Математические методы в экономике

Определение оптимального числа контролеров-кассиров в магазине, при котором суммарные потери фирмы будут минимальными. Составление плана заказов на товары для обеспечения оптимального соотношения между их продажей. Построение сетевого графика продаж.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 16.01.2012
Размер файла 126,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В магазин самообслуживания поступает Пуассоновский поток покупателей с интенсивностью л = 2 человек в минуту. Средняя продолжительность обслуживания на расчетном узле составляет tобс = 1,4 минуты. Уровень суммарных потерь связан с простоем среднего числа свободных контролеров-кассиров nсв и пребыванием среднего числа покупателей в очереди lоч. Построить график зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров и среднего числа покупателей в очереди от числа контролеров-кассиров n, f(n) = (lоч + nсв). Определить по нему оптимальное число контролеров-кассиров n0, при котором суммарные потери будут минимальными.

Решение:

По условию задачи:

л = 2 (человек/минуту) - интенсивность входящего потока;

м = 1/tобс = 1/1,4 = 0,714 (человек/минуту) - интенсивность потока обслуживания.

Рассчитаем среднюю длину очереди и среднее число свободных контролеров-кассиров, в зависимости от числа контролеров-кассиров основные показатели СМО как многоканальной СМО с ожиданием.

Показатель нагрузки СМО:

с = л / м = 2 / 0,714 = 2,8 > 1

Показатель нагрузки, приходящийся на одного кассира-контролера:

Ш = с / n = 2,8 / n < 1 , значит n > 3.

Вероятность простоя узлов обслуживания СМО, когда нет заявок:

=

Вероятность наличия очереди в системе:

Средняя длина очереди:

==

Среднее число свободных контролеров-кассиров:

nсв = n - с ,

тогда искомая функция зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров и среднего числа покупателей в очереди от числа контролеров-кассиров n имеет вид:

Рассчитаем значение функции:

n

Ро

lоч

nсв

f(n)

3

0,0160

12,2735

0,2

12,47

4

0,0502

1,0002

1,2

2,20

5

0,0581

0,2412

2,2

2,44

6

0,0601

0,0660

3,2

3,27

7

0,0606

0,0180

4,2

4,22

8

0,0608

0,0047

5,2

5,20

9

0,0608

0,0012

6,2

6,20

10

0,0608

0,0003

7,2

7,20

Построим график полученной функции:

Видим, что оптимальное число кассиров-контролеров равно 4, при данном числе контролеров-кассиров в очереди всего один покупатель и простаивающий кассир также один, потери будут минимальными.

Задача 2

Розничное предприятие торговли формирует заявку на новые товары Н1, Н2, Н3, заменяющие старые товары хорошо известные покупателям. Методы изучения спроса позволили составить матрицу условных вероятностей продажи старых товаров С1, С2, С3, при наличии конкурирующих новых товаров в торговой сети. Составить план заказ на товары, чтобы обеспечить оптимальное соотношение между их продажей.

Старые товары

Новые товары

Н1

Н2

Н3

С1

0,7 / 6

0,1 / 7

0,2 / 5

С2

0,6 / 7

0,2 / 5

0,2 / 8

С3

0,6 / 5

0,3 / 3

0,1 / 6

Решение:

Задачи такого типа относятся к играм с природой (или статистическим играм). Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. Под "природой" понимается совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений. Но иногда мы располагаем некоторыми вероятностными характеристиками состояний природы.

Игра с природой отличается от матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока, безразличием природы к выигрышу. Природа может даже помогать игроку. Такие игры в основном бывают двух типов: когда вероятности состояний природы неизвестны и когда они известны. От этого зависит метод решения игры.

Для решения игры с природой был предложен ряд критериев, ни один из которых не является универсальным, поскольку каждый из них основывается на своих специфических допущениях. Поэтому следует применять по очереди все эти критерии, причем каждый критерий дает свою рекомендацию относительно того, какое решение игрока является наилучшим. Если одна из стратегий (решений) игрока фигурирует в качестве лучшей чаще других, она в результате признается оптимальной.

Рассчитаем эти критерии.

Максиминный критерии Вальда

С точки зрения этого критерия, игра с природой ведётся как игра с разумным, агрессивным противником, который всегда реализует самое невыгодное для игрока состояние. Это крайне пессимистический критерий. Здесь нужно рассчитывать на самый наихудший вариант, и поэтому при любой стратегии игрока ожидается, что выигрыш будет наименьшим. Поэтому из этих наименьших выигрышей по каждой стратегии выбирается наибольшее значение, которое гарантирует игроку хотя бы наименьший возможный выигрыш.

