    задача [48,5 K], добавлен 24.05.2009

  • Решение задачи линейного программирования графическим способом. Построение математической модели задачи с использованием симплекс-таблиц, её экономическая интерпретация. Поиск оптимального плана перевозки изделий, при котором расходы будут наименьшими.

    задача [579,8 K], добавлен 11.07.2010

  • Задача на определение плана работы производственного участка, приносящего максимальную прибыль. Задача линейного программирования, ввод данных в MS Excel. Поиск решения, отчет по устойчивости. Ежедневный план работы кондитерского цеха, теневая прибыль.

    курсовая работа [705,0 K], добавлен 08.05.2013

  • Построение и решение математических моделей в экономических ситуациях, направленных на разработку оптимального плана производства, снижение затрат и рационализации закупок. Моделирование плана перевозок продукции, направленного на минимизацию затрат.

    задача [1,8 M], добавлен 15.02.2011

  • Моделирование задачи определения оптимального плана выпуска продукции, вывод ее в канонической форме. Решение задания с помощью надстройки MS Excel "Поиск решения", составление отчетов по устойчивости и результатам. Оптимальная прибыль при заданной цене.

    курсовая работа [635,6 K], добавлен 07.09.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.