Математические методы в экономике

Средняя длина очереди:

Среднее число свободных контролеров-кассиров:

Рассчитаем значение функции:

Построим график полученной функции:

Видим, что оптимальное число кассиров-контролеров равно 4, при данном числе контролеров-кассиров в очереди всего один покупатель и простаивающий кассир также один, потери будут минимальными.

Задача 2

Розничное предприятие торговли формирует заявку на новые товары Н1, Н2, Н3, заменяющие старые товары хорошо известные покупателям. Методы изучения спроса позволили составить матрицу условных вероятностей продажи старых товаров С1, С2, С3, при наличии конкурирующих новых товаров в торговой сети. Составить план заказ на товары, чтобы обеспечить оптимальное соотношение между их продажей.

Решение:

Задачи такого типа относятся к играм с природой (или статистическим играм). Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. Под "природой" понимается совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Но иногда мы располагаем некоторыми вероятностными характеристиками состояний природы.

Игра с природой отличается от матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока, безразличием природы к выигрышу. Природа может даже помогать игроку. Такие игры в основном бывают двух типов: когда вероятности состояний природы неизвестны и когда они известны. От этого зависит метод решения игры.

Для решения игры с природой был предложен ряд критериев, ни один из которых не является универсальным, поскольку каждый из них основывается на своих специфических допущениях. Поэтому следует применять по очереди все эти критерии, причем каждый критерий дает свою рекомендацию относительно того, какое решение игрока является наилучшим. Если одна из стратегий (решений) игрока фигурирует в качестве лучшей чаще других, она в результате признается оптимальной.

Рассчитаем эти критерии.

Максиминный критерии Вальда

С точки зрения этого критерия, игра с природой ведётся как игра с разумным, агрессивным противником, который всегда реализует самое невыгодное для игрока состояние. Это крайне пессимистический критерий. Здесь нужно рассчитывать на самый наихудший вариант, и поэтому при любой стратегии игрока ожидается, что выигрыш будет наименьшим. Поэтому из этих наименьших выигрышей по каждой стратегии выбирается наибольшее значение, которое гарантирует игроку хотя бы наименьший возможный выигрыш.

Применяя стратегию С1, можно рассчитывать только на спрос, равный наименьшему из чисел 1-й строки платежной матрицы б1 = min (6, 7, 5) = 5, в случае применения стратегии С2 можно рассчитывать на спрос б2 = min (7, 5, 8) = 5, в случае применения стратегии С3 можно рассчитывать на спрос б3 = min (5, 3, 6) = 3. Следовательно, оптимальными по Вальду являются стратегии С1 и С2, предоставляющие максимальный спрос б = mах (5, 5, 3) = 5.

Критерий минимального риска Сэвиджа

Рассмотрим критерий Сэвиджа. Для этого построим матрицу рисков:

Критерий Сэвиджа есть критерий крайнего пессимизма только по отношению к матрице рисков. Применяя стратегию С1, можно ожидать, что потери равны наибольшему из чисел 1-й строки матрицы рисков r1 = mах (1, 0, 3) = 3. Для стратегий С2 и С3 можно ожидать, что потери составят соответственно r2 = mах (0, 2, 0) = 2 и r3 = mах (2, 4, 2) = 2. Отсюда следует, что оптимальной по Сэвиджу являются стратегии С2 и С3, приносящая минимальный риск, равный r = min (3, 2, 2) = 2.

Критерий Гурвица (б = 0,5)

Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле:

, где б - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Таким образом, при б = 0,5 имеем:

- С1

- С2

- С3

Далее находим , т.е. по критерию Гурвица оптимальной является стратегия С2.

Критерий максимума математического ожидания выигрыша.

М1 = 0,7*6 + 0,1*7 + 0,2*5 = 5,9

М2 = 0,6*7 + 0,2*5 + 0,2*8 = 6,8

М3 = 0,6*5 + 0,3*3 + 0,1*6 = 4,5

продажа сетевой график план

Анализируя полученные результаты можем сделать вывод, что оптимальной является стратегия С2, гарантирующая максимальный спрос.

Для средних рисков имеем:

R1 = 0,7*1 + 0,1*0 + 0,2*3 = 1,3

R2 = 0,6*0 + 0,2*2 + 0,2*0 = 0,4

R3 = 0,6*2 + 0,3*4 + 0,1*2 = 2,6

Анализируя полученные результаты можем сделать вывод, что оптимальной является также стратегия С2, гарантирующая минимальный риск.

По совокупности критериев в данном случае оптимальной следует принять стратегию С2, т.е. необходимо заказать старые товары С2.

Задача 3