Применяя стратегию С1, можно рассчитывать только на спрос, равный наименьшему из чисел 1-й строки платежной матрицы б1 = min (6, 7, 5) = 5, в случае применения стратегии С2 можно рассчитывать на спрос б2 = min (7, 5, 8) = 5, в случае применения стратегии С3 можно рассчитывать на спрос б3 = min (5, 3, 6) = 3. Следовательно, оптимальными по Вальду являются стратегии С1 и С2, предоставляющие максимальный спрос б = mах (5, 5, 3) = 5.

Критерий минимального риска Сэвиджа

Рассмотрим критерий Сэвиджа. Для этого построим матрицу рисков:

Старые товары

Новые товары

Н1

Н2

Н3

С1

1

0

3

С2

0

2

0

С3

2

4

2

Критерий Сэвиджа есть критерий крайнего пессимизма только по отношению к матрице рисков. Применяя стратегию С1, можно ожидать, что потери равны наибольшему из чисел 1-й строки матрицы рисков r1 = mах (1, 0, 3) = 3. Для стратегий С2 и С3 можно ожидать, что потери составят соответственно r2 = mах (0, 2, 0) = 2 и r3 = mах (2, 4, 2) = 2. Отсюда следует, что оптимальной по Сэвиджу являются стратегии С2 и С3, приносящая минимальный риск, равный r = min (3, 2, 2) = 2.

Критерий Гурвица (б = 0,5)

Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле:

, где б - степень оптимизма и изменяется в диапазоне [0, 1].

Таким образом, при б = 0,5 имеем:

- С1

- С2

- С3

Далее находим , т.е. по критерию Гурвица оптимальной является стратегия С2.

Критерий максимума математического ожидания выигрыша.

М1 = 0,7*6 + 0,1*7 + 0,2*5 = 5,9

М2 = 0,6*7 + 0,2*5 + 0,2*8 = 6,8

М3 = 0,6*5 + 0,3*3 + 0,1*6 = 4,5

продажа сетевой график план

Анализируя полученные результаты можем сделать вывод, что оптимальной является стратегия С2, гарантирующая максимальный спрос.

Для средних рисков имеем:

R1 = 0,7*1 + 0,1*0 + 0,2*3 = 1,3

R2 = 0,6*0 + 0,2*2 + 0,2*0 = 0,4

R3 = 0,6*2 + 0,3*4 + 0,1*2 = 2,6

Анализируя полученные результаты можем сделать вывод, что оптимальной является также стратегия С2, гарантирующая минимальный риск.

По совокупности критериев в данном случае оптимальной следует принять стратегию С2, т.е. необходимо заказать старые товары С2.

Задача 3

Дан упорядоченный структурно-временной перечень работ по организации выставки продажи товаров. Требуется построить сетевой график, определить критический путь, критические работы, резервы времени, провести графический анализ комплекса работ и оптимизацию сетевой модели по критерию минимума времени Т.

Содержание работы

Обозначение

Опорные работы

Длительность работы, ч

Заказ на оборудование и товары

а1

-

10

Разработка системы учета спроса

а2

-

11

Отбор товаров и выписка счетов

а3

а1

5

Завоз товара

а4

а3

6

Завоз оборудования

а5

а1

5

Установка оборудования

а6

а5

7

Выкладка товара

а7

а4

1

Учет наличия товара

а8

а4

6

Оформление зала и витрины

а9

а6 а7

4

Изучение документов учета

а10

а2 а8

5

Репетиция выставки продажи

а11

а9 а10

2

Решение:

Построим сетевую модель комплекса работ по исходной структурной таблице. Вычислим значения временных параметров событий и проставим их в соответствующих секторах сетевого графика (верхний сектор - номер события; нижний сектор - номер помеченного события; левый сектор - ранний срок свершения события; правый сектор - поздний срок свершения события).

Вычисленные значения временных параметров событий проставлены в соответствующих секторах сетевого графика. Критическое время выполнения комплекса работ равно tкр = tр(9) = 34 часов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мы получили критический путь, который проходит через события с номерами: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, т.е. 1 - 2 - 3 - 4 - 7 - 8 - 9.

На критическом пути лежат работы а1, а3, а4, а8, а10, а11.

Основными характеристиками работ сетевого графика являются моменты их начала и окончания, а также резервы времени.

Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения ее начального события.

Ранний срок окончания работы равен раннему сроку начала работы сложенному с ее продолжительностью.

Поздний срок окончания работы равен позднему сроку свершения ее конечно события.

Поздний срок начала работы равен позднему сроку ее окончания за вычетом продолжительности работы.

Полный резерв времени работы - это максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения, не изменяя срока завершения всего комплекса работ.

Свободный резерв времени работы - это максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что она начинается в свой ранний срок, не изменяя при этом ранних сроков начала последующих работ.

Рассчитаем полный и свободный резерв времени для некритических работ по формулам:

Rij = tпозд j - tран i - tij - полный резерв времени работы (i;j);

Fij = tран j - tпозд i - tij - свободный резерв времени работы (i;j).

Характеристику работ для сетевого графика сведем в таблицу:

Обозначение работы

Продолжительность работы tij

Срок начала работы

Срок окончания работы

Резерв времени работы

ранний

tр.н.(i,j)

поздний

tп.н.(i,j)

ранний

tр.о.(i,j)

поздний

tп.о.(i,j)

Полный

Rп(i,j)

Свободный

Rсв.(i,j)

а1

10

0

10

0

10

0

0

а2

11

0

11

16

27

16

16

а3

5

10

15

10

15

0

0

а4

6

15

21

15

21

0

0

а5

5

10

15

16

21

6

0

а6

7

15

22

21

28

6

0

а7

1

21

22

27

28

6

0

а8

6

21

27

21

27

0

0

а9

4

22

26

28

32

6

6

а10

5

27

32

27

32

0

0

а11

2

32

34

32

34

0

0

Видим, что полный резерв времени у критических работ равен нулю. Некритические работы обладают ненулевым полным резервом времени.

Список использованной литературы

1) Воронов М.В., Мещеряков Г.П., «Высшая математика для экономистов и менеджеров», - М.: Феникс, 2005;

2) Григулецкий А.В., «Высшая математика для экономистов», - М.: Феникс, 2004;

3) Замков О.О., «Математические методы в экономике. Учебник», - М.: ДиС, 2004;

4) Красс М.С., «Математика для экономистов», - С.-Пб.: Питер, 2004;

5) Кремер Н.Ш., «Практикум по высшей математике для экономистов», - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003;

6) Шапкин А.С., Мазаева Н.П., «Математические методы и модели исследования операций. Учебник», - М.: Дашков и К, 2004.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Составление плана производства изделий, обеспечивающих максимальную прибыль от реализации. План перевозок, при котором затраты на перевозку грузов будут минимальными. Расчет емкости подсобных помещений магазина, необходимой для полной обработки товара.

    контрольная работа [344,1 K], добавлен 29.05.2015

  • Расчет оптимального числа поездов, при которых перевозится максимальное число пассажиров, плана перевозки с минимальными расходами. Выбор стратегии выпуска новой продукции. Построение регрессионной модели зависимости расходов на питание от дохода семьи.

    контрольная работа [3,3 M], добавлен 28.03.2010

  • Решение задачи линейного программирования графическим способом. Построение математической модели задачи с использованием симплекс-таблиц, её экономическая интерпретация. Поиск оптимального плана перевозки изделий, при котором расходы будут наименьшими.

    задача [579,8 K], добавлен 11.07.2010

  • Построение и решение математических моделей в экономических ситуациях, направленных на разработку оптимального плана производства, снижение затрат и рационализации закупок. Моделирование плана перевозок продукции, направленного на минимизацию затрат.

    задача [1,8 M], добавлен 15.02.2011

  • Экономическая модель туристической фирмы, определение управленческих решений по нахождению оптимального количества сотрудников по критерию увеличения дохода от продаж. Эксперименты по оптимизации количества менеджеров первой и второй категорий турфирмы.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 26.12.2014

  • Построение сетевого графика выполнения работ по реконструкции цеха, определение его параметров. Корреляционно-регрессионный анализ; расчет коэффициента корреляции между производительностью труда и рентабельностью предприятия; оптимизация ассортимента.

    контрольная работа [803,4 K], добавлен 16.09.2011

  • Характеристика направлений перевозок и флота. Расчет нормативов работы судов на схемах движения. Составление математической модели задачи. Нахождение оптимального плана работы флота и оптимальных схем движения судов, построение симплекс таблицы.

    курсовая работа [1,4 M], добавлен 24.10.2012

  • Количественные и качественные методы экономического прогнозирования. Построение модели поиска оптимального уровня заказа, издержек, уровня повторного заказа, числа циклов за год, расстояния между циклами. Определение координат снабженческого центра.

    контрольная работа [44,4 K], добавлен 15.09.2010

  • Построение сетевой модели. Упорядочивание сетевого графика. Определение критического пути. Временные характеристики сетевого графика. Современное сетевое планирование в условиях неопределенности. Оптимизация сетевого графика по схеме "Время-стоимость".

    курсовая работа [537,0 K], добавлен 28.04.2014

  • Математические и программные средства моделирования при решении конкретной производственной задачи. Метод реализации задачи планирования производства и нахождение оптимального плана с помощью симплексного метода. Программа на языке программирования С.

    курсовая работа [603,8 K], добавлен 06.06.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.